第2章智能控制

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3. 集合的直积（笛卡儿积、叉积）
多个集合 A1 , A2 , A3 , A4 ,, An 之间也可以进行直积运算，如
A1 A2 A3 A4 An {(a1, a2 , a3 , a4 ,, an ) ai Ai , i 1,2,, n}
例： 对于实数集
R {x x } ，有
Q A B
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1. 集合的基本概念
● 交集：属于集合 A ，同时又属于集合 B 的所有元素组成的集 合。用 A B 表示。
● 并集：由属于 A，或属于 B 的所有元素构成的集合。
记为：
A B
● 补集：若A为集合，由论域U中不属于A的所有元素构成的集合。 称为A在U中的补集。记为：
Ac U A Ac x x A且x U
第2章 模糊数学基础
第1节 第2节 第4节 第5节 第6节 模糊数学的创立及发展 经典集合及其运算 隶属函数的确定 模糊关系与模糊矩阵 模糊逻辑与模糊推理
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第3节 模糊集合及其运算
第1节 模糊数学的创立及发展
一、模糊数学的创立
现代数学建立在集合论的基础上，一切现实的理论系统都可 能纳入集合描述的数学框架。 表达概念的2种方法：概念的内涵和外延（与集合论相联系）： 内涵：集合的定义。外延：组成该集合的所有元素。 经典集合的内涵和外延都是明确的。 普遍存在的模糊现象：日常生活；工作经验。 需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动了 数学家深入研究模糊数学，所以，模糊数学的产生有其科学技 术与数学发展的必然性。 没有明确外延的概念称为模糊概念。
例：自动化系07级本科生＝{自动化系07-1本科生,自动化系07-2本科生， 自动化系07-3本科生,自动化系07-4本科生,自动化系07-5本科生}
* 定义法：利用集合中元素的共性来描述集合，适用于有很多 元素而不能一一列举的集合。
例：A={a|a为自然数且a<5}表示小于5的自然数集合
* 归纳法：通过一种递归形式来描述一个集合。
例：A {ui 1 ui 1 i 1,2. u1 1}
* 通过集合的运算来表示集合。
例：
A B A B
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* 特征函数法
定义：
设A为论域U中的子集，有 A U
1 u A A (u ) 0 u A
u U
U A u
, 函数 A (u)
定义为集合A的特征函数，表示为：
做 aR b
△ 关系图表示法 有限集合的二元关系也可以用关系图来表示。如果 (a, b) R ,即 a和b有关系，则从a到b连一条直线，箭头指向b。
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6. 关系的表示方法
例： A x1 , x2 , x3 , B y1 , y2 A B有关系，且 。设
R ( x1 , y1 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y2 )
例2.2：设 U 为自然数集，A = {1,2,3,4},则 A 特征函数
为：
A (u)
1 u 1,2,3,4 其它 0
A ( x)
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实质：特征函数只取{0,1}两个值
定义：经典关系——对于给定集合 X，Y 直积的一个子集 R，称 X 到 Y 的二元关系，简称为关系。 R X Y 例： 直积 A A 的子集叫作A上的二元关系，简称为A上的关系。
性质：
（1）自反性。对于所有元素a，每一个 a A 时，则有 aRa 关系，即 任何元素a自己和自己有关系 （2）对称性。如果每一个 a, b A ，若 aRb ，则必有 bRa 。 （3）传递性。如果 a, b, c A ，若 aRb ，bRc ，则必有 aRc 。
A B B A, A 且B 且A B时
A B C A B C, A 且B 且C 时
分配律
A B B A
5. 映射和关系
设有集合 X、Y，若存在一对应法则 f，使得对于集合 X 中任意元素x， Y 中有唯一元素 y 与之对应，则 f 为从 X 到 Y 的映射，记为
B=(1,2,3)
A×B＝{(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
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3. 集合的直积（笛卡儿积、叉积）
设有 A、B两个集合，从A中取出一个元素 a,从B中取出一个元素 b，把 它们搭配起来组成一个序偶（a,b），所有元素序偶的全体组成一个新的
集合，这个集合就叫做集合 A 和集合 B 的直积
f : X Y
X: f 的定义域；f(X):值域
f (X ) Y
满射： f ( X ) Y 单射：若 f ( x1 ) f ( x2 ) 则 x1 x2 一一映射：既是单射，又是满射。
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关系是客观世界普遍存在的现象，它描述了事物之间存在的某 种联系。如人与人之间有父子、师生、同事等关系；两个数字之 间有大于、等于、小于等关系；元素与集合之间有属于、不属于 等关系。 二元关系：两个客体之间的关系。 多元关系：三个客体以上的关系。
“4”作分母，则有分数“3/4”，可以简记为(3,4)。可见， 序偶就是一个特殊的集合，但元素之间的顺序是不允许改变
的，即(3,4)≠ (4,3)。而一般集合中(3,4)和(4,3)是等价
的，这又是序偶与通常的集合区别之处。 序偶中的每个元素可以来自同一个集合，也可以来自不同的集合。
例：
A=(0,2)
集合X和Y之间的二元关系是直积 X Y 的一个子集。
R 表示关系“第 一个元素不小于 第二个元素” 。
6. 关系的表示方法
△ 符号表示法 对于直积 AXB 的序偶元素(a,b)，若 (a, b) R ,则记之为a和b有 关系R，记做 aRb ；反之，若 (a, b) R ，则说a和b无关系R，记
1, xi Ryi rij 0, xi R yi (i 1,2 m; j 1,2 n)
注：一般地，当定义在直积 X Y 上的二元关系 R X , Y 包含的元素 个数有限时，可将隶属度函数 R 的值放到一个关系矩阵中。
例： y1 1 1 0 y2 0 1 1
x1 R = x2 x3
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4. 直积的运算性质
A B C A B A C , A B C A B A C
A B C A C B C , A B C A C B C
2. 研究模糊语言学和模糊逻辑。
采用模糊集合理论建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量 化、形式化。 现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，善于处理客观事 物的确定性问题，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模 糊性的能力。为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必 须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。
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例：
X {1, 2, 3}
Y {2, 3, 4}
X，Y的直积： X Y {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)} X与Y的关系：
R X , Y {(2,2), (3,2), (3,3)}
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第2节 经典集合及其运算
1. 集合的基本概念
● 集合：指具有某种属性的、确定的、彼此之间可以区别的事物 的全体。常用大写字母表示：A,B,C,X,Y,Z ● 元素（个体）：组成集合的事物。用小写字母表示：u ● 集合与元素的关系：属于
u U ，不属于 u U
● 论域：被考虑的对象的所有元素的全体。实际就是全集， 用 表示。 U ● 子集：集合 A 的每一个元素都是 B 的元素，则称 A 是 B 的子集。用 A B 表示。 ● 差集：由属于 A，但不属于 B 的所有元素构成的集合。 记为：
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三、模糊数学的发展
20世纪80年代，模糊数学的发展更有加速的趋势。 1984年，成立了国际模糊系统协会。我国在1983年成立 了模糊数学与模糊系统学会。
20世纪90年代，模糊数学研究的一个显著特点是从理 论研究走向了应用，国际学术会议增多，IEEE创办了 《Fuzzy Systems》汇刊，并定期举办国际会议（FuzzyIEEE），这标志着模糊数学的发展进入了一个新阶段。
应用：
★ 1974年 Mamdani 首次实现蒸气机控制的模糊控制； ★ 1980年 Holmblad和Ostergard实现水泥窑模糊控制； ★ 1990年 日本松下将模糊控制用于家电生产。
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二、模糊数学的研究内容
1. 研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数 学的关系。
用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型，并在“模糊集 合”上逐步建立运算和变换规律，开展有关的理论研究，就有可 能构造出描述现实世界大量模糊概念的数学基础，能够对看来相 当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理。
A B
A B {(a, b) a A, b B}
由于(a, b)为一序偶，其顺序不可改变，即
A B B A(若A B)
例： 则
A {a, b} B {c,d , e}
A B {(a, c), (a, d ), (a, e), (b, c), (b, d ), (b, e)} B A {(c, a), (c, b), (d , a), (d , b), (e, a), (e, b)}
● 幂集：以集合A的全体子集为元素构成的集合。P(A)
A a, b
P( A) a},{b}, ,{a, b} {
P( A) 2| A|
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● 空集：不包含任何元素的集合

2. 序偶
将不同的事物按一定顺序排列起来，组成一个整体，用以表达它 们之间的关系，这就叫做“序偶”。