数值分析chapter6

第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
性 质6.8 xn 可以表示为
[n/2]
x =2
n
1−n k =0
k Cn Tn−2k (x).
√ 区间为[−1, 1], 权函数为ρ(x) = 1 − x2 , 通过 对{1, x, x2 , · · · }作Schmidt正交化得到的正交多项式为第二 类Chebyshev多项式。 可以表示为 Un (x) = sin[(n + 1) arccos x] √ 1 − x2
第6章
函数最佳逼近
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
定 义6.1 对任意的函数f (x), g(x) ∈ C[a, b], 它们关于权函数ρ(x)的 内积为
b
(f , g) =
a
ρ(x)f (x)g(x)dx.
该内积具有性质： (1) 对称性：(f , g) = (g, f ), ∀ f , g ∈ C[a, b]; (2) 非负性：(f , f ) ≥ 0, ∀ f ∈ C[a, b], (f , f ) = 0当且仅当f (x) ≡ 0; (3) 齐次性：(αf , g) = α(f , g), ∀ f , g ∈ C[a, b], α ∈ R; (4) 分配律：(f + g, h) = (f , h) + (g, h), ∀ f , g, h ∈ C[a, b].
e−x Hm (x)Hn (x)dx =
2
√ 2n n! π,
0, m
n, m = n,
H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x, Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x).
第6章 函数最佳逼近
6.2 最佳一致逼近
定 义6.5 对∀ f (x) ∈ C[a, b], 在范数 f 下定义两个函数的距离 d(f , g) = f − g
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
n−1 1 dm 2 n 1 m d [( x − 1) ] [(x2 − 1) ] −1 m + n m n − 1 2 m!n! dx dx 1 m+1 n−1 1 d m d n 2 − m+n [( x − 1) ] [(x2 − 1) ]dx 2 m!n! −1 dxm+1 dxn−1 1 2m n−m d 1 m d n 2 [( x − 1) ] [(x2 − 1) ]dx = (−1)m m+n 2 m!n! −1 dx2m dxn−m (2m)! dn−m−1 n 1 = (−1)m m+n [(x2 − 1) ] −1 = 0. n − m − 1 2 m!n! dx
∞ ∞
= sup |f (x)|
a≤x≤b
= sup |f (x) − g(x)|.
a≤x≤b
定 义6.6 函数序列{fn (x)}∞ n=1 在[a, b]上一致收敛到f (x)指
n→∞
lim fn − f
∞
= 0.
第6章 函数最佳逼近
6.2 最佳一致逼近
在度量 ·
∞ 下的逼近问题称为一致逼近。
定 理6.1 设f (x) ∈ C[a, b], 则∀ε > 0, 存在多项式 pn (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , 使得 f − pn
∞
= sup |f (x) − pn (x)| < ε.
a≤x≤b
第6章 函数最佳逼近
6.2 最佳一致逼近
定 义6.7 设f (x) ∈ C[0, 1]，n次Bernstein多项式为
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
性 质6.2 奇偶性 Pn (−x) = (−1)n Pn (x). 性 质6.3 递推关系式 P 0 (x ) = 1 , P 1 (x ) = x , +1 n Pn+1 (x) = 2nn+ 1 xPn (x) − n+1 Pn−1 (x), 可得
1 (3x2 − 1), P2 (x) = 2 1 P3 (x) = 2 (5x3 − 3x), ···
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
此外，
0
+∞
e−x Lm (x)Ln (x)dx =
0, m n, (n!)2 , m = n,
L0 (x) = 1, L1 (x) = 1 − x, Ln+1 (x) = (1 + 2n − x)Ln (x) − n2 Ln−1 (x).
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3. 第二类Chebyshev多项式
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
此外，
1 −1
Um (x)Un (x) 1 − x2 dx =
0, m n, π/2, m = n,
U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, Un+1 (x) = 2xUn (x) − Un−1 (x). 4. Laguerre多项式 区间为[0, ∞), 权函数为ρ(x) = e−x , 通过对{1, x, x2 , · · · }作Schmidt正 交化得到的正交多项式为Laguerre多项式。 可以表示为 Ln (x) = ex d n n −x (x e ). dx n
1 −1
Pm (x)Pn (x)dx =
0, m n, 2 2n+1 , m = n .
证明 不妨设m ≤ n. 如果m < n, 那么
1 −1
Pm (x)Pn (x)dx =
1 2m+n m!n!
1 −1
n dm 2 m d n [( x − 1) ] [(x2 − 1) ]dx dxm dx n
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n≥1
6.1 正交多项式
性 质6.5 正交性
1 −1
0, m n, π/2, m = n 0, Tm (x)Tn (x)dx = √ π, m = n = 0. 1 − x2 1
性 质6.6 奇偶性：T2n (x)只含x的偶次项，T2n+1 (x)只含x的奇次 项。 性 质6.7 Tn (x)在[−1, 1]上有n个零点 xk = cos (2k − 1)π , 2n k = 1, 2, · · · , n
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
如何得到正交多项式：通过对线性无关函数 族{1, x, x2 , · · · }作Schmidt正交化可以得到正交多项式序列{φn (x)}∞ 0
n−1
φ0 (x) = 1,
φn (x) = x −
j=0
n
(xn , φj ) φj , n = 1, 2, · · · . ( φj , φ j )
=
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6.1 正交多项式
如果m = n，那么
1 −1
P2 n (x)dx
=
x=sin t
(−1)n
=
=
1 (2n)! n (x2 − 1) dx 22n (n!)2 −1 π/2 (2n)! cos2n+1 tdt (2n n!)2 −π/2 (2n)! 2 · (2n)(2n − 2) · · · 2 2 = . 2 (2n + 1)(2n − 1) · · · 3 n 2 n +1 (2 n!)
6.1 正交多项式
5. Hermite多项式 区间为(−∞, +∞), 权函数为ρ(x) = e−x , 通过 对{1, x, x2 , · · · }作Schmidt正交化得到的正交多项式为Hermite多项 式。 可以表示为 Hn (x) = (−1)n ex 此外，
+∞ −∞
2 2
d n −x 2 (e ). dx n
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6.1 正交多项式
正交多项式的性质： 1. φn (x)的最高次项系数为1； 2. ∀pn (x) ∈ Hn (x)可以表示为{φi (x)}n 0 的线性组合； 3. ∀i j, (φi , φj ) = 0, 且φj (x)与任一次数小于j的多项式正交； 4. 递推关系式： φn+1 = (x − αn )φn − βn φn−1 , 其中 φ0 = 1 , φ −1 = 0 , n = 0, 1, 2, · · · ,
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
由内积可得平方度量 f 两个非零函数的夹角 θ = arccos 当θ = π/2, 称f 与g正交。 (f , g) . f 2 g2
2
= (f , f )1/2 , ∀ f ∈ C[a, b].
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
定 义6.2 函数族{φn (x)}∞ 0 满足
αn = (xφn , φn )/(φn , φn ), βn = (φn , φn )/(φn−1 , φn−1 ).
第6章 函数最佳逼近
6.1 正交多项式
5. φn (x), n ≥ 1的n个根都是(a, b)内的单重实根。 几个常用的正交多项式： 1. Legendre多项式 区间为[−1, 1], 权函数为ρ(x) = 1, 通过对{1, x, x2 , · · · }作Schmidt正 交化得到的正交多项式为Legendre多项式。 可以表示为 P0 (x) = 1, 首项系数为 an = 2n · (2n − 1) · · · (n + 1) (2n)! = . n 2 · n! 2n (n!)2
设x = cos θ, 则Tn (x) = cos(nθ), 0 ≤ θ ≤ π.
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6.1 正交多项式
性 质6.4 递推关系式 T 0 (x ) = 1 , T 1 (x ) = x , Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x). 该关系式可由x = cos θ和 cos(n + 1)θ = 2 cos θ cos nθ − cos(n − 1)θ, 得到。前几项 T0 (x) = cos(0) = 1, T1 (x) = cos(arccos x) = x, T2 (x) = cos(2 arccos x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 4x3 − 3x, ······