题组层级快练 (76)

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高考数学一轮复习全套课时作业7-6-2二面角

题组层级快练7.6.2二面角(第一次作业)一、单项选择题1．(2021·皖南八校联考)四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V －AB －C 的余弦值的大小为()A.23B.24C.73D.2232.(2021·长春调研)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2.若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为()A.2B.3C ．2D.223.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，∠DAB ＝∠A ′AD ＝∠A ′AB ＝60°，则二面角A ′－BD －A 的余弦值为()A.13B ．－13C.33D ．－334．(2021·成都检测)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝AA 1＝3，则二面角C 1－BD －C 的余弦值为()A.415B.3415C.34141D.44141二、解答题5.(2020·天津)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝2，CC 1＝3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD ＝1，CE ＝2，M 为棱A 1B 1的中点．(1)求证：C 1M ⊥B 1D ；(2)求二面角B －B 1E －D 的正弦值；(3)求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．6.(2021·唐山模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA ＝DP ，BA ＝BP.(1)求证：PA ⊥BD ；(2)若DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，BA ＝BP ＝BD ＝2，求二面角D －PC －B的正弦值．7.(2021·武汉模拟)如图所示，多面体是由底面为ABCD 的直四棱柱被截面AEFG 所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中AB ＝2，CF ＝5，BE ＝1，∠BAD ＝60°.(1)求BG 的长；(2)求平面AEFG 与底面ABCD 所成锐二面角的余弦值．8.(2021·广东惠州二次调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥PB ，PC ＝2.(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；(2)若PA ＝PB ，求二面角A －PC －D 的余弦值．9.(2021·山东潍坊二模)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①AB ⊥BC ；②FC 与平面ABCD 所成的角为π6；③∠ABC ＝π3.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ＝2，PD 的中点为F.(1)在线段AB 上是否存在一点G ，使得AF ∥平面PCG ？若存在，指出G 在AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若________，求二面角F －AC －D 的余弦值．10.(2020·福建漳州二模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD∥BC ，AB ＝BC ＝AP ＝12AD ，∠ADP ＝30°，∠BAD ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：PD ⊥PB ；(2)设AD ＝2，点M 在线段PC 上，且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为105，求二面角M －AB －P 的余弦值．(第二次作业)1．(2021·百师联盟联考四)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PD＝AB＝AD＝1CD＝1，M，N，Q分别为线段BC，CD，PA的中2点．(1)证明：平面PMN∥平面QDB；(2)求二面角P－BD－Q的余弦值．2．(2021·山东省超级全能生联考)如图，几何体ACD－A1B1C1D1中，矩形ADD1A1⊥矩形CDD1C1，B1A1⊥平面ADD1A1，AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为棱AA1的中点．(1)证明：B1C1⊥CE；(2)求直线DD1与平面B1CE所成角的正弦值．3.(2021·山东青岛二模)试在①PC⊥BD，②PC⊥AB，③PA＝PC三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得PO⊥平面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题．如图，在四棱锥P－ABCD中，AC∩BD＝O，底面ABCD为菱形，若________，且∠ABC＝60°，异面直线PB与CD所成的角为60°，求二面角A－PB－C的余弦值．4．(2021·衡中月考)如图甲的平面五边形PABCD中，PD＝PA，AC＝CD＝BD＝5，AB＝1，AD＝2，PD ⊥PA，现将图甲中的三角形PAD沿AD边折起，使平面PAD⊥平面ABCD得图乙的四棱锥P－ABCD.在图乙中：(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求二面角A－PB－C的大小．7.6.2二面角参考答案(第一次作业)1．答案B解析如图所示，取AB 中点E ，过V 作底面的垂线，垂足为O ，易知O 为底面ABCD 的中心，连接OE ，VE ，根据题意可知，∠VEO 是二面角V －AB －C 的平面角．因为OE ＝1，VE ＝32－12＝22，所以cos ∠VEO ＝OE VE ＝122＝24.故选B.2.答案A解析如图所示，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B 1(0，2，2)，C 1(0，0，2)．设AD ＝a ，则D 点坐标为(1，0，a)，CD →＝(1，0，a)，CB 1→＝(0，2，2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z)·CB 1→＝2y ＋2z ＝0，·CD →＝x ＋az ＝0，＝－z ，＝－az ，令z＝－1，则m ＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，则由cos60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，解得a ＝2(负值舍去)，所以AD ＝ 2.故选A.3.答案A解析棱长都相等的平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，∠DAB ＝∠A ′AD ＝∠A ′AB ＝60°，则四面体A ′BDA 为正四面体，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，A ′E.设正四面体的棱长为2，则AE ＝A ′E ＝3，且AE ⊥BD ，A ′E ⊥BD ，则∠AEA ′即为二面角A ′－BD －A 的平面角，在△AA ′E 中，cos ∠AEA ′＝AE 2＋A ′E 2－A ′A 22AE ·A ′E ＝13.故二面角A ′－BD －A 的余弦值为13.4．答案D解析在矩形ABCD 内过点C 作CH ⊥BD 于点H ，连接C 1H.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD.又CH ⊥BD ，CH ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面C 1CH ，故BD ⊥C 1H ，所以∠C 1HC 为二面角C 1－BD －C 的平面角．在Rt △BCD 中，BD ＝DC 2＋CB 2＝42＋32＝5，因为CH ⊥BD ，所以CH ＝DC ×BC BD ＝4×35＝125.在Rt △C 1CH 中，C 1H ＝CH 2＋CC 12＝3415，所以cos ∠C 1HC ＝CHC 1H＝1253415＝44141，即二面角C 1－BD －C 的余弦值等于44141.5.答案(1)略(2)306(3)33解析依题意，以C 为原点，分别以CA →，CB →，CC 1→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)，可得C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C 1(0，0，3)，A 1(2，0，3)，B 1(0，2，3)，D(2，0，1)，E(0，0，2)，M(1，1，3)．(1)证明：依题意，C 1M →＝(1，1，0)，B 1D →＝(2，－2，－2)，从而C 1M →·B 1D →＝2－2＋0＝0，所以C 1M ⊥B 1D.(2)依题意，CA →＝(2，0，0)是平面BB 1E 的一个法向量，EB 1→＝(0，2，1)，ED →＝(2，0，－1)．设n ＝(x，y ，z)为平面DB 1E ·EB 1→＝0，·ED →＝0，＋z ＝0，－z ＝0.不妨设x ＝1，可得n ＝(1，－1，2)．因此有cos 〈CA →，n 〉＝CA →·n |CA →||n |＝66，于是sin 〈CA →，n 〉＝306.所以二面角B －B 1E －D 的正弦值为306.(3)依题意，AB →＝(－2，2，0)．由(2)知n ＝(1，－1，2)为平面DB 1E 的一个法向量，于是cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝－33.所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为33.6.答案(1)略(2)437解析(1)证明：如图，取AP 中点M ，连接DM ，BM ，∵DA ＝DP ，BA ＝BP ，∴PA ⊥DM ，PA ⊥BM ，又∵DM ∩BM ＝M ，∴PA ⊥平面DMB ，又∵BD ⊂平面DMB ，∴PA ⊥BD.(2)∵DA ＝DP ，BA ＝BP ，DA ⊥DP ，∠ABP ＝60°，∴△DAP 是等腰直角三角形，△ABP 是等边三角形，∵AB ＝PB ＝BD ＝2，∴DM ＝1，BM ＝ 3.∴BD 2＝MB 2＋MD 2，∴MD ⊥MB.以MP ，MB ，MD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A(－1，0，0)，B(0，3，0)，P(1，0，0)，D(0，0，1)，从而得DP →＝(1，0，－1)，DC →＝AB →＝(1，3，0)，BP →＝(1，－3，0)，BC →＝AD →＝(1，0，1)．设平面DPC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·DP →＝0，1·DC →＝0，1－z 1＝0，1＋3y 1＝0，∴可取n 1＝(－3，1，－3)，设平面PCB 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·BC →＝0，2·BP →＝0，2＋z 2＝0，2－3y 2＝0，∴可取n 2＝(3，1，－3)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝17.设二面角D －PC －B 为α，∴sin α＝1－cos 2〈n 1，n 2〉＝437，即二面角D －PC －B 的正弦值为437.7.答案(1)25(2)34解析(1)由面面平行的性质定理可知：四边形AEFG 是平行四边形，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.可得A(0，－3，0)，B(1，0，0)，E(1，0，1)，C(0，3，0)，F(0，3，5)．所以AG →＝EF →＝(－1，3，4)，则G(－1，0，4)．所以BG →＝(－2，0，4)．则BG 的长为|BG →|＝25.(2)依题意可取平面ABCD 的一个法向量m ＝(0，0，1)．由(1)可知：AG →＝(－1，3，4)，AE →＝(1，3，1)，设n ＝(x ，y ，z)是平面AEFG 的一个法向量，则n ·AE →＝0，n ·AG →＝0，x ＋3y ＋z ＝0，－x ＋3y ＋4z ＝0，可取n ＝3，－533，2则|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n ||m |＝34，所以所求锐二面角的余弦值为34.8.答案(1)略(2)277解析(1)证明：取AB 的中点为O ，连接CO ，PO ，如图．∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，∴AB ＝BC ＝2.又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴CO ⊥AB ，OC ＝ 3.∵PA ⊥PB ，∴PO ＝12AB ＝1.∵PC ＝2，∴OP 2＋OC 2＝PC 2，∴CO ⊥PO.∵AB ∩PO ＝O ，∴CO ⊥平面PAB.∵CO ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD.(2)∵PA ＝PB ，PA ⊥PB ，AB ＝2，∴PA ＝ 2.∵OP 2＋OA 2＝12＋12＝(2)2＝PA 2，∴PO ⊥AO.由(1)知，CO ⊥AB ，CO ⊥PO ，∴直线OC ，OB ，OP 两两垂直．以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A(0，－1，0)，C(3，0，0)，D(3，－2，0)，P(0，0，1)，∴AP →＝(0，1，1)，PC →＝(3，0，－1)，DC →＝(0，2，0)．设平面APC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，·AP →＝0，·PC →＝0，z 1＝0，1－z 1＝0，取x 1＝1，得m ＝(1，－3，3)，设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)·PC →＝0，·DC →＝0，2－z 2＝0，＝0，取x 2＝1，得n ＝(1，0，3)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝277，由图易知二面角A －PC －D 为锐二面角，∴二面角A －PC －D 的余弦值为277.9.答案(1)略(2)略解析(1)存在线段AB 的中点G ，使得AF ∥平面PCG.证明如下：如图所示，设PC 的中点为H ，连接FH ，GH.∵F ，H 分别为PD ，PC 的中点，∴FH ∥CD ，FH ＝12CD ，在菱形ABCD 中，∵G 为AB 中点，∴AG ∥CD ，AG ＝12CD ，∴FH ∥AG ，FH ＝AG ，∴四边形AGHF 为平行四边形，∴AF ∥GH.又GH ⊂平面PCG ，AF ⊄平面PCG ，∴AF ∥平面PCG.(2)选择①，AB ⊥BC.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD.∴AB ，AD ，AP 两两垂直，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵PA ＝AB ＝2，∴A(0，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，∴AF →＝(0，1，1)，CF→＝(－2，－1，1)．设平面FAC 的法向量为μ＝(x ，y ，z)，·AF →＝y ＋z ＝0，CF →＝－2x －y ＋z ＝0，取y ＝1，得μ＝(－1，1，－1)．易知平面ACD 的一个法向量为v ＝(0，0，1)，设二面角F －AC －D 大小为θ，由图知二面角F －AC －D 为锐二面角，则cos θ＝|μ·v ||μ||v |＝33，∴二面角F －AC －D 的余弦值为33.选择②，FC 与平面ABCD 所成的角为π6.如图，取BC 中点E ，连接AE ，取AD 的中点M ，连接FM ，CM ，则FM ∥PA ，且FM ＝1.∵PA ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥平面ABCD ，∴FC 与平面ABCD 所成角为∠FCM ，∴∠FCM ＝π6.在Rt △FCM 中，CM ＝FM tanπ6＝133＝ 3.又CM ＝AE ，∴AE 2＋BE 2＝AB 2，∴BC ⊥AE ，又BC ∥AD ，∴AE ⊥AD.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥AE ，∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵PA ＝AB ＝2，∴A(0，0，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，AF →＝(0，1，1)，CF →＝(－3，0，1)．设平面FAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，·AF →＝y ＋z ＝0，·CF →＝－3x ＋z ＝0，取x ＝3，得m ＝(3，－3，3)．易知平面ACD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设二面角F －AC －D 的大小为θ，由图知二面角F －AC －D 为锐二面角，则cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝217.∴二面角F －AC －D 的余弦值为217.选择③，∠ABC ＝π3.取BC 中点E ，连接AE.∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ⊥AD ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形．∵E 是BC 的中点，∴BC ⊥AE ，∴AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．以下同选择②.10.答案(1)略(2)277解析(1)证明：因为∠BAD ＝90°，所以BA ⊥AD.因为平面ABCD ⊥平面PAD ，交线为AD ，所以BA ⊥平面PAD ，从而BA ⊥PD.在△PAD 中，由正弦定理得，AP sin ∠ADP ＝AD sin ∠APD ，即12AD sin30°＝AD sin ∠APD ，得sin ∠APD ＝1，所以∠APD＝90°，故AP ⊥PD.因为BA ∩AP ＝A ，所以PD ⊥平面PAB.又PB ⊂平面PAB ，所以PD ⊥PB.(2)如图，以P 为坐标原点，以PD ，PA 所在直线分别为x 轴，y 轴，过点P 且垂直于平面PAD 的射线为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．因为AD ＝2，所以AB ＝BC ＝AP ＝1，PD ＝3，所以P(0，0，0)，A(0，1，0)，B(0，1，1)，，12，0，设PM →＝λPC →(0≤λ≤1)，则PM →＝，12，所以，12λ，λ从而BM →，12λ－1，λ－又CE →，－12，－|cos 〈BM →，CE →〉|＝|5λ－6|25·2λ2－3λ＋2＝105，得9λ2－36λ＋20＝0，解得λ＝23或λ＝103(舍去)，故，13，所以BM →，－23，－BA →＝(0，0，－1)，设平面MAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，·BM →＝（x ，y ，z ），－23，－0，·BA →＝（x ，y ，z ）·（0，0，－1）＝0.－2y －z ＝0，0，令y ＝3，得m ＝(2，3，0)．由(1)知PD ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝277，易知二面角M －AB －P 为锐二面角，故二面角M －AB －P 的余弦值为277.(第二次作业)1．答案(1)证明见解析(2)63解析(1)证明：如图，连接AN ，BN ，设AN ，BD 交于点O ，连接OQ ，因为N 为CD 中点，AB ＝12CD ，所以DN ＝12CD ＝AB ，因为AD ⊥CD ，所以四边形ABND 为矩形，所以O 为AN 中点．因为Q 为PA 中点，所以OQ ∥PN.又M 为BC 中点，所以BD ∥MN.因为PN ⊂平面PMN ，MN ⊂平面PMN ，OQ ⊂平面QDB ，BD ⊂平面QDB ，PN ∩MN ＝N ，OQ ∩BD ＝O ，所以平面PMN ∥平面QDB.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可建立如图所示的空间直角坐标系，所以D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，Q(12，0，12)，DP→＝(0，0，1)，DB→＝(1，1，0)，DQ→＝(12，0，1 2 )．设平面PBD和平面QBD的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)，m·DP→＝0，m·DB→＝0n·DQ→＝0，n·DB→＝0，z1＝0，x1＋y1＝012x2＋12z2＝0，x2＋y2＝0，取x1＝x2＝1，得m＝(1，－1，0)，n＝(1，－1，－1)，设二面角P－BD－Q的大小为θ，易知θ为锐角，所以cosθ＝|m·n|m||n||＝63.2．答案(1)证明见解析(2)147解析(1)证明：∵B1A1⊥平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，∴B1A1⊥DD1，又∵DD1⊥D1A1，B1A1∩D1A1＝A1，B1A1，D1A1⊂平面A1B1C1D1，∴DD1⊥平面A1B1C1D1.∵DD1∥CC1，∴CC1⊥平面A1B1C1D1.∵B1C1⊂平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1C1.∵矩形ADD1A1⊥矩形CDD1C1，矩形ADD1A1∩矩形CDD1C1＝DD1，D1C1⊥DD1，D1C1⊂平面CDD1C1，∴D1C1⊥平面ADD1A1.如图，连接EC1.∵AD＝CD＝1，AA1＝A1B1＝2，E为AA1的中点，∴B1E＝5，B1C1＝2，EC1＝3，∴B1E2＝B1C12＋EC12，∴B1C1⊥C1E.又∵CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，∴B1C1⊥平面CC1E.又∵CE⊂平面CC1E，∴B1C1⊥CE.(2)如图，以点A 为原点，分别以AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴，过点A 且平行于C 1D 1的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，依题意得C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，D(1，0，0)，E(0，1，0)，D 1(1，2，0)．∴CE →＝(－1，1，－1)，B 1C →＝(1，－2，－1)，DD 1→＝(0，2，0)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z)，m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨设z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)，又DD 1→＝(0，2，0)，设直线DD 1与平面B 1CE 所成角为θ，于是sin θ＝|cos 〈m ，DD 1→〉|＝|m ·DD 1→|m |·|DD 1→||＝|－414×2|＝147.故直线DD 1与平面B 1CE 所成角的正弦值为147.3.答案略解析若选②，由PO ⊥平面ABCD 知PO ⊥AB.又PC ⊥AB ，PC ∩PO ＝P ，所以AB ⊥平面PAC ，所以AB ⊥AC ，所以∠BAC ＝90°，则BC>BA ，这与底面ABCD 为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.下面证明：PO ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD.因为PC ⊥BD ，AC ∩PC ＝C ，所以BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥PO.又PA ＝PC ，所以PO ⊥AC.又BD ∩AC ＝O ，所以PO ⊥平面ABCD.下面求二面角A －PB －C 的余弦值．以O 为坐标原点，以OB →，OC →，OP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.方法一：因为AB ∥CD ，所以∠PBA 为异面直线PB 与CD 所成的角，所以∠PBA ＝60°.在菱形ABCD 中，设AB ＝2，因为∠ABC ＝60°，所以OA ＝OC ＝1，OB ＝ 3.设PO ＝a(a>0)，则PA ＝a 2＋1，PB ＝a 2＋3.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝AB 2＋PB 2－2AB·PB·cos ∠PBA ，所以a 2＋1＝4＋a 2＋3－2×2a 2＋3×12，解得a ＝ 6.所以A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，6)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ABP 的法向量，AB →＝(3，1，0)，AP →＝(0，1，6)．1·AB →＝0，1·AP →＝0，1＋y 1＝0，＋6z 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(2，－6，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面CBP 的法向量，CB →＝(3，－1，0)，CP →＝(0，－1，6)．2·CB →＝0，2·CP →＝0，2－y 2＝0，2＋6z 2＝0，令z 2＝1，得n 2＝(2，6，1)．设二面角A －PB －C 的平面角为θ，由图知二面角A －PB －C 是锐二面角，所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝13，所以二面角A －PB －C 的余弦值为13.方法二：在菱形ABCD 中，设AB ＝2.因为∠ABC ＝60°，所以OA ＝1，OB ＝ 3.设PO ＝a(a>0)，则P(0，0，a)，A(0，－1，0)，B(3，0，0)，PB →＝(3，0，－a)，CD →＝BA →＝(－3，－1，0)．因为PB 与CD 所成角为60°，所以|cos 〈PB →，CD →〉|＝|PB →·CD →|PB →||CD →||＝323＋a 2＝12，解得a ＝6，以下同方法一．4．答案(1)略(2)56π解析(1)证明：∵AB ＝1，AD ＝2，BD ＝5，∴AB 2＋AD 2＝BD 2.∴AB ⊥AD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴AB ⊥平面PAD.又∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD.又∵PD ⊥PA ，PA ∩AB ＝A ，∴PD ⊥平面PAB.(2)取AD 中点O ，连接OP ，OC.由平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ＝PA 知OP ⊥平面ABCD.由AC ＝CD ，知CO ⊥AD.以O 为原点，分别以OC ，OA ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则C(2，0，0)，P(0，0，1)，D(0，－1，0)，B(1，1，0)．∴PB →＝(1，1，－1)，PC →＝(2，0，－1)，PD →＝(0，－1，－1)．设平面PBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c)，·PB →＝0，·PC →＝0，＋b －c ＝0，－c ＝0.令a ＝1，则m ＝(1，1，2)，由(1)可知平面PAB 的法向量为PD →＝(0，－1，－1)．∴cos 〈m ，PD →〉＝－36×2＝－32.经判断，二面角A －PB －C 为钝二面角，设其平面角为θ，则cos θ＝－32，∴二面角A －PB －C 的大小θ为56π.。

高考数学一轮复习全套课时作业7-6-1线线角与线面角

题组层级快练7.6.1线线角与线面角一、单项选择题1．(2021·宁夏银川高级中学)在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为()A.3B ．1C.63D.222．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为()A.1010B.15C.31010D.353.(2021·河北辛集中学月考)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.1054．(2020·福建厦门二模)一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B ＝∠F ＝90°，∠A ＝60°，∠D ＝45°，BC ＝DE.现将两块三角板拼接在一起，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列直线与平面OFM 所成的角不为定值的是()A ．ACB ．AFC ．BFD ．CF5.(2021·湖南、江西十四校联考)如图，已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 为线段CD 1的中点，则直线AE 与平面A 1BCD 1所成角的正切值为()A.22B.12C.32D.26．(2021·四川雅安期末)如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 移到点A 1处，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，则BC 与A 1D 所成角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．(2021·河北示范性高中联合体3月联考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E ，F ，G ，则直线AC 1与平面EFG 所成角的正弦值为()A.2613B.22613C.27839D.478398．(2021·保定模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是()A.2 3B.73C.32D.37二、多项选择题9.(2021·山东青岛期末)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个结论正确的是()A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B．点C到平面ABC1D1的距离为22C．异面直线D1C与BC1所成的角为π4D．三棱柱AA1D1－BB1C1外接球的半径为32三、填空题与解答题10．(2018·课标全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78.SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．11．(2021·河北承德二中期末)已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BAD＝60°，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB，点E是棱AD的中点，F在棱PC上．若PF∶FC＝1∶2，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为________．12.(2021·鲁西部分重点中学期末)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点．(1)求证：平面MPB⊥平面PBC；(2)若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值．13．(2021·山东德州模拟)如图，P－ABC是一个三棱锥，AB是圆的直径，C是圆上的点，PC垂直圆所在的平面，D，E分别是棱PB，PC的中点．(1)求证：DE⊥平面PAC；(2)若二面角A－DE－C是45°，AB＝PC＝4，求AE与平面ACD所成角的正弦值．14.(2020·浙江)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)证明：EF⊥DB；(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．7.6.1线线角与线面角参考答案1．答案C解析本题考查异面直线所成角的正切值的求法．设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，如图所示，以A 为原点，AC 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A 1(0，0，2)，M(3，1，1)，B(3，1，0)，N(0，1，0)，则A 1M →＝(3，1，－1)，BN →＝(－3，0，0)．设异面直线A 1M 与BN 所成角为θ，则cos θ＝|A 1M →·BN →||A 1M →||BN →|＝35×3＝155，∴sin θ＝1－cos 2θ＝105，∴tan θ＝sin θcos θ＝63.∴异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为63.故选C.2．答案C解析以D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)．∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)．∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22×5＝31010.3.答案D解析本题考查线面角的计算．如图所示，在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE.1E ⊥B 1D 1，1E ⊥BB 1，1D 1∩BB 1＝B 1，得C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值即为所求．∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.4．答案B解析本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成角．因为O ，M 分别为BC ，AC 的中点，所以OM ∥AB ，所以OM ⊥BC.又OF ⊥BC ，且OM ∩OF ＝O ，所以BC ⊥平面OMF ，所以BF ，CF 与平面OFM 所成的角分别为∠BFO 和∠CFO ，它们相等，均为45°.根据直线与平面所成角的定义知，AC 与平面OFM 所成的角为∠CMO ＝∠CAB ＝60°.故只有AF 与平面OFM 所成的角不为定值．5.答案A解析连接AB 1，AB 1与A 1B 交于点F ，由于AF ⊥A 1B ，AF ⊥BC ，且A 1B ∩BC ＝B ，所以AF ⊥平面A 1BCD 1.连接EF ，则∠AEF 是直线AE 与平面A 1BCD 1所成角，tan ∠AEF ＝AF EF ＝22.故选A.6．答案D解析本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质．因为A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上，所以A 1O ⊥平面BCD.因为BC ⊂平面BCD ，所以A 1O ⊥BC.又因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，所以BC ⊥平面A 1CD.又A 1D ⊂平面A 1CD ，所以BC ⊥A 1D ，故BC 与A 1D 所成的角为90°.故选D.7．答案D解析正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到直线A 1B 与CC 1的距离相等的点分别为D 1，BC 的中点，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)，不妨设D 1与G 重合，BC 的中点为E ，B 1C 1的四等分点(靠近B 1)为F.以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设AB ＝2，则E(1，2，0)，2，G(0，0，2)，A(2，0，0)，C 1(0，2，2)，从而EF →0，GF →2，AC 1→＝(－2，2，2)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z)·EF →＝0，·GF →＝0，＋2z ＝0，＋2y ＝0，令x ＝4，得n ＝(4，－3，－1)．设直线AC 1与平面EFG 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AC 1→〉|＝|n ·AC 1→||n |·|AC 1→|＝47839.故选D.8．答案B解析以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图，设CA ＝CB ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D(0，0，1)，∴，a 2，，a 3，GE →，a 6，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，∴GE →⊥平面ABD ，∴GE →·BD →＝0，解得a ＝2.∴GE →，13，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量．∵cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →|·|BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73.9.答案ABD解析本题考查异面直线所成角、线面角、点到平面距离及外接球问题．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1＝π4，故A 正确；连接B 1C ，由B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥AB ，BC 1∩AB ＝B ，得B 1C ⊥平面ABC 1D 1，所以点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 长度的一半，即22，故B 正确；因为BC 1∥AD 1，所以异面直线D 1C 与BC 1所成的角为∠AD 1C ，连接AC ，则△AD 1C 为等边三角形，故异面直线D 1C 与BC 1所成的角为π3，故C 错误；三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球也是正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1的外接球，故外接球半径为12＋12＋122＝32，故D 正确．故选ABD.10．答案402π解析如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，∴SA 2＝80，SA ＝4 5.∵SA 与底面所成的角为45°，∴∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA·cos45°＝45×22＝210.∴底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，∴圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.11．答案43535解析如图，以D 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设菱形ABCD 的边长为2，则D(0，0，0)，E(32，－12，0)，，23，EF →－32，76，又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈EF →，n 4＝43535，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535.12.答案(1)略(2)267解析(1)证明：如图，连接BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，且M 为AD 的中点，∴△ABD 为等边三角形．∴MB ⊥AD ，∴MB ⊥BC.∵P 在底面ABCD 的射影M 是AD 的中点，∴PM ⊥平面ABCD ，又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，又PM ∩MB ＝M ，PM ，MB ⊂平面MPB ，∴BC ⊥平面MPB ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面MPB ⊥平面PBC.(2)方法一：过点B 作BH ⊥MC 于点H ，连接HN(图略)．∵PM ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥PM.又∵PM ，MC ⊂平面PMC ，PM ∩MC ＝M ，∴BH ⊥平面PMC.∴直线HN 为直线BN 在平面PMC 上的射影，∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角．在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ，则MB ＝AB·sin60°＝3a ，MC ＝MB 2＋BC 2＝7a ，PC ＝MC 2＋MP 2＝2MC 2＝14a ，∴在Rt △MBC 中，BH ＝2a·3a 7a＝2217 a.由(1)知BC ⊥平面MPB ，PB ⊂平面MPB ，∴PB ⊥BC ，∴BN ＝12PC ＝142a ，∴sin ∠BNH ＝BH BN ＝2217a142a ＝267，即直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为267.方法二：由(1)知MA ，MB ，MP 两两垂直，以M 为坐标原点，以MA ，MB ，MP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ，不妨设MA ＝1.∴M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(－2，3，0)，P(0，0，7)．∵N 是PC 的中点，∴1，32，设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，又∵MP →＝(0，0，7)，MC →＝(－2，3，0)，·MP →＝0，·MC →＝0，0＝0，0＋3y 0＝0，令y 0＝1，则n1，|n |＝72.又∵BN →1，－32，|BN →|＝142，∴|cos 〈BN →，n 〉|＝|BN →·n ||BN →||n |＝267.∴直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为267.13．答案(1)略(2)4214解析(1)证明：因为AB 是圆的直径，所以BC ⊥AC ，因为PC 垂直圆所在的平面，所以PC ⊥BC ，又因为AC ∩PC ＝C ，所以BC ⊥平面PAC.因为D ，E 分别是棱PB ，PC 的中点，所以BC ∥DE ，从而有DE ⊥平面PAC.(2)由(1)可知，DE ⊥AE ，DE ⊥EC ，所以∠AEC 为二面角A －DE －C 的平面角，从而有∠AEC ＝45°，则AC ＝EC ＝12PC ＝2，又BC ⊥AC ，AB ＝4，得BC ＝23.以C 为坐标原点，CB →，CA →，CP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.则C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，B(23，0，0)，P(0，0，4)，D(3，0，2)，AE →＝(0，－2，2)，CA →＝(0，2，0)，CD →＝(3，0，2)．设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD ·CA →＝0，·CD →＝0，0，＋2z ＝0.可取n ＝(2，0，－3)．故|cos 〈n ，AE →〉|＝|n ·AE →||n |·|AE →|＝4214.所以直线AE 与平面ACD 所成角的正弦值为4214.14.思路(1)通过添加辅助线，利用面面垂直得到线面垂直，进而得到DO ⊥BC ，再根据题中所给的已知条件，证得BO ⊥BC ，由此可得BC ⊥平面DBO ，BC ⊥DB ，由BC ∥EF 即可得证；(2)可通过作辅助线找到直线DF 与平面DBC 所成角，利用解三角形知识求得直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值，也可以建立合适的空间直角坐标系，通过计算直线DF 的方向向量与平面DBC 的法向量求解直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值．答案(1)略(2)33解析(1)证明：如图，过点D 作DO ⊥AC ，交直线AC 于点O ，连接OB.由∠ACD ＝45°，DO ⊥AC 得CD ＝2CO.由平面ACFD ⊥平面ABC ，DO ⊥AC ，平面ACFD ∩平面ABC ＝AC ，得DO ⊥平面ABC ，所以DO ⊥BC.由∠ACB ＝45°，BC ＝12CD ＝22CO 得BO ⊥BC ，又DO ⊥BC ，DO ∩BO ＝O ，所以BC ⊥平面BDO ，故BC ⊥DB.由三棱台ABC －DEF 得BC ∥EF ，所以EF ⊥DB.(2)方法一：如图，过点O 作OH ⊥BD ，交直线BD 于点H ，连接CH.由三棱台ABC －DEF 得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角．由BC ⊥平面BDO 得OH ⊥BC ，又OH ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，故OH ⊥平面BCD ，所以∠OCH 为直线CO 与平面DBC 所成角．设CD ＝22，则DO ＝OC ＝2，BO ＝BC ＝2，所以BD ＝6，OH ＝233，所以sin ∠OCH ＝OH OC ＝33，因此，直线DF 与平面DBC 所成角的正弦值为33.方法二：由三棱台ABC －DEF 得DF ∥CO ，所以直线DF 与平面DBC 所成角等于直线CO 与平面DBC 所成角，记为θ.如图，以O 为原点，分别以射线OC ，OD 为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.设CD ＝22，则O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2)．因此OC →＝(0，2，0)，BC →＝(－1，1，0)，CD →＝(0，－2，2)．设平面BCD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，n ·BC →＝0，n ·CD →＝0，－x ＋y ＝0，－2y ＋2z ＝0，可取n ＝(1，1，1)．所以sin θ＝|cos 〈OC →，n 〉|＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝33.因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为3 3 .。

专题七语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动

题组层级快练（七）专题七语言表达简明、得体、准确、鲜明、生动1．阅读下面一段文字，完成后面的题目。

大家好！①非常荣幸能够代表毕业生发言。

此时此刻，②我心情非常激动。

高中三年，③我们早已习惯于在学校的生活，早已离不开四季飘香的校园。

④我们将告别大家朝夕相处的同学、学识渊博的老师。

⑤在此，⑥请允许我代表高三的全体同仁，⑦向我们的恩师致以崇高的敬意！今后，⑧我们这些高足，⑨定当以自己的实际行动报答母校……(1)文中画线的句子中有两处表达不简明，应删除个别词语。

表达不简明的句子序号分别是________和________。

(2)文中画线的句子中有两处表达不得体，应替换个别词语。

表达不得体的句子序号分别是________和________。

答案(1)③④(2)⑥⑧解析③“在”多余；④“大家”多余；⑥“同仁”不得体；⑧“高足”不得体。

2．下面是一封校庆邀请函的部分内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。

学校诚邀您来看一下校庆典礼，与贵校师生共襄盛典。

您的拨冗惠顾就是对我们的最大支持。

如能参加，务必于5月10日前发回执告知，以便学校做好接待准备。

如不能亲临，可将贺信呈送到校庆办公室。

①将____________改为____________②将____________改为____________③将____________改为____________④将____________改为____________⑤将____________改为____________答案①“来看一下”改为“出席”或“参加”；②“贵校”改为“我校”“全校”或“本校”；③“惠顾”改为“光临”或“莅临”；④“务必”改为“希望”或“请”；⑤“呈送”改为“惠寄”“寄送”或“发送”。

解析这是一封代表学校发出的书面邀请函，所以在遣词造句时不仅需要正确使用书面语体，而且还要恰当地使用敬谦辞。

①“来看一下”属于口语词汇，不符合邀请函的语体风格，可将其改为“出席”或“参加”。

高一高考调研题组层级快练数学答案

高一高考调研题组层级快练数学答案
题组层级快练（一）
1.下列各组集合中表示同一集合的是（）A.M=[（3.221：M=（（9.3）1
B.y={2，3}，A=8，2}
C.-{（x，）Ix+y=1}，N=（ylx+y=1}
D.y=[2，3}，={（2，3）}
答案B
2.集合=xlx=llf，aey，p=lxlx=d-4al5.aeNj.则下列关系山止确的是（）
A.P
B.Py
C.=P
D.MgPH厚
答案A解析P=（xlx=1+（a-2），acN'，当a=2时，x=1，而中无元素1.P 比M多一个元素。

3.（2014?四川文）已知集合4=[xl（x+1）（x-2）≤0}，集合B为整数集，则AnB=（）C.（一2，-1，0，1}D.{-1，0，1，2}
答案D解析由二次函数y=（x+1）（x一2）的图像可以得到不等式（x+1）（x一2）≤0的解集A=[-1，2]，属于A的整数只有一1，0，1，2，所以AnB=（-1，0，1，2}，故选D.
4.（2015?《高考调研》原创题）已知i为虚数单位，集合P={-1，1}，0=（i，i3，若Pno=（zi），则复数2等于（）答案C解析因为0={i，i），所以0={i，-1}.又P={-1，1}，所以png={-1l，所以2i=一1，所以2=i，故选C.
5.集合A一{0，2，al，B-1，，若AUB={0，1，2，4，16}，则a的值为（）
答案D解析由UB-{0，1，2，a，}，知a-4.
6.设P-{riy=-+1，x=R}，Q-{yly=2"，x=R}，则（）A.sQB.QEP C.[aFs 0D.QFciP 答案C解析依题意得集合P={rlr≤1]，0=[yly>0]，。

题组层级快练 (74)

题组层级快练1．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |<|a |＋|b |；②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0；⑤AB →－AC →＝BC →.A ．①②③B ．②④⑤C ．②③④D ．②③答案 D解析 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴①不成立．②真命题．∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝a ＋(－a )＋b ＋(－b )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0，∴③成立．④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0.∴该命题不成立．⑤假命题．∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →，∴该命题不成立．2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ；若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0。

高考数学一轮复习题组层级快练76(含解析)-人教版高三全册数学试题

题组层级快练(七十六)1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 A解析从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．2．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的次数为6，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( ) A ．概率为23B ．频率为35C ．频率为6D ．概率为35答案 B解析注意频率与概率的区别．3．4X 卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4X 卡片中随机抽取2X ，则取出的2X 卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 C解析从4X 卡片中抽取2X 的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝23.4．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的是偶数的概率是( )A.116B.316C.14D.716答案 B解析据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.112答案 A解析从分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球中随机取出2个小球的基本事件数分别为：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9共10种不同情形；而其和为3或6的共3种情形，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是310.6．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( ) A.1936B.12C.59D.1736 答案 A解析若方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，当有序实数对(b ，c )的取值为(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)时方程有实根，共19种情况，而(b ，c )等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P ＝1936.7．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1,2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.118答案 B解析若m 与n 共线，则2a －b ＝0.而(a ，b )的可能性情况为6×6＝36个．符合2a ＝b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.8．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．32答案 B解析设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．故选B.9．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．答案112解析本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1,3)，(2,2)，(3,1)，故P ＝36×6＝112.10．从一副混合后的扑克牌(52X)中随机抽取1X ，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________.(结果用最简分数表示)答案726解析考查互斥事件概率公式P (A ∪B )＝152＋1352＝726.11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．答案 0.25解析设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A ，B ，C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6.又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35，P (B )＝0.25.12．设A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,3,5,7,9}，集合C 是从A ∪B 中任取两个元素组成的集合，则C (A ∩B )的概率是________．答案328解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，则A ∪B 中有8个元素，在A ∪B 中任取两个元素的取法有C 28种．又A ∩B ＝{1,3,5}，且C (A ∩B )，∴P ＝C 23C 28＝328.13．(2015·某某寿光中学期末)据中央电视台新闻联播报道的，中学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校学生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生祼眼视力在0.6～1.0，其余的能达到1.0以上．求：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率是多少？ (2)这个学校在校生视力达到1.0及以上的概率为多少？答案 (1)0.65 (2)0.35解析 (1)因为事件A (视力在0.6以下)与事件B (视力0.6－1.0)为互斥事件，所以事件C (视力不足1.0)的概率为P (C )＝P (A )＋P (B )＝2001 000＋4501 000＝0.65.(2)设事件D 为视力在1.0及以上，事件C 为对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.65＝0.35. 14．某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？答案 (1)0.05(2)至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52解析 (1)记中靶为事件A ，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.∴不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B ，命中9环为事件C ，命中8环为事件D ，至少8环为事件E ，不够9环为事件F .由B ，C ，D 互斥，E ＝B ∪C ∪D ，F ＝B ∪C ，根据概率的基本性质，有P (E )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P (F )＝P (B ∪C )＝1－P (B ∪C )＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.∴至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.15．某商场有奖销售中，购满100元商品得1X 奖券，多购多得.1 000X 奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1X 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1X 奖券的中奖概率；(3)1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．答案 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝120(2)611 000 (3)9891 000解析 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1X 奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1X 奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1X 奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1X 奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1X 奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－(11 000＋1100)＝9891 000.故1X 奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.16．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x ，y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4(2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？答案 (1)725，750，710 (2)15，3解析 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725；P (x ＝4且y ＝3)＝750，P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.。

2019-2020年高考数学一轮复习题组层级快练77(含解析)

2019-2020年高考数学一轮复习题组层级快练77（含解析）1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15答案 D解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15. 2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12 C.23 D.34答案 A解析由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为39＝13.3．(xx·湖北文改编)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1 答案 B解析先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P 1＝136，P 2＝118，P 3＝112. 4．(xx·衡水调研卷)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 答案 D解析因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15答案 D解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE )，共有3种，∴所求概率为315＝15.6．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23答案 A解析基本事件总数为C 25＝10,2张卡片上数字之和为奇数，需1为奇1为偶，共有C 13C 12＝6，∴所求概率为610＝35，选A.7．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.8．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364答案 D解析基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.9．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( ) A.34 B.56 C.16 D.13答案 B解析该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56.10．若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112 答案 D解析该试验会出现6×6＝36种情况，点(m ，n )在直线x ＋y ＝4上的情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三种，则所求概率P ＝336＝112.11．(xx·陕西理)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25 C.35 D.45 答案 C解析从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C.12．(xx·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59 C.23 D.79答案 D解析甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9.设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件， ∴P (B )＝29.∴P (A )＝1－29＝79.13．(xx·浙江金丽衢十二校二联)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17 B.27 C.37 D.47答案 C解析因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.14．(xx·河北邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35答案 A解析第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以所求概率为12＋6＋2A 35＝13. 15．(xx·江西理)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.16．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.答案512解析试验中所含基本事件个数为36；若方程表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能．又椭圆焦点在x 轴上，则m >n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.17．(xx·山东文)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B ，(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．答案 (1)1,3,2 (2)415解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×15＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.18．如图所示是某市2015年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．答案 (1)16 (2)23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝16.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝14. “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为512.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝23.1．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19 C.536 D.16答案 D解析甲乙两人任选4个景点共有方法A 46A 46种，而最后一小时他们在同一个景点的情况有C 16A 35A 35种，所求概率为P ＝C 16A 35A 35A 46A 46＝16，故选D.2．(xx·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )A.12B.916C.1116D.724答案 B解析所求概率P ＝C 24·A 3444＝916.3．(xx·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0－9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( )A.45B.35C.25D.15答案 C解析只按一次就按对的概率是15.按两次就按对的概率是4×15×4＝15，所以不超过2次就按对的概率是15＋15＝25，选C. 4．(xx·江苏南京、盐城二模)盒中有3张分别标有1,2,3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________．答案 146．(xx·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 17C 19＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 14C 15＝20个，故所求概率为2063. 7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．答案 35解析从5个小球中任选两个小球的方法数为C 25＝10，其中不同色的方法数为C 13C 12＝6，所以所求概率为P ＝610＝35..。

二项式定理

题组层级快练(七十五)1．(2015·东北三校一联)在(x 2－1x )5的二项展开式中，第二项的系数为( )A ．10B ．－10C ．5D ．－5答案 D解析展开式中的第二项为T 2＝C 15(x 2)5－1(－1x )1，所以其系数为－C 15＝－5. 2．(2015·河北唐山一模)(3x －2x )8二项展开式中的常数项为( )A ．56B ．－56C ．112D ．－112答案 C解析 ∵T r ＋1＝C r 8(3x )8－r (－2x )r ＝C r 8(－2)r x 83－43r ， ∴令83－43r ＝0，即r ＝2.∴常数项为C 28(－2)2＝112，选C.3．在(x 2－13x )n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28答案 B解析由题意知n ＝8，T r ＋1＝C r 8·(x 2)8－r ·(－13x )r ＝(－1)r ·C r 8·x 8－r28－r ·1x r 3＝(－1)r·C r 8·x 8－r －r328－r ，由8－r －r3＝0，得r ＝6.∴T 7＝C 68·122＝7，即展开式中的常数项为T 7＝7. 4．在(x ＋1)(2x ＋1)…(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( ) A ．C 2nB ．C 2n ＋1 C ．C n －1nD.12C 3n ＋1答案 B解析 1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2＝C 2n ＋1. 5．若(x ＋a x )(2x －1x )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40答案 D解析令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1.∴(2x －1x )5的通项为T r ＋1＝C r 5·(2x )5－r·(－1x )r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r . 令5－2r ＝1，得r ＝2.令5－2r ＝－1，得r ＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C 25＋(－1)3·22·C 35＝80－40＝40.6．(2015·人大附中期末)若(x 2－1ax )9(a ∈R )的展开式中x 9的系数是－212，则⎠⎛0a sin x d x 的值为( )A ．1－cos2B ．2－cos1C ．cos2－1D ．1＋cos2答案 A解析由题意得T r ＋1＝C r 9·(x 2)9－r ·(－1)r ·(1ax )r ＝(－1)r ·C r 9·x 18－3r ·1a r ，令18－3r ＝9，得r ＝3，所以－C 39·1a 3＝－212，解得a ＝2.所以⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )| 20＝－cos2＋cos0＝1－cos2. 7．(2015·安徽合肥二检)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30答案 A解析由题意，得 (x 2－x ＋1)10＝[x (x －1)＋1]10＝C 010[x (x －1)]0·110＋C 110[x (x －1)]1·19＋C 210[x (x －1)]2·18＋C 310[x (x －1)]3·17＋…＋C 1010[x (x －1)]10·10＝C 010＋C 110x (x －1)＋C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＋…＋C 1010x 10(x －1)10，x 3出现在C 210x 2(x －1)2＋C 310x 3(x －1)3＝C 210x 2(x 2－2x ＋1)＋C 310x 3(x 3－3x 2＋3x －1)中，所以x 3前的系数为C 210(－2)＋C 310(－1)＝－90－120＝－210，故选A.8．(2015·天津河西二模)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝( )A ．－180B ．180C ．45D ．－45答案 B解析因为(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，所以a 8＝C 81022(－1)8＝180.9．(2015·山东潍坊一模)设k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ，若(1－kx )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．256答案 B解析 ∵k ＝⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )|π0＝2，∴(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8.令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝1.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝0. 10．(2014·浙江理)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210答案 C解析由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1,2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120，选C.11．(2015·四川绵阳二诊)若(x －a x2)6展开式的常数项是60，则常数a 的值为________．答案 4 解析 (x －ax2)6展开式的常数项是C 26x 4(－ax2)2＝15a ＝60，∴a ＝4.12．(2015·上海十三校二联)－1＋3C 111－9C 211＋27C 311－…－310C 1011＋311除以5的余数是________．答案 3解析－1＋3C 111－9C 211＋27C 311－…－310C 1011＋311＝(－1＋3)11＝211＝2 048＝2 045＋3，它除以5余数为3.13．若(x －a 2x)8的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．答案 1解析 (x －a 2x )8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r (－a 2)r x －r ＝C r 8(－a 2)r x 8－2r，令8－2r ＝0，解得r ＝4，所以C 48(－a 2)4＝1 120，所以a 2＝2，故(x －a 2x )8＝(x －2x)8.令x ＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1.14．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________. 答案 0解析 T r ＋1＝C r 21x 21－r (－1)r ，∴a 10＝C 1121(－1)11，a 11＝C 1021(－1)10，∴a 10＋a 11＝0.15．(2014·高考调研原创题)若(cos φ＋x )5的展开式中x 3的系数为2，则sin(2φ＋π2)＝________.答案－35解析由二项式定理，得x 3的系数为C 35cos 2φ＝2，得cos 2φ＝15.故sin(2φ＋π2)＝cos2φ＝2cos 2φ－1＝－35.16．(2015·扬州中学月考)设函数f (x ，n )＝(1＋x )n (n ∈N *)． (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)若f (i ，n )＝32i(i 为虚数单位)，求C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n .答案 (1)20x 3 (2)32解析 (1)展开式中系数最大的项是第4项T 4＝C 36x 3＝20x 3.(2)由已知(1＋i)n ＝32i ，两边取模，得(2)n ＝32，所以n ＝10.所以C 1n －C 3n ＋C 5n －C 7n ＋C 9n ＝C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910.而(1＋i)10＝C 010＋C 110i ＋C 210i 2＋…＋C 910i 9＋C 1010i 10＝(C 010－C 210＋C 410－C 610＋C 810－C 1010)＋(C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910)i ＝32i ，所以C 110－C 310＋C 510－C 710＋C 910＝32.17．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数是19(m ，n ∈N *)． (1)求f (x )展开式中x 2的系数的最小值；(2)对f (x )展开式中x 2的系数取最小值时m ，n ，求f (x )展开式中x 7的系数．答案 (1)81 (2)156解析 (1)由题意知C 1m ＋C 1n ＝19，∴m ＋n ＝19，∴m ＝19－n .x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝12(19－n )(18－n )＋12n (n －1)＝n 2－19n ＋171＝(n －192)2＋3234，∵n ∈N *，∴n ＝9或n ＝10时，x 2的系数取最小值(12)2＋3234＝81.(2)由(1)得当n ＝9，m ＝10时，f (x )＝(1＋x )10＋(1＋x )9；当n ＝10，m ＝9时，f (x )同上．故f (x )＝(1＋x )9(x ＋2)其中(1＋x )9展开式中T r ＋1＝C r 9x r ，所以f (x )展开式中x 7的系数为C 69＋2C 79＝156.题组层级快练(七十六)1．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 A解析从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．2．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的次数为6，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的( )A ．概率为23B ．频率为35C ．频率为6D ．概率为35答案 B解析注意频率与概率的区别．3．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34 答案 C解析从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝23.4．一个袋子里装有编号为1,2，…，12的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是( )A.116B.316C.14D.716答案 B解析据题意由于是有放回地抽取，故共有12×12＝144种取法，其中两次取到红球且至少有一次号码是偶数的情况共有6×6－3×3＝27种可能，故其概率为27144＝316.5．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.112答案 A解析从分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球中随机取出2个小球的基本事件数分别为：1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5,1＋5＝6,2＋3＝5,2＋4＝6,2＋5＝7,3＋4＝7,3＋5＝8,4＋5＝9共10种不同情形；而其和为3或6的共3种情形，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是310. 6．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )A.1936B.12C.59D.1736答案 A解析若方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，当有序实数对(b ，c )的取值为(6,6)，(6,5)，…，(6,1)，(5,6)，(5,5)，…，(5,1)，(4,4)，…，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)时方程有实根，共19种情况，而(b ，c )等可能的取值共有36种情况，所以，方程有实根的概率为P ＝1936.7．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(1,2)，则向量m 与向量n 不共线的概率是( )A.16B.1112C.112D.118答案 B解析若m 与n 共线，则2a －b ＝0.而(a ，b )的可能性情况为6×6＝36个．符合2a ＝b 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)共三个．故共线的概率是336＝112，从而不共线的概率是1－112＝1112.8．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．32 答案 B解析设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人．故选B.9．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．答案112解析本题基本事件共6×6个，点数和为4的有3个事件为(1,3)，(2,2)，(3,1)，故P ＝36×6＝112. 10．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )＝________.(结果用最简分数表示)答案726解析考查互斥事件概率公式P (A ∪B )＝152＋1352＝726.11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．答案 0.25解析设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A ，B ，C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6.又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35，P (B )＝0.25.12．设A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,3,5,7,9}，集合C 是从A ∪B 中任取两个元素组成的集合，则C (A ∩B )的概率是________．答案328解析 A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，则A ∪B 中有8个元素，在A ∪B 中任取两个元素的取法有C 28种．又A ∩B ＝{1,3,5}，且C (A ∩B )，∴P ＝C 23C 28＝328.13．(2015·山东寿光中学期末)据中央电视台新闻联播报道的，中学生的视力下降是十分严峻的问题，通过随机抽样调查某校1 000名在校学生，其中有200名学生裸眼视力在0.6以下，有450名学生祼眼视力在0.6～1.0，其余的能达到1.0以上．求：(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率是多少？ (2)这个学校在校生视力达到1.0及以上的概率为多少？答案 (1)0.65 (2)0.35解析 (1)因为事件A (视力在0.6以下)与事件B (视力0.6－1.0)为互斥事件，所以事件C (视力不足1.0)的概率为P (C )＝P (A )＋P (B )＝2001 000＋4501 000＝0.65.(2)设事件D 为视力在1.0及以上，事件C 为对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.65＝0.35.14．某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？答案 (1)0.05(2)至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52解析 (1)记中靶为事件A ，不中靶为事件A ，根据对立事件的概率性质，有P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.∴不中靶的概率为0.05.(2)记命中10环为事件B ，命中9环为事件C ，命中8环为事件D ，至少8环为事件E ，不够9环为事件F .由B ，C ，D 互斥，E ＝B ∪C ∪D ，F ＝B ∪C ，根据概率的基本性质，有P (E )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P (F )＝P (B ∪C )＝1－P (B ∪C )＝1－(0.27＋0.21)＝0.52. ∴至少8环的概率为0.72，不够9环的概率为0.52.15．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．答案 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝1100，P (C )＝120(2)611 000 (3)9891 000解析 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－(11 000＋1100)＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.16．下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1～5分五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人．设x ，y 分别表示英语成绩和数学成绩.y /分人数x 分543215 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b6 0 a 1113(1)x ＝4的概率是多少？x ＝4且y ＝3的概率是多少？x ≥3的概率是多少？ (2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？答案 (1)725，750，710 (2)15，3解析 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725；P (x ＝4且y ＝3)＝750，P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5) ＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.题组层级快练(七十七)1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45 B.35 C.25 D.15答案 D解析基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34答案 A解析由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为39＝13.3．(2014·湖北文改编)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A ．P 1＝P 2<P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1<P 2＝P 3D ．P 3＝P 2<P 1答案 B解析先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P 1＝136，P 2＝118，P 3＝112.4．(2015·衡水调研卷)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 答案 D解析因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7140,1417,0371,6011,7610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－520＝0.75，故选D.5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE )，共有3种，∴所求概率为315＝15.6．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25 C.34 D.23答案 A解析基本事件总数为C 25＝10,2张卡片上数字之和为奇数，需1为奇1为偶，共有C 13C 12＝6，∴所求概率为610＝35，选A.7．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.8．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332D.364 答案 D解析基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(1,8)，(2,1)，(2,2)，…，(8,8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，∴所求概率为364.9．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( ) A.34 B.56 C.16 D.13答案 B解析该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是56.10．若连续抛掷两次质地均匀的骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112答案 D解析该试验会出现6×6＝36种情况，点(m ，n )在直线x ＋y ＝4上的情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)共三种，则所求概率P ＝336＝112.11．(2014·陕西理)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案 C解析从这5个点中任取2个，有C 25＝10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有C 24＝6种，因此所求概率P ＝610＝35.故选C. 12．(2015·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.79答案 D解析甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |>1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件，∴P (B )＝29.∴P (A )＝1－29＝79.13．(2015·浙江金丽衢十二校二联)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A.17 B.27 C.37 D.47答案 C解析因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.14．(2015·河北邯郸二模)甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A.13B.23C.34D.35 答案 A解析第一种情况：甲安排在第一天，则有A 24＝12种；第二种情况：甲安排在第二天，则有A 23＝6种；第三种情况：甲安排在第三天，则有A 22＝2种，所以所求概率为12＋6＋2A 35＝13. 15．(2014·江西理)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．答案 12解析本题属于古典概型，由古典概型概率公式可得所求概率为C 13C 37C 410＝12.16．曲线C 的方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1，其中m ，n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点，事件A ＝“方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么P (A )＝________.答案512解析试验中所含基本事件个数为36；若方程表示椭圆，则前后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能．又椭圆焦点在x 轴上，则m >n ，又只剩下一半情况，即有15种，因此P (A )＝1536＝512.17．(2014·山东文)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C 数量50150100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．答案 (1)1,3,2 (2)415解析 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×15＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2. 则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.18．如图所示是某市2015年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．答案 (1)16 (2)23解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝16.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝14.“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为512.所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝23.1．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A.136B.19C.536D.16答案 D解析甲乙两人任选4个景点共有方法A 46A 46种，而最后一小时他们在同一个景点的情况有C 16A 35A 35种，所求概率为P ＝C 16A 35A 35A 46A 46＝16，故选D.2．(2015·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )A.12B.916C.1116D.724答案 B解析所求概率P ＝C 24·A 3444＝916.3．(2015·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0－9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( )A.45 B.35 C.25 D.15 答案 C解析只按一次就按对的概率是15.按两次就按对的概率是4×15×4＝15，所以不超过2次就按对的概率是15＋15＝25，选C.4．(2015·江苏南京、盐城二模)盒中有3张分别标有1,2,3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．答案 59解析对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝59.5．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________．答案 146．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 17C 19＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 14C 15＝20个，故所求概率为2063. 7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．答案 35解析从5个小球中任选两个小球的方法数为C 25＝10，其中不同色的方法数为C 13C 12＝6，所以所求概率为P ＝610＝35.题组层级快练(七十八)1．(2015·重庆一中期中)在[－2,3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) A.25 B.14 C.35 D.45答案 D解析由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.14B.13 C.427 D.415 答案 A解析面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ；面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm. ∴P ＝9－612＝312＝14.3．若在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12C.34D.23答案 C解析如图，在AB 边上取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′上(为包括P ′点)运动，则所求概率为AP ′AB ＝34. 4．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.4π81B.81－4π81C.127D.827答案 C解析由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.5．(2014·湖北理)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18 B.14 C.34 D.78答案 D解析由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78，选D.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤12，f (－2)≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.14B.58 C.12 D.38 答案 C解析由题意知，事件A 所对应的线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤b ≤4，0≤c ≤4，4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，其对应的可行域如图中阴影部分所示，所以事件A 的概率P (A )＝S △OAD S 正方形OABC ＝12，选C.7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×4π3×13＝2π3，则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π38＝π12，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－π12.8．若在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( )A.π2B.π8C.π6D.π4答案 D解析区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P ＝S 半圆S △ABC＝π212×22×2＝π4，故选D. 9．(2013·四川理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78答案 C解析设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4,0≤y ≤4，∴S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y |≤2，如图可知，符合要求的S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34. 10．已知实数a 满足－3<a <4，函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定答案 C解析若f (x )的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a <2. 故P 2＝47.∴P 1<P 2.11.(2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.12．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．答案 23解析圆周上使弧AM 的长度为1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1M 2的长度为2，B 点落在优弧M 1M 2上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.13．若在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是________．答案π40解析将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10,0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y )落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0,10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.14．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．答案 3解析设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3，故长方体的体积为1×1×3＝3.15.(2015·茂名一模)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD 内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入△BCD 内的频率稳定在25附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为________．答案 32解析由几何概型的概率计算公式，得粒子落在△ABD 与△CBD 中的概率之比等于△ABD 与△CBD 的面积之比，而△ABD 与△CBD 的面积之比又等于点A 和点C 到直线BD 的距离之比，所以点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为3525＝32，故填32.16．(2015·广东深圳)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．答案 (1)16 (2)316解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为 {(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A (3,0)，D (0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.17．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．答案 (1)2536 (2)221288解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或y －x <－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域。

题组层级快练(六十七)

题组层级快练(六十七)1．抛物线x 2＝12y 的焦点到准线的距离是( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 D解析抛物线标准方程x 2＝2py(p>0)中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p ＝14，故选D. 2．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y答案 A解析设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P(－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，∴y 2＝－92x 或x 2＝43y ，选A.3．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.14答案 D解析因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为(0，14a )，则有14a ＝1，a ＝14，故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P(2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x 答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线为x ＝－p2.∵点P(2，y 0)到其准线的距离为4，∴|－p2－2|＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x.5．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12答案 C解析因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点F(2，0)，所以k AF＝3－0－2－2＝－34.6．(2018·衡水中学调研卷)若抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4xB ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x答案 C解析因为抛物线y 2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P(x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F(p 2，0)的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10 ①.因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0 ②.由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x.7．(2016·课标全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px(p>0)，由|AB|＝42，|DE|＝25，可取A(4p ，22)，D(－p 2，5)，设O 为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得16p 2＋8＝p 24＋5，得p ＝4，所以选B.8．(2018·吉林长春调研测试)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355B ．2 C.115 D ．3答案 B解析由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF|，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2，故选B.9．点A 是抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6答案 C 解析求抛物线C 1：y 2＝2px(p>0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝b a x ，解得⎩⎨⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pa b，所以2pa 2b 2＝p 2，c 2＝5a 2，e ＝5，故选C.10．(2013·课标全国Ⅱ，理)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5，若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析方法一：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x 0＋p2＝5，则x 0＝5－p 2. 又点F 的坐标为(p 2，0)，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)(x －p2)＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即y 022－4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由y 02＝2px 0，得16＝2p(5－p2)，解之得p ＝2或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.故选C.方法二：由已知得抛物线的焦点F(p 2，0)，设点A(0，2)，抛物线上点M(x 0，y 0)，则AF →＝(p2，－2)，AM →＝(y 022p，y 0－2)．由已知得，AF →·AM →＝0，即y 02－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M(8p ，4)．由抛物线定义可知：|MF|＝8p ＋p2＝5.又p>0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.11．(2018·合肥质检)已知抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34D ．±33答案 A解析设M(x M ，y M )，由抛物线定义可得|MF|＝x M ＋p 2＝2p ，解得x M ＝3p2，代入抛物线方程可得y M ＝±3p ，则直线MF 的斜率为y M x M －p 2＝±3pp ＝±3，选项A 正确．12．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2p 答案 A解析设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，F(p 2，0)，则(x 1－p 2，y 1)＋(x 2－p 2，y 2)＋(x 3－p2，y 3)＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0.∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 12）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p＝0. 13．(2018·河南新乡第一次调研)经过抛物线y 2＝8x 的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为________．答案 3解析圆心是x ＝1与抛物线的交点．r ＝1＋2＝3.14．(2018·福建闽侯三中期中)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF|＝________．答案 43解析设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝233.设P(x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF|＝|PA|＝y 0＋1＝43.15．已知定点Q(2，－1)，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，动点P 为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P 的坐标为________．答案 (14，－1)解析设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即D ，P ，Q 三点共线时|PQ|＋|PF|最小．将Q(2，－1)的纵坐标代入y 2＝4x 得x ＝14，故P 的坐标为(14，－1)． 16.右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p ＝1，则抛物线方程为x 2＝－2y. 当y ＝－3时，x ＝±6，所以水面宽为2 6 米．17．抛物线y 2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y ＝2x ，斜边长为513，求此抛物线方程．答案 y 2＝4x解析设抛物线y 2＝2px(p>0)的内接直角三角形为AOB ，直角边OA 所在直线方程为y ＝2x ，另一直角边所在直线方程为y ＝－12x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p ；解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，可得点B 的坐标为(8p ，－4p)．∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝513， ∴⎝⎛⎭⎫p24＋p 2＋(64p 2＋16p 2)＝325. ∴p ＝2，∴所求的抛物线方程为y 2＝4x.18．(2018·上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC ⊥AB 于C ，AB ＝3米，OC ＝4.5米．(1)求抛物线的焦点到准线的距离；(2)在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01°)．答案 (1)14(2)9.59°解析 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为y 轴，建系．∴B(1.5，－4.5)．设抛物线方程为x 2＝－2py. 点B(1.5，－4.5)在抛物线上． ∴p ＝14.∴焦点到准线距离为14.(2)如图，C 为DE 中点，OC ∥SD ，∴O 为SE 中点．SC ⊥DE ，OC ＝4.5，∴SE ＝2OC ＝9. DE ＝AB ＝3，∴CE ＝1.5. ∴sin ∠CSE ＝CE SE ＝1.59≈0.167.∴∠SCE ≈9.59°.∴圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.1．抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－116C ．x ＝－1D ．x ＝－116答案 D解析抛物线x 2＝14y 的准线方程为y ＝－116，关于x ＝y 对称的准线方程x ＝－116为所求．2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172B ．3C. 5D.92答案 A解析抛物线y 2＝2x 的焦点为F(12，0)，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0，2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0，2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F 到点(0，2)的距离，因此所求的最小值等于（12）2＋（－2）2＝172，选A. 3．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a) B ．(a ，0) C ．(0，116a )D ．(116a，0)答案 C解析抛物线方程化标准方程为x 2＝14a y ，焦点在y 轴上，焦点为(0，116a)．4．已知点A(－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43 答案 D解析先确定切线的方程，再联立方程组求解．抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A(－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F(2，0)．设切线方程为y －3＝k(x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k＋3＝0(k ≠0)①.由于Δ＝1－4×k 8·(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8，8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.5．(2018·海口一模)过点F(0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12y D ．x 2＝12y答案 D6．(2018·湖北黄冈中学检测)若坐标原点到抛物线y ＝mx 2的准线的距离为2，则实数m ＝( ) A ．8 B ．±8 C ．±14D ．±18答案 D解析 x 2＝1m y ，故由题意可得14|m|＝2，所以m ＝±18.7．(2018·江西吉安一中期中)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，其上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)满足|AF|－|BF|＝2，则y 1＋x 12－y 2－x 22＝( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 D解析 ∵|AF|－|BF|＝2，∴y 1＋1－(y 2＋1)＝2，∴y 1－y 2＝2，所以y 1＋x 12－y 2－x 22＝5(y 1－y 2)＝10，故选D.8．(2018·云南昆明适应性检测)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A ，B 在C 上，且点F 是△AOB 的重心，则cos ∠AFB 为( ) A ．－35B ．－78C ．－1112D ．－2325答案 D解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由重心坐标公式得x 1＋x 23＝p2，y 1＋y 2＝0，故A ，B 关于x 轴对称，则x 1＝x 2＝34p ，所以|AF|＝|BF|＝34p ＋p 2＝54p ，|AB|2＝6p 2，所以由余弦定理可得cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF|＝－2325，故选D.9．(2018·湖南郴州第二次质检)已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，则这个正三角形的边长为( )A．23p B．2pC．43p D．4p答案 C解析∵抛物线y2＝2px关于x轴对称，∴若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，则A，B关于x轴对称，如图所示，∴直线OA的倾斜角为30°，斜率为33，∴直线OA的方程为y＝33x，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝33x，y2＝2px，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝6p，y＝23p，∴A(6p，23p)，则B(6p，－23p)，∴|AB|＝43p，∴这个正三角形的边长为43p.故选C.10．(2016·浙江，理)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．答案9解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x ＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.11．在抛物线y2＝4x上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求M点的坐标及此时的最小值．答案M(1，2)，最小值为4解析如图点A在抛物线y2＝4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．此时M1点的坐标为(1，2)．12．(2018·黑龙江大庆一模)已知圆x2＋y2＋mx－14＝0与抛物线y2＝4x的准线相切，则m＝________．答案 34 解析圆x 2＋y 2＋mx －14＝0圆心为(－m 2，0)，半径r ＝m 2＋12，抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1.由|－m 2＋1|＝m 2＋12，得m ＝34. 13．一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝ax 上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形的面积为363，则a ＝________．答案 ±2 3解析设正三角形边长为x ，则363＝12x 2sin60°. ∴x ＝12.当a>0时，将(63，6)代入y 2＝ax 得a ＝2 3.当a<0时，将(－63，6)代入y 2＝ax 得a ＝－23，故a ＝±2 3.14．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．答案 2解析 y ＝ax 2－1变形为x 2＝1a (y ＋1)，此抛物线焦点坐标为(0，14a－1)，由题意14a－1＝0， ∴a ＝14. ∴抛物线为y ＝14x 2－1，令y ＝0，得x ＝±2，如图．顶点A(0，－1)，|BC|＝4.∴S △ABC ＝12|BC|·|AF|＝12×4×1＝2. 15．(2017·湖北恩施一中开学考)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是________．答案 34解析设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图．由梯形的中位线定理，可得|MN|＝12(|AC|＋|BD|)．连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|＋|BF|≥|AB|，当且仅当点F 在AB 上时取等号，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝12(|AC|＋|BD|)≥12|AB|＝1. 设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则 |MN|＝a ＋14≥1，解得a ≥34. 因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴的距离最小，为34. 16．过点M(2，－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程．答案 x 2＝2y 或x 2＝4y解析 x 2＝2py 变形为y ＝12px 2， ∴y ′＝x p.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， ∴y ′|x ＝x 1＝x 1p. ∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)．即y ＝x 1p x －x 122p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p. 又(2，－2p)在两条直线上，∴－2p ＝2x 1p －x 122p ，－2p ＝2x 2p －x 222p. ∴x 1，x 2是方程x 22p －2x p－2p ＝0的两根．即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.∴y 1＋y 2＝12p (x 12＋x 22) ＝12p [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝12p(16＋8p 2)．又∵线段AB 中点纵坐标为6，∴y1＋y2＝12，即12)＝12.2p(16＋8p解得p＝1或p＝2.∴抛物线方程为x2＝2y或x2＝4y.。

高考调研题组层级快练地理选修二

高考调研题组层级快练地理选修二1. 引言地理是高中阶段的一门重要学科，对于学生的综合素质和发展具有重要意义。

高考地理考试中，题组层级的快速训练对于提升学生成绩至关重要。

本文将针对地理选修二这一内容，介绍题组层级的快速训练方法，帮助学生在高考中取得好成绩。

2. 题组层级快练的重要性题组层级是高考地理考试中的一种题型，对于学生的综合运用能力和分析能力有很高的要求。

通过进行题组层级快练，学生可以熟悉题组层级题型的出题规律，提高解题速度和准确率。

此外，题组层级快练也有助于学生对地理知识的整合和巩固。

3. 题组层级快练的方法3.1 制定学习计划要进行题组层级快练，首先需要制定一个科学合理的学习计划。

根据地理选修二的内容，制定每周的学习目标和计划，并合理安排每天的学习时间。

坚持按计划学习，分阶段进行题组层级的快练，循序渐进提高解题能力。

3.2 系统学习题型知识点学习题组层级快练之前，必须要掌握题组层级题型的基本知识点。

通过系统学习教材和参考书，掌握地理选修二的相关知识点和概念。

了解题目要求和解题方法，为进行题组层级快练做好准备。

3.3 多做题目，培养解题思路进行题组层级快练的关键是多做题目，培养解题思路。

选择一些与地理选修二相关的题目进行练习，通过反复做题，加深对知识点的理解和记忆。

同时，在解题过程中要注意总结解题思路和方法，发现规律和技巧，提高解题的速度和准确率。

3.4 进行模拟考试进行题组层级快练的另一个重要环节是进行模拟考试。

选择一些真实高考地理题目，模拟真实考试的环境和时间，进行考前冲刺的训练。

在模拟考试中，能够更好地体验真实考试的紧张感和时间压力，提高应对考试的能力。

4. 学习资源推荐4.1 教材地理选修二的教材是进行题组层级快练的基础资源，学生可以根据教材进行系统的知识学习和复习。

4.2 参考书针对地理选修二的参考书也是一个很好的学习资源，学生可以选择适合自己的参考书进行查漏补缺和提高解题能力。

高考调研高一数学必修一题组层级快练答案

高考调研高一数学必修一题组层级快练答案1、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ2、36、下列生活实例中, 数学原理解释错误的一项是( ) [单选题] *A. 从一条河向一个村庄引一条最短的水渠, 数学原理: 在同一平面内, 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线(正确答案)B. 两个村庄之间修一条最短的公路, 其中的数学原理是：两点之间线段最短C. 把一个木条固定到墙上需要两颗钉子, 其中的数学原理是: 两点确定一条直线D. 从一个货站向一条高速路修一条最短的公路, 数学原理: 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短．3、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃4、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。

记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1，-3，-5，+1，-6，+2，-4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（??）[单选题] *A．1℃B．31℃C．8℃(正确答案)D．69℃5、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限6、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）7、以A（3，2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是（）[单选题] *A、锐角三角形B、锐角三角形C、直角三角形(正确答案)D、无法判断8、1、方程x2?-X=0 是（? ? ）? ? ? ? ? ? 。

[单选题] *A、一元一次方程B、一元二次方程(正确答案)C、二元一次方程D、二元二次方程9、二次函数y=3x2-4x+5的二次项系数是（）。

高考调研数学目录

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目录
第九章解析几何
第1课时直线方程题组层级快练（五十九）（word）第2课时两直线的位置关系题组层级快练（六十）（word）第3课时圆的方程题组层级快练（六十一）（word）第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系题组层级快练（六十二）（word）第5课时椭圆(一) 题组层级快练（六十三）（word）第6课时椭圆(二) 题组层级快练（六十四）（word）第7课时双曲线(一) 题组层级快练（六十五）（word）
目录
第5课时三角函数的图像题组层级快练（二十四）（word）第6课时三角函数的性质题组层级快练（二十五）（word）专题研究三角函数的值域与最值专题层级快练（二十六）（word）第7课时正、余弦定理题组层级快练（二十七）（word）专题研究正、余弦定理应用举例专题层级快练（二十八）（word）
第7页
目录
第五章平面向量与复数
第1课时向量的概念及线性运算题组层级快练（二十九）（word）第2课时平面向量基本定理及坐标运算题组层级快练（三十）（word）第3课时平面向量的数量积题组层级快练（三十一）（word）专题研究平面向量的综合应用专题层级快练（三十二）（word）第4课时复数题组层级快练（三十三）（word）
第10页
目录
第八章立体几何
第1课时空间几何体的结构、三视图、直观图题组层级快练（四十八）（word）第2课时空间几何体的表面积、体积题组层级快练（四十九）（word）专题研究球与几何体的切接问题专题层级快练（五十）（word）第3课时空间点、线、面间位置关系题组层级快练（五十一）（word）第4课时直线、平面平行的判定及性质题组层级快练（五十二）（word）第5课时直线、平面垂直的判定及性质题组层级快练（五十三）（word）

作业3

题组层级快练(三)一、选择题1．(多选)伽利略为了研究自由落体的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，对于这个研究过程，下列说法正确的是( ) A ．斜面实验放大了重力的作用，便于测量小球运动的路程 B ．斜面实验“冲淡”了重力的作用，便于小球运动时间的测量 C ．通过对斜面实验的观察与计算，直接得到自由落体的运动规律 D ．根据斜面实验结论进行合理的外推，得到自由落体的运动规律答案 BD解析 “斜面实验”中小球运动的加速度较小，便于运动时间的测量，A 项错误、B 项正确；斜面倾角增大到90°时，斜面运动外推为自由落体运动，C 项错误、D 项正确．2．竖直向上抛出一只小球，3 s 落回抛出点，则小球在第2 s 内的位移(不计空气阻力)是( ) A ．10 m B ．0 m C ．－5 m D ．－0.25 m答案 B解析根据竖直上抛运动的对称性可知，当t ＝1.5 s 时物体上升到最高点．小球在第2 s 内的位移包括上升过程中的最后0.5 s 和下降过程中开始的0.5 s ，所以小球在第2 s 内的位移为0 m.3．一物体自距地面高H 处自由下落，经时间t 落地，此时速度为v ，则( ) A.t 2时物体距地面高度为H 2 B.t 2时物体距地面高度为34H C ．物体下落H 2时速度为v 2D ．物体下落H 2时速度为32v答案 B解析根据位移－时间公式h ＝12gt 2知，在前一半时间和后一半时间内的位移之比为1∶3，则前一半时间内的位移为H 4，此时距离地面的高度为3H4.故A 项错误，B 项正确．C 、D 两项，根据v 2＝2gH ，v ′2＝2g H 2知，物体下落H 2时的速度为v ′＝2v2.故C 、D 两项错误．4．四个小球在离地面不同高度同时从静止释放，不计空气阻力，从开始运动时刻起每隔相等的时间间隔，小球依次碰到地面．下列各图中，能反映出刚开始运动时各小球相对地面的位置的是( )答案 C解析假设小球落地时间分别是t 1、t 2、t 3，t 4，要满足题目要求，需要使t 2＝2t 1、t 3＝3t 1、t 4＝4t 1，再根据h ＝12gt 2，四个小球释放点距离地面的高度应满足h 1∶h 2∶h 3∶h 4＝1∶4∶9∶16，观察可知，C 项正确．5．(2017·衡阳一模)某同学为估测一教学楼的总高度，在楼顶将一直径为2 cm 的钢球由静止释放，测得通过安装在地面的光电门数字计时器的时间为0.001 s ，由此可知教学楼的总高度约为(不计空气阻力，重力加速度g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m B ．20 m C ．30 m D ．40 m答案 B解析设运动时间为t ，根据h ＝12gt 2可得，根据Δx ＝x t －x t ′即12gt 2－12g(t －0.001)2＝Δx ，即12×10t 2－12×10(t －0.001)2＝0.02 解得：t ＝2 sh ＝12×10×22 m ＝20 m6．以v 0＝20 m/s 的速度竖直上抛一小球，2 s 后以相同的初速度在同一点竖直上抛另一小球．g 取10 m/s 2，则两球相碰处离出发点的高度是( ) A ．10 m B ．15 m C ．20 m D ．不会相碰答案 B解析设第二个小球抛出后经t 时间与第一个小球相遇，根据位移相等有v 0(t ＋2)－12g(t ＋2)2＝v 0t －12gt 2 解得t ＝1 s代入位移公式h ＝v 0t －12gt 2，解得h ＝15 m.7.(2017·邢台模拟)如图所示，分别位于P 、Q 两点的两小球，初始位置离水平地面的高度差为1.6 m ，现同时由静止开始释放两球，测得两球先后落地的时间差为0.2 s ，取g ＝10 m/s 2，空气阻力不计，P 点离水平地面的高度h 为( ) A ．0.8 m B ．1.25 m C ．2.45 m D ．3.2 m答案 C解析 P 点的小球：h ＝12gt 12，解得t 1＝2hg. Q 点的小球：h ＋1.6＝12gt 22，解得t 2＝2（h ＋1.6）g. 根据题意，有t 2－t 1＝0.2.联立解得：h ＝2.45 m ，故C 项正确，A 、B 、D 三项错误．8．(2017·浙江模拟)建筑工人安装搭手架进行高空作业，有一名建筑工人由于不慎将抓在手中的一根长5 m 的铁杆在竖直状态下脱落了，使其做自由落体运动，铁杆在下落过程中经过某一楼层面的时间为0.2 s ．已知重力加速度g ＝10 m/s 2，不计楼层面的厚度．则铁杆刚下落时其下端到该楼层的高度为( ) A ．25.5 m B ．28.8 m C ．30 m D ．29.5 m答案 B解析设铁杆下端到达楼层面时的速度为v.根据L ＝vt ＋12gt 2，得：v ＝L －12gt 2t ＝5－12×10×0.040.2 m/s ＝24 m/s.则铁杆下落时其下端到该楼层的高度为： h ＝v 22g ＝24×2420 m ＝28.8 m.故B 项正确，A 、C 、D 三项错误．9．(2017·新课标一模)一物块以一定的初速度沿足够长的光滑斜面底端向上滑出，从滑出至回到斜面底端的时间为6 s ，若在物块上滑的最大位移的一半处设置一垂直斜面的挡板，仍将该物块以相同的初速度在斜面底端向上滑出，物块撞击挡板前后的速度大小相等、方向相反．撞击所需时间不计，则这种情况下物块从上滑至回到斜面底端的总时间约为(不计空气阻力)( ) A ．1.0 sB ．1.8 sC ．2.0 sD ．2.6 s答案 B解析由于是光滑的斜面，所以整个过程中的加速度大小方向都不变根据对称可知，上升和下降的时间相等，故都为0.5t 假设斜面的长度为x ，根据题意可得：x ＝12a(0.5t)2，与中间的挡板相碰撞，上升段的时间为：t x ＝0.5t －0.5x ×2a，由上两式可知t x ＝12t －24t ，此为上升的时间，加上往返的时间，所以小球运动的总时间为：2t x ，即t 总＝2t x ＝(1－22)t ≈0.3t ＝0.3×6 s ＝1.8 s ，故B 项正确，A 、C 、D 三项错误．10．(2017·邯郸模拟)如图所示，竖直悬挂一根长5 m 的铁棒AB ，在铁棒的正下方距铁棒下端5 m 处有一圆管CD ，圆管长10 m ，剪断细线，让铁棒自由下落，则铁棒通过圆管所需的时间为(g 取10 m/s 2)．( ) A ．0.5 s B ．1 s C. 2 s D ．2 s答案 B解析铁棒上B 点到C 点过程，根据位移－时间关系公式，有： h ＝12gt 12，解得：t 1＝2h g＝2×510＝1 s ，铁棒上A 点到D 点过程，根据位移－时间关系公式，有： H ＝12gt 22，解得：t 2＝2×（5＋5＋10）10＝2 s则铁棒通过圆管所需的时间为： Δt ＝t 2－t 1＝2 s －1 s ＝1 s.11．(2017·宜兴模拟)(多选)甲物体从离地面H 高空自由落下，而乙物体在地面以初速度v 0同时向上抛出，两物体在离地面3H4处相遇(不相碰)，如果v 0为已知量，则( ) A ．从自由下落到相遇，经过的时间为t ＝v 02gB ．乙物体上升到最高点时，甲物体正好落到地面C ．相遇时，甲乙两物体的速度相等，均为v 02D ．乙上升的最大高度就是H ，且H ＝v 022g ，而甲物体落地时的速度大小为v 0答案 ABD解析两者相遇时，甲的位移大小为H 4，乙的位移大小为34H ，A 项，根据12gt 2＋v 0t －12gt 2＝H 得，t ＝H v 0，甲的位移：14H ＝12gt 2，乙的位移：34H ＝v 0t －12gt 2，解得t ＝v 02g ，H ＝v 022g ，故A项正确．B 项，乙物体上升到最高点时间：t 1＝v 0g ，物体甲的位移：h ＝12gt 2＝v 022g ＝H ，即甲物体正好落到地面，故B 项正确．C 项，由A 可知，两者相遇时的运动时间：t ＝v 02g，甲的速度：v甲＝gt ＝v 02，乙的速度：v 乙＝v 0－gt ＝v 02，但是方向不同，故C 项错误． D 项，乙上升的最大高度h ＝v 022g ＝H ，甲做自由落体运动，由速度－位移公式可知，落地速度：v ＝2gH ＝v 0，故D 项正确．12.(2017·湖南模拟)(多选)如图所示，两端点分别为A 、B ，长L ＝1 m 的金属细杆在距地面H ＝40 m 处以v 0＝10 m/s 竖直上抛，同时在AB 上方略微错开的竖直线上h 处有一可视为质点的小球C 由静止释放，不计空气阻力及落地后的运动，取g ＝10 m/s 2，则可知( ) A ．杆能上升的最大位移为10 m B ．杆从抛出到落地共用时4 sC ．若h ＝15 m ，则C 与A 相遇时杆的速度方向向下，与杆相遇共用时0.1 sD ．若h ＝25 m ，则C 与A 相遇时杆的速度方向向下，与杆相遇共用时0.1 s 答案 BCD解析 A 项，杆能上升的最大位移x ＝v 022g＝5 m ，故A 项错误；B 项，杆上升到最高点的时间t 1＝v 0g ，向下的位移h ′＝40 m ＋5 m ＝45 m ，则下降的时间t 2＝2h ′g，则杆从抛出到落地的时间t ＝1 s ＋3 s ＝4 s ，故B 项正确；C 项，设经过t 时间相遇，则有：12gt 2＋v 0t －12gt 2＝h ，解得t ＝1.5 s ，此时杆的速度v ＝v 0－gt ＝10 m/s －15 m/s ＝－5 m/s ，此时杆的速度方向向下，球的速度v ′＝gt ＝15 m/s.设与杆相遇的时间为t ′，则有v ′t ′＋12gt ′2－(vt ′＋12gt ′2)＝1，代入数据有：(15－5)t ′＝1，解得t ′＝0.1s ，故C 项正确；D 项，设经过t 时间相遇，则有：12gt 2＋v 0t －12gt 2＝h ，解得t ＝2.5 s ，此时杆的速度v ＝v 0－gt ＝10 m/s －25 m/s ＝－15 m/s ，此时杆的速度方向向下，球的速度v ′＝gt ＝25 m/s ，设与杆相遇的时间为t ′，则有v ′t ′＋12gt ′2－(vt ′＋12gt ′2)＝1，代入数据有：(25－15)t ′＝1，解得t ′＝0.1 s ，故D 项正确．二、非选择题13．用手托一小球，竖直向上抛出，再接住小球，将这一过程简化为下面的理想运动模型：手托小球由静止开始，先竖直向上做匀加速运动，然后再做匀减速运动，手停下后在原处接住落回的小球．已知匀加速运动的加速度为4 m/s 2，加速运动距离为0.5 m ，匀减速运动加速度大小为20 m/s 2，重力加速度取10 m/s 2，求小球运动的总时间．答案 0.84 s解析手和小球一起匀加速过程： h 1＝12a 1t 12，t 1＝0.5 s ，v ＝a 1t 1＝2 m/s手做匀减速运动的过程v 2＝2a 2h 2 h 2＝0.1 m手做匀减速运动时，由于加速度20 m/s 2大于重力加速度，小球离开手做上抛运动，设小球从离开手到落回手的时间为t 2，则 h 2＝vt 2－12gt 22解得t 2＝0.34 s 或0.06 s(舍去) 小球运动的总时间t 1＋t 2＝0.84 s14.如图所示，离地面足够高处有一竖直的空管，质量为2 kg ，管长为24 m ，M 、N 为空管的上、下两端，空管由静止开始竖直向下做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s 2，同时在M 处一个大小不计的小球沿管的轴线竖直上抛，小球只受重力，取g ＝10 m/s 2.求：(1)若小球上抛的初速度为10 m/s ，则其经过多长时间从管的N 端穿出；(2)若此空管的N 端距离地面64 m 高，欲使在空管到达地面时小球必须落到管内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围．答案 (1)4 s (2)29 m/s<v 0<32 m/s解析 (1)根据题意，设球经过t 时间从N 端穿出，对管由匀加速直线运动规律，有h ＝12at 2①取竖直向上为正方向，对球自抛出至从管的N 端穿出时间内由竖直上抛运动规律，有－(24＋h)＝v 0t －12gt 2②由①②，得2t 2－5t －12＝0 解得t ＝－32s(舍去)和t ＝4 s(2)设空管N 端自距离地面64 m 高处加速到地面的时间为t 1，为使在空管到达地面时小球必须落到管内，需要小球在t 1时间内的位移满足在(－64 m ，－88 m)范围内．对管由匀加速直线运动规律，有 64＝12at 12③对球由竖直上抛运动规律，有－64＝v 0t 1－12gt 12④ －88＝v 0′t 1－12gt 12⑤由③④，得v 0＝32 m/s 由③⑤，得v ′0＝29 m/s 所以29 m/s<v 0<32 m/s。

人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案

人教版高考数学一轮复习-题组层级快练(含解析)附参考答案(附参考答案)1．y＝ln(－x)的导函数为()A．y′＝－B．y′＝1xC．y′＝ln(x) D．y′＝－ln(－x)答案B2．若曲线y＝x3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为()A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(1，－1)答案C解析y′＝3x2，∴3x2＝3.∴x＝±1.当x＝1时，y＝1，当x＝－1时，y＝－1.3．已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是()A．y＝2x－2 B．y＝2x＋2C．y＝x－1 D．y＝x＋1答案C解析∵y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1.∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝x－1.4．(2015·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f′(x0)＝2 015，则x0＝()A．e2B．1C．ln2 D．e答案B解析由题意可知f ′(x)＝2 014＋lnx ＋x ·＝2 015＋lnx.由f ′(x0)＝2 015，得lnx0＝0，解得x0＝1.5．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x)＝4ax3＋2bx ，∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.6．若函数f(x)＝x2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是()答案 A解析由题意知即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，b2＞4c.又f ′(x)＝2x ＋b ，∴f ′(x)的图像为A.7．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足()A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数答案 C8．若P 为曲线y ＝lnx 上一动点，Q 为直线y ＝x ＋1上一动点，则|PQ|min ＝()A ．0 B.22C.D ．2答案 C解析如图所示，直线l 与y ＝lnx 相切且与y ＝x ＋1平行时，切点P 到直线y ＝x ＋1的距离|PQ|即为所求最小值．(lnx)′＝，令＝1，得x ＝1.故P(1,0)．故|PQ|min＝＝.故选C.9．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－ B.12C．－ D.22答案B解析∵y′＝·[cosx(sin x＋cosx)－sinx·(cos x－sinx)]＝，∴y′|x＝＝，∴k＝y′|x＝＝.10．(2015·山东烟台期末)若点P是函数y＝ex－e－x－3x(－≤x≤)图像上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是()A.B.3π4C.D.π6答案B解析由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立．即tanα≥－1，α∈[0，π)，又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.11．已知y＝x3－x－1＋1，则其导函数的值域为________．答案[2，＋∞)12．已知函数f(x)＝f′()cosx＋sinx，所以f()的值为________．答案1解析因为f′(x)＝－f′()sinx＋cosx，所以f′()＝－f′()sin＋cos，所以f′()＝－1.故f()＝f′()cos＋sin＝1.13．(2013·江西文)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案2解析由题意y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.14．(2015·广东肇庆一模)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．答案2x＋y＋1＝0解析根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝＝，故切线的斜率为k＝f′(0)＝＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x ＋y＋1＝0.15．(2015·河北邯郸二模)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案log2e解析∵y′＝，∴k＝.∴切线方程为y＝(x－1)．∴三角形面积为S△＝×1×＝＝log2e.16．若抛物线y＝x2－x＋c上的一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．答案4解析∵y′＝2x－1，∴y′|x＝－2＝－5.又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.17．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．答案(1)y＝13x－32(2)切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x－18或y＝4x－14解析(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)∵切线与直线y ＝－x ＋3垂直，∴切线的斜率为k ＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x ＋1＝4.∴x0＝±1.∴或⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝－1，y0＝－18.∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.18．设函数f(x)＝ax －，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．答案 (1)f(x)＝x －(2)定值为6解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝x －3.当x ＝2时，y ＝.又f ′(x)＝a ＋，于是解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f(x)＝x －.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y －y0＝(1＋)(x －x0)，即y －(x0－)＝(1＋)(x －x0)．令x ＝0得y ＝－，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－)．切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．若曲线y＝lnx(x>0)的一条切线是直线y＝x＋b，则实数b的值为()A．2 B．ln2＋1C．ln2－1 D．ln2答案C解析∵y＝lnx的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2.∴切点为(2，ln2)．将其代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.2．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)＝()A.B．－13C.D．－或53答案B解析f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴，(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图像．∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0，∴a2－1＝0，a<0，∴a＝－1.∴y＝f(x)＝x3－x2＋1.∴f(－1)＝－，选B.3．y＝x2sincos的导数为________．答案y′＝xsinx＋x2cosx.。