第3章时域瞬态响应分析
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Chap3-时域瞬态响应分析54页
8
dxo(t) 1 dt t0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% ~98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
t
e T 1xo(t)
1t T
ln1xo(t)
e(t)xi(t)xo(t)T(1etT) e()T
11
5、三种响应的比较
系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。
注意到： 对一阶系统：
( t ) d 1 ( t )
dt
1(t ) d t
dt
xo
稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时 间趋于无穷大时的输出状态。
特点:(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；
(2) 可以提供系统时间响应的全部信息；
(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
2
时域分析概述
典型输入信号
脉冲信号 (突变过程)
(t)
阶跃信号
（工业过程）
u (t)
dxo(t) dt
t0
T12
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
6
3、一阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
X t o(s)G (s)X i(s)T1 s11 s1 ss 1 1T
xo(t)1e T, t0
第三章 时域瞬态响应分析
时域分析概述 一阶系统的瞬态响应分析 二阶系统的瞬态响应分析 二阶系统系统性能指标 高阶系统的瞬态响应分析
第3章 时域瞬态响应分析
s s + ξωn + ωn ξ 2 −1 s + ξωn − ωn ξ 2 −1
xo (t)
=1−
2(−ξ 2
1
+ξ ξ2
e−(ξ − −1 +1)
ξ 2 −1)ωnt
−
1
e−(ξ + ξ 2 −1)ωnt
2(−ξ 2 − ξ ξ 2 −1 +1)
(t ≥ 0)
特点：单调上升， 无振荡，过渡过程 时间长，无稳态误 差。
ln[1-xo(t)] 与时间t 成线性关系
xo
(t )
=
1
−
−1
eT
t
−1t
e T = 1− xo (t)
−
1 T
t
=
ln[1 −
x
o
(t )]
判别系统是否为惯性环节 测量惯性环节的时间常数
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入为
xi (t)
xi (t) = t ⋅1(t)
Xi
(s)
=
+
−1t
Te T
−1t
x1(t) = 1 − e T
xδ
(t )
=
1 T
−1t
eT
三种响应关系
x1 (t )
=
dxt (t) dt
xδ
(t)
=
dx1 (t ) dt
积分时间常数由零初始条件确定
线性定常系统的重要性质 系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入
信号响应的导数。 系统对于输入信号积分的响应，等于系统对该输
稳态响应：系统在某一典型信号输入的作用下，当 时间趋于无穷大时的输出状态，稳态响应有时也称 为静态响应。
控制工程基础 第3章 时域瞬态响应分析
X o s k sm b1sm1 bm1s bm
X i s
sn a1sn1 an1s an
k sm b1sm1 bm1s bm
q
r
s pj
s2
2
kk
s
2 k
j 1
fi(t) D
图 3-26
图 3-27
解：根据牛顿第二定律
fi t kxo t Dxo t Mxo t
拉氏变换，并整理得
Ms2 Ds k X o s Fi s
X o s Fi s
1 Ms2 Ds k
1 k kM s2 D s
峰值点为极值点，令 dxo t 0 ，得
dt
nentp
1 2
sin
dtp
d
e
nt
p
1 2
cos dt p
0
因为 e nt p 0
所以
tan d t p
d n
tan
dtp
d
0
即输出响应为输入函数与脉冲响应函数的
卷积，脉冲响应函数由此又得名权函数。
求上升时间 tr 由式（3.5）知
xo (t) 1
e nt
1 2
sin d t
arctan
1
2
1t
将 xo (tr ) 1代入，得
11
tp
d
n
1 2
第3 章 时域瞬态响应分析 - 过控
dc1 (t ) c (t ) dt dct (t ) c1 (t ) dt
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
单位脉冲 函数响应
积分
c1 (t ) 1 et /T
1 c (t ) e T
t T
三者之间的关系
积分 积分
微分
单位阶跃 函数响应
微分
单位斜坡 函数响应
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导 数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响 20 应的积分。
0
y (t )
t1
t
t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。 ② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。 对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
R( s )
-
E (s)
1 Ts 1
C (s)
0.5 G (s) 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1 T
1 R( s ) 1 G ( s ) Ts 1
拉氏反变换
t
一阶系统单位阶跃响应
c(t ) 1 e
t / T
瞬态响应： et T 稳态响应：1
第三章 时域瞬态响应
添加副标题
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
第三章 时域瞬态响应分析
(3-16)
(3) 最大超调量Mp
Mp = h(t p ) − h(∞) h(∞) − ζπ = exp 1− ζ 2 ×100%
(4) 调整时间ts 3 误差带范围为 ±5% ts = ζωn 误差带范围为± 2% (5) 振荡次数N
ts = 4
ζωn
ωd ts ts ts N= = = Td 2π / ωd 2π
当 ζ >> 1时，
h(t) ≈1− es1t =1− e
(−ζωn +ωn ζ 2 −1)t
过阻尼二阶系统单位阶跃响应
当 ζ >1.25 时，系统的过渡过程时间可近 1 似为 ts = (3 ~ 4)
s1
系统的超调量 M p = 0
2. 当0<ζ<1时，系统有一对实部为负的共轭 时 复根，称为欠阻尼状态。 复根，称为欠阻尼状态。 在欠阻尼状态下，系统的两个闭环 极点为一对共轭复极点，即
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 时域响应及典型输入信号 一阶系统的瞬时响应 二阶系统的瞬时响应 时域分析性能指标 高阶系统的瞬时响应 综合例题
第三章 时域瞬态响应分析
机电控制系统的运行在时域中最为直观当系统输入某些典 型信号时，利用拉氏变换中的终值定理， 型信号时，利用拉氏变换中的终值定理，我们可以了解当时间 时系统的输出情况， t→∞时系统的输出情况，及稳态状况；但对动态系统来说，更 时系统的输出情况 及稳态状况；但对动态系统来说， 重要的是要了解系统加上输入信号后其输出随时间变化的情况， 重要的是要了解系统加上输入信号后其输出随时间变化的情况， 我们希望系统响应满足稳、 另外， 我们希望系统响应满足稳、准、快。另外，我们希望从动力学 的观点分析研究机械系统随时间变化的运动规律。 的观点分析研究机械系统随时间变化的运动规律。以上就是时 域稳态响应分析所要解决的问题。 域稳态响应分析所要解决的问题。 在控制理论发展初期，由于计算机还没有充分发展， 在控制理论发展初期，由于计算机还没有充分发展，时域 瞬态响应分析只限于较低阶次的简单系统。 瞬态响应分析只限于较低阶次的简单系统。随着电子计算机的 不断发展，很多复杂系统可以在时域直接分析， 不断发展，很多复杂系统可以在时域直接分析，使时域分析法 在现代控制理论中得到了广泛应用。 在现代控制理论中得到了广泛应用。
控制工程基础时域瞬态响应分析
d tan d t p tan n
dt p tp d n 1 2
求最大超调量 M p 将式(3.16)代入到式(3.4)表示的单位阶 跃响应的输出表达式中，得 M p xo (t p ) 1
n e d 1 2 1 n 2 1 n
1t
dxo t 0 ，得 峰值点为极值点，令 dt
n e
nt p 1 2 sin d t p
d e
n t p
1 2
cos d t p 0
因为
e
所以
n t p
0
以进入±5%的误差范围为例，解 n t e 5% 2 1 得 2 ln 0.05 ln 1 ts n 当阻尼比ζ较小时，有 ln 0.05 3 ts n n 同理可证，进入±2%的误差范围，则有
ts ln 0.02
n
当系统输入任一时间函数时，如下图所示， 可将输入信号分割为n个脉冲，当n→∞时， 输入函数x(t)可看成n个脉冲叠加而成。 按比例和时间平移的方法，可得 k 时刻 的响应为 ，则 x g t
y t lim
t 0
k
n k 0
n
x k g t k
1t
将 xo (t r ) 1代入，得
2 1 e 1 1 sin d t r arctan 2 1 n t r
因为 e
n t r
0
2 1 0 所以 sin t arctan d r 由于上升时间是输出响应首次达到稳态值 的时间，故 2 1 d t r arctan 所以
第3章 时域瞬态响应分析
控制工程基础
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
第3章_时域瞬态响应分析_3.5高阶系统的瞬态响应
×
1
偶极子 -1
0
s2×
相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中， 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极 点相对应的分量可以忽略， 点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 经验指出， 经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它 们本身的模值小一个数量级时， 们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点 就构成了偶极子。 就构成了偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消 对动态性能影响较大的不利的极点， 对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得 到改善。 到改善。
m m −1 m m −1 X o ( s ) K ( s + b1s + L + bm −1s + bm ) K ( s + b1s + L + bm−1s + bm ) = q = n n −1 r Xi (s) s + a1s + L + an −1s + an ( s + pi ) ∏ ( s 2 + 2ξ jω j s + ω 2j ) ∏ i =1 j =1
《控制工程基础》 控制工程基础》
第3章 时域瞬态响应分析 章 3.5 高阶系统的瞬态响应
3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯 性环节和二阶振荡环节的叠加。 性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由 这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 其传递函数可表示为
时域瞬态响应分析 三章时域分析法38页PPT
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非 周期上升过程。但过渡时间较临界阻尼长。
xo(t) 1
0
t
4. 无阻尼情况（ =0）
s1,2 nn 21 jn
系统具有一对纯虚根极点。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
2 s2 2
X 0(s) (s)X i(s)s2 n2n 21 s1 ss2 sn 2
令 sin12 co s arc1 t a2 n
d n 12
x0(t)1
ent
12
sind(t)
２. 临界阻尼（=1）
s1,2nn 21 n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
s
2 n
n
2
单位阶跃响应
X0(s)(s)Xi(s)s n 2n21 s
3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
4)
dx0(t) dt
t0
1 T
故在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 1
T
2.一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入为 输出为
xi (t) t
Xi (s)
1 s2
11 1T T X0(s)G (s)Xi(s)T s1s2s2ss1
Xo (s)
闭环传递函数 (s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
阻尼比
n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s22 ns20
特征方程的根（闭环极点）
s1,2nn 21
显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复
xo(t) 1
0
t
4. 无阻尼情况（ =0）
s1,2 nn 21 jn
系统具有一对纯虚根极点。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
2 s2 2
X 0(s) (s)X i(s)s2 n2n 21 s1 ss2 sn 2
令 sin12 co s arc1 t a2 n
d n 12
x0(t)1
ent
12
sind(t)
２. 临界阻尼（=1）
s1,2nn 21 n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
s
2 n
n
2
单位阶跃响应
X0(s)(s)Xi(s)s n 2n21 s
3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
4)
dx0(t) dt
t0
1 T
故在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 1
T
2.一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入为 输出为
xi (t) t
Xi (s)
1 s2
11 1T T X0(s)G (s)Xi(s)T s1s2s2ss1
Xo (s)
闭环传递函数 (s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
阻尼比
n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s22 ns20
特征方程的根（闭环极点）
s1,2nn 21
显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复
第三章 时域瞬态响应分析
c (t ) 1 e nt 1
2
1 R( s ) s
sin( d t )
(t0)
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
c (t ) 1 e nt 1
2
第三章 时域瞬态响应分析
sin( d t )
(t0)
无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定 振荡幅值随ξ减小而加大。
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
系统的阶跃响应: 时间响应 1.强烈振荡过程 瞬态响应： 2.振荡过程 系统在某一输入信号作用下， 3.单调过程 其输出量从初始状态到进入稳 4.微振荡过程 定状态前的响应过程。
浙江理工大学机械与自动控制学院
稳态响应
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
习题：
某系统在单位斜坡信号输入时，输出为
1 T T x 0 (t) t 3 9 9
3 t e T
试求出该系统的传递函数。
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 一阶系统的瞬态响应 3.2 二阶系统的瞬态响应 3.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系 3.4 具有零点的二阶系统的瞬态响应
t t 1 t T
)] T
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
一阶系统的单位 脉冲响应
r (t ) (t )
R( s ) 1
C ( s)
2
1 R( s ) s
sin( d t )
(t0)
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
c (t ) 1 e nt 1
2
第三章 时域瞬态响应分析
sin( d t )
(t0)
无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定 振荡幅值随ξ减小而加大。
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
系统的阶跃响应: 时间响应 1.强烈振荡过程 瞬态响应： 2.振荡过程 系统在某一输入信号作用下， 3.单调过程 其输出量从初始状态到进入稳 4.微振荡过程 定状态前的响应过程。
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稳态响应
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第三章 时域瞬态响应分析
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第三章 时域瞬态响应分析
习题：
某系统在单位斜坡信号输入时，输出为
1 T T x 0 (t) t 3 9 9
3 t e T
试求出该系统的传递函数。
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第三章 时域瞬态响应分析
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 一阶系统的瞬态响应 3.2 二阶系统的瞬态响应 3.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系 3.4 具有零点的二阶系统的瞬态响应
t t 1 t T
)] T
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第三章 时域瞬态响应分析
一阶系统的单位 脉冲响应
r (t ) (t )
R( s ) 1
C ( s)
第三章 时域瞬态响应分析
特征方程的根为：
2 s1,2 ξωn jωn 1 -ξ
上式中，令： σ＝ξωn , 衰减系数
2 ωd ωn 1 ξ , 阻尼振荡频率
三、二阶系统的时域分析
31
1、定义（续）
二阶振荡环节为：
2 n 2 ωn G s 2 2 s ξωn jωd s ξωn jωd s 2 n s n
注意：
–系统的时域性能指标往往选择阶跃函数作为输入来定义。 –分析系统的频率特性一般用正弦函数作为典型输入信号。
一、时域响应及性能指标
6
（二）、典型输入信号
• 单位阶跃函数 1(t)
• 单位脉冲函数 δ(t)
• 单位加速度函数 (½)t2
• 单位斜坡函数 t
• 正弦函数 A sin(wt+ø)
一、时域响应及性能指标
二、一阶系统的时域分析 20
3、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入x i t δt的象函数为X i s 1，则
1 X o s Gs Xi s 1 Gs 1 Ts 1 s T 1 1 Tt 进行拉氏反变换：x o t e 1t T 1 T
特征方程的特征根为：
2 s1,2 jωd ξωn jωn 1 -ξ
分类讨论： 1） ξ 0，负阻尼，两个正实 部的特征根，系统发散 。 2） ξ＝0 ，零阻尼，一对纯虚根 ，瞬态响应为等幅振荡 。 3） 0 ξ 1，欠阻尼，一对共轭 复根，位于左半s平面 。 4） ξ＝1 ，临界阻尼，两个相等 的负实根。 5） ξ 1，过阻尼，两个不等 的负实根。
三、二阶系统的时域分析 32
2、二阶系统单位阶跃响应
1 单位阶跃输入x i t 1t的象函数为X i s ，则 s 2 ωn 1 X o s Gs Xi s 2 2 s 2ξωns ωn s ωn 1 ＝ s ξωn jωd s ξωn jωd s
第三章 时域瞬态响应分析
X o s 1 1 X o s X i s 2 X i s Ts 1 s
1 1 T T 2 2 1 1 s s s s s T T 1 T
1 t xo t t T T e T 1t
第三章 时域瞬态响应分析
二阶系统特征方程： s 2 2 n s n 2 0 特征方程的根：
s1.2 n n 2 1
[s] 0 0
2
（） 1 1
s1.2 n n 2 1
（2） 1
s1.2 n
s1.2 n jn 1
第三章 时域瞬态响应分析
三、一阶系统的单位脉冲响应
xi t t
X o s 1 X o s X i s X i s Ts 1 s 1
xo t
1 T
X i s 1
1 T
T
98.2%
0.368
1 T
A B T 2T
0
China university of petroleum
China university of petroleum
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24
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第三章 时域瞬态响应分析
一、二阶系统的单位阶跃响应
1. 0 1
欠阻尼
2
[s]
2 n 1 1 s1 2 此时：.X os 2n j n 2 s 2n s n s
6
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第三章 时域瞬态响应分析
常见的典型输入信号
1. 阶跃信号
xi
1 X r ( s) L[1(t )] s
第三章 时域瞬态响应分析
第三章时域瞬态响应分析3.1 典型输入信号和性能指标3.2 一阶系统的瞬态响应3.3 二阶系统的瞬态响应3.4 高阶系统的瞬态响应时域分析法：根据系统在一定的输入信号作用下其输出随时间变化的关系，分析系统稳定性、瞬态性能和稳态性能的方法。
一、瞬态响应和稳态响应1.瞬态响应：系统在输入信号作用下，输出量从初始状态过渡到稳定状态的响应过程。
决定于：①系统结构参数；②输入信号的形式；③初始状态。
2. 稳态响应：信号输入后，时间趋向于无穷大时系统的输出状态。
x o(ωn t)x i(ωn t)=1(t)ωn t3. 时域响应分析中，往往选择典型输入信号①数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统。
②典型输入下的响应往往作为分析复杂输入时系统性能的基础；③便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
任一时间函数信号输入时系统的响应①任一时间函数信号x i (t )可分解为一系列脉冲信号【x i (τk )Δτ】的叠加。
②线性系统对x i (t )输入的响应x o (t )等于这一系列脉冲信号各个单独作用下系统响应【x i (τk )Δτ g (t -τk )】的叠加。
()()()()()()()1o i i i 0lim d *n tk k n k x t x g t x g t x t g t ττττττ-→∞==∆⋅-=-=∑⎰结论：任一时间函数信号输入下，系统的输出响应x o (t )为输入信号x i (t )与脉冲响应函数g (t )的卷积，即：x o (t ) =x i (t ) *g (t )。
()i x t ()o x t ()()i k k x g t τττ∆⋅-()()()1o i 0n k k k x t x g t τττ-==∆⋅-∑()i k x τx i (t )x o (t )=x i (t ) *g (t )5. 正弦信号()i sin 000a t t x t t ω>⎧=⎨<⎩ 系统分析时，典型输入信号的选择：视系统具体工作状况而定。
三章时域瞬态响应
则
Xo s
Xo Xi
s s
Xi
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
xo
(t)
1 T
1t
eT
1t
xo(t)
1 T
1t
eT
1t
3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
1. 单位斜坡响应 xot(t)tTTeT 1t 1t 2. 单位阶跃响应 xo1(t)1eT1t 1t
1
1
1 2( 2
2 11) 2( 2
2 11)
s s n n 2 1 s n n 2 1
进行拉氏反变换，得
x o (t) 1 2212 1 1e 2 1 n t 2212 1 1e 2 1 n t 1t
n
1 2
3. 求取最大超调量
Mp
将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
Mp xo (tp ) 1
=
1-
-n
e
n
1- 2
sin
arctan
1- 2
=e =e
-n
n
1- 2
xo
(t)
1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。
Lg[1-xo(t)] t
第3章 时域瞬态响应分析
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5
10
15 t
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
当0< <1，二阶系统的单位阶跃响应以ωn为角频率的
衰减振荡，随ξ的减小，其振荡幅度加大。 29
(2) 临界阻尼（ =1）状态
Xo(s)
2 n
Xi (s) (s n )2
xo(1t)
X 0 (s)
X o (s) Xi (s)
S平面 O
S平面 O
S平面
S平面
S平面
O
O
O
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
26
2、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
（1）欠阻尼（0< <1）状态
X o (s)
G(s)X i
(s)
s(s 2
2 n
2n s
2 n
)
s
n
2 n
jd s n
j d
1 s
1 s n
n
s
(s
n
)2
2 d
(s
0.632
B A
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8%
t
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T
14
1t
xo (t) 1 e T
(t 0)一阶系统的单位阶跃响应特点:
1、一阶系统的总是稳定的，无振荡；
2、经过时间T曲线上升到0.632的高度，可以利用实 验的方法测出响应曲线达到稳态值的63.2％高度点所 用的时间，实质就是时间常数T可以求出；
具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
第3章_时域瞬态响应分析_3.4时域分析性能指标
由此可见：
当ζ一定时，ωn越大，则tr越小。tr与ωn成反比。
当ωn一定时，ζ越大，则tr越大。
(2)峰值时间tp
指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。
xo (t) 1
ent
1 2
s in(d t
)
令 dx0 (t) 0 ，当
dt
dxo (t) dt
|t t
p
0
时，
得
n 1 2
e nt p
得 p (%) e 12 100%
1 σp 0 0 σ p 100%
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
e 1 2 100%
表3.2 不同阻尼比的 最大超调量
ζ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 M p % 100 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.49 4.61 1.52 0.15 0
①上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对 于无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90% 所需的时间。 ②峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 ③调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围内所需的时间。 其中允许误差范围一般取稳态值的±2%或±5%。 ④延迟时间td 响应曲线从0上升到稳态值的50%所需的时间。
)
当t=tr时, xo (tr ) 1
11
entr
1 2
sin
d
tr
arctan
1 2
Q 12 0
entr 0
sin dtr arctan
1
2
0
sin(dtr ) 0
第三章__时域瞬态响应分析
1 s
a s
b s 1
1 s
1 s 1
T
T
T
e xo
t
1
1 T
t
1t
一阶系统的单位阶跃响应曲线
xo t
1 0.632
B A
结论：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
1 一阶系统总是稳定的； 0 T 2T 3T 4T 5T t 2 可用实验方法测 T；
e xo
t
1
1 T
t
1t
1 1
s1.2 n n 2 1
0
2 1
s1.2 n
0
3 0 1 s1.2 n jn 1 2
0
4 0
s1.2 jn
0
一、二阶系统的单位阶跃响应
1. 0 1
欠阻尼
[s]此时sຫໍສະໝຸດ 1.2Xos s2n2jnn2sn
1 n2
1
s
2
an jbds c
s s2 2ns n2
0 at
t0 t 0
a
01
t
其中a为常数，当a 1时， 为单位斜坡函数。
3 加速度函数
xi t
0 at 2
t0 t 0
0
t
其 中a为 常 数 ， 当a 1 时 ， 2
称为单位加速度函数。
4 脉冲函数
lim xi t
0 t0 0
a t0
t0
或 t t0 0 t t0
a t0
其中a为常数
求 出 ：a,b,c
n
n
jn 1 2
0
jn 1 2
e e
xo
t
1
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控制工程基础
控制工程基础
3.3二阶系统的瞬态响应
控制工程基础
3.3二阶系统的瞬态响应
控制工程基础
欠阻尼（0<ζ<1）
控制工程基础
欠阻尼（0<ζ<1）
控制工程基础
临界阻尼（ζ=1）
控制工程基础
过阻尼（ζ>1）
控制工程基础
过阻尼（ζ>1）
控制工程基础
零阻尼（ζ=0）
控制工程基础
控制工程基础
3.1 时域响应以及典型输入信号
瞬态响应：系统在某一输入信号下其输出量从初始 状态到稳定状态的响应过程。（过渡过程） 稳态响应：当某一信号输入时，系统在时间趋于无 穷大时的输出状态。（静态） 典型信号(输入信号)：
数学处理简单，便于分析和综合系统； 可以作为分析复杂输入时系统性能的基础；
加速度函数（ Parabolic function ） 数学表达式：
函数图：
（a=1/2:单位加速度函数）
控制工程基础
典型输入信号
脉冲函数（ Impulse function ） 数学表达式：
函数图：
控制工程基础
典型输入信号
脉冲函数（ Impulse function ） 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称 为 脉冲响应函数 。 由于δ函数的拉氏变换1，因此系统传递函数即 为 脉冲响应函数的象函数。
负阻尼（ζ<0）
控制工程基础
二阶系统的单位脉冲响应
控制工程基础
0<ζ<1
控制工程基础
0<ζ<1
控制工程基础
ζ=1
控制工程基础
ζ>1
控制工程基础
二阶系统的单位斜坡响应
控制工程基础
0<ζ<1
控制工程基础
ζ=1
控制工程基础
ζ>1
控制工程基础
小结
控制工程基础
3.4 时域分析性能指标
图3-48 电压-转角关系
图3-47 光电式角位移测量装置
控制工程基础
3.7 时域瞬态响应的实验方法
位移量转化为电量： 旋转变压器 感应同步器
光电编码盘
光栅传感器
电位器
控制工程基础
3.6 借助Matlab 进行系统时间响应分析 求取单位阶跃响应
控制工程基础
3.6 借助Matlab 进行系统时间响应分析 求取单位阶跃响应
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
付胜杰 华侨大学机电工程及自动化学院
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 时域响应以及典型输入信号 一阶系统的瞬态响应 二阶系统的瞬态响应 时域分析性能指标 高阶系统的瞬态响应 机电系统时域瞬态响应的实验方法 Matlab在时间响应分析中的应用
时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应 形式给出的。
控制工程基础
上升时间（ Rise Time ）
控制工程基础
峰值时间（ Peak Time ）
控制工程基础
最大超调量（ Maximum Overshoot ）
控制工程基础
调整时间（ Settling time）
控制工程基础
控制工程基础
3.6 借助Matlab 进行系统时间响应分析 求取单位脉冲响应
控制工程基础
3.6 借助Matlab 进行系统时间响应分析 求取任意输入下系统的输出响应
控制工程基础
对于分别画出系统传递Байду номын сангаас数
的单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡响应曲线 1、单位阶跃响应曲线
MATLAB Program： num=50; den=[25,2,1]; step(num,den); grid; title('Unit-Step Response of G(s)=50/(25s^2+2s+1) ');
控制工程基础
控制工程基础
2、单位脉冲响应曲线
MATLAB Program： num=50; den=[25,2,1]; impulse(num,den); grid; title('Unit-Impulse Response of G(s)=50/(25s^2+2s+1) ');
控制工程基础
3、单位斜坡响应曲线
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
典型输入信号
正弦函数 数学表达式：
函数图：
控制工程基础
控制工程基础
3.2 一阶系统的瞬态响应
一阶系统： 能够用一阶微分方程描述的系统。它的典型形式 是一阶惯性环节。数学表达式：
控制工程基础
3.2
一阶系统的瞬态响应
象函数为：
则：
单位阶跃输入：
进行拉氏反变换：
控制工程基础
4. 求调整时间
控制工程基础
4. 求调整时间
控制工程基础
4. 求调整时间
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
3.5 高阶系统的瞬态响应
控制工程基础
3.5 高阶系统的瞬态响应
控制工程基础
3.5 高阶系统的瞬态响应
控制工程基础
高 阶 系 统 的 简 化
控制工程基础
控制工程基础
3、单位斜坡响应曲线
MATLAB Program： num=50; den=[25,2,1]; impulse(num,den); grid; title('Unit-Impulse Response of G(s)=50/(25s^2+2s+1) ');
控制工程基础
3、单位斜坡响应曲线
MATLAB Program： num=50; den=[25,2,1,0]; t =0:0.01:100; step(num,den,t); grid; title('Unit- Step ramp Response of G(s)=50/(25s^2+2s+1) ');
控制工程基础
便于系统辨识，确定未知环节的传递函数；
控制工程基础
典型输入信号
阶跃函数（ Step function） 数学表达式：
函数图：
（a=1:单位阶跃函数）
控制工程基础
典型输入信号
斜坡函数（ Ramp function ） 数学表达式：
函数图：
（a=1:单位斜坡函数）
控制工程基础
典型输入信号
延迟时间（ Delayed Time）
控制工程基础
振荡次数（ Oscillation Number）
控制工程基础
时域性能指标的求取
控制工程基础
时域性能指标的求取
1. 求上升时间
控制工程基础
1. 求上升时间
控制工程基础
2. 求峰值时间
控制工程基础
2. 求峰值时间
控制工程基础
3. 求最大超调量
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
3.7 时域瞬态响应的实验方法
电路产生的方法 其它方法
控制工程基础
3.7 时域瞬态响应的实验方法
图3-45 脉冲力的产生
控制工程基础
3.7 时域瞬态响应的实验方法
图3-46 阶跃角位移的产生
控制工程基础
3.7 时域瞬态响应的实验方法
控制工程基础
控制工程基础
控制工程基础
3.2
一阶系统的瞬态响应
象函数为：
则：
单位斜坡输入：
进行拉氏反变换：
控制工程基础
3.2 一阶系统的瞬态响应
单位斜坡输入
控制工程基础
3.2
一阶系统的瞬态响应
象函数为：
则：
单位脉冲输入：
进行拉氏反变换：
控制工程基础
3.2 一阶系统的瞬态响应
单位脉冲输入