垂径定理典型例题及练习

垂径定理练习题

典型例题分析：

例题、垂径定理

1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深

度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.

2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的

最大深度为________cm.

3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .

（1）求证：四边形OEHF 是正方形.

（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.

4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．

5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=2

1

BF.

例题3、度数问题

1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.

O

A E

F

2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.

例题5、平行问题

在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的

半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.

例题7、平行与相似

已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：

FD EC =.

A B D

C

E O

一、概念题 2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）

（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤

（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<

3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的

是（ ）

A ．DE CE =

B ．

C ．BA

D BAC ∠=∠ D ．AD AC >

4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等

弧有（ ）对。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

二、垂径定理

1、过⊙O 内一点P 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则OP 的长为 .

2.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm

3．半径是5cm 的圆中，圆心到cm 8长的弦的距离是 cm

4．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高

_____=CD m.

5．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽

24=AB ，则水管中水深是_______cm.

6．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

7．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，

则OM 的长为（ ）

A ．3cm

B ．2cm

C ．1

D ．3cm

8．已知：如图，⊙O 中直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若6,10==CD AB ，则BE

的长是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．已知⊙O 的弦AB 长8cm ，弦心距为3cm ，则⊙O 的直径是（ ）

A ．5cm

B ．10cm

C ．55cm

D ．73cm

10．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）

A ．1cm

B ．2cm

C ．2cm

D ．3cm

11如图，已知⊙O 的半径为cm 6，两弦AB 与CD 垂直相交于E ，若cm CE 3=，

cm DE 9=，则=AB （ ）

A ．cm 6

B ．cm 33

C ．cm 3

D ．cm 36

三、度数问题

1、在⊙O 中，AB 是弦，C 是AB 的中点，延长OC 交⊙O 于D ．若CD OC =，则AOB ∠的度数是（ ）．

A ．︒90

B ．︒100

C ．︒120

D ．︒60

四、相交问题

1、圆的弦与直径相交成30°角，并且分直径为6cm 和4cm 两部分，则弦心距为（ ）

A ．33

B ．3

C ．2

1 D ．23 五、平行问题

1、 圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2，又两弦之间距离为cm 3，则圆的半径长是 cm

2、 在半径为cm 5的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为cm 8、cm 6，则这两条弦之间的距离为________

六、同心圆

1、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，cm 6,cm 10==CD AB ，则AC 的长为（ ）

A ．0.5cm

B ．1cm

C ．1.5cm

D ．2cm

七、平行于相似

1、如图，已知：在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，CD CE ⊥交AB 于E ，CD DF ⊥交AB 于F ．求证：BF AE =．