2016届高考数学一轮复习题组层级快练65(含答案解

合集下载

2016届高考数学一轮复习题组层级快练10(含解析)

题组层级快练(十)1．(2015·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.3．(2015·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析因为312>1,0<log 1312<1，c ＝log 213<0，所以a >b >c ，故选A.4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.5．(2014·四川文)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B解析由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c,5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a，∴dc ＝a ，故选B. 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a 0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.7．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1)D ．(a 2,2b )答案 D解析当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 8．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1答案 B解析 ∵0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1.9．若0<a <1，则在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.10．函数f (x )＝2|log2x |的图像大致是( )答案 C解析 ∵f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.11．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.12．若0＜a ＜1，则不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.13．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________. 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)14．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________．答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1，log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a ＝2.16．(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 a >1解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．17．设函数f (x )＝|lg x |，(1)若0<a <b 且f (a )＝f (b )．证明：a ·b ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f (a )＞f (b )．证明：ab ＜1. 答案略解析 (1)由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b .∴ab ＝1. (2)由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |.上式等价于(lg a )2＞(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0，lg(ab )lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b＜1.∴lg a b＜0，故lg(ab )＜0.∴ab ＜1.18．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．答案 (1){x |－1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}解析 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )>0. ∴log a (x ＋1)>log a (1－x )．又a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，x ＋1>1－x ，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y.其中正确的有________．答案③⑤⑥。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练60(含解析)

题组层级快练(六十)1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2－2x －3＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0答案 B解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点是(1,0)，∴圆的标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，展开得x 2＋y 2－2x －3＝0.2．若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( ) A ．4 B ．－4 C.14 D ．－14答案 D解析依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0.所以m ＝1.故直线l 的斜率为－14.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 C解析依题意得所求直线是经过点P (0,1)及圆心(1,0)的直线，因此所求直线方程是x ＋y ＝1，即x ＋y －1＝0，选C.4．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4答案 C解析设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.5．(2015·四川成都外国语学校)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1答案 B解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.6．(2015·山东青岛一模)若过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案 A解析如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，∴在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12.∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AO |sin ∠AOP ＝ 3.7．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2答案 B解析圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r ＝10，由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2. 8．已知点P 在圆x 2＋y 2＝5上，点Q (0，－1)，则线段PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2－x ＝0 B ．x 2＋y 2＋y －1＝0 C ．x 2＋y 2－y －2＝0 D ．x 2＋y 2－x ＋y ＝0答案 B解析设P (x 0，y 0)，PQ 中点的坐标为(x ，y )，则x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x 2＋(2y ＋1)2＝5，化简，得x 2＋y 2＋y －1＝0.9．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 面积的最小值为( ) A ．6 B.112 C ．8 D.212答案 B解析如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小．直线AB 的方程为x 4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋－2＝165， ∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.10．在平面直角坐标系中，若动点M (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，y －1≥0，动点Q 在曲线(x －1)2＋y 2＝12上，则|MQ |的最小值为( )A. 2B.322C ．1－22D.5－12答案 C解析作出平面区域，由图形可知|MQ |的最小值为1－22.11．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0,3)，(－4,0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.12．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________．答案 π解析如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C (3,0)，半径r ＝32.在Rt △POC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.13．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析由题意可设圆心A (a ，a )，如图，则22＋22＝2a 2，解得a ＝±2，r 2＝2a 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8.14．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C (3a ，a )，半径为r ＝3|a |.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27，圆心C (3a ，a )到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a |12＋12.∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2.∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F .④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．答案 (1)x ＋y －3＝0(2)(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40 解析 (1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)， ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 16．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．答案 (1)1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5 (2)c ≥2－1解析 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1. ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin(θ＋π4)＋1，∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c . ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0. ∴c 的取值范围为c ≥2－1.1．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.2．设A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，若线段AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( ) A ．(－8,6) B ．(8，－6) C ．(4，－6) D ．(4，－3)答案 B解析线段AB 的垂直平分线x ＋y －1＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －5＝0的交点即圆心(4，－3)，直径为10，易得点D 的坐标为(8，－6)．3．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1答案 B解析设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，∴a ＝2(舍－12)．4．圆心在抛物线x 2＝2y (x >0)上，并且与抛物线的准线及y 轴均相切的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0 D ．x 2＋y 2－2x －y ＋14＝0答案 D解析 ∵圆心在抛物线上，∴设圆心(a ，a 22)．∴圆的方程为(x －a )2＋(y －a 22)2＝r 2.∴x 2＋y 2－2ax －a 2y ＋a 2＋a 44－r 2＝0.对比A ，B ，C ，D 项，仅D 项x ，y 前系数符合条件．5．若方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围为( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2答案 B解析由题意知方程16－x 2＝x ＋m 有实数解，分别作出y ＝16－x 2与y ＝x ＋m 的图像，若两图像有交点，需－4≤m ≤4 2.6．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________．答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析由题意知，A (3,0)，B (0，－4)，则|AB |＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－mx －2my ＝0(m ≠0)，以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是________．①圆C 必定经过坐标原点；②圆C 的圆心不可能在第二象限或第四象限； ③y 轴被圆C 所截得的弦长为2m ；④直线y ＝x 与y 轴的夹角的平分线必过圆心．答案 ①②8．(2015·吉林长春一调)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值为________．答案 4解析圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，圆心坐标为C (－1,2)代入直线2ax ＋by ＋6＝0，得－2a ＋2b ＋6＝0即点(a ，b )在直线x －y －3＝0上．过C (－1,2)作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长|DE |最短，于是有|CE |＝2，|CD |＝|6|2＝32，∴切线长|DE |＝|CD |2－r 2＝4.9．在直角坐标系xOy 中，以M (－1,0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)如果圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求实数m 的值．(3)已知A (－2,0)，B (2,0)，圆内的动点P 满足|PA |·|PB |＝|PO |2，求PA →·PB →的取值范围．答案 (1)(x ＋1)2＋y 2＝4 (2)m ＝1 (3)[－2,6)解析 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M (－1,0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.∴圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1,0)． ∴－m ＋1＝0，∴m ＝1.(3)设P (x ，y )，由|PA ||PB |＝|PO |2，得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)． ∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA →·PB →的取值范围为[－2,6)．。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练8(含解析)

题组层级快练(八)1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1 D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a x ＋2＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.caB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．4．(2015·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)答案 C解析二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )答案 C6．(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤，2 x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ，2 x 又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－10C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a2.∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1.9．(2015·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________．答案 4解析因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,0]11．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 612．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥5解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．答案 0≤a ≤1解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.14．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.① ∵f (0)＝3，而3是最大值．∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．15．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案大－3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.16．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 a <15 a <3解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3，故a 的取值范围为a <3.17．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．18．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝2－12(2)略解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0.由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.∴(1a )2－41a ＝4，得a ＝2－12(a >0)．(2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x . 即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.从而2a >b ，∴x 0＝－b2a>－1.1．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.2．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2＋1答案 B解析由题意可知f (x )≥1.3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)答案 B解析由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－20. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立． (2)当－a －12>0即a <1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.5．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.6．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 ∵y ＝|(x －1)2－t －1|，∴对称轴为x ＝1.若－t －1<0，即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.7．(2015·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min＝f (a ＋b ＋c3)．当b ＝a ＋c2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1－2a ＋5＝a ，f a ＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练75(含解析)

题组层级快练(七十五)1．(2015·东北三校一联)在(x 2－1x)5的二项展开式中，第二项的系数为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5答案 D解析展开式中的第二项为T 2＝C 15(x 2)5－1(－1x)1，所以其系数为－C 15＝－5.2．(2015·河北唐山一模)(3x －2x)8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－112答案 C解析 ∵T r ＋1＝C r 8(3x )8－r (－2x )r ＝C r 8(－2)r x 83－43r ，∴令83－43r ＝0，即r ＝2.∴常数项为C 28(－2)2＝112，选C.3．在(x 2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28答案 B解析由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·(x 2)8－r ·(－13x)r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r28－r ·1x r 3＝(－1)r ·C r8·x 8－r －r328－r，由8－r －r3＝0，得r ＝6. ∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7.4．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2n B ．C 2n ＋1 C ．C n －1n D.12C 3n ＋1 答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·n ＋12＝C 2n ＋1.5．若(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴(2x －1x )5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r.令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.6．(2015·人大附中期末)若(x 2－1ax )9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos2B ．2－cos1C ．cos2－1D ．1＋cos2答案 A解析由题意得T r ＋1＝C r9·(x 2)9－r·(－1)r ·(1ax )r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r ·1ar ，令18－3r ＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )| 20＝－cos2＋cos0＝1－cos2.7．(2015·安徽合肥二检)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30答案 A解析由题意，得(x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3前的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210，故选A.8．(2015·天津河西二模)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( ) A ．－180 B ．180 C ．45 D ．－45答案 B解析因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．(2015·山东潍坊一模)设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ，若(1－kx )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．256答案 B解析 ∵k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )|π0＝2，∴(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝1.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝0.10．(2014·浙江理)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.11．(2015·四川绵阳二诊)若(x －a x2)6展开式的常数项是60，则常数a 的值为________．答案 4 解析 (x －a x2)6展开式的常数项是C 26x 4(－a x2)2＝15a ＝60，∴a ＝4.12．(2015·上海十三校二联)－1＋3C 111－9C 211＋27C 311－…－310C 1011＋311除以5的余数是________．答案 3解析－1＋3C 111－9C 211＋27C 311－…－310C 1011＋311＝(－1＋3)11＝211＝2 048＝2 045＋3，它除以5余数为3.13．若(x －a 2x)8的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．答案 1解析 (x －a 2x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－a 2)r x －r ＝C r 8(－a 2)r x 8－2r，令8－2r ＝0，解得r ＝4，所以C 48(－a 2)4＝1 120，所以a 2＝2，故(x －a 2x )8＝(x －2x)8.令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1.14．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 答案 0 解析 T r ＋1＝C r21x21－r(－1)r ，∴a 10＝C 1121(－1)11，a 11＝C 1021(－1)10，∴a 10＋a 11＝0.15．(2014·高考调研原创题)若(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案－35解析由二项式定理，得x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15.故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.16．(2015·扬州中学月考)设函数f (x ，n )＝(1＋x )n (n ∈N *)． (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)若f (i ，n )＝32i(i 为虚数单位)，求C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n . 答案 (1)20x 3(2)32解析 (1)展开式中系数最大的项是第4项T 4＝C 36x 3＝20x 3. (2)由已知(1＋i)n ＝32i ，两边取模，得(2)n＝32，所以n ＝10.所以C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n ＝C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910.而(1＋i)10＝C 010＋C 110i ＋C 210i 2＋…＋C 910i 9＋C 1010i 10＝(C 010－C 210＋C 410－C 610＋C 810－C 1010)＋(C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910)i ＝32i ，所以C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910＝32.17．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时m ，n ，求f (x )展开式中x 7的系数．答案 (1)81 (2)156解析 (1)由题意知C 1m ＋C 1n ＝19， ∴m ＋n ＝19，∴m ＝19－n .x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝12(19－n )(18－n )＋12n (n －1) ＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋3234，∵n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值(12)2＋3234＝81.(2)由(1)得当n ＝9，m ＝10时，f (x )＝(1＋x )10＋(1＋x )9；当n ＝10，m ＝9时，f (x )同上．故f (x )＝(1＋x )9(x ＋2)其中(1＋x )9展开式中T r ＋1＝C r 9x r ，所以f (x )展开式中x 7的系数为C 69＋2C 79＝156.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练65(含解析)

题组层级快练(六十五)1．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条． 2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) 答案 D3．已知F 1，F 2是双曲线x 22－y 2＝1的左、右焦点，P ，Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )A ．8B ．2 2C ．4 2D ．随α的大小而变化答案 C解析由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.4．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率乘积k PA ·k PB ＝23，则该双曲线的离心率为( )A.22B.62C. 2D.153答案 D解析设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，根据对称性，B (－x 1，－y 1)，因为A ，P 在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1.两式相减，得k PA ·k PB ＝b 2a 2＝23.所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝53.故e ＝153. 5．(2015·四川绵阳第二次诊断考试)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y －32)2＝34D ．x 2＋(y －2)2＝4答案 A解析设圆心(0，b )，(b >0)，半径为b ，双曲线渐近线方程为y ＝±3x ，圆心到渐近线的距离为d＝b 2.由勾股定理，得(b 2)2＋(32)2＝b 2，∴b ＝1.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1. 6.(2015·天津河西质量调研)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A.233B. 3 C ．4 D.7答案 D解析设等边三角形的边长为x ，则根据双曲线定义得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|BF 1－x ＝2a ，x －|BF 1|＝2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＝2a ，x ＝4a .在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理，得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a cos60°.∴c 2＝7a 2，即e ＝7.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 答案 A解析由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1B.x 24－y 23＝1C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 答案 D解析设双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.9．(2015·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58答案 B解析依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)，Q (3,0)，M (0,0)，F (5,0)，|MP ||PQ |＝56.10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________．答案102解析圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102. 11．双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →，则直线l 的斜率为_______．答案 x ±y ＝0，±3解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为x 2－y 2＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：x ＝my ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2－y 2＝0，消去x ，得(m 2－1)y 2＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P ，Q 两点的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵PA →＝2AQ →，∴y P ＝－2y Q .又⎩⎪⎨⎪⎧y P＋y Q＝2m1－m 2，y P y Q ＝1m 2－1，解得m ＝±13，直线l 的斜率为1m，即为3或－3.12．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(ab ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．答案 2解析将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b. OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2aa －b ＋1＝0.即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0. 即b －a ＝2ab ，所以1a －1b＝2.13．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为833的双曲线的方程．答案x 24－y 2＝1解析渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24m －y2m＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24m －y 2m＝1，x －y －3＝0.可得3x 2－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，得|AB |＝2·48－16m3. 又∵|AB |＝833，∴m ＝1.∴双曲线方程为x 24－y 2＝1.14．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求实数a 的值．答案 (1)(62，2)∪(2，＋∞) (2)1713解析 (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1，有两个不同的实数解．消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a2－a 2，解得0<a <2且a ≠1.双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1.∵0<a <2且a ≠1，∴e >62且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为(62，2)∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)，由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，所以x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2，x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a 2.消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.注意a >0，得a ＝1713. 15．(2015·河南安阳调研)已知圆C 1：(x ＋62)2＋y 2＝258，圆C 2：(x －62)2＋y 2＝18，动圆P 与已知两圆都外切．(1)求动圆的圆心P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，AB 的中垂线与y 轴交于点N ，求点N 的纵坐标的取值范围．答案 (1)2x 2－y 2＝1(x >0) (2)(－∞，－32)解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为C 1(－62，0)，r 1＝524；C 2(62，0)，r 2＝24. 设动圆P 的半径为r ，由题意知|PC 1|＝r ＋524，|PC 2|＝r ＋24，则|PC 1|－|PC 2|＝2<|C 1C 2|＝ 6.所以点P 在以C 1，C 2为焦点的双曲线右支上，其中2a ＝2，2c ＝6，所以b 2＝1. 故轨迹E 的方程为2x 2－y 2＝1(x >0)．(2)将直线y ＝kx ＋1代入双曲线方程，并整理，得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，依题意，直线l 与双曲线的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝k 2－k 2－，x 1＋x 2＝－2k k 2－2>0，x 1x 2＝2k 2－2>0.所以－2<k <－ 2.且x 0＝－k k 2－2，y 0＝kx 0＋1＝－2k 2－2，则AB 的中垂线方程为y ＋2k 2－2＝－1k (x ＋kk 2－2)．令x ＝0，得y N ＝32－k 2.∵－2<k <－2，∴y N <－32.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 答案 B解析由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2，从而4b 25a2＝1，即4b2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练68(含解析)

题组层级快练(六十八)1．若过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( ) A ．－2 B ．－12C ．－4D ．－116答案 D解析由y ＝2x 2，得x 2＝12y .其焦点坐标为F (0，18)，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A (－14，18)，B (14，18)，∴x 1x 2＝(－14)·(14)＝－116.2．设离心率为e 的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A ．k 2－e 2>1 B ．k 2－e 2<1 C ．e 2－k 2>1 D ．e 2－k 2<1答案 C解析 l 与双曲线的左、右两支都相交的充要条件是－b a <k 1，故选C.3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303D.326 答案 C解析设y －1＝k (x －1)，∴y ＝kx ＋1－k . 代入椭圆方程，得x 2＋2(kx ＋1－k )2＝4. ∴(2k 2＋1)x 2＋4k (1－k )x ＋2(1－k )2－4＝0. 由x 1＋x 2＝4kk －2k 2＋1＝2，得k ＝－12，x 1x 2＝13.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4－43＝83.∴|AB |＝1＋14·263＝303. 4．已知抛物线y ＝2x 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，那么m 的值等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3答案 A解析因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减，得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2.因为直线AB 与直线y ＝x ＋m 互相垂直，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以x 1＋x 2＝－12.而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54.因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.5．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 A解析 ①斜率不存在时，方程为x ＝1符合． ②设斜率为k ，y －1＝k (x －1)，kx －y －k ＋1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－y 2＝4，y ＝kx －k ＋1， (4－k 2)x 2＋(2k 2－2k )x －k 2＋2k －5＝0.当4－k 2＝0，k ＝±2时符合；当4－k 2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．6．(2015·东北三校)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ，B ，且满足AF →·BF →＝0，则直线AB 的斜率k ＝( )A. 2B.22 C.3 D.33答案 B解析依题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理，得k 2x 2＋(2k2－4)x ＋k 2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1.又因为AF →·BF →＝0，所以(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝0.把⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4－2k 2k 2，x 1x 2＝1，代入并整理，得k 2＝12.又k >0，所以k ＝22，故选B.7．已知抛物线y 2＝8x ，过动点M (a,0)，且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤8，则实数a 的取值范围是________．答案－2<a ≤－1解析将l 的方程y ＝x －a 代入y 2＝8x ，得x 2－2(a ＋4)x ＋a 2＝0. 则|AB |＝x 1＋x 22－4x 1x 2]＝32＋2a ≤8，又∵|AB |>0，∴－2<a ≤－1.8．(2015·上海静安一模)已知椭圆C ：x 22＋y 24＝1，过椭圆C 上一点P (1，2)作倾斜角互补的两条直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于A ，B 两点．则直线AB 的斜率为________．答案2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，同时设PA 的方程为y －2＝k (x －1)，代入椭圆方程化简得(k 2＋2)x2－2k (k －2)x ＋k 2－22k －2＝0，显然1和x 1是这个方程的两解．因此x 1＝k 2－22k －2k 2＋2，y 1＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2.由－k 代替x 1，y 1中的k ，得x 2＝k 2＋22k －2k 2＋2，y 2＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝ 2. 9．(2015·福建福州质检)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝b ax 对称，则该双曲线的离心率为________．答案5解析由题意可知双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝bx a 对称，则PF 1⊥PF 2.又|PF 2||PF 1|＝ba，联立|PF 2|－|PF 1|＝2a ，|PF 2|2＋|PF 1|2＝(2c )2，可得b 3＋a 2b ＝2c 2a .所以b ＝2a ，e ＝ 5.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．答案 (1)±2 2 (2)4解析 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点．从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.11.(2015·四川成都七中适应性训练)如图所示，设抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点F 2.椭圆C 2以F 1和F 2为焦点，离心率e ＝12.设P 是C 1与C 2的一个交点．(1)求椭圆C 2的方程；(2)直线l 过C 2的右焦点F 2，交C 1于A 1，A 2两点，且|A 1A 2|等于△PF 1F 2的周长，求直线l 的方程．答案 (1)x 24＋y 23＝1(2)y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)解析 (1)由条件，F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 2的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为12知长半轴长为2，从而C 2的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知△PF 1F 2的周长|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝6.又C 1：y 2＝4x ，而F 2(1,0)．若l 垂直于x 轴，易得|A 1A 2|＝4，矛盾，故l 不垂直于x 轴，可设其方程为y ＝k (x －1)，与C 1方程联立可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，从而|A 1A 2|＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·k 2＋2－4k4k 2＝k 2＋k 2.令|A 1A 2|＝6可解出k 2＝2，故l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)．12．(2014·陕西文)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．答案 (1)x 24＋y 23＝1(2)y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33思路 (1)构造关于a ，b ，c 的方程组；(2)利用直线与圆的位置关系得|CD |，直线的方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得|AB |，构造关于m 的方程求m ，进而得出直线l 的方程．解析 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1，得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0.由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3.∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－m 2－＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*)． ∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.13．(2014·辽宁理)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1过点P 且离心率为 3.(1)求C 1的方程；(2)椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点P ，求l 的方程．答案 (1)x 2－y 22＝1(2)x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0思路 (1)先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母的值；(2)利用关系设出椭圆方程，再利用直线与椭圆的位置关系求解．解析 (1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，则切线斜率为－x 0y 0，切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，即x 0x ＋y 0y ＝4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S ＝12·4x 0·4y 0＝8x 0y 0.由x 20＋y 20＝4≥2x 0y 0知当且仅当x 0＝y 0＝2时，x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 的坐标为(2，2)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－2b2＝1，a 2＋b 2＝3a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝2.故C 1的方程为x 2－y 22＝1.(2)由(1)知C 2的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，由此设C 2的方程为x 23＋b 21＋y 2b 21＝1，其中b 1＞0.由P (2，2)在C 2上，得23＋b 21＋2b 21＝1.解得b 21＝3，因此C 2的方程为x 26＋y 23＝1.显然，l 不是直线y ＝0.设l 的方程为x ＝my ＋3，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋3，x 26＋y 23＝1，得(m 2＋2)y 2＋23my －3＝0.又y 1，y 2是方程的根，因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－23mm 2＋2， ①y 1y 2＝－3m 2＋2. ②由x 1＝my 1＋3，x 2＝my 2＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m y 1＋y2＋23＝43m 2＋2， ③x 1x 2＝m 2y 1y 2＋3my 1＋y 2＋3＝6－6m 2m 2＋2. ④因为AP →＝(2－x 1，2－y 1)，BP →＝(2－x 2，2－y 2)，由题意知AP →·BP →＝0，所以x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0.⑤ 将①②③④代入⑤整理，得2m 2－26m ＋46－11＝0. 解得m ＝362－1或m ＝－62＋1.因此直线l 的方程为x －(362－1)y －3＝0或x ＋(62－1)y －3＝0.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练5(含解析)

题组层级快练(五)1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x答案 D 解析因为y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为{x |x ≠0}，故D 项正确．2．函数y ＝的定义域是( )A ．(－3，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，－2)D ．(－∞，－2]答案 B 3．函数y ＝|x x －的定义域为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |x ≥1或x ＝0}C ．{x |x ≥0}D ．{x |x ＝0}答案 B解析由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．(2014·山东理)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 (log 2x )2－1＞0，即log 2x ＞1或log 2x ＜－1，解得x ＞2或0＜x ＜12，故所求的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．5．(2015·衡水调研卷)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 015]，则函数g (x )＝f x ＋lg x的定义域是( )A ．(0,2 014]B ．(0,1)∪(1,2 014]C ．(1,2 015]D ．[－1,1)∪(1,2 014]答案 B解析使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 015，x >0且x ≠1，解得0<x <1或1<x ≤2 014.故函数g (x )的定义域为(0,1)∪(1,2 014]．故选B.6．函数y ＝14－x－3·2x－4的定义域为( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 A 7．函数y ＝(12)的值域为( )A ．(－∞，12]B ．[12，1]C ．[12，1)D ．[12，＋∞)答案 C解析由于x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，结合函数y ＝(12)x在(0,1]上的图像可知函数y ＝(12)1x ＋1的值域为[12，1)． 8．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则总不改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10tB ．h (t )＝t 2C ．h (t )＝sin tD ．h (t )＝log 2t答案 D解析 ∵log 2t ∈R ，故选D.9．若函数y ＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是[2,2b ](b >1)，则( )A ．b ＝2B ．b ≥2C ．b ∈(1,2)D ．b ∈(2，＋∞)答案 A解析 ∵函数y ＝12x 2－2x ＋4＝12(x －2)2＋2，其图像的对称轴为直线x ＝2，∴在定义域[2,2b ]上，y为增函数．当x ＝2时，y ＝2；当x ＝2b 时，y ＝2b .故2b ＝12×(2b )2－2×2b ＋4，即b 2－3b ＋2＝0，得b 1＝2，b 2＝1.又∵b >1，∴b ＝2.10．(2014·东城区)设函数f (x )＝2x1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－2,0}答案 B解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1，又2x>0，∴－12<f (x )<12.∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．11．(2013·安徽文)函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________．答案 (0,1]解析根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．12．函数y ＝4x 2－3x －3|x ＋1|－2的定义域为________．答案 {x |x <－3或－3<x ≤－1或x ≥4} 13．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x 的值域为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．解析由y ＝10x ＋10－x10x －10－x ，得y ＋1y －1＝102x. ∵102x>0，∴y ＋1y －1>0. ∴y <－1或y >1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 14．函数y ＝xx 2＋x ＋1(x >0)的值域是________．答案 (0，13]解析由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x＋1≤12x ·1x＋1＝13，因此该函数的值域是(0，13]．15．若函数f (x )＝a x－1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于__________．答案3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a 2－1＝2，a 0－1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2－1＝0，a 0－1＝2.解得a ＝ 3.16．若函数f (x )＝exx 2＋ax ＋a 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．答案 (0,4)解析 ∵f (x )的定义域为R ， ∴x 2＋ax ＋a ≠0恒成立． ∴Δ＝a 2－4a <0，∴0<a <4. 即当0<a <4时，f (x )的定义域为R .17．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求实数a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．答案 (1)a ＝－1或a ＝32 (2)[－194，4]解析 f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6＝(x －2a )2＋2a ＋6－4a 2. (1)∵函数值域为[0，＋∞)，∴2a ＋6－4a 2＝0. 解得a ＝－1或a ＝32.(2)∵函数值域为非负数集，∴2a ＋6－4a 2≥0. 即2a 2－a －3≤0，解得－1≤a ≤32.∴f (a )＝2－a |a ＋3|＝2－a (a ＋3)＝－(a ＋32)2＋174.∴f (a )在[－1，32]上单调递减．∴－194≤f (a )≤4.即f (a )值域为[－194，4]．18．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，－1]∪(53，＋∞) (2)[1，53]解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝a ＋2－a 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a ＞53或a <－1.∴a <－1或a >53.又a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a >53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f (x )的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a ≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.1．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( ) A ．[－5，－1] B ．[－2,0] C ．[－6，－2] D ．[1,3]答案 A解析 ∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3. ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1.2．定义：区间[x 1，x 2](x 1＜x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．答案 1解析 [a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练6(含解析)

题组层级快练(六)1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案 C解析对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数． 2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝xx －1答案 D3．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案 D解析根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．4．函数f (x )＝1－1x －1( ) A ．在(－1，＋∞)上单调递增 B ．在(1，＋∞)上单调递增 C ．在(－1，＋∞)上单调递减 D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B解析 f (x )可由－1x沿x 轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得，如图所示．5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)答案 A解析当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a >1. 由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.7．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－3 B ．a ≤－3 C ．a >－3 D ．a ≥－3答案 B解析对称轴x ＝1－a ≥4，∴a ≤－3.8．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A 解析满足f x 2－f x 1x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A.9．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f (x )＝a x 在R 上为减函数，则有0<a <1.若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0. ∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．11．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.12．若函数y ＝－|x |在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥0解析 y ＝－|x |在[0，＋∞)上单调递减，∴a ≥0.13．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析函数图像如图. 14．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈－∞，，②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈，＋，③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈－∞，，④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈，＋能使函数y ＝log a 1x2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析利用复合函数的性质，①④正确． 15．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．答案 12解析当x ＝0时，y ＝0. 当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，∵x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12.16．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数； ③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．17．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案－1解析由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x保值区间[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.18．试判断函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．答案单调递增，证明略解析方法一：函数f (x )＝x 2－1x在(0，＋∞)上是单调增函数．设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22－(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二：f ′(x )＝2x ＋1x2.当x >0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．19．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．答案 (1)a >1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x |x >0且x ≠1}；0<a <1时，{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a } (2)lg a2(3)(2，＋∞)解析 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }． (2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋ax－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg(x ＋a x －2)在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋ax－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2.而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2. ∴a >2.1．若函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个单调递增区间是( ) A ．(3,8) B ．(－7，－2) C ．(－3，－2) D ．(0,5)答案 B解析令－2<x ＋5<3，得－7<x <－2.2．若函数y ＝f (x )在R 上单调递增，且f (m 2＋1)>f (－m ＋1)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案 D解析由题意得m 2＋1>－m ＋1，故m 2＋m >0，故m <－1或m >0. 3．函数f (x )＝log 12(3－2x )的单调递增区间是________．答案 (－∞，32)4．函数y ＝x ＋x ＋4的最小值是________．答案 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋4≥0，得x ≥0.又函数y ＝x ＋x ＋4在[0，＋∞)上是增函数，所以函数的最小值为0＋4＝2.5．函数f (x )＝(13)x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案 3解析由于y ＝(13)x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减．故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x 2－3x ＋2|； (2)y ＝2－x x ＋3.解析 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2 x ≤1或x，－x 2－3x ＋＜x ＜根据图像，可知，单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.(2)y ＝2－x x ＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋3＝－1＋5x ＋3. 方法一：图像法：作出函数的图像，得函数的单调递减区间是(－∞，－3)和(－3，＋∞)．方法二：利用已知函数的单调性：f (x )的图像是由y ＝5x的图像先向左平移3个单位，再向下平移一个单位得到的，∵y ＝5x在(－∞，0)，及(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )＝2－xx ＋3在(－∞，－3)，及(－3，＋∞)上也是减函数．方法三：定义法(略)7．写出下列函数的单调区间：(1)y ＝|x －32|； (2)y ＝2x ＋4x －2； (3)y ＝|x |(1－x )．答案 (1)减区间(－∞，32)，增区间(32，＋∞)(2)减区间(－∞，2)，(2，＋∞)(3)增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，减区间(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。

2016届高考数学一轮温习题组层级快练88含解析

题组层级快练(八十八)1．如图，已知点A，D在直线BC上的射影别离为B，C，点E为线段AD的中点，那么BE与CE的大小关系为( )A．BE>CE B．BE<CEC．BE＝CE D．无法确定答案C解析过点E作EF⊥BC于F，那么AB∥EF∥CD.因为E为AD的中点，因此F为BC的中点．因此EF是BC的中垂线，那么BE＝CE.2．如图，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶2，那么AD∶BF＝( )A．5∶3 B．5∶2C．3∶2 D．2∶1答案 B解析由题可得△BEF∽△CDF，∴DCBE＝DFEF＝32，∴ADBF＝DEEF＝DFEF＋1＝52.3．如下图，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，那么BM－DN＝( )A．6 B．3C．2 D．4答案 A解析∵E，F为BD的三等分点，四边形ABCD为平行四边形，∴M为BC的中点．连CF交AD于P，那么P为AD的中点，由△BCF∽△DPF及M为BC中点知，N为DP的中点，∴BM－DN＝12－6＝6，应选A.4.如右图，DE∥BC，DF∥AC，AD＝4 cm，BD＝8 cm，DE＝5 cm，那么线段BF的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm答案 D解析 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形． ∴FC ＝DE ＝5 cm.∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BDDA.即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 5．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，那么CD ∶BD ＝( ) A ．3∶2 B ．2∶3 C ．9∶4 D ．4∶9答案 D解析由△ABD ∽△CBA ，得AB 2＝BD ·BC . 由△ADC ∽△BAC ，得AC 2＝DC ·BC .∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 6.(2021·梅州联考)如下图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，那么折痕FG 的长为( )A ．13答案 C解析过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，那么四边形AFGH 为平行四边形． ∴AH ＝FG .∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称． ∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH .∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH .∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13. ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656. 7.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，假设BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，那么AB 的长为________．答案 92解析AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13.∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92. 8.如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD ∶BD ＝3∶2，那么斜边AB 上的中线CE 的长为________．答案562解析 ∵CD 2＝BD ·AD ，设BD ＝2k ，那么AD ＝3k ，∴36＝6k 2，∴k ＝6，∴AB ＝5k ＝5 6. ∴CE ＝12AB ＝562.9.(2021·广东梅州联考)如图，在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，过B 作CA 的垂线，交CA 的延长线于E ，交DA 的延长线于F ，那么AF ＝________.答案433解析设AE ＝x ，∵∠BAC ＝120°，∴∠EAB ＝60°.又AE BE ＝x 3x ＝13，在Rt △AEF 与Rt △BEC 中，∠F ＝90°－∠EAF ＝90°－∠DAC ＝∠C ， ∴△AEF ∽△BEC ，∴AF BC ＝AE BE. ∴AF ＝4×13＝433.10.如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .证明在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴AD QC＝2. ∵BP PC ＝3，∴BCPC＝4. 又∵BC ＝2DQ ，∴DQPC＝2. 在△ADQ 和△QCP 中，AD QC ＝DQPC，且∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP .11.如下图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，因此∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，因此△AFH ∽△GFB . 因此HF BF ＝AFGF，故AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，由射影定理，得DF 2＝AF ·BF .故DF 2＝GF ·HF .12．如图，在△ABC 中，BC >AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连接EF .(1)求证：EF ∥BC ；(2)假设四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积．答案 (1)略 (2)8解析 (1)证明：∵CF 平分∠ACB ，∴∠ACF ＝∠DCF . 又∵DC ＝AC ，∴CF 是△ACD 的中线． ∴点F 是AD 的中点．∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，即EF ∥BC . (2)由(1)知，EF ∥BD ，∴△AEF ∽△ABD . ∴S △AEF S △ABD ＝(AE AB)2. 又∵AE ＝12AB ，S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE＝S △ABD －6，∴S △ABD －6S △ABD ＝(12)2，∴S △ABD ＝8. ∴△ABD 的面积为8.13．(2021·贵阳市高三适应性监测考试)如图，已知圆O 两弦AB 与CD 交于点E ，EF ∥AD ，EF 与CB 延长线交于点F ，FG 切圆O 于点G .(1)求证：△BEF ∽△CEF ； (2)求证：FG ＝EF .证明 (1)因为EF ∥AD ，因此∠FEA ＝∠DAB .又∠DAB ＝∠BCD ，因此∠FEB ＝∠FCD . 又∠BFE ＝∠BFE ，因此△BEF ∽△ECF .(2)由(1)得EF FC ＝FB FE，因此EF 2＝FC ·FB . 又因为FG 2＝FB ·FC ，因此EF 2＝FG 2. 因此FG ＝EF .14.(2021·沧州七校联考)如图，点A 为圆外一点，过点A 作圆的两条切线，切点别离为B ，C ，ADE 是圆的割线，连接CD ，BD ，BE ，CE .(1)求证：BE ·CD ＝BD ·CE ；(2)延长CD ，交AB 于点F ，假设CE ∥AB ，证明：F 为线段AB 的中点．证明 (1)如图，由题意可得 ∠ACD ＝∠AEC ，∠CAD ＝∠EAC ，∴△ADC ∽△ACE ，∴CD CE ＝AC AE .同理△ADB ∽△ABE ，BD BE ＝AB AE.又∵AB ＝AC ， ∴CD CE ＝BDBE，∴BE ·CD ＝BD ·CE . (2)如图，由切割线定理，得FB 2＝FD ·FC . ∵CE ∥AB ，∴∠FAD ＝∠AEC .又∵AC 切圆于C ，∴∠ACD ＝∠AEC ，∴∠FAD ＝∠FCA ，又∠F ＝∠F ， ∴△AFD ∽△CFA ，∴AF CF ＝FD AF，即AF 2＝FD ·FC . ∵FB 2＝AF 2，即FB ＝FA ，∴F 为线段AB 的中点．。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练2(含解析)

题组层级快练(二)1．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b是无理数，则ab 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B2．(2015·郑州质检)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 答案 D解析 a ＝b ＝0是a ＝0，且b ＝0的意思，含有“且”“或”语句在否定时的规律是“且”变为“或”，“或”要变为“且”．3．“a >1”是“1a<1”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B4．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 ab ＝0⇒/ a ＝0，但a ＝0⇒ab ＝0，因此，p 是q 的必要不充分条件，故选B. 5．(2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由q ⇒綈p 且綈p ⇒/ q 可得p ⇒綈q 且綈q ⇒/ p ，所以p 是綈q 的充分而不必要条件． 6．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析由a >b ＋1，得a >b ＋1>b ，即a >b ，而由a >b 不能得出a >b ＋1，因此，使a >b 成立的充分不必要条件是a >b ＋1，选A.7．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0 B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y | C ．甲：xy ＝0 乙：x ，y 至少有一个为零 D ．甲：x <y 乙：x y<1 答案 B解析选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲/⇒乙，乙⇒甲．选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x ，y 至少有一个为0或同号．故甲⇒乙且乙/⇒甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲/⇒乙． 8．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca＝k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝csin A .因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C.9．(2015·《高考调研》原创题)“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0，故选B.10．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |答案 C解析因为a |a |＝b |b |，则向量a |a |与b |b |是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使a |a |＝b|b |成立的充分条件为C 项．11．(2014·天津理)设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(1)“x >y >0”是“1x <1y”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y .(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．13．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．答案必要不充分解析可举例子，比如x ＝－0.5，y ＝－1.4，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝1.1，y ＝1.5，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件．14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0}；命题乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．答案 2解析设⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，3x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意，甲是乙的充分条件，则B ⊆A ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝12×4×1＝2.15．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的________条件．答案充分不必要解析当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x≥2x ·14x ＝1，而对任意的正数x ，要使x ＋ax≥1，只需f (x )＝x ＋a x 的最小值大于或等于1即可，而在a 为正数的情况下，f (x )＝x ＋a x的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．16．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 0<a ≤5－2解析由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②.由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.17．已知f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．答案略解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. (用反证法证明)假设a ＋b <0，则有a <－b ，b <－a . ∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看，故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真． (2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，则a ＋b <0. 原命题为真，证明如下： ∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )．∴f (a )＋f (b )≥f (－b )＋f (－a )＝f (－a )＋f (－b )． ∴原命题为真命题． ∴其逆否命题也为真命题．18．(2015·江苏兴化月考)已知命题：“∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题． (1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求实数a 的取值范围．答案 (1){m |－14≤m <2}(2)(－∞，－14)∪(94，＋∞)解析 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1,1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易知M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，解集N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，a >94或a <－14.1．0＜x ＜2是不等式|x ＋1|＜3成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由|x ＋1|<3，得－4<x <2.2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2k π(k ∈Z )，知2α＝π3＋4k π(k ∈Z )，则cos2α＝cos π3＝12成立，当cos2α＝12时，2α＝2k π±π3，即α＝k π±π6(k ∈Z )，故选A.3．(2015·青岛一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由已知，a ＋b ＝(2,2＋m )．若m ＝－6，则a ＋b ＝(2，－4)，a ∥(a ＋b )成立；若a ∥(a ＋b )，则2－1＝m ＋22，m ＝－6，所以“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件，选A. 4．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件，故选A.5．(2015·烟台一模)以q 为公比的等比数列{a n }中，a 1>0，则“a 1<a 3”是“q >1”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析在等比数列中，若a 1>0，则由a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1.由“q >1”可推得“q >1或q <－1”成立，但是反之不成立，故“a 1<a 3”是“q >1”的必要而不充分条件，故选A.6．(2015·东北三省一模)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B 解析 ∵q ：3x ＋1<1，∴3x ＋1－1<0，∴2－x x ＋1<0. ∴(x －2)·(x ＋1)>0，∴x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B.7．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( ) A ．否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题 B ．逆否命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题 C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题 D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题答案 D解析 f ′(x )＝e x －m ≥0，∴m ≤e x .又∵x >0，∴e x>1.∴m ≤1，故原命题正确，因此选D.8．给出命题：“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”．对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题有________个．答案 2解析逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d . 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＝b 且c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d . 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d .取a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝2，则有a ≠b 或c ≠d 为真，但a ＋c ＝b ＋d ，知原命题为假；逆命题的真假不易判断，但否命题显然为真命题．根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题都是互为逆否关系，真假性相同，可知4个命题中的真命题有2个．9．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．答案－1解析由x 2>1，得x <－1或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练62(含解析)

题组层级快练(六十二)1．若椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D解析 ∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝4 3.故选D.2．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 答案 A解析圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝16. 知其半径r ＝4，∴长轴长2a ＝4，∴a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．已知曲线C 上的动点M (x ，y )，向量a ＝(x ＋2，y )和b ＝(x －2，y )满足|a |＋|b |＝6，则曲线C 的离心率是( )A.23B. 3C.33D.13答案 A解析因为|a |＋|b |＝6表示动点M (x ，y )到两点(－2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C 是椭圆且长轴长2a ＝6，即a ＝3.又c ＝2，∴e ＝23.4．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3B ．3或253C.15D.15或5153答案 B解析若焦点在x 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧5>m ，5－m 5＝105.∴m ＝3.若焦点在y 轴上，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >5，m －5m＝105.∴m ＝253. 5．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 B解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，P 的轨迹是椭圆．6．(2015²广东韶关调研)已知椭圆与双曲线x 24－y 212＝1的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( )A.35B.45C.54D.34 答案 B解析因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以根据椭圆的定义可得2a ＝10⇒a ＝5，则c ＝4＋12＝4，e ＝c a ＝45，故选B.7．(2015²广东广州二模)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为( )A.16B.13C.36D.33答案 D解析设PF 1的中点为M ，连接PF 2，由于O 为F 1F 2的中点，则OM 为△PF 1F 2的中位线，所以OM ∥PF 2.所以∠PF 2F 1＝∠MOF 1＝90°.由于∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2|PF 2|. 由勾股定理，得|F 1F 2|＝|PF 1|2－|PF 2|2＝3|PF 2|.由椭圆定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3|PF 2|⇒a ＝3|PF 2|2，2c ＝|F 1F 2|＝3|PF 2|⇒c ＝3|PF 2|2.所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝3|PF 2|2²23|PF 2|＝33.故选D. 8．(2015²河北邯郸一模)已知P 是椭圆x 225＋y 2b2＝1(0<b <5)上除顶点外一点，F 1是椭圆的左焦点，若|OP→＋OF 1→|＝8，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( )A ．6B ．4C ．2 D.52答案 C解析取PF 1的中点M ，连接OM ，OP →＋OF 1→＝2OM →，∴|OM |＝4.在△F 1PF 2中，OM 是中位线，∴|PF 2|＝8.∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1|＝2，故选C.9．(2015²北京海淀期末练习)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →²F 2A →的最大值为( )A.32B.332 C.94 D.154 答案 B解析由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →²F 2A →＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →²F 2A →的最大值为332.故B 正确．10．(2015²河北唐山二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A ．[12，1)B ．[22，32]C ．[22，1) D ．[32，1) 答案 C解析在椭圆长轴端点向圆引两条切线P ′A ，P ′B ，则两切线形成的角∠AP ′B 最小，若椭圆C 1上存在点P 令切线互相垂直，则只需∠AP ′B ≤90°，即α＝∠AP ′O ≤45°.∴sin α＝b a ≤sin45°＝22，解得a 2≤2c 2，∴e 2≥12. 即e ≥22.而0<e <1，∴22≤e <1，即e ∈[22，1)． 11．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．答案x 216＋y 28＝1 解析根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y28＝1.12．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 的距离为6，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.答案 2解析设右焦点为F ′，由OM →＝12(OP →＋OF →)知M 为线段PF 中点，∴|OM →|＝12|PF ′→|＝12(10－6)＝2.13．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →²AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．答案3解析 ∵PM →²AM →＝0，∴AM →⊥PM →. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1.∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP →|min ＝2，∴|PM →|min ＝ 3.14．已知点A (4,0)和B (2,2)，M 是椭圆x 225＋y 29＝1上一动点，则|MA |＋|MB |的最大值为________．答案 10＋210解析显然A 是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A 1(－4,0)，连接BA 1并延长交椭圆于M 1，则M 1是使|MA |＋|MB |取得最大值的点．事实上，对于椭圆上的任意点M 有：|MA |＋|MB |＝2a －|MA 1|＋|MB |≤2a ＋|A 1B |(当M 1与M 重合时取等号)，∴|MA |＋|MB |的最大值为 2a ＋|A 1B |＝2³5＋62＋22＝10＋210.15.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．答案 (1)22 (2)x 23＋y22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1,0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.16．(2014²新课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27思路本题主要考查椭圆的方程与基本量，考查椭圆的几何性质与离心率的计算，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查考生的分析转化能力与运算求解能力．(1)将M ，F 1的坐标都用椭圆的基本量a ，b ，c 表示，由斜率条件可得到a ，b ，c 的关系式，然后由b2＝a 2－c 2消去b 2，再“两边同除以a 2”，即得到离心率e 的二次方程，由此解出离心率．若能抓住△MF 1F 2是“焦点三角形”，则可利用△MF 1F 2的三边比值快速求解，有：|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝2c ³34＝32c ，则|MF 1|＝52c ，由此可得离心率e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝12.(2)利用“MF 2∥y 轴”及“截距为2”，可得y M ＝b 2a ＝4，此为一个方程；再转化条件“|MN |＝5|F 1N |”为向量形式，可得到N 的坐标，代入椭圆得到第二个方程．两方程联立可解得a ，b 的值．解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a .① 由|MN |＝5|F 1N |，得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2 －c －x 1 ＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 a 2－4a 4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D解析如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ， ∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20.2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.34答案 A解析由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，∴e ＝c a ＝12.3．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(3，163)C ．(0,3)∪(163，＋∞)D ．(0,2)答案 C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件知14<4－k4<1，解得0<k <3，综上知选C.4．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A ，B ，则△ABM 的周长为______________．答案 8解析直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M ，N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4³2＝8.5．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．答案 (1)x 216＋y 212＝1 (2)1≤m ≤4解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a b ＝23，a 2＝b 2＋4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 2012＝1，∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20 ＝x 20－2mx 0＋m 2＋12(1－x 2016)＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12 ＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12(－4≤x 0≤4)． ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m . 由题意知，当x 0＝4时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1. 又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练16(含解析)

题组层级快练(十六)1．函数y ＝x 2(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(2，＋∞) C ．(0,2) D ．(－2,2)答案 C解析 y ′＝3x 2－6x ，由y ′＜0，得0＜x ＜2. 2．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D. 3．(2015·湖北八校联考)函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A ．(0，1a)B ．(1a，＋∞)C ．(－∞，1a)D ．(－∞，a )答案 A解析由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.∴f (x )的单调递增区间为(0，1a)．4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a (3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33. ∴f (x )＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)， ∴a ＞0.5．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－xD ．y ＝－3125x 3＋15x答案 A解析设所求函数解析式为y ＝f (x )，由题意知f (5)＝－2，f (－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.6．若函数f (x )＝(x 2－2x )e x在(a ，b )上单调递减，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．2 2答案 D解析 f ′(x )＝(2x －2)e x ＋(x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x，令f ′(x )<0，∴－2<x < 2.即函数f (x )的单调递减区间为(－2，2)． ∴b －a 的最大值为2 2.7．(2015·冀州中学模拟)若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则使函数f (x －1)单调递减的一个充分不必要条件是x ∈( )A ．(0,1)B ．[0,2]C ．(2,3)D ．(2,4)答案 C解析由f ′(x )<0⇔x 2－4x ＋3<0，即1<x <3，∴函数f (x )在(1,3)上单调递减． ∴函数f (x －1)在(2,4)上单调递减．故D 为充要条件，C 为充分不必要条件．8．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)答案 C解析 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1>－1，∴b ≤－1，故选C.9．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A ．a 0. 即f (x )在(－∞，1)上单调递增，f (－1)<f (0)<f (12)，即c <a <b .10．已知函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)答案 C解析根据函数f (x )(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．11．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如下图所示．下面四个图像中y ＝f (x )的图像大致是( )答案 C解析由题意知，x ∈(0,1)时，f ′(x )<0.f (x )为减函数；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.f (x )为增函数； x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0.f (x )为减函数．12．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调增区间为________．答案 (π3，5π3)解析 ∵y ′＝1－2cos x ，∴由⎩⎪⎨⎪⎧y ′>0，0<x <2π，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x >0，0<x <2π，得π3<x <5π3. ∴函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．13．若函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，f ′(x )>1，则不等式f (x )－x >0的解集为________．答案 (2，＋∞)解析令g (x )＝f (x )－x ，∴g ′(x )＝f ′(x )－1. 由题意知g ′(x )>0，∴g (x )为增函数． ∵g (2)＝f (2)－2＝0， ∴g (x )>0的解集为(2，＋∞)．14．若函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.15．已知函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k >0)的单调递减区间是(0,4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－k －k ≥4，解得k ≤13.又k >0，故0<k ≤13.16．已知a 是实数，求函数f (x )＝x (x －a )的单调区间．答案 ①a >0时，单调递减区间为[0，a 3]，单调递增区间为[a3，＋∞)②a ≤0时，f (x )单调递增区间为[0，＋∞)17．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．答案 (1)k ＝1 (2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞) 解析 (1)由f (x )＝ln x ＋kex，得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x>0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 18．(2015·山东师大附中)已知函数f (x )＝x －ax－ln x ，a >0. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )>x －x 2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．答案 (1)0<a <14时，单调递增区间为(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a2，＋∞)，单调递减区间为(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)；a ≥14时，单调递增区间为(0，＋∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由于f ′(x )＝1＋a x 2－1x ＝x 2－x ＋ax 2，令m (x )＝x 2－x ＋a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，f ′(x )≥0恒成立，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②当Δ＝1－4a >0，即0<a <14时，由x 2－x ＋a >0，得0<x <1－1－4a 2或x >1＋1－4a 2.所以f (x )在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数．综上知，当0<a <14时，f (x )在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a2，1＋1－4a2)上是减函数．当a ≥14时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)f (x )>x －x 2，即x 2－ax－ln x >0，因为x ∈(1，＋∞)，所以a <x 3－x ln x .令g (x )＝x 3－x ln x ，h (x )＝g ′(x )＝3x 2－ln x －1，h ′(x )＝6x －1x ＝6x 2－1x，在(1，＋∞)上h ′(x )>0，得h (x )>h (1)＝2，即g ′(x )>0，故g (x )＝x 3－x ln x 在(1，＋∞)上为增函数，g (x )>g (1)＝1，所以0<a ≤1.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立．m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x，则当1x ＝1时，函数g (x )取得最大值1，故m ≥1.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练40(含解析)

题组层级快练(四十)1．(2014·天津文)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 D解析 S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6. ∵S 22＝S 1S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)． ∴4a 21－4a 1＋1＝4a 21－6a 1⇒a 1＝－12.2．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，∴a 7＝a 3＋a 112＝4＝b 7.又{b n }为等比数列，b 6·b 8＝b 27＝16，故选D.3．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析记等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，则有a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，q 2－2q －1＝0，q ＝1± 2. 又q >0，因此q ＝1＋ 2.所以a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.选C.4．已知{a n }，{b n }均为等差数列，且a 2＝8，a 6＝16，b 2＝4，b 6＝a 6，则由{a n }，{b n }的公共项组成的新数列{c n }的通项公式c n ＝( )A ．3n ＋4B ．6n ＋2C ．6n ＋4D ．2n ＋2答案 C解析设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则d 1＝a 6－a 26－2＝84＝2，d 2＝b 6－b 26－2＝124＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2n ＋4，b n ＝b 2＋(n －2)×3＝3n －2.∴数列{a n }为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{b n }为1,4,7,10,13,16,19,22，…. ∴{c n }是以10为首项，以6为公差的等差数列． ∴c n ＝10＋(n －1)×6＝6n ＋4.5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64答案 D解析依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1.两式相除，得a n ＋2a n＝2. 所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32. 又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 C ．3 D ．4答案 A解析由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316.故a ＋b ＋c ＝1，故选A.7．数列{a n }是等差数列，若a 1，a 3，a 4是等比数列{b n }中的连续三项，则数列{b n }的公比为________．答案 12或1解析设数列{a n }的公差为d ，由题可知，a 23＝a 1·a 4，可得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，整理得(a 1＋4d )d ＝0，解得d ＝0或a 1＝－4d .当d ＝0时，等比数列{b n }的公比为1；当a 1＝－4d 时，a 1，a 3，a 4分别为－4d ，－2d ，－d ，所以等比数列{b n }的公比为12.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．答案 13解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0.∴q ＝13.9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是－x ，另一个是x ＋3.设第n 次生成的数的个数为a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________；若x ＝1，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为T n ，则T 4＝________. 答案 2n－1,10解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故S n ＝1－2n1－2＝2n－1.当x ＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T 4＝10.10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n)，….若n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．答案 23(4n－1)解析 P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k)，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝－4n1－4＝23(4n－1)． 11．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8.{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．答案 (1)a n ＝n ，b n ＝2n －1(2)29解析 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.12．(2014·湖北)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．答案 (1)a n ＝2或a n ＝4n －2 (2)当a n ＝2时，不存在，当a n ＝4n －2时，存在，n 最小值为41 解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )．化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋n －2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)．此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.13．某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩．(1)求该林场第6年植树的面积；(2)设前n (1≤n ≤10且n ∈N )年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．答案 (1)该林场第6年植树的面积为80a 亩 (2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a 32n－1]，n ≤5，n ∈N ，211a ＋a －nan －2，n ≤10，n ∈N解析 (1)该林场前5年的植树面积分别为16a,24a,36a,54a,81a . ∴该林场第6年植树的面积为80a 亩． (2)设第n 年该林场植树的面积为a n 亩，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －1×16a ，n ≤5，n ∈N ，－n a ，n ≤10，n ∈N∴当1≤n ≤5时，S n ＝16a ＋24a ＋…＋(32)n －1×16a＝16a [1－32n]1－32＝32a [(32)n－1](亩)．当6≤n ≤10时，S n ＝16a ＋24a ＋36a ＋54a ＋81a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋80a ＋…＋(86－n )a ＝211a ＋[80a ＋－n a n －2＝211a ＋a －nan －2(亩)．∴所求S n 的表达式为 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32a 32n－1]，n ≤5，n ∈N ，211a ＋a －nan －2，n ≤10，n ∈N14．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n . 答案 (1)a n ＝n ＋1 (2)略 (3)略解析 (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1. (2)∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴{b n }是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n .∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)] ＝23n ＋1(－2n －1)<0.∴c n ＋1<c n .1．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2013＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011答案 A解析由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010，选A.2．气象局用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天答案 B解析由第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋＋n ＋4910n2n＝3.2×104n ＋n 20＋9920，当且仅当3.2×104n＝n20时取得最小值，此时n ＝800，故选B.3．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了2个伙伴；第二天3只密蜂飞出去，各自找回了2个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去且都能找回2个伙伴，第五天所有蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．答案 243解析第一天有1＋2只，第二天有a 2＝3a 1＝9只，第三天有a 3＝3a 2＝27只，……，故第n 天为a n＝3n ，则a 5＝35＝243只．4．设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．答案 10 100解析由x 2－x <2nx (n ∈N *)，得0<x <2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝＋2＝10 100.5．为了增强环保建设，提高社会效益和经济效益，郑州市计划用若干年更换10 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )；(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a 的最小值．答案 (1)S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －2a (2)147解析 (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，数列{b n }是首项为400，公差为a的等差数列．所以数列{a n }的前n 项和S n ＝128×[1－32n]1－32＝256[(32)n－1]．数列{b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n n －2a .所以经过n 年，该市被更换的公交车总数 S (n )＝S n ＋T n ＝256[(32)n －1]＋400n ＋n n －12a .(2)若用7年的时间完成全部更换，则S (7)≥10 000，即256×[(32)7－1]＋400×7＋7×62a ≥10 000，即21a ≥3 082，所以a ≥3 08221.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练56(含解析)

题组层级快练(五十六)(第一次作业)1．(2015·合肥一检)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90°答案 B解析连接A 1D ，DC 1，A 1C 1，∵E ，F 为A 1D ，A 1C 1中点， ∴EF ∥C 1D .∴EF 和CD 所成角即为∠C 1DC ＝45°.2．(2015·济宁模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y，z 轴建系，令AD ＝1，∴DB 1→＝(1,1,1)，CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515. ∴sin 〈DB →，CM →〉＝21015.3.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝AA 1＝2，∴C 1(2,0,2)，E (0,1,0)，F (0,0,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)． ∴EF →·BC 1→＝2，记EF →，BC 1→所成角为θ. ∴cos θ＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成角为60°.4．(2015·沧州七校联考)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )A.12B.32C.35D.45答案 D解析取AC 中点E ，令AB ＝2，分别以EB ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．B 1(3，0,2)，C (0,1,0)，A (0，－1,0)，D (0,0,2)，DB 1→＝(3，0,0)，DC →＝(0,1，－2)，DA →＝(0，－1，－2)，平面B 1DC 法向量为n ＝(0,2,1)，∴cos 〈DA →，n 〉＝－45.∴AD 与面B 1DC 所成的角正弦值为45.5．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32 B.52 C.105D.1010答案 C解析连接A 1C 1交B 1D 1于O 点，由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1，且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连接BO ，则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影，∠C 1BO 即为所求，OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22，BC 1＝42＋22＝2 5.计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105. 6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB ＝PA ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析以A 点为坐标原点，AP ，AB ，AD 分别为x ，y ，z 轴建系且设AB ＝1， ∴C (1,1,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． ∴设面CDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎨⎧n ·CD →＝x ，y ，z －1，0，＝－x ＝0，n ·DP →＝x ，y ，z，－1，＝－y ＋z ＝0.令y ＝1，∴n ＝(0,1,1)．又∵AD →为面ABP 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝12＝22.∴二面角为45°.7．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33C.23D.13答案 B解析以正三棱锥O －ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系(图略)，设侧棱长为1，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．侧面OAB 的法向量为OC →＝(0,0,1)，底面ABC 的法向量为n ＝(13，13，13)．∴cos 〈OC →，n 〉＝OC →·n|OC →|·|n |＝131·132＋132＋132＝33. 8．如图所示，正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E ，F 分别是BC ，DD 1的中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255答案 D解析方法一：由VB 1－ABF ＝VF －ABB 1可得解．方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B 1(1,1,0)．设F (0,0，12)，E (12，1,1)，B (1,1,1)，AB →＝(0,1,0)．∴B 1E →＝(－12，0,1)，AF →＝(－1,0，－12)．∵AF →·B 1E →＝(－1,0，－12)·(－12，0,1)＝0，∴AF →⊥B 1E →.又AB →⊥B 1E →，∴B 1E →⊥平面ABF . 平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12，0,1)，AB 1→＝(0,1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255.9.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．答案 (1,1,1)解析连接AC ，BD 交于O ，连接OE ， cos 〈DP →，AE →〉＝33，∴cos ∠AEO ＝33.又∵OA ＝2，∴OE ＝1，∴E 为(1,1,1)．10．如图所示，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值．答案 (1)略 (2)33解析 (1)证明：取AB 的中点O ，连接EO ，DO . 因为EB ＝EA ，所以EO ⊥AB . 因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD .所以AB ⊥平面EOD .因为ED ⊂平面EOD ，所以AB ⊥ED . (2)方法一：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE .则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角．设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE ＝2a ，所以CE ＝3a . 则在直角三角形CBE 中，sin ∠CEB ＝CB CE＝13＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. 方法二：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥OD .由OB ，OD ，OE 两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OD ＝OE .设OB ＝1，则O (0,0,0)，A (－1,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，E (0,0,1)．所以EC →＝(1,1，－1)，平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0,1,0)．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈EC →，OD →〉|＝|EC →·OD →||EC →||OD →|＝33.即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33. 11．(2015·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B ⊥平面ABC ，AB ⊥AC .(1)求证：AC ⊥BB 1；(2)若AB ＝AC ＝A 1B ＝2，在棱B 1C 1上确定一点P ，使二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值为255.答案 (1)略(2)P 为棱B 1C 1的中点时满足题意解析 (1)证明：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，因为A 1B ⊥平面ABC ，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC .因为平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ，AB ⊥AC ，所以AC ⊥平面ABB 1A 1，所以AC ⊥BB 1.(2)如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则C (2,0,0)，B (0,2,0)，A 1(0,2,2)，B 1(0,4,2)，B 1C 1→＝BC →＝(2，－2,0)．设B 1P →＝λB 1C 1→＝(2λ，－2λ，0)，λ∈[0,1]，则P (2λ，4－2λ，2)．设平面PAB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AP →＝(2λ，4－2λ，2)，AB →＝(0,2,0)，所以⎩⎨⎧n 1·AP →＝0，n 1·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2λx ＋－2λy ＋2z ＝0，2y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－λx ，y ＝0.令x ＝1，得n 1＝(1,0，－λ)．而平面ABA 1的一个法向量是n 2＝(1,0,0)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋λ2＝255，解得λ＝12，即P 为棱B 1C 1的中点． 12.(2014·福建理)在平面四边形ABCD 中．AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．答案 (1)略 (2)63解析 (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ， ∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD .以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，则BC →＝(1,1,0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，AD →＝(0,1，－1)．设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 13．(2014·陕西理)四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H .(1)证明：四边形EFGH 是矩形；(2)求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．答案 (1)略 (2)105解析 (1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1.由题设，BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC ＝FG ，平面EFGH ∩平面ABC ＝EH ， ∴BC ∥FG ，BC ∥EH ，∴FG ∥EH . 同理EF ∥AD ，HG ∥AD ，∴EF ∥HG . ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BDC . ∴AD ⊥BC ，∴EF ⊥FG . ∴四边形EFGH 是矩形．(2)方法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，DA →＝(0,0,1)，BC →＝(－2,2,0)，BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵EF ∥AD ，FG ∥BC ，∴n ·DA →＝0，n ·BC →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取n ＝(1,1,0)．∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105. 方法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)． ∵E 是AB 的中点，∴F ，G 分别为BD ，DC 的中点，得E ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，F (1,0,0)，G (0,1,0)．∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，FG →＝(－1,1,0).BA →＝(－2,0,1)．设平面EFGH 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·FE →＝0，n ·FG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12z ＝0，－x ＋y ＝0，取n ＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos 〈BA →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n |BA →||n |＝25×2＝105.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练91(含解析)

题组层级快练(九十一)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析将直线参数方程化为标准形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos20°，y ＝2＋t sin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t(t 为参数)C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |(t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t (t 为参数)答案 D解析考查四个选项：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，但要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t 2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2即符合y 2＝x .因此D 是正确的，故选D. 4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)答案 D解析 x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，x 2＋y 24＝1，而t ≥0,0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和极坐标方程ρ＝－6cos θ所表示的图形分别是( )A ．圆和直线B ．直线和直线C ．椭圆和直线D ．椭圆和圆答案 D解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的普通方程为x 24＋y 2＝1，表示椭圆．极坐标方程ρ＝－6cos θ的直角坐标方程为(x ＋3)2＋y 2＝9，表示圆．6．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.7．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，圆C ：ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离是( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1答案 C解析直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)的普通方程为x －y ＋1＝0，圆C ：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心C (1,0)到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2.8．(2014·安徽理)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2答案 D解析由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.9．圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)的半径为______，若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则m＝______.答案2，－1或3解析由题意知，圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其半径r ＝ 2.若圆C 与直线x －y ＋m ＝0相切，则|1－2＋m |1＋1＝2，得|m －1|＝2，故m ＝－1或3.10．(2014·重庆理)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.答案5解析直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y2＝4x ，联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1,2)．所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 11．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．答案 2解析方法一：由直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程，得(2＋t )2＋(－1－t )2＝9，整理，得t 2＋3t －2＝0，方程有两个不相等的实数根，所以直线与曲线的交点个数有2个．方法二：将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程，得x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝9.原点(圆心)到直线的距离为d ＝12<r ＝3，所以直线与圆相交，交点个数为2. 12．已知曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线2x －y ＋2＝0的距离的最大值为________．答案45＋55解析将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)化为直角坐标方程，得(x －1)2＋y 2＝1，这是圆心为(1,0)，半径为1的圆．圆心到直线2x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2×1＋2|22＋－2＝455>r ＝1，故直线与圆相离，所以圆C 上的点到直线的距离的最大值为d ＋r ＝455＋1＝45＋55.13．(2015·安徽合肥二检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以O 为极点，射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 2的方程为ρ＝4sin θ，曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，则线段MN 的长度为________．答案 2解析由题意，C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝4＋t转化为直角坐标方程为x ＋3y －43＝0，C 2的极坐标方程ρ＝4sin θ转化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝22，圆心(0,2)到直线x ＋3y －43＝0的距离为d ＝|0＋23－43|12＋32＝3，所以|MN |＝222－32＝2.14．(2014·福建理)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．答案 (1)l ：2x －y －2a ＝0，C ：x 2＋y 2＝16 (2)[－25，25]思路 (1)通过消参，直线是代入消去法，圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程．在(2)中，利用直线和圆的位置关系，得d ≤r ，从而求得a 的范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.15．(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案 8 2解析将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得(2＋22t )2＝4(1－22t )．解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.16．在极坐标系中，已知点A (2，0)到直线l ：ρsin(θ－π4)＝m (m >0)的距离为3.(1)求实数m 值；(2)设P 是直线l 上的动点，Q 在线段OP 上，且满足|OP ||OQ |＝1，求点Q 轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．答案 (1)m ＝2 (2)(x ＋28)2＋(y －28)2＝116，轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆解析 (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系．则点A 的直角坐标为(2，0)，直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2m ＝0.由点A 到直线l 的距离为d ＝|2＋2m |2＝1＋m ＝3，∴m ＝2.(2)由(1)得直线l 的方程为ρsin(θ－π4)＝2，设P (ρ0，θ0)，Q (ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝1，θ＝θ0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝1ρ，θ0＝θ.①因为点P (ρ0，θ0)在直线l 上，所以ρ0sin(θ0－π4)＝2.②将①代入②得1ρsin(θ－π4)＝2，则点Q 轨迹方程为ρ＝12sin(θ－π4)．化为直角坐标方程为(x ＋28)2＋(y －28)2＝116. 则点Q 的轨迹是以(14，3π4)为圆心，14为半径的圆．17．(2015·衡水调研卷)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.(1)求曲线C 的参数方程；(2)当α＝π4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．答案 (1)C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)(2)(2，π2)，(2，π)解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.曲线C 的极坐标方程化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ(φ为参数)．(2)当α＝π4时，直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t ，化成普通方程为y ＝x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0.所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π2)，(2，π)．18．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1，C 2的普通方程；(2)已知A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．答案 (1)C 1：x 216＋y 24＝1，C 2：(x －1)2＋y 2＝1(2)516解析 (1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a cos π3，3＝b sin π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.∴曲线C 1的方程为x 216＋y 24＝1.设圆C 2的半径为r ，则圆C 2的方程为ρ＝2r cos θ，将点D (2，π4)代入得2＝2r ·22，∴r ＝1. ∴圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 1：x 216＋y 24＝1得极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入，得 ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， ∴1ρ21＋1ρ22＝(cos 2θ16＋sin 2θ4)＋(sin 2θ16＋cos 2θ4)＝516.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案 3解析由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.。

人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案

人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案(附参考答案)1．y＝ln(－x)的导函数为()A．y′＝－B．y′＝1xC．y′＝ln(x) D．y′＝－ln(－x)答案B2．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(1，－1)答案C解析y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.3．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是()A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1答案C解析∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1.∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.4．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f′(x0)＝2 015，则x0＝()A．e2B．1C．ln2 D．e答案B解析由题意可知f ′(x)＝2 014＋lnx ＋x ·＝2 015＋lnx.由f ′(x0)＝2 015，得lnx0＝0，解得x0＝1.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x)＝4ax3＋2bx ，∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.6．若函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是()答案 A解析由题意知即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，b2＞4c.又f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(x)的图像为A.7．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足()A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C8．若P 为曲线y ＝lnx 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ|min ＝()A ．0 B.22C.D ．2答案 C解析如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x ＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝＝.故选C.9．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－ B.12C．－ D.22答案B解析∵y′＝·[cosx(sin x＋cosx)－sinx·(cos x－sinx)]＝，∴y′|x＝＝，∴k＝y′|x＝＝.10．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图像上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.B.3π4C.D.π6答案B解析由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.11．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)12．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()＝－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1.13．(2013·江西文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案2解析由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.14．(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝＝，故切线的斜率为k＝f′(0)＝＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x ＋y＋1＝0.15．(2015·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案log2e解析∵y′＝，∴k＝.∴切线方程为y＝(x－1)．∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.16．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.17．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案(1)y＝13x－32(2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x－18或y＝4x－14解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切线与直线y ＝－x ＋3垂直，∴切线的斜率为k ＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x ＋1＝4.∴x0＝±1.∴或⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝－1，y0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.18．设函数f(x)＝ax －，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案 (1)f(x)＝x －(2)定值为6解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3.当x ＝2时，y ＝.又f ′(x)＝a ＋，于是解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f(x)＝x －.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y －y0＝(1＋)(x －x0)，即y －(x0－)＝(1＋)(x －x0)．令x ＝0得y ＝－，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－)．切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．若曲线y＝lnx(x>0)的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为()A．2 B．ln2＋1C．ln2－1 D．ln2答案C解析∵y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2.∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.2．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()A.B．－13C.D．－或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像．∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0，∴a2－1＝0，a<0，∴a＝－1.∴y＝f(x)＝x3－x2＋1.∴f(－1)＝－，选B.3．y＝x2sincos的导数为________．答案y′＝xsinx＋x2cosx.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练79(含解析)

题组层级快练(七十九)1．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( )A ．1,2，…，6B ．1,2，…，7C ．1,2，…，11D ．1,2,3，…答案 B解析除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B. 2．若某一随机变量X 的概率分布如下表，且m ＋2n ＝1.2，则m －n2的值为( )X 0 1 2 3 P0.1m n0.1A.－0.2 B ．0.2 C ．0.1 D ．－0.1答案 B解析由m ＋n ＋0.2＝1，又m ＋2n ＝1.2，可得m ＝n ＝0.4，m －n2＝0.2.3．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：X 0 1 2 Pa1316F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝( )A.13B.16C.12D.56答案 D解析 ∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于n －m A 2mA 3n的是( )A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)答案 D解析 P (ξ＝2)＝A 2m C 1n －mA 3n＝n －m A 2mA 3n.5．已知某一随机变量X 的概率分布如下，且E (X )＝6.9，则a 的值为( )X 4 a9 Pm0.2 0.5A.5 C ．7 D ．8答案 B解析因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m ＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a ×0.2＋9×0.5＝6.9，a ＝6，故选B.6．设随机变量X 的概率分布为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝________. 答案512解析 13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.7．随机变量η的分布列如下：η 1 2 3 4 5 6 P0.2x0.350.10.150.2则①x ＝________；②答案 ①0，②0.45，③0.458．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________.答案310解析 ξ可能取的值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (ξ＝1)＝C 13C 24＋C 23C 12C 14C 24C 26＝715，又P (ξ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，∴P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝1－15－715－130＝310.9.如图所示，A ，B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P (ξ≥8)＝________.答案 45解析方法一：由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的概率分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝9)＋P (ξ＝10)＝10＋5＋10＝5.方法二：P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝45.10．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回任取3件，则取得次品数为ξ的分布列为________．答案解析设随机变量ξN ＝15，M ＝2，n ＝3.它的可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.11．(2015·保定模拟)某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人是公务员的概率为________.答案 9，35解析由自由职业者64人抽取4人可得，每一个个体被抽入样的概率为464＝116，则公务员应当抽取32×116＝2人，教师应当抽取48×116＝3人，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9人．从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为P ＝C 12·C 13C 25＝35.12．有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元，20元，30元，40元，50元．从中任取3支，若以ξ表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求ξ的分布列．答案略解析 ξ的可能取值为30,40,50. P (ξ＝30)＝1C 35＝110，P (ξ＝40)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝50)＝C 24C 35＝35，∴ξ的分布列为13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)设X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和均值．答案 (1)310 (2)114解析 (1)P (“当天商店不进货”)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为1件”)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (“当天商品销售量为1件”)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (“当天商品销售量为0件”)＋P (“当天商品销售量为2件”)＋P (“当天商品销售量为3件”)＝120＋920＋520＝34.故X 的分布列为X 的均值为E (X )＝2×14＋3×34＝114.14.某中学动员学生在春节期间至少参加一次社会公益活动(下面简称为“活动”)．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；(2)从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；(3)从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列．答案 (1)2.3 (2)4199(3)略解析根据统计图知参加活动1次、2次、3次的学生数分别为10,50,40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为x －＝1×10＋2×50＋3×40100＝2.3.(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率P 0＝C 210＋C 250＋C 240C 2100＝4199. (3)ξ的取值为0,1,2，ξ的分布列为ξ 0 1 2 P41995099899。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练81(含解析)

题组层级快练(八十一)(第一次作业)1．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( ) A ．15 B ．11 C ．2.2 D ．2.3答案 A解析 ∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.2．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B.73 C ．3 D.113答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，x 1－432·23＋x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.3．设投掷1颗骰子的点数为ξ，则( ) A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512C ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.5 D ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3516答案 B4．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X ，得分为Y ，则E (X )，D (Y )分别为( )A ．0.6,60B ．3,12C ．3,120D ．3,1.2答案 C解析 X ～B (5,0.6)，Y ＝10X ，∴E (X )＝5×0.6＝3，D (X )＝5×0.6×0.4＝1.2.D (Y )＝100D (X )＝120. 5．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6答案 B解析由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8答案 C解析 ∵E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3，∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10.7．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25.8．有一批产品，其中有12件正品和4个次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E (ξ)＝________.答案 34解析次品个数ξ的可能取值为0,1,2,3， P (ξ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (ξ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370，P (ξ＝2)＝C 112C 24C 316＝970，P (ξ＝3)＝C 34C 316＝1140.ξ的分布列为E (ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×70＋3×140＝140＝4. 9．(2014·浙江理)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析设出ξ＝1，ξ＝2时的概率，利用分布列中概率之和为1及期望的公式求解．设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15.所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.10．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a 1为首项，公比为2的等比数列，相应资金是以700元为首项，公差为－140元的等差数列，则参与该游戏获得资金的期望为________元．答案 500解析 ∵a 1＋2a 1＋4a 1＝1，∴a 1＝17，E (ξ)＝17×700＋27×560＋47×420＝500元．11．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围．答案 (0，12)解析由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12.又由p∈(0,1)，可得p ∈(0，12)．12．(2014·重庆理)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．) 答案 (1)584 (2)4728解析 (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584.(2)X 的所有可能值为1,2,3，且 P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742， P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112.故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×12＝28.13．(2015·山东潍坊一模)某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定；每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．答案 (1)136 (2)1153解析 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝(12)2×(13)2＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50，P (X ＝30)＝(12)2×(1－13)2＝19，P (X ＝35)＝C 12(12)2·(23)2＋(12)2·C 12·13×23＝13，P (X ＝40)＝(12)2×(23)2＋C 12·(12)2·C 12·13×23＋(12)2×(13)2＝1336， P (X ＝45)＝C 12(12)2·(13)2＋(12)2·C 12·13×23＝16，P (X ＝50)＝(12)2×(13)2＝136.该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×36＋45×6＋50×36＝3.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13，23.(1)分别求出小球落入A 袋或B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球；记ξ为落入B 袋中的小球个数．求ξ的分布列和数学期望．答案 (1)13，23 (2)E (ξ)＝83解析 (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N ，而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故P (M )＝(13)3＋(23)3＝127＋827＝13.从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ～B (4，23)，故P (ξ＝0)＝C 04(23)0×(13)4＝181，P (ξ＝1)＝C 14(23)1×(13)3＝881， P (ξ＝2)＝C 24(23)2×(13)2＝827， P (ξ＝3)＝C 34(23)3×(13)1＝3281， P (ξ＝4)＝C 44(23)4×(13)0＝1681. 则ξ的分布列为故ξ的数学期望为E(ξ)＝4×3＝3.。

2016届高考数学一轮复习题组层级快练64(含解析)

题组层级快练(六十四)1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线答案 C解析 ∵|PM |－|PN |＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支．又∵|PM |>|PN |，故点P 的轨迹为双曲线的右支．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1答案 B解析椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A ，C. 又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，所以选B.3．(2015·济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )A.3＋1B.3－1C. 3D. 2答案 A解析令正六边形的边长为m ，则有|AD |＝2m ，|AB |＝m ，|BD |＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A.52 B.32 C.355D.23答案 B解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±y b ＝0，焦点A (c,0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B.5．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 29－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 答案 A解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→.∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝40.∵||MF 1→|－|MF 2→||＝2a ， ∴|MF 1→|·|MF 2→|＝20－2a 2＝2，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴所求双曲线的方程为x 29－y 2＝1.6．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m >0，n >0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.12 B.63 C.33D.233答案 B解析由已知双曲线的离心率为2，得1m ＋1n1m＝2. 解得m ＝3n .又m >0，n >0，∴m >n ，即1n >1m.故由椭圆mx 2＋ny 2＝1，得y 21n＋x 21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e ＝1n －1m1n ＝1n －13n 1n＝63.7．(2014·山东理)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.8．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1→·PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)·(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3. 9．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D.10．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.3. B.38 C.233D.433答案 D解析设M (x 0，12p x 20)，y ′＝(12p x 2)′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M (33p ，16p )．由题意又可知抛物线的焦点为(0，p 2)，双曲线右焦点为(2,0)，且(33p ，16p )，(0，p2)，(2,0)三点共线，可求得p ＝433，故选D.11．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ＝|±2|1＋4＝25＝255. 12．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 2x ±3y ＝0解析 ∵右焦点坐标是(13，0)， ∴9＋a ＝13，即a ＝4. ∴双曲线方程为x 29－y 24＝1.∴渐近线方程为x 3±y2＝0，即2x ±3y ＝0.13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．答案－2解析由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.14．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为________．答案 a解析如图所示，内切圆与三条边的切点分别为A ，B ，C ，由切线性质，得|F 1C |＝|F 1A |，|PC |＝|PB |，|F 2A |＝|F 2B|.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即(|PC |＋|CF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝2a . ∴|CF 1|－|BF 2|＝2a 即|F 1A |－|F 2A |＝2a . ∵|F 1A |＋|F 2A |＝2c ，∴|F 1A |＝a ＋c .∴A (a,0)．15．(2015·兰州高三诊断)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．答案263解析由题意，可得k ＝b a ＝tan π3＝ 3.∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a2＝2. ∴a 2＋e b ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b≥2b 3×2b ＝263. 当且仅当b 2＝6，a 2＝2时取“＝”．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．答案 (1)x 2－y 2＝6 (2)略 (3)6解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的边F 1F 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．答案 3x 22－y 22＝1解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3. ∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y22＝1.1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 5B.152C.102D.52答案 C解析由双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a 和|AF 1|＝3|AF 2|，得|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a .在△AF 1F 2中，由勾股定理4c 2＝(3a )2＋a 2解出答案．2．(2013·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54.∴a 2＝4b 2，b a ＝±12.∴渐近线方程为y ＝±12x .3．(2013·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝ 3.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，所以x 0＝－p2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp 2a.由⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝2，a 2＋b 2＝c 2，得b ＝3a ，所以|y 0|＝32p .所以S △AOB ＝34p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)． 4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．答案x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1 解析方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8.∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6.∴双曲线的方程为y 264－x 236＝1. 综上，双曲线的方程为x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1.方法二：设双曲线的方程为42·x 2－32·y 2＝λ(λ≠0)，从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576.x2 36－y264＝1或y264－x236＝1.∴双曲线的方程为。

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练65(含答案解

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练10(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练60(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练75(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练65(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练68(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练5(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练6(含解析)

2016届高考数学一轮温习 题组层级快练88含解析

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练2(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练62(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练16(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练40(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练56(含解析)

2016届高考数学一轮复习 题组层级快练91(含解析)