Picard存在和唯一性定理

Picard存在和唯一性定理

本节利用逐次逼近法，来证明微分方程

(2.1)

的初值问题

(2.2)

的解的存在与唯一性定理.

定理 2.2(存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数在闭矩形域

上满足如下条件：

(1) 在R上连续;

(2) 在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数N，使对于R上任何一对点和有不等式：

则初值问题(2.2)在区间上存在唯一解

其中

在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:

1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，

但却易于验证的条件来代替它.即如果函数在闭矩形域R上关于y的偏导数

存在并有界，.则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有

其中满足，从而.如果在R上连续，它在R上当然就满足李普希兹条件.（这也是当年Cauchy证明的结果）

2．可以证明，如果偏导数在R上存在但是无界，则Lipschitz条件一定不满足，

但是Lipschitz 条件满足，偏导数不一定存在，如(,)||f x y y 。

3.现对定理中的数h 0做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这

时，过点

的积

图 2-5

分曲线

当

或 时，其中

，

，到

达R 的上边界

或下边界

.于是，当

时，曲线

便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间

上存在. 由于定理假定

在R 上连续,从而存在

于是，如果从点

引两条斜率分别等于M 和-M 的直线，则积分曲线

(如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取

则过点 的积分曲线 (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之

中.

图 2-6

存在性的证明

求解初值问题（2.2）

求解积分方程（2.3）.

因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在 上存在而且唯一就行了. 下面

用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:

1.构造逐次近似序列.

近似序列

或写成

01()(,())x

n n x x y f d ϕξϕξξ--=⎰

的每一项都在 上有定义，这是因为 于是

．这样，我们在区间

上，按逐

次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)

2. 证明近似序列

在区间

上一致收敛.

“ 函数序列的一致收敛

1．设

（1）

是定义在I 上的函数序列，若对

，数列

收敛，则称

为序列（1）的收敛点．收敛点的全体叫收敛域．

在收敛域上每一点，序列（1）都有极限，这极限形成收敛域上的

一个函数，称为极限函数．设此函数为，即

2．若对，总存在一个只与 有关的自然数N，使得对I上任何一点

，当时，有，则称序列（1）在I上一致收敛．证明分如下二步：

（1）序列在上一致收敛级数（2.7）在

上一致收敛（级数）．因为级数

（2.7）

的部分和

“ 函数项级数的一致收敛

1．设函数项级数

（1）

在区间I上收敛于和函数，即对，

数项级数收敛于，或级数（1）的部分和所组成的数列

=

由数列极限定义，对，，使得时，有

2．级数（1）在I上一致收敛对，，

使得对，当时，有．

3．若函数项级数（1）的每一项都在I上连续，并且在I上一致收敛，

则（1）的和函数在I上连续．

（2）级数（2.7）在上一致收敛．

用数学归纳法，易证级数（2.7）从第二项开始，每一项绝对值都小于正项级数

的对应项，而上面这个正项级数显然是收敛的.所以，由优级数判别法，

“ 函数项级数的一致收敛判别法

（魏尔斯特拉斯优级数判别法）

函数项级数

（1）

若函数项级数（1）在区间I上满足

（I ）；

（II ）正项级数收敛．

则函数项级数（1）在区间I上一致收敛．

数项级数收敛的判别法

（比值判别法，达朗贝尔（）判别法）

若正项级数的后项与前项的比值的极限等于

：

则当时级数收敛，时（或）

时级数发散；时级数可能收敛，也可能发散．

级数(2.7)在区间上不仅收敛，而且一致收敛.设其和函数为，从

而近似序列在区间上一致收敛于.由于在区间上

连续，因而也是连续的.

3.证明是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解. 在n次近似序列（2.6）两端取极限有

因为

所以要证明是积分方程（2.3）的解，即

成立，只需证明

这是由函数(,)f x y 的连续性及Picard 序列()n x ϕ的一致收敛性质保证的。 下面用“ε-N 语言”证明上面的极限成立． 我们先利用李普希兹条件，作下面的估计：

由于序列 在区间

上一致收敛，因此，对任给ε>0,存在自然数N ,当n N >时，对区间

上所有x 恒有

从而

由此推得

换句话说，我们得到

现在对恒等式(2.6)两端取极限，

就得到

此即表明函数

是(2.3)的解.至此定理的存在性部分证毕.

2.2.3 唯一性的证明，区别于北大版课本的另一种证明方法：

下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman )不等式.

贝尔曼引理 设y (x )为区间 上非负的连续函数， .若存在

使

得y (x )满足不等式

(2.9)

则有