数学“深层教学”的理论与实践(郑毓信)

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教育哲学读书心得

教育哲学读书心得教育哲学读书心得3篇当我们受到启发，对生活有了新的感悟时，往往会写一篇心得体会，这样能够给人努力向前的动力。

那么心得体会该怎么写？想必这让大家都很苦恼吧，下面是小编收集整理的教育哲学读书心得，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

教育哲学读书心得1只看书名《关注音乐实践》,就感觉到这本书值得研读。

因为当前我国的新音乐课程标准特别强调音乐实践,怎么引导学生进行有效的音乐实践正是一线音乐教师必须去研究的探索的。

再看其中的内容,观点鲜明,实例丰富,,论述详尽,论证有力,所列举的音乐实践项目有可操作性,对于音乐教师来说很实用。

因此毫不犹豫地买下并开始翻阅,果然收益良多。

本书的作者埃里奥特博士是一位音乐教育哲学家,在音乐教育专业所任教的课程包括音乐教育基础、音乐认知、研究方法、音乐课程发展和多元文化音乐教育。

在书中他通过把音乐理解为多样化的人类实践之广义研究,特别关注现有的音乐教育理论所遗漏和忽略的问题。

全书分三个部分,第一部分探讨古往今来的哲学与音乐教育的关系。

第二部分在音乐的本质和价值的新思维方式上构建了音乐教育哲学。

第三部分为音乐教学提出了一种新的音乐课程发展观。

因为翻译的关系,书中很多内容需经反复琢磨,才能理解作者所要表达的涵义。

因此看了多次,可以说每一次看,都有不同的感受和收获。

看过后,感觉到自己有些一直比较困惑的问题得到了解答,一些关于音乐教学的想法得到了验证。

1、何为音乐?对于从事音乐教育的教师来说,对音乐本身的理解必定影响其对职业的态度。

一直以来人们对音乐本身都有各种各样的理解,而自己对于什么是音乐也存在着一些困惑。

《关注音乐实践:新音乐教育哲学》中明确地告诉我们:音乐制作和聆听是人类可获取的、独一无二的思维形式,是人类认识中最重要的、独一无二的资源。

这种对音乐的理解本身也是有创新性的。

2、为什么音乐在学校教育中是必不可少的?常常思考,音乐教师存在的价值是什么,音乐在学校教育中是必不可少的吗?在看了这本书后,这种困惑也得到了合理的解释。

小学教育(数学方向)阅读书目推荐

小学教育（数学方向）必读书目推荐一、小学数学教师职业价值：追寻名师，发现价值1.华应龙：《我就是数学》，华东师范大学出版社2009年版。

2.王永红：《低头找幸福》，教育科学出版社2007年版。

【两本书，揭示了数学的趣味性，呈现了数学教师的人生价值。

】二、小学数学教师专业发展：自我设计，规划人生3.吴正宪：《吴正宪给小学数学教师的建议》，华东师范大学出版社2012年版。

4.俞正强：《种子课：一个数学特级教师的思与行》，教育科学出版社2013年版。

【两本书，提出数学教师专业成长的基本问题，明确数学教师成长的障碍、目标、路径与策略。

】三、小学数学教育基本理论：丰富思想，提升境界5.弗赖登塔尔：《作为教育任务的数学》，上海教育出版社1995年版。

6.郑毓信：《小学数学教育的理论与实践：小学数学教学180例》，华东师范大学出版社2017年版。

7.史宁中：《数学基本思想18讲》，北京师范大学出版社2016年版。

8.吴正宪：《小学数学教育基本概念解读》，教育科学出版社2014年版。

9.孔凡哲：《数学学习心理学》，北京大学出版社2012年版。

10.张兴华：《儿童学习心理与小学数学教学》，江苏教育出版社2011年版。

【六本书从数学教育的思想、概念、理论、问题、心理基础等方面系统构建了小学数学教育的理论基础。

】四、小学数学课程与教学：研读标准，理解课程11.吴正宪，张秋爽，李惠玲：《和吴正宪老师一起读数学新课标》，教育科学出版社2013年。

【系统学习《义务教育数学课程标准》，深入理解小学数学课程的基本精神，掌握小学数学教学的基本依据。

】12.叶建云：《可以这样教数学：16个小学数学名师的教学智慧》，华东师范大学出版社2012年版。

【提出小学数学教学的16个基本问题，分别给出了数学名师在这方面的思考与实践的案例，引发我们对于小学数学教学问题的思考。

】五、小学数学经典教学案例：分析课例，积累经验13 钟建林，夏青峰：《小学数学名师名课·（珍珠篇、经典篇、异构篇、成名篇）》，教育科学出版社2011年版。

写在前面的话

写在前面的话绍兴市教育教学研究院向市区数学老师推荐了专业阅读书籍——郑毓信教授的《数学教育：动态与省思》。

该书是郑教授的《数学教育：从理论到实践》的姐妹著作，主要收入了自那时以来新完成的一些论文；除去数学课程改革、建构主义、数学教育的国际比较研究等持续热点以外，本书还以较大篇幅对近年来国际数学教育界新出现的一些研究方向，如数学教育的社会转向，后现代主义与数学教育、语言视角下的数学教育等，进行了综合介绍。

正像有许多老师在读后感中提到：阅读此书有点累。

是的，恐怕这就属于大家不得不读的那类书。

我觉得，阅读此书，可以帮助大家了解数学课程改革、建构主义、数学教育的国际比较研究等热点问题，了解近年来国际数学教育界新出现的一些研究方向，澄清一些数学概念以及数学教学的有关认识，以便在更高的数学教育国际视野下有效实施小学数学教育，同时促进广大小学数学教师的自身专业化成长。

拜读着大家的读后感，足以让我深深感受到老师们阅读此书的热情。

为让大家分享老师们的随感所悟，从600多篇文章中挑出了15篇，这些文章是对某个章节或对某个观点的真实的独特的感悟。

15个作者分别是：柳雪娇（鲁迅小学），俞建栋、金莹、孙镓丽（北海小学），王玲（塔山中心校），金丽艳（蕺山中心校），谢月红（元培小学），何敏儿（聋哑学校），胡一英、宋阿木（群贤小学），胡江卫（东浦镇中心校），章盈、章慧铭（马山镇中心校），蔡凌燕（灵芝镇中心校），钟芳（斗门镇中心校）。

现把它们汇集成一个文档，以飨读者，作为专业阅读读后感的一次交流。

绍兴市教育教学研究院汤春燕原本师范毕业的我从事小学数学教学已有十七年，在日常的的教学中总感觉存在这样那样的困惑，特别是新课程实施以来，深感自己力不从心，觉得作为一名数学教师专业知识的贫乏、不足。

拿到郑教授的著作，看着目录，我首先感兴趣的是第（四）部分第（2、3）节----- 数学的专业化发展，便细细的阅读起来，读了郑教授的文章，深感成为一名新课程下优秀的数学老师需要我不断的努力，到底该如何努力呢？现把一些读书的体会浅谈如下：一、善于学习，不断丰富自己的数学专业知识。

郑毓信教授从三项基本功到数学教师的专业成长(三)

“重在行动改变”的农村学校校长培训模式探索
口广西师范学院教育科学学院冯郭莉口广西师范学院继续教育学院李红
实现教育公平，促进教育均衡发展，全面提高农村教育质量是当前全社会的普遍呼声。因此，制约农村基础教育发展
表”；（３）乡镇学校、教师的服务者；（４）乡镇干部的教育顾问、乡村百姓的咨询专家”。同时，乡镇中心学校必须成为本乡镇教育的“业务指导中心、德育中心、教研中心、‘师训’中心、素质教育示范中心、现代教育技术推广应用中心”这六大中心。这就迫使广大乡镇中心校校长彻底摒弃过去那种“教委办”式的行政命令或仅履行“上传下达”职责的管理方式。亲自到本乡镇所辖的中小学校一线去了解并创造性地解决面临的实际问题，创办有特色的农村学校。我们对１０００多名广西乡镇中心校
ＥｎｃｙｃｌｏｐｅｄｉａｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，ｓｅｃｏｎｄｅｄｉｔｉｏｎ，
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理执行力，使其适应新的角色需要，成为了农村校长培训的重中之重。２．是解决农村中小学校校长培训中理论脱离实际倾向的良好途径农村中小学校校长培训中理论脱离实际是导致农村中小学校校长培训实效性缺失的重要原因。“重在行动改变”的培训模式将农村学校校长培训学习的内容与管理实际存在的问题结合起来，如以乡镇学校校长日常工作中经常发生的事件或遇到的问题为线索，开展基于管理实践的行为设计、行为实践、行为反
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走向数学教育哲学郑毓信

更为广泛的视角
人们是如何认识世界的？正是语言为人们的认识活动提供了必要的概念系统。
数学的主要功能之一：科学的语言。
相关的论述（爱因斯坦）
“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图像在所有这些可能的图像中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”
（3）方法
“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈归的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”（希尔伯特）
模式论视角下的数学方法。
教学涵义
应当重视思维方法的教学。 “这些工作所涉及的……是如何象数
研究工具
研究工具
方法
进一步的思考
数学教育哲学的主要内容：（1）数学观；（2）数学教育观；（3）数学学习观与数学教学观。努力做好“理论的实践性解读”。
更为一般的思考（现实意义）
我们应当如何去看待“数学的生活化”？什么又是情境设置与数学学习之间的关系？
数学教学必定包括去情景化（“去个性化与去时间化”），也即应当超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
[例2] “这个学生缺的究竟是什么？”
任课教师要求学生求解这样一个问题：“52型拖拉机，一天耕地150 亩，问12天耕地多少亩？”
还是有其一定的必然性和合理性？
历史的回顾：改革与反复
60年代的“新数运动”； 70年代的“回到基础”。 80年代的“问题解决”； 90年代以“课程标准”为主要标志

“小”中见“大”，以问题串破解核心问题——对“圆柱表面积和体积综合练习”的设计思考

［摘要］为了满足学生学的需求，教师在设计作业时可先从教学目标和学生的元认知中提炼出核心问题，再依据一定的逻辑关系梳理课堂教学内容及与之有关的知识点，然后预设一系列以核心问题为中心的数学问题，即形成一条由“关注知识”转向“关注能力”、由“给出知识”转向“引起活动”、由“关注教师教”转向“关注学生学”的问题串。

［关键词］问题串；核心问题；作业设计［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2024）02-0054-04笔者在习题讲评、专题练习等教学中，围绕核心概念设计有序变化的问题串，让学生根据题干中的线索提示，经历“观察思考（出现困惑）—实践探究（动手操作）—对比反思（提炼总结）”的数学活动过程，从而以板块化的形式推进课堂练习的教学。

下面以“圆柱表面积和体积综合练习”为例，呈现具体做法（如图1）。

图1此项作业是在教学完圆柱的表面积和体积后，为帮助学生及时将新知从碎片化转化成结构化，形成统一的“知识体”，而在课堂教学中进行的综合提升练习。

考虑到学生已基于实物探究了圆柱的基本特征，基于迁移探究了圆柱表面积的计算方法，基于类比推导了圆柱的体积计算公式，为促进学生思维层级的跃迁，使学生突破知识边界，笔者依据本次练习的核心问题“分析圆柱切割前后图形的联系，如形状、表面积、体积等的变化情况”设计了“问题串教学结构链”（如图2），并按照“用适当的方法加工圆柱，并依据这些方法解决与之相关的表面积和体积问题”的设计思路，整理出如图1所示的4个相互关联的问题，并以“问题联动”的方式构建问题串，帮助学生寻找到方法解决圆柱切割之后，与表面积和体积的有关问题。

“小”中见“大”，以问题串破解核心问题——对“圆柱表面积和体积综合练习”的设计思考江苏南京市樱花小学（210042）林超张爱莉图2教例剖析一、练习设计显整体，于“瞻前顾后”中点燃思维火花教学实践证明，许多复杂的数学题之间其实是相通的，都是从源于教材的某一道例题或习题中衍生变化而来的。

读郑毓信教授的《数学教学的关键》心得

在郑毓信教授的《数学教学的关键》一书中，作者深入探讨了数学教学的核心问题，提出了许多令人深思的观点和理念。

通过阅读和思考，我对这个主题有了一些个人的理解和心得体会。

郑毓信教授在书中指出了数学教学的核心问题，即如何激发学生的数学兴趣和提高他们的数学素养。

在这一点上，我深有同感。

数学是一门需要逻辑思维和创造性思维的学科，而这种思维方式并不是天生就具备的，需要通过教学来培养和加强。

激发学生的兴趣和提高他们的数学素养是数学教学中最基本、最重要的任务。

郑毓信教授提出了许多有效的数学教学方法和策略，例如启发式教学、问题解决式教学等。

这些方法在实践中都被证明是非常有效的，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

这也启发了我对数学教学方式的反思和探索，让我意识到数学教学可以是如此丰富多彩，而不仅仅局限于传统的板书讲解。

另外，在书中，郑毓信教授还强调了数学教学中的跨学科性，即数学与其他学科的交叉应用和融合，这一点也给我留下了深刻的印象。

数学是一门智力活动，它和其他学科并不是孤立的，而是相互联系、相互渗透的。

数学教学应该注重培养学生的跨学科思维能力，让他们能够将数学知识应用到实际问题中，更好地理解和把握数学的本质。

郑毓信教授的《数学教学的关键》让我对数学教学有了更深入的思考和理解。

通过阅读和思考，我认识到数学教学的核心是激发学生的兴趣和提高他们的数学素养，同时也意识到数学教学是一个丰富多彩的过程，需要不断地探索和实践。

希望在未来的数学教学中，我能够充分运用和落实书中所提出的理念和方法，为学生的数学学习和成长提供更好的帮助。

在数学教学的过程中，激发学生的兴趣是至关重要的。

学生对数学的兴趣往往决定了他们学习的动力和效果。

然而，激发学生的兴趣并不是一件容易的事情，尤其是对于那些对数学学习抱有抵触情绪的学生。

教师需要不断寻找新的方法和途径，以激发学生对数学的兴趣。

在郑毓信教授的书中，启发式教学被提出为一种有效的教学方法。

这种教学方法强调通过引发学生自主探索和发现的方式来引发他们的兴趣。

高观点指导下的中学数学教学

2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 2019(7-8)〜2020(5).-0.郑毓信.高观点指导下的小学数学教学(14)［M..福建教育,2020(11)〜2021(1-3).-11.郑毓信.初中数学教学之忧思与建言［M..数学教学,2020(12).-12.弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M..上海:上海教育出版社,1995：45.-13.唐瑞芬.弗赖登塔尔在中国-..数学教学,2003(5),。

向郑毓信老师致敬——读《小学数学教育的理论与实践》有感

系。第二，承认学生间必然存在儿却用她自己的方法算出了一捕鱼的能力，后来，它彻底绝望
差异．并主要着眼于这一基础共付出６００元，还会找回３元。了，坚信自己是一条笨鱼。这种
有一次．接到郑老师打来本书。郑老师是研究哲学的。送作者提出的 “教师心中一定要
的电话，他告诉我，他看了我写我书的方式也是 “很哲学 ”的。有学生 ”这一观点感触颇深。
Ｉ．疑ｉ镱ｉ
这些年，国家的教育事业电话。等我忙完手头的活儿，打华师范学校附属小学的两篇摘
得到极大发展．小学数学的课电话联系他时。他很郑重地告录于下
程改革也是如火如荼．许多大诉我：你写的书．语言不规范。
授，似乎从不介绍新理念、新办上，郑老师送给我一本书．是他是有趣的：低年级的练习都很
法，他似乎始终是一位旁观者．写的新书《小学数学教育的理简单，孩子们只要多练就能掌
他之于小学数学．有时像一只论与实践》。我翻阅了这本书握和提高。这些想法经常体现
索者，为遇见的美景而欢呼。这等．对于这些词．我是随便抓来授的《小学数学教育的理论与

以“问”促“思”，引领学生深度学习

［摘要］深度学习注重深层次的认知与理解，是一种积极主动、富有理解力和迁移性的学习状态和学习过程。

问题是思维的核心，有了问题，思维才有方向。

在教学中，教师要适时、有效地通过“问题”引导学生从知识层面走向思维深处，真正实现深度学习。

［关键词］深度学习；问题；思考；数学思想［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2023）35-0094-03郑毓信教授在对深度学习的研究中指出，“数学教学必须超越具体知识和技能，深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升”。

笔者在研究中发现，数学认知活动本质上是对未知领域的探索与发现的过程，通过不断探究与发现，完善对数学客体的认知。

目前，关于深度学习的研究较多，产生的理论研究成果也能很好地指导教学实践。

那么，什么是深度学习呢？学术界普遍认为，深度学习是指从知识层面逐步深入到思维深处，它围绕促进学生的技能发展、思维发展而展开。

深度学习整合教学资源，同时从学生的成长需求出发，培养学生的乐学、好学品质，并促使学生形成全面成长、全面学习的优秀素养，以此保障教学的实效性和教育性。

深度学习不仅能有效发展学生的数学思维，还能在一定程度上提升学生的数学核心素养。

研究表明，为提高深度学习的效果，教师在教学过程中可通过问题引领的方式，达到以“问”促“思”的目的，从而有效引导学生从多方面把握问题本质，促进学生实现深度学习。

一、“问”深理解，抓住数学本质人们熟知的“伯牙学琴”这一典故，讲述了伯牙跟随成连先生学古琴，经过学习，伯牙掌握了各种演奏技巧，但是成连发现他演奏时常常理解不深，只是单纯地把音符演奏出来而已，少了点神韵，不能引起听众的共鸣。

于是，成连将伯牙送到一个无人岛上，让他倾听海浪的汹涌，观察山林的深邃。

经过这些体验，伯牙不仅能感情真切地演奏，还一气呵成创作了《高山流水》。

这个故事告诉我们，如果无法深入理解知识的本质，就很难达到“炉火纯青”的运用水平。

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感

读《怎样解题——数学思维的新方法》有感第一篇：读《怎样解题——数学思维的新方法》有感读《怎样解题——数学思维的新方法》有感池月秋作者简介G·波利亚（GeorgePolya,1887—1985），著名美国数学家和数学教育家。

生于匈牙利布达佩斯。

1912年获布达佩斯大学博士学位。

1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。

1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。

1976年当选美国国家科学院院士。

还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。

其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。

1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。

长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。

内容简介本书出自一位著名数学家G·波利亚的手笔，虽然它讨论的是数学中发现和发明的方法和规律，但是对在其他任何领域中怎样进行正确思维都有明显的指导作用。

本书围绕“探索法”这一主题，采用明晰动人的散文笔法，阐述了求得一个证明或解出一个未知数的数学方法怎样可以有助于解决任何“推理”性问题——从建造一座桥到猜出一个字谜。

一代又一代的读者尝到了本书的甜头，他们在本书的指导下，学会了怎样摒弃不相干的东西，直捣问题的心脏。

精彩分享怎样解题表第一步：弄清问题。

1.未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？2.画张图，并引入适当的符号。

3.把条件的各部分分开，并把它们写下来。

第二步：拟订计划1.考虑以前是否见过它？是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道一个可能用得上的定理？2.考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

《数学深度教学的理论与实践》简介

学的学生，甚至有近40%没有办法理解题意，不知道思考的切入点在哪里。

从中可以看出，经历A版教学的学生，记住了知识点，但在数学思考和问题解决上是缺失的。

动词，并通过设问的方式进行反思一好的学习会酝酿出好的情感态度，好的情感态度又会促进学习。

教师要善于在教学过程中关注学生情感态度的状况和发生的变化.如经历A5.它们说徐对吗?版教学的学生明显在迎合教师的教学设计，参与的状态是被动的:此时，就应该反思教学上的问图4需要警惕的是，类似第6题这样的高正确率是带有欺骗性的，因为“正确”可能是机械套用的结果。

如果在进行第一次教学时，教师能够有过程评价的意识，就有可能洞悉到教学展开的同时，学习并没有真实发生，就有可能及时调整教学。

要做到这一点，需要懂得捕捉目标中描述过程的题。

实际上，知识技能、数学思考、问题解决和情感态度相互交织在学习过程中。

除了我们习惯的书面测验、口头测验等评价方式.对过程的评价尤为重要，需要教师重视起来.但评价也不能一味只是教师评价学生，教师亦可借助学生的学习状态，对自己的教学进行客观评价，这也能帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学过程。

（作者单位：广西桂林市秀峰区教育局教研室）[WY]♦♦.-------------苏霍姆林斯基曾说过，如果你想让教师的劳动能够给教师带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的义务，那你就应当引导每一位教师走上从事研究这条幸福的道路上来。

教育研究可以促进教师的专业成长与发展，增强教师职业的乐趣和价值感、尊严感。

南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信对数学教育、教学进行了深入的思考与研究，不仅发表了400多篇文章，出版了30多部著作，也为一线数学教师作了几百场的讲演和报告。

他十分关注相关研究如何能对实际教学工作发挥真正的促进作用，并积极提倡“深度教学”“深度学习”。

在《数学深度教学的理论与实践》一书中，郑教授从“聚焦中国数学教育”“走向，深度教学,”“数学教师的专业成长”三大板块，深刻剖析了究竟什么是中国教育最有价值的方面;什么是中国数学教师最重要的特色；什么是“深度教学”，应当如何做好深度教学;什么是数学教师的必备素养与基本能力；什么又可被看成优秀数学教师的主要标准;我们应如何实现专业成长,什么可被看成数学教师专业成长的基本途径和重要环节；什么是你心目中飽“理想课堂”和“数学学习共同体”……郑教授认为：“如果你的教学仅仅停留于知识和技能的传授，就只能说你是一个，教书匠，；如果你的教学能够很好体现数学的思维，就可以说你是一好书推个'智者'，因为，你能给人一定的智慧；如果你的教学能给学生无形的文化熏陶，那么，即使你是一个小学教师，即使你身处偏僻的山区或边远地区，你也是一个真正的’大师'，你的人生也将因此散发出真正的光辉！”囚43•数学卫、独幻。

指向深度学习的小学数学结构化教学

教学“深度学习”“结构化教学”一直是小学数学教学研究的热点话题。

所谓结构化教学，是指教师从知识体系、系统结构的角度，抓住各知识要素之间、不同知识之间的内在联系，“以整体关联为抓手，以动态建构为核心，以发展思维为导向”，引导学生基于已有认知经验来理解新知，形成新的动态的知识结构的教学方式。

结构化教学能帮助学生的学习从零散走向整体、从浅层走向深度，实现学习的整体化、系统化和结构化。

这样的教学，在一定程度上与“深度学习”理念是紧密关联的。

郑毓信教授在《数学深度教学的理论与实践》一书中指出：“数学深度学习”最基本的一个含义，即对于数学学习“浅层化现象”的直接反对；知识的“浅薄化、表面化、碎片化”是造成“浅度学习”的一个重要原因；深度学习（教学）必须十分重视“联系的观点”“结构性认识”。

由此可见，通过实施结构化教学、引导意义建构来促进学生深度学习，就成为一种积极的教学探索。

一、预设结构化的教学目标,触发深度思考教学目标是课堂教学的出发点和归宿。

我们习惯上从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观等维度来确立一节课的教学目标。

毫无疑问，这样的教学目标是有层次的，也是结构化的。

但是，就一节课具体内容的学习而言，知识系统的结构化和学生认知发展的结构化也是非常重要的教学目标。

也就是说，我们在目标设置时应该有明确的指向“结构化教学（学习）”的内容表述。

例如，在教学苏教版六年级下册总复习“空间与图形”中的“平面图形面积整理与复习”一节课时，我设置了如下3个教学目标：①回忆整理已学平面图形的特征和面积计算公式，并能熟练地应用公式进行计算；②梳理平面图形面积公式的推导过程及内在联系，绘制知识网络图；③回顾反思，加深对知识梳理和系统建构学习方法的感受。

上述3个目标，由点到面，逐层递进，由外而内，逐步深入，具有很强的结构性。

更为重要的是，每一点都具有“结构化教学”的鲜明指向。

“目标①”引导学生通过回忆整理平面图形的面积特征、计算公式等方式提取原有的知识储备，为本节课结构化教学奠定基础。

数学深度教学的三个着力点

数学深度教学的三个着力点顾!健!#任建波"$!#苏州大学附属吴江学校#"!$"""%"#淮阴师范学院#""&&''&摘!要'深度学习#在行为进程上#应呈现为研究知识关系与结构的理解性学习%在目标指向上#应表现为感悟数学思想和培育数学精神的层进式学习%在评价方式上#应展现为评价目标多元与评价任务多样的融合性评价*基于此#小学数学深度教学需要做到学习资源!结构化"+学习路径!思想化"+学习评价!增值化"*关键词'小学数学%深度教学%结构化%思想化%增值化!!!学"与!教"是相伴而行的#而帮助学生学会深度学习是深度教学的一个重要目标#所以#深度教学的研究与实践离不开对深度学习理论的剖析*深度学习#在行为进程上#应呈现为研究知识关系与结构的理解性学习*这就要求教师为学生提供结构化资源#创造主动观察+动手操作的机会#提供分析+思考和质疑的问题#以期实现深度卷入+沉浸式学习#此即学习资源!结构化"*在目标指向上#应表现为感悟数学思想和培育数学精神的层进式学习*这就需要教师呈现数学概念产生的本源#挖掘其背后的思想#基于数学思想#寻找课堂教学中的突破点和生长点#以期优化教学路径#此即学习路径!思想化"*在评价方式上#应展现为评价目标多元与评价任务多样的融合性评价*这就要求教师准确定位评价目标#精心设置评价任务#精准反馈学生的学习进程#以期实现教学效益的最优化#此即学习评价!增值化"*一+学习资源!结构化"$一&串联呈现同一领域内的数学内容或多或少存在关联#教师可以通过前置性学习和课前调查#将学生已有知识经验和需要学习的新知识串联呈现#以把握学生学习的起点*据此#确定教学的顺序+比较学习前后的变化#对学生可能出错的情况做到心中有数*进而#在教学设计中关注哪些教学环节需要花费较多时间#哪些知识经验需要进一步扩展#哪些知识经验还需要进一步建构*例如#教学(小数乘整数)一课#为了解学生对这一内容的已有经验#笔者设计了这样一个问题'你会计算!#,N &吗/目的是让学生通过乘法的意义#将加法计算+口算+竖式计算经验激活+串联起来*课前#对班级的+)名学生做了调查*学生虽然还没有学习!小数乘整数"#计算结果却是!''O 正确#具体情况见表!*表'!!小数乘整数"课前调查具体情况计算过程人数比例!#,P !#,P !#,&,#"$O6666"#$!#,!#,!#,+#)!"#')O口算!#,N &!&"-#')O!#,N &+#)!'"'#)&O!#,N&+#)"!+&#-$O!!从呈现的计算过程来看#学生有的利用整数+小数加减的计算方法将数位对齐迁移到小数乘法#有的借助整数乘法计算结果进行推理#有的口算#有的根据乘法的意义利用加法计算*学生会计算了#接下去该如何教学/于是#课堂教学的结构就变成了'理解不同方法的表征形态及相同之处#深度建构知识#实现理法相融*$二&并联呈现贴近生活的真实情境#有利于唤醒学生的经验#但这样的经验可能是非正式的经验*教学中#可以将结构相同的数学知识置于多角度的不同情境之中#通过并联的方式将已有经验与新经验比较#在!变化"中觅得!不变"#即抽象出更为一般的方法+策略应用到新的情境中*例如#苏教版小学数学三年级下册(乘数末尾有'的乘法)一课#练习中有一道题$如图!所示&*教学中#可以引导学生在计算后比较每组两题的特点#体会&个数相乘可以从左往右依次计算#也可以把后面两个数相乘#再与第一个数相乘*+"N +N $&"N !$N "!"N $N )+"N "'&"N &'!"N +'图'如果教学仅止于此#学生获得的经验有浮于浅表之嫌*以第二组为例#教学中可以增设两个探究问题*第一个问题'根据发现#还可以写成哪&个数相乘的积#使结果仍然相同/得出还可以写成!&"N $N ,"和!&"N &N !'"*第二个问题'可以写成+个数相乘的积#使结果仍然相同吗/得出可以写成!&"N&N "N $"*学生在乘数个数的变化中#逐步抽象出乘法结合律的模型*$三&立体呈现数学活动经验的发展是连续的#过去经验是当下经验生发的基础#同时又指向未来经验的改造*理想状态下#根据教材螺旋上升式的设计#学生学习所获取的经验也呈现螺旋上升的样态*而事实并非如此*例如#!积的变化规律"的学习#因苏教版小学数学教材的编排跨度较大#留白较多#需要教师提供理解的支架#立体呈现学习资源进行补白*三年级下册在!两位数乘两位数"的习题$见图"&中进行渗透#五年级上册从!小数乘法"例-的竖式计算过程$见图&&开始运用#因此#四年级下册的例+$见图+&承上启下#显得尤为重要#有必要进行一定的延展*图()*教学中可以设计一组习题#彼此独立又相互关联#最后结构化展现$如图$所示&#便于学生从横+纵两个维度提炼其中的关系'纵向看#一个乘数不变#另一个乘数乘或除$'除外&几#积也乘或除以几%横向看#一个乘数乘或除$'除外&几#另一个乘数除$'除外&或乘几#积不变*这样#积的变化两种情况$变+不变&得以抽象#学生获取的经验有了立体感*图"二+学习路径!思想化"数学思想是学生发展数学核心素养的重要组成部分*教师可以从小学一年级开始#长期在教学中渗透数学思想*为了让数学思想的教学目标落到实处#可以挖掘教材的留白处#重现知识的发生处#让数学思想闪现理性的光芒*$一&抽象概括#凸显概念形成过程数学抽象是对数量关系和空间形式进行加工和提炼#以揭示其本质属性*在数学概念教学中#应尽可能多地让学生亲历概念抽象与概括的思维过程#在体验与领悟中将经验与概念+直觉与逻辑整体融通#并形成抽象思维能力*例如#!平行与垂直"概念教学的常规路径是基于知识逻辑起点设计的'先理解!同一平面内"#再建构平行概念#最后形成垂直概念*反观教学过程#这是追求对概念要素的理解*显然#本课教学不应追求概念分化#而应在!求异"中实现!求联"#抽象出三个概念之间的关系*基于这样的认识#笔者在教学中引入魔方#让学生通过操作#判断转动前和第!次转动后两条直线的位置关系*学生在观察+操作的基础上#轻松概括出!同一平面内"这一难点*接着#通过第"次转动#直观感受同一平面内两条直线的位置关系除了平行还有相交#为概括垂直概念做铺垫*操作过程如下页图,所示*图#而在本课的练习巩固阶段#笔者引导学生将魔方抽象成一个正方体'如图-#寻找与线段相互平行+垂直的线段#抽象构造一般意义上的!同一平面"*如此#帮助学生深入理解标准图式模型#提升空间想象能力*图$$二&数形结合#彰显规律直观简洁数形结合可以使抽象的概念直观化+繁难的问题简洁化*教学中#可以利用!形"作为直观的工具实现!以形助数"#帮助学生在记住操作性程序的基础上达到!熟而生慧"#协调抽象思维和形象思维的发展*例如#学习!&的倍数的特征"#学生凭直觉很难理解为什么有这样的规律*为了让学生更好地探索规律#教学中#组织学生以数字!!"&"为例#通过摆放小方块!切分"计数单位#直观感受每个计数单位#分一次就多!个一#再抽象概括出每个数位上是几#就多几个一$过程如图)所示&*学生在这样边操作+边反思的过程中#能直观地理解!各个数位上的和是&的倍数"*其实#用!位置值"的切分方法同样能解释!"和$的倍数的特征"*而这样的理解体现了倍数特征内在的一致性#从而在知识的勾连中实现深度教学*$三&类比推理#尽显知识整体结构同一领域的数学内容可能蕴含不同的数学思想#而类比推理可以根据这些内容某方面的相似性#捕获知识具有的相同属性#从而引发知识之间的迁移#使!闻一知十"成为可能*例如#对!数"的相关知识#可以从系统性+结构性角度进行类比教学*学习!分数的意义"时#学生有了三年级的学习基础#对!率"的意义理解较为容易#而对!量"的意义感悟不深#两种意义的关系理解不够透彻*对此#可在这部分内容之前增设一个课时内容...理解!分数是一个数"*目的是通过类图%比萃取出自然数+小数+分数的本质都是单位个数的累积#感受分数与自然数+小数的认识是一脉相承的%同时#为理解分数的大小比较与小数+整数的大小比较以及计算意义之间的一致性奠定基础#在归纳+抽象+类比中抓住!不变"#帮助学生降低记忆负荷#提升迁移解决问题的能力*三+学习评价!增值化"教学评价设计是一个整体#其目标+内容+形式+方法均在考虑之中*深度教学的评价#应基于学生的学习证据#作出及时的反馈#促进深度学习#实现!教.学.评"的整体一致性*这就需要考虑以下问题'如何制订深度教学的评价目标/如何设计评价任务/如何在评价中优化策略#实现教学增值/$一&抓住数学本质#制订评价目标深度教学评价目标是基于小学数学知识的本质和发展动态制订的#以判断学生通过主动参与和自主探究能否达成基础知识的理解和基本技能的掌握为准绳#以促进学生进一步学习和发展核心素养为要务*例如#!面积单位"的教学#从小学阶段!测量"教学的知识结构体系出发#聚焦度量本质#沟通!长+宽"与!面积"的联系#关联图形度量的学习方法#结合*121分类理论#笔者制订了如表"所示的评价目标*$二&外显思维过程#设计评价任务不同的评价目标需要匹配不同的评价任务*学生通过语言+文字+符号等不同方式完成不同的任务#展现学习的证据#将内隐目标外显化*当学生将核心知识和技能应用于各种情境的挑战任务时#就显示了他们的理解和掌握*教师通过观察和分析学生完成任务的过程和结果#评价学生对知识内容的理解和掌握程度#同时#实现对评价目标的监控*表(!!面积单位"教学评价目标层次评价目标内容描述水平!形成面积单位的表象知道!?7"+!R7"+!7"的含义水平"不同情境下选择合适的单位通过量一量和估一估#为不同物体面积选择单位*如黑板的面积是+$!!&水平&理解面积单位的本质通过转化测量不同图形的面积#理解面的大小是面积单位的累积水平+体会!测量"教学知识内容和学习方法的内在关联性知道测量长度+计算面积可以通过!形成表象'丰富表象'实际运用"的方法进行研究#为后续学习角的度量+体积单位做铺垫!!例如#(平年和闰年)一课的评价任务设计如下'$!&说一说'什么是平年和闰年/ $"&算一算'举例说明#怎样判断某一年份是平年还是闰年/$&&想一想'公历年份数除以+没有余数的一般是闰年#有没有更简便的方法进行计算/$+&查一查'为什么公历年份是整百数时#必须除以+''没有余数才是闰年/四项评价任务的开放性和复杂性逐步提升*第$!&项属于陈述性知识的浅层理解%第$"&项是程序性知识的理解%第$&&项要结合数的位置值理解#探究出判断公历年份是否为闰年#可以用末两位除以+%第$+&项需要通过查阅资料#结合天文知识#实现深度理解* $三&拉近始末距离#实现评价增值(义务教育数学课程标准$"'""年版&)明确提出'评价结果的呈现应更多地关注学生图&的进步#关注学生已有的学业水平与提升空间#为后续的教学提供参考*这样的评价#可以理解为基于学生的!学习起点"与!学习结果"之差#将学习过程融合到结果之中#实现评价的增值*例如#(认识公顷)一课#基于相邻长度+面积单位的进率这一!学习起点"#学生很难理解!学习结果"...!公顷S!''''平方米*为化解这一难点#笔者设计了这样一个问题'!为什么之前所了解的相邻面积单位的进率都是!''#学习公顷时就不适用了/"通过这一问题评价学生对面积单位的理解程度#实际指向三种水平'水平!#熟知平方厘米+平方分米+平方米这三种常见的面积单位及进率%水平"#对!公顷等于多少平方米的推导过程有清晰的认知%水平&#能判断公顷和平方米不是相邻的两个面积单位#还应有!平方十米"*水平!+水平"的评价目标指向概念理解#体现了学生的理解和掌握%水平&的评价目标涵盖理解和掌握+感悟和运用#甚至是内化和创生*基于以上认识#通过问题设疑#在平方米和平方百米之间增加!平方十米"$如图%所示&#由平方十米过渡到平方百米$也就是公顷&#通过面积单位系统的构建#呈现长度单位与面积单位的关系#回归到相邻长度单位进率为!'+相邻面积单位进率是!''的经验性理解#促进学生对面积单位系统的深度认识#拉近!学习起点"与!学习结果"之间的距离*这样#通过教学内容的补充#实现学业评价的增值*参考文献',!-郑毓信#数学深度教学的理论与实践,M-#南京'江苏凤凰教育出版社#"'"'# ,"-郭元祥#论学科育人的逻辑起点+内在条件与实践诉求,(-#教育研究#"'"'$+&#,&-中华人民共和国教育部#义务教育数学课程标准$"'""年版&,*-#北京'北京师范大学出版社#"'""#,+-吴宏#小学数学深度教学研究,G-#武汉'华中师范大学#"'!)#,$-王钦敏#余明芳#数学思维素养深度涵育'教学的进路与方略,(-#数学教育学报#"'"'$,&#,,-李如密#实践智慧的评价和评价实践的智慧...教师教学评价重心的迁升及智慧的追求,(-#江苏教育#"'"!$%!&#。

试论初中数学深度教学之“深”

试论初中数学深度教学之“深”作者：何飞波来源：《成才之路》2022年第01期摘要：深度教学是一种全新的教学方法，其立足于学生长远发展，要求教师运用科学有效的教学方法，带领学生探索知识深处。

在实际教学过程中，教师要更新教学理念、创新教学方法，让学生从数学学习中获得快乐。

教师要深入提问、反复追问、促成反思，使学生的数学思维走向深层次。

教师要深入浅出、由浅入深地引导学生探索数学知识的奥秘。

文章从教学目标、教学导向、教学策略、教学原则等方面对初中数学深度教学的“深”进行分析和论述。

关键词：初中数学;深度教学;核心素养;教学原则中图分类号： G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2022）01-0082-03美国教育学家布鲁纳曾说过：“学习存在表层和深层两个过程，掌握知识经验的过程是学习的表层，而通过掌握知识，形成一定的思考方式、学习态度，增强解决问题的能力和自信才是学习的深层过程。

真正的学习应包括获取知识、发展能力和形成态度。

”由此可见，引导学生逐渐由表层学习向深层学习转化是有效学习的最终目的。

促进学生深度学习需要教师有效开展深度教学。

这里的深度教学不是无限增加知识难度与数量，更不是题海战术、填鸭战术，而是要求教师在夯实学生双基的基础上，走进学生情感、思维深处，构建多维一体化教学目标，培养学生学科素养，渗透课程思政理念的一种深层次教学。

一、教学目标：深层育人深度教學首先指向教学目标的全面性、多层次性。

新课改特别强调知识与技能、过程与方法、情感态度价值观及课程思政等多维目标的融会贯通、有机统一。

这就要求，一方面，教师要深入研究教材与教学大纲，细化每一课时的各项教学目标，注意多维目标的完整性、系统性、一体化，不能挂一漏万、随意割裂。

另一方面，教师还要深刻领会教材的内涵和外延，找准教学内容与课程思政的最佳结合点，运用有效的教学方法、教学策略、教学技巧，对学生进行数学思想、政治觉悟、价值塑造等方面的渗透，达到“随风潜入夜，润物细无声”的课程思政目的。

在比较异同中建构深度学习——“使两个数量同样多的实际问题”教学实践与思考

课程篇在比较异同中建构深度学习———“使两个数量同样多的实际问题”教学实践与思考王慧敏（南京市新林小学，江苏南京）【案例背景】“使两个数量同样多的实际问题”是苏教版二年级上册第一单元的教学内容。

本节课意在教授学生运用多种方式求两个数量同样多的方法，基于前期学生已经掌握了求一个数比另一个数多（少）几的实际问题的内容，在学习本节课之后，相信会为学生后期学习“求比一个数多（少）几的数是多少”的实际问题打下良好的基础。

本节课的教学紧紧围绕着“相差数”这一关键词展开。

课上，我更加关注学生体会知识之间的内在联系，让学生有关联地学，在思辨中明理，在比较中求同，从而渐渐地将数学学习的本质问题融会贯通，让深度学习的理念随之形成。

通过比较，学生认识到各种方法之间是有所联系的，只有将关键点“两串彩珠之间的差值是4”牢牢抓住，那么问题才会迎刃而解。

通过动手操作，把数与形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变简单，使抽象的问题变直观。

现结合我的执教情况，谈一些思考。

【案例描述】“使两个数量同样多的实际问题”的教学目标是：引导学生在实际操作中把两个数量调整为同样多这一问题解决，并让他们对“求相差数”这一种题型加深印象。

学生在解题过程中不再拘泥于一种方法，而是通过多种方法探索到两个数量相差关系问题的本质，更能激发学生的探索兴趣，从而全身心地投入学习。

本节课的教学难点是理解解决这类问题的关键是抓住相差数是多少。

下面就从教学目标出发，开展以下的教学活动：（一）教学流程（二）片段一：创设情境教师谈话：同学们，一年一度的拔河比赛又要来了，你们想为参赛的同学加油喝彩吗？看着图片，你们发现了什么问题吗？学生回答：比赛不公平。

追问：哪里不公平呢？学生指出：两边人数不同，比赛就不公平。

（板书：相差数）提问：那么怎样才能公平呢？总结：只有将两队参赛队员人数变得相同，比赛才算公平。

（三）片段二：初步感知“相差数”（1）教师谈话：我们的小朋友不仅爱运动，还喜欢串彩珠呢。

教师的专业成长--学习《我的教育人生》有感

教师的专业成长-学习《我的教育人生》有感郑毓信004摘要：张兴华老师的新著《我的教育人生》中收入的很多文章，尽管是在20世纪80年代写成的，却直接关系到我们应当如何更好地把握数学教育的基本目标这样一个特别重要的问题，而且,即使在当前，相关结论也仍然具有重要的指导意义。

关键词:张兴华;数学教育;专业成长得知著名特级教师张兴华出了一部新著《我的教育人生》，赶紧找来学习。

因为，自己心中一直有一个想法，就是弄清张兴华老师如何能够带出如此众多的优秀徒弟，如华应龙、张齐华、蔡宏圣、贲友林、许卫兵、施银燕、徐斌、张冬梅……尽管现时还不能说已有了很好的了解，但我通过阅读《我的教育人生》，特别是其下篇,在这方面确实有了不少收获。

比如，张兴华老师总结出的关于教师专业成长的“十字诀*热爱、学习、实践、思索、总结。

再比如，他对师父应当如何做好引导工作的自我总结一一引导之一:发现、激励;引导之二:读书、学习；引导之三:认真地实践（反思性实践）；引导之四:构建专业发展共同体%①当然，上面这些并非全新的经验，有很多更是已经成为人们的共识％比如,笔者的相关总结:小学数学教师专业成长的“中国道路”可以被归结为“从经验中学习，在群体中成长*特别是，中国小学教师不仅高度重视自身工作的总结和反思，也特别重视向其他人、向他们的经验学习％我们更应清楚地看到中国特有的教研体系，包括“师徒制”和现行的“名师工作室”在这一方面发挥的重①张兴华•我的教育人生［M/南京：江苏凤凰教育出版社，2020：265-273,305-306o2021年4月教育研究与评论讲堂要作用。

笔者在这方面也有一个具体想法，即我们应当更好地认识与处理理论学习与教学实践之间的关系,切实做好“理论的实践性解读”与“教学实践的理论性反思”，包括努力成为“作为研究者的教师”。

①那么，张兴华老师在这方面究竟有什么独到之处呢？对此也许可以归结为一个字：“带*即他很好地做到了带着徒弟一起学，一起做,一起想,—起总结和反思，从而创建出了一个真正的“专业发展共同体”，并使学生真切地感受到了他独特的人格魅力。

小学数学教师读书笔记《数学思维与小学数学》

小学生学习数学，是在基本知识的掌握过程中，不断形成数学能力、数学素养，获取多角度思考和看待问题的方法，从而“数学的”思考和解决问题。基本知识的掌握是途径，多角度的思维方式的获取才是最终目的。法国教育家第斯多惠说：“一个不好的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。”学生学习数学是一种活动，一种经历，一个过程，活动和过程是不能告诉的，只能参与和体验。因此，教师要改变以书本知识、教学为中心，以教师传递、学生接受的学习方式，把学习的主动权教给学生使学生在操作体验中获得对知识的真实感受，这是学生形成正确认识，并转化为能力的原动力。正如华盛顿儿童博物馆墙上醒目的格言：“做过的，浃髓沦肌。”
平日的教学中，面对教师的提问，若是简单的问题，回应的学生比较多，一旦遇上思考性强、有深度的问题就只有个别同学试探性地举起自己的手，多数同学选择沉默，更有甚者，有时教室里鸦雀无声,真的,学生连大气都不敢出.........这是我教四年级上课提问时的情景，每到这时，我的心就开始颤动，课间时还满脸兴奋的孩子怎么到课堂提问时就这幅摸样，我开始寻找答案，原因是他们缺乏思考，日复一日，年复一年，他们的思考能力几乎丧失了。学生的思考来源于何处?答案是老师的启迪和培养。我们做教师的往往都把主要力量用到让学生掌握现成的东西，死记硬背，久而久之，学生从不用思考，慢慢发展到不会思考，最后遇到问题也就不愿意思考了，这就会发生以上的情景。
从而认识到数学知识在现实生活中的作用；同时，教师也应给学生提供更多的机会，让他们自己从日常生活中的具体事例中进行分类，用所学的数学知识去解决现实生活中的许多实际问题。打通数学与生活的联系。
美国小学数学教师"教什么最重要"，他们认为重要的是教会学生懂得感谢，培养学生的公民意识，让学生产生学习的愿望，让学生学会问为什么，让学生懂数学。他们认为教育的三大目标是坚持学术追求、维护社会公正、尊重多元文化。什么是他们所说的多元文化呢?他们举了例子：对同一个问题，老人和孩子、黑人和白人、正常人和残疾人的理解可能是完全不同的，任何人都不能以自己的思想为标准去评价别人。

深度教研之内容的整体解读

深度教研之内容的整体解读作者：林志辉朱昭伟来源：《小学教学参考(数学)》2023年第12期［摘要］深度教研是為了引领深度教学并最终促进学生深度学习而进行的教研活动。

内容的整体解读是深度教研的一个重要维度，它以单元整体视角为基础，通过“上位知识”“标准要求”“教材呈现”自上而下结构化地对教学内容进行深度解读，旨在打开单元视界，寻找其中的内在联系，明确教学的大方向，解决教学和学习的路径问题，为深度教研后续维度的研究奠基。

文章以“长方形与正方形的认识”为例，阐述了在深度教研下对内容的整体解读，这能帮助教师明确教学的目标，对教师的教学能力和专业成长具有重要意义。

［关键词］深度教研；内容的整体解读；长方形和正方形的认识［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2023）35-0004-04教育部发布的《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育数学课程标准（2022年版）》，对深度学习和深度教学提出了新的要求。

深度学习、深度教学是相对浅层学习、浅层教学而言的，对学校的教育教学来说，唯有教师的深度教学引领，才能实现学生的深度学习。

而深度教研正是为了引领深度教学并最终促成学生的深度学习而进行的教研活动。

笔者团队认为，在单元整体视角的基础上，深度教研可以开展五个维度的比较研究——内容的整体解读、学情的整体分析、路径的整体设计、课堂的整体实施和评价的整体反馈，从而引领教师深度教学，促成学生深度学习。

在单元整体视角下，一个知识点、一个课例并不是独立存在的，它们在知识体系中有上位体现，在课程标准中有总体要求，在教材中有系列呈现。

内容的整体解读作为深度教研的一个重要维度，主要基于单元整体视角，通过“上位知识”“标准要求”“教材呈现”自上而下结构化地对教学内容进行深度解读（如图1），旨在打开单元视界，帮助教师寻找其中的内在联系，收获教学启示和思考，明确教学的大方向，把握教学的角度、尺度和坡度等，解决教学和学习的路径问题。