哈尔滨师大附中等东北三省三校2020届高三第三次模拟考试数学(文科)试卷及答案2020.6.15
2020东北三省三模文科数学有答案解析
2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若i z i -=+123，则=z A.1522i -- B. 1522i - C.i 2521+ D.1522i -+ 2. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，则集合{|1,}y y x x A =+∈= A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{0,1,2,3} D.{1,0,1,2,3}-3. 直线l ：2x my =+与圆M ：22220x x y y +++=相切，则m 的值为A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或17-4. 各项都是正数的等比数列{}n a 中，13a ，312a ，22a 成等差数列，则1012810a a a a +=+ A.1 B.3 C.6 D.95. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是相关系数为1r 相关系数为2r相关系数为3r相关系数为4r A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<6. 函数21()3cos log 22f x x x π=--的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.57. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内应填入的条件是 A.i <4 B.i >4C.i <5D.i >5 8. 函数()sin()6f x A x πω=+(0)ω>的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图像只需将()f x 的图像A.向左平移6πB.向右平移3πC.向左平移23πD.向右平移23π 9. 若满足条件AB=3，C=3π的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是 A.()1,2 B.()2,3 C.()3,2 D.()2,210. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A.13 B.23 C.12 D.3411. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点，O 是坐标原点，满足OM ON ⊥，则双曲线的离心率为 A.172+ B.152+ C.132+ D.122+12.四棱锥S ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于443+，则球O的体积等于A.423π B.823π C.1623π D.3223π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 平面区域⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x 的周长为_______________.14. 某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的长度为6，在侧视图中的长度为5，则该长方体的全面积为________________.15. 等差数列{}n a 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，则数列{}n S 为递增数列的充分必要条件是________________.16. 如果直线2140ax by -+=(0,0)a b >>和函数1()1x f x m +=+(0,1)m m >≠的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(2)25x a y b -+++-=的内部或圆6正视图侧视图俯视图5上，那么b a 的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 在△ABC 中，向量(2cos ,1)m B =u r ，向量(1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，且满足m n m n +=-u r r u r r . ⑴求角B 的大小；⑵求sin sin A C +的取值范围.18. （本小题满分12分）2020年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示：⑴求本周该银行所发放贷款的贷款．．年限．．的标准差；⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率；⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）. 19. （本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ABCD ⊥底面, 90ADC ∠=o ，AB CD ||，122AD CD DD AB ====. ⑴求证：11AD B C ⊥；⑵求四面体11A BDC 的体积.20. （本小题满分12分）已知12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左右焦点， ,M N 分别为其左右顶 A 1CD 1D A B B 1C 1点，过2F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点. 当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 的面积等于2，且满足222MF AB F N =+u u u u r u u u r u u u u r .⑴求此椭圆的方程； ⑵当直线l 绕着焦点2F 旋转但不与x 轴重合时，求MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. ⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵对于任意正实数x ，不等式1()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围； ⑶求证:当3a >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于,B C两点，且100BMP∠=o，40BPC∠=o.⑴求证：MBP∆与MPC∆相似；⑵求MPB∠的大小.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为sin cossin2xyθθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：2sin()42tπρθ+=（其中t为常数）.⑴若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；⑵当2t=-时，求曲线M上的点与曲线N上点的最小距离.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知函数()|1||22|.f x x x=-++⑴解不等式()5f x>；⑵若关于x的方程1()4af x=-的解集为空集，求实数a的取值范围.2020年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2020年长春市高中毕业班第三次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.C2.C3. B4.D5.A6.B7.C8.A9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示：1. C 由已知i i i z 2521123+=-+=. 故选C. 2. C 将2,1,0,1,2--=x 逐一带入1+=x y ,得y=0,1,2,3，故选C. 3. B 圆的方程化为22(1)(1)2x y +++=，由直线与圆相切，可有2132=+-m m ,解得71m =-或. 故选B.4. D 由已知31232a a a =+于是232q q =+,由数列各项都是正数，解得3q =, 210128109a a q a a +==+. 故选D. 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知24310r r r r <<<<. 故选A6. B 在同一坐标系内画出函数3cos 2y x π=和21log 2y x =+的图像，可得交点个数为3. 故选B.7. C 初始值15,0,1===P T i ，第一次循环后2,1,5i T P ===，第二次循环后3,2,1i T P ===，第三次循环后14,3,7i T P ===，第四次循环后15,4,63i T P ===，因此循环次数应为4次，故5i <可以作为判断循环终止的条件. 故选C.8. A 由条件知函数()f x 的周期为π，可知2ω=，即函数()sin(2)6f x A x π=+，()cos 2g x A x =，可将()g x 化为()sin(2)2g x A x π=+，由此可知只需将()f x 向左平移6π个单位即可获得x A x A x A x f 2cos )22sin(]6)6(2sin[)6(=+=++=+ππππ.故选A.9. C 若满足条件的三角形有两个，则应1sin sin 23<<=A C ，又因为2sin sin ==CAB A BC ，故A BC sin 2=，32BC <<. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为21. 故选C.11. B 由题意可有：a b c 2=，由此求得251+=e . 故选B. 12. B 由题意可知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径R ，且四棱锥的高h R =，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为2R 的正三角形，底面为边长为2R 的正方形，所以该四棱锥的表面积为2124(22sin 60)2R R R +⋅⋅⋅=o 2(223)443R +=+，于是2,22==R R ，进而球O 的体积3448222333V R πππ==⨯=. 故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 42 14. 465+ 15.0d ≥且0d a +> 16. 34[,]43简答与提示：13. 画出图形，可得该区域图形为边长为2的正方形，故其周长为42.14. 由体对角线长10，正视图的对角线长6，侧视图的对角线长5，可得长方体的长宽高分别为5，2，1，因此其全面积为2(515212)465⨯+⨯+⨯=+.15. 由n n S S >+1，可得(1)(1)(1)22n n n n n a d na d +-++>+，整理得0>+a dn ，而*∈N n ，所以0d ≥且0>+a d . 因此数列{}n S 单调递增的充要条件是: 0d ≥且0d a +>.16. 根据指数函数的性质，可知函数1()1(0,1)x f x m m m +=+>≠恒过定点(1,2)-.将点(1,2)-代入2140ax by -+=，可得7a b +=.由于(1,2)-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤.由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，这说明点(,)a b 在以(3,4)A 和(4,3)B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34[,]43.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解：⑴由m n m n +=-u r r u r r ，可知0m n m n ⊥⇔⋅=u r r u r r .然而(2cos ,1),m B =u r (1sin ,1sin 2)n B B =--+r ，所以有2cos sin 21sin 22cos 10m n B B B B ⋅=--+=-=u r r ，得1cos ,602B B ==o .(6分) ⑵)30sin(3cos 23sin 23)120sin(sin sin sin οο+=+=-+=+A A A A A C A .(9分) 又0120A <<o o ，则3030150A <+<o o o ，1sin(30)12A <+≤o ， 所以 3sin sin 23≤+<C A ,即sin sin A C +的取值范围是3(,3]2.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用.【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值20x =. 222222(1020)(1520)(2020)(2520)(3020)505s -+-+-+-+-==， 所以标准差52s =. (4分) ⑵所求概率123101025980808016P P P P =++=++=. (8分) ⑶平均年限101010152025252015302280n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈(年). (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法.【试题解析】解：⑴由四边形11A ADD 是正方形，所以D A AD 11⊥.又⊥1AA 平面ABCD ，ο90=∠ADC ，所以DC AD DC AA ⊥⊥,1，而1AA AD A =I ，所以DC ⊥平面D D AA 11，DC AD ⊥1.又1A D DC D =I ，所以⊥1AD 平面11DCB A ，从而C B AD 11⊥. (6分)⑵设所给四棱柱的体积为V ，则61=⋅=AA S V ABCD ，又三棱锥ABD A -1的体积等于三棱锥111C D A B -的体积，记为1V ，三棱锥111C D A D -的体积又等于三棱锥CBD C -1的体积，记为2V .而3221221311=⨯⨯⨯⨯=V ，3422221312=⨯⨯⨯⨯=V ，所以所求四面体的体积为22221=--V V V . (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.【试题解析】解：⑴当直线l 与x 轴垂直时，四边形AMBN 面积: ,222212=⋅⋅ab a 得12=b . 又2222,,b MF a c AB F N a c a =+==-u u u u r u u u r u u u u r ，于是c a a b c a -+=+222，得 2=ac ，又221a c =+，解得2a =.因此该椭圆方程为1222=+y x . (4分) (2)设直线1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x my x 消去x 并整理得：012)2(22=-++my y m . 设),(),,(2211y x B y x A ，则有21,22221221+-=+-=+m y y m m y y . (6分) 由),2(11y x MA +=，),2(22y x MB +=，),2(11y x NA -=，),2(22y x NB -=，可得4)(22121++=⋅+⋅y y x x NB NA MB MA . (8分)1)()1()1)(1(2121221212121++++=+++=+y y m y y m y y my my y y x x 21222++-=m m ,所以2104)(222121+=++=⋅+⋅m y y x x NB NA MB MA . (10分) 由于m R ∈,可知MA MB NA NB ⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r的取值范围是(0,5]. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况.【试题解析】解：⑴令()l n 10fx x '=+=,得1x e=.当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增. (3分)⑵由于0x >，所以11()l n l n 22fxxxk x k x x=>-⇔<+. 构造函数1()ln 2k x x x =+，则令221121()022x kx x x x-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数在点12x =处取得最小值，即m i n11()()l n 11l n 222k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分)⑶()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x a a x a x a ae e+++⇔<.构造函数ln ()xx xg x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分) 对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x xx e x x e x x xg x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1()ln 1h x x x'=--，显然()h x '是减函数.当1x >时，()(1)0h x h ''<=，从而函数()h x 在(1,)+∞上也是减函数. 从而当3x >时，()()ln 1ln 20h x h e e e e e <=+-=-<，即()0g x '<，即函数ln ()x x xg x e=在区间(3,)+∞上是减函数.当3a >时，对于任意的非零正数x ，3a x a +>>，进而有()()g a x g a +<恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容.【试题解析】解：⑴因为MA 为圆的切线，所以2MA MB MC =⋅ 又M 为PA 中点，所以2MP MB MC =⋅.因为BMP PMC ∠=∠，所以BMP ∆与PMC ∆相似. （5分） ⑵由⑴中BMP ∆与PMC ∆相似，可得MPB MCP ∠=∠. 在MCP ∆中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=o ，得180202BPC BMPMPB -∠-∠∠==o o . （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容.【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12≤-=x x y ,曲线M 是抛物线的一部分；对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N 过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)-之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以2121t -+<≤+满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12-=-x x t ，得210,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54t =-. 综合可求得t 的取值范围是：2121t -+<≤+或54t =-. （6分）(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(200-x x ，02x ≤，则823243)21(212002≥++=++=x x x d ， 当012x =-时取等号，满足02x ≤，所以所求的最小距离为823. (10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-<--<≤-+≥+=1,1311,31,13)(x x x x x x x f当1≥x 时，由513>+x 解得：34>x ；当11<≤-x 时，由53>+x 得2>x ，舍去； 当1-<x 时，由513>--x ，解得2-<x . 所以原不等式解集为4|23x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.(5分)（2）由（1）中分段函数()f x 的解析式可知:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增.并且min ()(1)2f x f =-=，所以函数()f x 的值域为[2,)+∞.从而()4f x -的取值范围是[2,)-+∞,进而1()4f x -(()40)f x -≠的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞U .根据已知关于x 的方程1()4a f x =-的解集为空集，所以实数a 的取值范围是1(,0]2-. (10分)。
黑龙江省哈三中2020届三模文科数学试题(含答案)
………… 11
所以 P(A) 12 4 15 5
………… 12 分
20. （1）
f（ x）= 1 x
4 (x 1)2
(x 1)2 x(x 1)2
0 ………………………………………………………3 分
（f x）在 (0, ) 上单调递增 ……………………………………………………….5 分
（2）不妨设 m n
44
48
50
54
（1） 根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分 y 与该学生课下钻研数学时间 x 的线性回
归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7 小时其数学考试中的解答题得分；
（2） 从这 6 人中任选 2 人，求这 2 人中至少有1人课下钻研数学时间不低于 8 小时的概率.
n
n
xi x yi y
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
1
2t 2 （ t 为参数），以原
y 2t 2
点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = 4 cos ，
直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点．
（1） 写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
5π
x
12 2
11．
已知数列an ， an
n2
sin
n 2
，则数列an 的前
100
项和为
A． 5000
B． 5000
C
．
5050
D． 5050
12． 已知 ABC 中，长为 2 的线段 AQ 为 BC 边上的高，满足： AB sin B AC sin C AQ ，
东北三省三校哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020届高三数学三模考试试题文含解析
【解析】
【分析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有某某均第一.某某均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【详解】∵直线 是曲线 的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线 为 .
曲线 的一个对称中心为 .
.
，注意到
故 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
（1）求证： .
（2）若点 在 轴的上方， ，求 面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）联立直线 的方程和椭圆 的方程，利用判别式列方程，求得 点的坐标，求得 点的坐标，通过计算得到 ，由此证得 .
（2）求得 ，由此求得三角形 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形 面积的最小值.
14. 春节即将来临之际，3位同学各写一X贺卡，混合后每个同学从中抽取一X，且抽取其中任意一X都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率.
【详解】设三X贺卡编号为 ，则每个同学从中抽取一X，
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(文科)(内)(含答案解析)
2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学三模试卷（文科）（内）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数为虚数单位的共轭复数为A. B. C. D.2.已知集合，，则A. 2，B. 2，4，6，C. 4，D. 2，4，3.若变量x，y满足约束条件，则的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为A.B.C.D.5.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是A. 该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长C. 该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元6.已知为锐角，且，则等于A. B. C. D.7.已知中内角A、B、C所对应的边依次为a、b、c，若，则的面积为A. B. C. D.8.设为定义在R上的奇函数，当时，为常数，则不等式的解集为A. B. C. D.9.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，则的取值范围为A. B. C. D.10.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E的一个对称中心的坐标别，则的最小值是A. B. C. D.11.已知焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B. 或C. 或D.12.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则______．14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为______．15.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为______．16.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，，，BD与AC相交于点E，与相交于点O．求证：平面；求点A到平面OBD的距离．18.2019年9月26日，携程网发布国庆假期旅游出行趋势预测报告，2018年国庆假日期间，西安共接待游客万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市．旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收入不低于单位：万元，则称该导游为优秀导游．经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：分组频数2b20103求a，b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数．同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，精确到19.已知数列，满足，，，．求数列，的通项公式；分别求数列，的前n项和，．20.已知椭圆的右焦点为F，直线l：被称作为椭圆C的一条准线点P在椭圆C上异于椭圆左、右顶点，过点P作直线m：与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q．求证：．若点P在x轴的上方，，求面积的最小值．21.已知函数．求曲线在点处的切线方程；若函数在区间有两个零点，分别为，，求证：．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C与直线l其中的一个交点为A，且点A极径，极角．求曲线C的极坐标方程与点A的极坐标；已知直线m的直角坐标方程为，直线m与曲线C相交于点异于原点，求的面积．23.已知函数．解关于x的不等式；若函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：集合，．2，4，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：作出变量x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，设，将直线l：进行平移，当l经过点A时，目标函数的截距取得最小值，此时z达到最大值．故选：B．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当，时，z取得最大值1．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为由一个半径为2的半球的和一个底面半径为2，高为4的圆柱组合而成．故：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：D解析：解：由折线图可得，很明显AB均正确；又因为由图可知该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一为的省份有：江苏均第一，河南均第四，共2个，故C正确；经计算，故D不正确，故选：D．根据折线图和柱状图分析即可本题考查学生合情推理的能力，考查统计的相关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：，为锐角，，．故选：C．由已知利用二倍角的正弦函数公式可求，进而利用二倍角的余弦函数公式可求的值．本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．7.答案：A解析：解：由余弦定理知，，即，又，，，．故选：A．由余弦定理可得a，b的一个方程，与联立，于是解得a，b，然后利用即可得解．本题考查正弦面积公式和余弦定理的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：为定义在R上的奇函数，因为当时，，所以，故，在上单调递增，根据奇函数的性质可知在R上单调递增，因为，所以，由不等式可得，，解可得，，故解集为故选：D．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．9.答案：C解析：解：不妨设点P在右支上，有，则，则的取值范围为故选：C．设出P的位置，利用双曲线的定义，结合不等式推出范围即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．10.答案：C解析：解：曲线的一条对称轴方程为，，，，曲线C：把曲线C向左平移个单位长度，得到曲线E：的图象，曲线E的一个对称中心的坐标别，，．则的最小值为，此时，，故选：C．由题意利用函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：A解析：解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，则，则当取到最大值时，必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；易知此时直线AM的斜率不为0，设切线方程为：，则，整理可得，则，解得，所以切线方程为：，即或，故选：A．由抛物线的性质可得到焦点的距离转化为到准线的距离，由距离之比可得角的余弦值，由题意可得当直线MA由抛物线相切时取得最大值，设切线的方程，与抛物线联立由判别式等于0可得参数的值，进而求出切线方程．本题考查抛物线的性质，及切线的应用，属于中档题．12.答案：C解析：解：函数满足当时，，此时函数的周期为2，当时，；函数图象上关于原点对称的点恰好有3对，先作出函数在的图象，画出关于原点对称的图象，则函数的图象与所作函数的图象有3个交点，所以，解得．故选：C．利用函数的周期性，作出函数的图象，利用零点的个数转化列出不等式组求解即可．本题考查函数的零点的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，是中档题．13.答案：，或．解析：解：设，，，则．又，，即．解得，，或，，则，或，故答案为：，或．设，由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出x，y的值，可得．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：解析：解：三人领卡的情况有种，各自领自己卡的情况只有一种，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为．故答案为：．三人随意抽卡有种，各领自己的只有一种，相比即可．本题考查排列数公式的应用，古典概型的概率计算，属于基础题．15.答案：解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为、，底面边长与高分别为x、h，则；在中，，即，由，所以，当且仅当时取等号；此时正三棱柱的侧面积取得最大值，且为．故答案为：．根据题意画出图形，结合图形求出正三棱柱的侧面积以及它的最大值．本题考查了正三棱柱的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，，令，则，故在单调递增，单调递减，，故a的范围故答案为：由已知进行分离a，然后结合不等式的特点进行构造函数，结合导数可求．本题主要考查了由不等式求解参数范围问题，分离法的应用是求解问题的关键．17.答案：证明：四边形ABCD是菱形，，直棱柱，平面ABCD，平面ABCD，，又，平面，平面，平面D.解：是正方形的中心，且，到平面ABD的距离为1，，，，，，是的中点，，设A到平面OBD的距离为h，则，，解得．故点A到平面OBD的距离为．解析：由菱形性质得，根据直棱柱的性质可得，故而平面；根据列方程计算点A到平面OBD的距离．本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：由直方图知，解得，由频数分布表知，可得，所以甲公司的导游优秀率为，乙公司的导游优秀率为，由于，所以乙公司的影响度高．甲一年内导游旅游总收入的中位数为：，乙一年内导游旅游总收入的平均数为：．解析：根据频率之和为1，解得a，由频数之和为40，可得b，进而算出甲公司的导游优秀率，乙公司的导游优秀率，再得出结论．根据频率分布直方图计算中位数，平均数的方法可得出答案．本题考查频率分布直方图，中位数，平均数的求法，属于中档题19.答案：解：由题意有，又，，可得：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，故，，，；，，，．解析：先由题设条件得到：数列是首项为4，公比为2的等比数列；数列为首项是2，公差为1的等差数列，再求出它们的通项公式，然后求，；根据中求出的，，分别利用分组求和的办法求出前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的定义、通项公式及分组求和在数列求和中的应用，属于基础题．20.答案：解：证明：点，联立方程，消去y，可得，有，可得，，，可得P的坐标为，当时，可得Q的坐标为；，，有，故有，若点P在x轴上方，必有，由可得，，，因为时，由可得，，由函数单调递增，可得此时，故当时，的面积的最小值为1．解析：求得F的坐标，联立直线方程和椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，Q的坐标，求得，，由数量积为0，即可得证；若点P在x轴的上方，必有，求得，，运用三角形的面积公式，以及函数的单调性，可得三角形的面积的最小值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用相切的条件：判别式为0，考查函数的单调性的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.答案：解：，，，曲线在点处的切线方程即，证明：不妨设，则，由题意可得，，则，两边取对数，由，若证只要证明，即证，令，，，故在上单调递增，，故时，，即函数在区间有两个零点，分别为，，．解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；由题意可得，，进行变形可得，两边取对数，及，结合要证的不等式进行构造函数，结合导数及函数单调性关系可证明．本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数证明不等式，合理的转化是求解问题的关键．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．将代入得：．所以点A的极坐标为直线m的直角坐标方程为，则直线m的倾斜角为．得到点所以．解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用三角形的面积的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：解：．，或或，或或，，不等式的解集为．，函数的图象恒在直线的上方，，，实数m的取值范围为．解析：先将写为分段函数的形式，然后利用零点分段法解即可；由绝对值三角不等式可知，然后根据函数的图象恒在直线的上方，得到，再求出m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)
在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
黑龙江省哈师大附中2020届高三(6月)第三次模拟考试数学(文)试题 (含答案)
又 ， ， ，同理， ，……10分
又 ，所以 ， ，因此， . ……12分
20.（本小题满分12分）
（ ） 关于 轴对称， 关于 轴对称，
在 上， ……1分
若 在 上，则 ， 不在 上， 在 上， ……3分
，又 ……4分
（ ）（ ）设 ，代入 中，得
……5分
为定值……7分
（ ） ，所以设直线
将直线 代入 中得：
综上， .……12分
21.（本小题满分10分）
(I) ，
……3分
……5分
（II）设 ，
， ……8分
因此， 的取值范围是 .……10分
22.（本小题满分12分）
（I）
（当 时取等号）……3分
，因此，实数 的取值范围是A= ；……5分
（II）原不等式等价于
右式-左式=
（其中 ）
因此，原不等式成立.……10分
哈师大附中第三次模拟考试数学文科参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
C
B
A
B
C
D
C
A
D
二、填空题（第16题第一个空2分，第二个空3分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（本小题满分12分）
(I) , , ,
即 ， ，因此， 是首项为 ，公差为 的等差数列，
……6分
（II） ，
，
作差得， ，
……12分
18.（本小题满分12分）
(I)A套餐数据的平均数: ，
东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(文科)解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 设集合 A={x∈Z|x2≤1}，B={-1，0，1，2}，则 A∩B=（ ）
A. {-1，1}
B. {0}
C. {-1，0，1}
D. [-1，1]
2. 设 z=（1-i）（2+i），则|z|=（ ）
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完成茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少 N？ （Ⅱ）实验过程中测得时间 t（分）与 10 名实验对象前臂表面肌电频率（sEMG） 的中位数 y（Hz）的九组对应数据（t，y）为（0，87），（20，84），（40，86）， （60，79），（80，78），（100，78）（120，76），（140，77），（160，75） 建立 y 关于时间 t 的线性回归方程； （Ⅲ）若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入劳状态，根据（Ⅱ）中 9 组 数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？
18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，△ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 AB=BC= ，PA=2． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若点 M 是棱 PC 的中点，求直线 PD 与 BM 所成角的余弦值．
19. 现代社会，“鼠标手”已成为常见病．一次实验中，10 名实验对象进行 160 分钟 的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为 180 次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌 电频率（sEMG）等指标． （Ⅰ）10 名实验对象实验前、后握力（单位：N）测试结果如下： 实验前：346，357，358，360，362，362，364，372，373，376 实验后：313，321，322，324，330，332，334，343，350，361
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
2020年高三学年模拟考试数学试卷（文史类）本试卷共23题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A B =（ ）A. [)1,3B. (]1,3C. ()1,+∞D. [)3,+∞ 【答案】C【解析】【分析】 可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可.【详解】解：{|3},{|1}A x x B x x =≥=>， ∴()1,A B =+∞.故选：C.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，对数函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题. 2. 复平面内，复数12i i-对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，求出点的坐标得答案. 【详解】解：∵()()()12221121212555i i i i i i i i +-+===-+--+， ∴12i i -对应的点的坐标为21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3. 下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是（ ）A. ()2f x x =B. ()2x f x =C. ()21log 1f x x =+D. ()2f x x =-【答案】D【解析】【分析】根据偶函数定义判断是否为偶函数，根据在(),0-∞上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.【详解】对于A ，()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，是偶函数，在(),0-∞上单调递减；对于B ，()2x f x =的定义域为R ，()()22x xf x f x --===，是偶函数，在(),0-∞上()1222x x x f x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,单调递减； 对于C ，()21log 1f x x =+定义域为{}|1x R x ∈≠-，不关于原点对称，∴不是偶函数； 对于D ，()2f x x =-的定义域为R ，()()22f x x x f x -=--=-=，是偶函数，在(),0-∞上()2f x x =，单调递增；综上选D.【点睛】本题考查函数的奇偶性单调性的判定，涉及指数函数，对数函数，复合函数，属基础题.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．4. 数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，且11a =，313a =-，那么5a =（ ） A. 35 B. 35 C. 5 D. -5【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件，由等差中项的性质1532222111a a a +=⨯+++得到关于5a 的方程，求解即得. 【详解】由于数列21n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，所以1532222111a a a +=⨯+++， 又11a =，313a =-，∴52222111113a +=⨯++-+，解得535a ， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差中项，考查运算能力，属基础题.5. 函数()x f x xe =在1x =处的切线方程是（ ）A. 20ex y e --=B. 230ex y e --=C. 20ex y e +-=D. 230ex y e +-=【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标与导函数()f x '，根据导数的几何意义可求得切线斜率，再由点斜式即可得解.【详解】函数()xf x xe =，当1x =时，(1)f e =，所以切点坐标为()1,e ，则()x x f x e xe =+'，由导数几何意义可知切线斜率为(1)2k f e e e ='==+，由点斜式可得切线方程为()21y e e x -=-，化简可得20ex y e --=，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线切线方程的求法，属于基础题.6. 在区间⎡-⎣上随机取一个数k ，则直线4y kx =+与圆224x y +=有两个不同公共点的概率为（ ）A. 13 C. 14 D. 12【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求出满足条件的k 的范围，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【详解】k 是区间⎡-⎣ 上的随机数，即k -≤≤由直线4y kx =+与圆224x y +=2<，∴k >k <k >或k -≤<。
2020年东北三省三校一模 文科数学 试题卷+参考答案
一模文数参考答案一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A A A C D C B D A二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992− 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=． ……6分 （II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，所以22()(2)BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，又23B π=，所以1222=−+ac c a 因为2a =，解方程0822=−−c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =， 所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF 的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分 在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ， 所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB =I ，得⊥H B 1平面ABF ，故线段H B 1长为点11,B A 到平面ABF 的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BF H B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分）（1）由题意可得列联表：能完成 不能完成 合计 40岁以上45 10 55 40岁以下30 15 45 合计 75 25 100……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ××−×==≈××× 由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… ………… 6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人， 其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ，从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ）（f,A ），（f,B ），（f,C ）（A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分。
东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文科数学试卷文字版含答案
东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22 B ．22- C ．42 D ．42-4．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．已知M 为△ABC 的边AB 的中点，N 为△ABC 内一点，13AN AM BC =+，则BCNAMN S S ∆∆= A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8．已知6π-=x 为函数()sin 3cos f x a x x =-的图象的一条对称轴，若0)()(21=+x f x f ，且()f x 在)(21x x ，单调，则)(21x x f +=A ．0B ．1C ．3D ．29．已知112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律=-++-+-+-22222222109654321A ．45B ．－45C ．55D ．－5510．已知F 为双曲线C ：122=-y x 的右焦点，M 为双曲线C 上一点，且MF 与x 轴垂直，点M 关于双曲线的渐近线的对称点为N ，则△MNP 的面积为A ．212+B ．212-或223-C ．212+或212-D ．212+或223- 11．已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2=AB ．平面⊥α平面β，βα =直线AB ，若平面βα、截球O 所得的截面分别为1OO 和2OO ，则21O O =A ．3B ．32C ．2D ．2212．已知函数)()(R a x ae x f x ∈-=有两个零点21x x ，，且21x x <则下列结论中不正确的是A ．ea 10<< B ．101<<x C ．221>+x x D ．2211ln ln x x x x -<-第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．随着国内形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．14．设函数()xf x e =在x=0处的切线与x ，y 轴围成的区域为Ω，点P 是Ω内一动点，点Q是函数3y =上的动点，则线段｜PQ ｜的最小值为 ．15．已知函数3ln(),0()3,0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(0)f x f +≤的解集为 ．16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2tan (tan tan )c B b A B ⋅=⋅+，则A = ；若O 是△ABC 外接圆的圆心，则22cos cos 2sin 2sin B AB AO C AC AO C B AO AO ⋅⋅⋅+⋅= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1} B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2B ．5C ．2D ．53．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 56．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩…在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．211．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，()f x =13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED ∆，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= ．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B = ．16．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．)19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（12分）设直线:AB y =与直线:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）己知集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}，则(A B =I ) A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1]D ．∅【解答】解：Q 集合{|1}A x x =>-，{3B =-，2-，1-，0，1}， {0A B ∴=I ，1}．故选：B ． 2．（5分）设2iz i+=，则||(z = ) A ．2 B ．5 C ．2 D ．5【解答】解：22(2)12i i iz i i i++===-，则22||1(2)5z =+-=， 故选：B ．3．（5分）己知向量||1a =r ，||2b =r ，3a b =rr g ，则向量a r 与向量b r 的夹角为( )A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 【解答】解：Q ||1,||2,3a b a b ===r rr r g， ∴3cos ,a b <>=r r ，且0,a b π<>rr 剟，∴向量,a b r r 的夹角为6π．故选：A ．4．（5分）函数()(0)a f x x x =…，()log a g x x =，则()f x 与()g x 的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：当12a =时，12(),()f x x g x log x ==，选项B 符合． 故选：B ．5．（5分）已知双曲线22145x y -=的右焦点为F ，过点F 作一条直线与其中一条渐近线垂直，垂足为A ，O 为坐标原点，则 (OAF S ∆= )A ．3B ．35C ．25D 5【解答】解：双曲线22145x y -=的右焦点为(3,0)F ，F 到渐近线520x y +=的距离35554FA ==+则222352AO OF FA =--=． 则1152522OAF S FA OA ∆==g 故选：D ．6．（5分）为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话： 老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”． 老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班D ．15班、14班、7班【解答】解：假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误；假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班，则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ．7．（5分）如图是一个算法流程图，输出的S 为( )A ．50B ．50-C ．51D ．51-【解答】解：模拟程序的运行，可得0N =，0T =，1i =满足条件100i <，执行循环体，1N =，2T =，3i = 满足条件100i <，执行循环体，13N =+，24T =+，5i = 满足条件100i <，执行循环体，135N =++，246T =++，7i =⋯观察规律可知，当99i =时，满足条件100i <，执行循环体，13599N =+++⋯+，246100T =+++⋯+，101i = 此时，不满足条件100i <，退出循环，可得(12)(34)(56)(99100)50S N T =-=-+-+-+⋯-=-．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数，且该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，则()f x 在[0，2)π内的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<为偶函数， 所以2πϕ=，()cos f x x ω=；又因为该函数离原点最近的一个对称中心为(3π，0)，所以43T π=，423T ππω==，32ω=； 则()f x 在[0，2)π内的零点个数为3个． 故选：C ．9．（5分）己知函数2,01(),1ax x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞为单调递增函数，则a 的取值范围为()A ．(1,)+∞B ．(1,2)C ．(1，2]D ．(0，2]【解答】解：要使得函数2,01(),1aa x x f x log x x ⎧<⎪=⎨>⎪⎩„在(0,)+∞上为增函数，则满足120a a >⎧⎨-⎩„，故12a <„；则a 的取值范围为(1，2]． 故选：C ．10．（5分）已知三棱锥S ABC -的外接球为球O ，SA 为球O 的直径，且2SA =，若面SAC ⊥面SAB ，则三棱锥S ABC -的体积最大值为( ) A ．13B ．23C ．1D ．2【解答】解：如图，连接OC ，OB ，则S ABC S OBC A OBC V V V ---=+， 两三棱锥高的和的最大值为2SA =． 要使三棱锥S ABC -的体积最大，则OBC ∆面积最大为111sin 111222OB OC BOC ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． ∴三棱锥S ABC -的体积最大值为1112323⨯⨯=． 故选：A ．11．（5分）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，已知[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+13(log 54)a f =，2019()2b f =，c f =（3），则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解答】解：()f x Q 为定义在R 上的奇函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)(1)f x f x f x ∴+=-=--，则(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，则函数的周期是4，[0x ∈，1]时，2()1f x ln x =+()f x 在[1-，1]上为增函数，1333333(log 54)(log 54)(3log 2)(3log 24)(log 21)(1log 2)f f f f f f =-=-+=-+-=--=-，20191111()(10081)(1)(1)()22222f f f f f =++=+=-= f （3）(34)(1)f f =-=-，3111log 22-<<-Q ， 31(1)()(1log 2)2f f f ∴-<<-，即c b a <<， 故选：C ．12．（5分）己知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，B 点在第一象限，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为C ，点E 为BF 上一点，且12BE EF =u u u r u u u r ，连接CE 并延长交x 轴于点D ，已知BED∆的面积为2，则D 点的横坐标为(( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：设2(4b B ，)b ，(D D x ，0)，由题意可得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，所以可得(1,)C b -，由12BE EF =u u u r u u u r ，可得2(4E b x -，1)(12E E y b x -=-，)E y -，可得226E b x +=，23E b y =，即22(6b E +，2)3b ，因为C ，E ，D 三点共线，可得CDCE k k =，即2232116Db bb b x -=+----， 可得232D b x =+，因为BED ∆的面积为22，所以3213(1)22BFD BED D S S x b ∆∆===-g ，即34620b b +-=，可得2b =， 所以2(2)34D x =+=，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 13．（5分）已知tan 3α=-，则cos2α= 45- ．【解答】解：tan 3α=-Q ，2222221194cos21195cos sin tan cos sin tan ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-．14．（5分）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 9 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9． 故答案为：9．15．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c a +=，4sin 5sin c B b A =，则cos B =45． 【解答】解：因为4sin 5sin c B b A =， 由正弦定理可得，45bc ba =即45c a =， 因为2b c a +=， 所以34b a =，54c a =，由余弦定理可得，22222225941616cos 5254a a a a c bB aca α+-+-===g g ．故答案为：4516．（5分）若函数()2(x f x xe ax e =-+为自然对数的底数）在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则实数a 的取值范围为 21(e -，0) ． 【解答】解：()2x f x xe ax =-+在(,0)-∞的区间内有两个极值点，则()(1)0x f x x e a '=+-=在(,0)-∞的区间内有两个解，即(1)x a x e =+在(,0)-∞的区间内有两个解，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e '=+，易得，当(,2)x ∈-∞-，()0g x '<，函数单调递减，当(2,0)x ∈-，()0g x '>，函数单调递增， 又x →-∞时，()0g x <，且21(2)g e-=-， 故210a e -<<， 故答案为：21(e -，0) 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12分）已知数列{}n a 满足13a =，1*1323()n n n a a n N ++=+⨯∈，数列{}n b 满足3nn na b =． （1）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列()n b 的通项公式：（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，设(1)n n n c S =-g ，求数列()n c 的前80项和80T ． 【解答】解：（1）证明：11323n n n a a ++=+⨯， 可得11233n nn na a ++=+， 则12n nb b +=+，即12n n b b +-=，可得数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列； 则12(1)21n b n n =+-=-，即213nna n =-， 可得(21)3n n a n =-g，*n N ∈； （2）2113521(121)2n S n n n n =+++⋯+-=+-=，2(1)(1)n n n n c S n =-=-g g ，22222222801234567980(21)(21)(43)(43)(65)(65)(8079)(8079)T =-+-+-++⋯-+=-++-++-++⋯+-+1123456798080(180)32402=++++++⋯++=⨯⨯+=．18．（12分）为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：)cm ，经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27cm 及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中a 的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A ，B 两个试验区，部分数据如下列联表：A 试验区B 试验区合计 优质树苗 20 非优质树苗 60 合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系，并说明理由．下面的临界值表仅供参考： 20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：2()()()()K a b c d a c b d =++++，其中n a b c d =+++．)【解答】解：（1）由频率分布直方图知，(20.10.20.1)21a a a +++++⨯=，解得0.025a =，计算200.05220.1240.2260.4280.2300.0525.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 估计这批树苗的平均高度为25.5cm ；（2）优质树苗有1200.2530⨯=，根据题意填写列联表，A 试验区B 试验区合计 优质树苗 10 20 30 非优质树苗 60 30 90 合计7050120计算观测值2120(10306020)7210.2910.828309070507K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，没有99.9%的把握认为优质树苗与A ，B 两个试验区有关系．19．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABP ∆是等边三角形且边长是4，22DA DP ==． （1）证明：:AP BD ⊥（2）若4BD =，求四棱锥P ABCD -的体积．【解答】（1）证明：取AP 中点M ，连接DM ，BM ，DA DP =Q ，BA BP =， PA DM ∴⊥，PA BM ⊥，DM BM M =Q I ，PA ∴⊥平面DMB ．又BD ⊂Q 平面DMB ，PA BD ∴⊥；（2）解：由（1）知，PA ⊥平面BDM ，在等边三角形PAB 中，由边长为4，得16423BM =-= 在等腰三角形ADP 中，由22AD DP ==2AM =，得2DM =，又4BD =，222DM BM DB ∴+=，得DM BM ⊥．∴1223232DBM S ∆=⨯⨯=． 则118323433P ABD BDM V S PA -∆=⨯⨯=⨯⨯=．∴1632P ABCD P ABD V V --==．20．（12分）设直线6:AB y =与直线6:CD y =分别与椭圆221:1(0)2x y C m m m +=>交于点A ，B ，C ，D ，且四边形ACBD 6 （1）求椭圆1C 的方程；（2）过椭圆1C 上一点P 作椭圆1C 的切线1，设直线l 与椭圆222:142x y C +=相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求||MNOP 的取值范围．【解答】解：（1）由22612y x y m m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得223214x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴6||||m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由椭圆的对称性可知，四边形ACBD 64||||6x y m ==g，1m ∴=， 故椭圆1C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，点P 为椭圆1C 的左或右顶点，其坐标为())2,02,0-或，不妨取左顶点，即(2,0)P -，此时||2OP =，且直线l 与x 轴垂直，将2x =-代入22142x y +=得，21y =，||2MN ∴=， 所以||22MN OP ==②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，点P 的坐标为0(x ，0)y ，M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kmx m +++-=， Q 直线l 与椭圆1C 相切，∴△2222164(12)(22)0k m k m =-+-=，化简整理得，2221m k =+，由韦达定理知，2220222241212m k x k k -==++， ∴222222200022214||2212x x k OP x y x k-++=+=+==+， 联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4240k x kmx m +++-=，由韦达定理知，12221224122412km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12|||MN x x =-===，∴2222222218||1112()888314||144112k MN k k k OP k k k +++===++-++g g g „，当且仅当20k =时，等号成立，∴||||MN OP ∈ 综上所述，||MNOP的取值范围为(0,． 21．（12分）已知函数()2(0)x f x e ax a =->，2()24g x x =-． （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）设4a „，证明：当0x …时，()()f x g x >． 【解答】解：（1）当0x =时，(0)2f =，当0x ≠时，()20xf x e ax =-=，即2x e a x=，设2()xe g x x=，22(1)()x e x g x x -∴'=， 当1x <且0x ≠时，()0g x '<，即()g x 在(,0)-∞，(0,1)上单调递减， 当1x >时，()0g x '>，即()g x 在(1,)+∞上单调递递增， 当1x =时，()g x g =极小值（1）2e =，当x →-∞时，()0g x →，当x →+∞时，()g x →+∞， 分别画出()y f x =与y a =的图象，如图所示，结合图象可得，当2a e =时，()y f x =与y a =的图象只有一个交点，即函数()f x 只有一个零点，当02a e <<时，()y f x =与y a =的图象没有只有交点，即函数()f x 没有零点， 当2a e >时，()f x 与y a =的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点． （2）证明：当0x =时，(0)2(0)4f g =>=-，此时a 取任何数都成立，当0x ≠时，要证当0x >时，()()f x g x >，只要证2224xe ax x ->-，即证242x e a x x x<-+，4a Q …，∴只要证2424x e x x x-+>，0x >，只要证222440x e x x -+->，即证2220x e x x -+-> 设2()22x h x e x x =-+-，0x >， ()22x h x e x ∴'=--，令()22x x e x ϕ=--，0x >， ()2x x e ϕ∴'=-，∴当2x ln >时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ在(2,)ln +∞上单调递增，当02x ln <<时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ在(0,2)ln 上单调递减， ()(2)220min x ln ln ϕϕ∴==-<，()(0)10x g ϕ<=-<Q ，ϕ（1）40e =-<，ϕ（2）260e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0000()()220x h x x e x ϕ'==--=， ∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，0220000()()2240x min h x h x e x x x ∴==-+-=->，2220x e x x ∴-+->成立，即当0x >时，()()f x g x >，综上所述：4a „时，当0x …时，()()f x g x >．二、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．若曲线C 的左焦点F 在直线l 上，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（1）求m 的值并写出曲线C 的直角坐标方程； （2）求||||||||FA FB FB FA +的值． 【解答】解：（1）直线l 的参数方程为(x m tt y t =+⎧⎨=⎩为参数），消去参数t 可得普通方程：x y m -=．曲线C 的极坐标方程为222cos 212ρρθ-=．可得曲线C 的直角坐标方程：22222()()12x y x y +--=，∴曲线C 的标准方程为221124x y +=，则其左焦点为(22,0)-，故m =-C 的方程221124x y +=．（2）直线l的参数方程为x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，与曲线C 的方程221124x y +=联立，得2220t t ''--=，则12||||||2FA FB t t ''==g ，12||||||FA FB t t ''+=-= 故2||||(||||)24||||||||FA FB FA FB FB FA FB FA ++=-=g ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数1()||2f x x =-，且对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…．（1）求m 的取值范围；（2）若m N ∈，证明：22(sin )(cos 1)f f a m α-+„．【解答】解：（1）1111()()|||||()|2222f x f x x x x x +-+=-+--+-=…，当且仅当1()02x x -„时等号成立，()f x Q 对任意的x ，1()()2f x f x m +-+…，∴12m „，m ∴的取值范围为1(,]2-∞．（2）由（1）知，12m „，又m N ∈，0m ∴=． 要证22(sin )(cos 1)f f m αα-+„，即证22(sin )(cos 1)0f f αα-+„， 222211(sin )(cos 1)|sin ||cos |22f f αααα-+=--+Q2222212sin 2,sin 1112|sin |cos 1221,0sin 2ααααα⎧-⎪⎪=---=⎨⎪-<⎪⎩剟„，当21sin 12α剟时，222(sin )(cos 1)2sin 20f f ααα-+=-„； 当210sin 2α<„，22(sin )(cos 1)1f f αα-+=-， 综上，22(sin )(cos 1)0f f αα-+„，∴原命题成立．。
2020年哈三中三模文科数学试卷
A．第一象限 B． 第二象限
C． 第三象限
3． 下列函数中，既是偶函数，又在 , 0 上单调递增的是
D．第四象限
A． f x x2
B． f x 2 x
C．
f
x log2
1 x 1
D． f x 2 x
4．
数列
2 an
1
是等差数列，且
a1
1，
a3
1 3
，那么 a5
3 A．
5
B． 3 5
二、 填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．
若 sin
4
2 5
，则
sin 2
．
14． 已知 a R ，命题“存在 x R ，使 x2 ax 3a 0 ”为假命题，则 a 的取值范围为
．
15． 直线 l 过抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点 F ，交抛物线 C 于点 A （点 A 在 x 轴上方），过点
C． 5
D． 5
5． 函数 f (x) xex 在 x 1 处的切线方程是
A． 2ex y e 0 B． 2ex y 3e 0
C． 2ex y e 0 D． 2ex y 3e 0
6． 在区间 2 3, 2 3 上随机取一个数 k ，则直线 y kx 4 与圆 x2 y2 4 有两个不同公共点的概率
GF
（2） 在线段 PB 上是否存在点 G ，使得三棱锥 B AEG 体积为 3 ？
6
A
E
C
若存在，确定点 G 的位置； 若不存在，请说明理由．
B
19． 哈三中某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了哈
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.若复数z=1+i3−4i，则|z−|=()A. 25B. √25C. √105D. 2253.已知a⃗=(3,4)，|b⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗·b⃗ 的值是()A. 7B. 12C. 5D. 254.函数f(x)=(x+1)ln(|x−1|)的图象大致为()A. B.C. D.5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于点A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为163，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为()A. 2√3B. 2√5C. 2√10D. 2√156.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 无法预测7.某一算法框图如图，输出的S值为()A. √32B. −√32C. √3D. 08. 函数f(x)=3sin(ωx −π6)(ω>0)在区间[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围为( )A. (76,136]B. [76,136)C. (56,116]D. [56,116)9. 若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a，在R 上是单调函数，则a 的取值范围为( )A. (1,10]B. (1,+∞)C. (0,10]D. [10,+∞)10. 在三棱锥A −BCD 中，ΔBCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 8111. 已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x >0时，f(x)=log 2(2x +1)，则f(−12)等于( )．A. log 23B. log 25C. 1D. −112. 如图，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线C和y 轴分别交于点A ，B ，E 为准线l 上一点，且|AF|=|AB|=|AE|，则△BEF 的面积为( )A. 2√3B. 3√22C. 3√2D. 2√33二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知tanα=−34，则cos2α=______．14.设x，y满足约束条件{x−y≥1x+y≤4x≥0y≥0，则z=x−3y的取值范围为_________．15.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=2asinB，则∠A=______．16.设函数f(x)=e x(2x−3)−a2x2+ax，若函数f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设各项均为正数的数列{a n}满足4S n=(a n+1)2(n∈N∗)．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n⋅a n+1，n∈N∗，求b n的前n项和T n．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87919.如图，在四棱锥S−ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N，SA=AD．(1)求证：SC⊥MN；(2)若SA=2，求三棱锥M−ANC的体积．20. 椭圆mx 2+ny 2=1与直线x +y =1相交于A 、B 两点，C 为AB 中点，若|AB|=2√2，O 为坐标原点，OC 的斜率为√22，求m ，n 的值．21. 已知函数f(x)=x −lnx −a(a ∈R ).(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，a ∈(1,e −1]，求g(x)的极小值ℎ(a)的值域．22. 已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)，定点A(0,−√3)，F 1、F 2是圆锥曲线C 的左、右焦点．(Ⅰ)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；(Ⅱ)设(Ⅰ)中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|⋅|F1N|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解． 解：∵集合A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x <3}， ∴A ∩B ={0,1，2}． 故选：B ．2.答案：B解析：解：z =1+i3−4i =(1+i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−1+7i 25=−125+725i ，|z|=√(−125)2+(725)2=√225=√25， 故选：B ．根据复数代数形式的乘除运算以及复数的模即可求出．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．3.答案：C解析：本题考查了数量积的定义，属于基础题． 利用数量积的定义即可得出． 解：∵a⃗ =(3,4)，∴|a ⃗ |=5． 又|b ⃗ |=2，两向量夹角θ=60°，则a⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ ||b ⃗ |cos60°=5×2×12=5． 故选C ．4.答案：B解析：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的图象，属于基础题．可从对数的运算性质和函数的单调性取特值(或范围)入手用排除法解此题．解：当x>2时，x+1>3，ln(x−1)>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)=(x+1)ln(x−1)>0，且随着x→+∞时，f(x)→+∞，故排除A、C；当x<−1时，，x+1<0，|x−1|>2，ln|x−1|>0，则f(x)=(x+1)ln(|x−1|)<0，故排除D．故选B．5.答案：C解析：本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和离心率公式，以及点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．【解得】解：由题意可得e=ca =√52，a2+b2=c2，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ=tan∠AOB=2aba2−b2，设FB⊥OB，则F到渐近线y=bax的距离为d=b，即有|OB|=a，则△OAB的面积可以表示为12⋅a⋅atanθ=a3ba2−b2=163，解得a=2√2,b=√2,c=√10，则2c=2√10，故选C．6.答案：A解析：本题考查了简易逻辑推理，属于基础题．分别假设甲，乙，丙预测正确，再根据其他人预测错误逐个判断各人的名次．解：(1)若只有甲预测正确，则甲为第一名或第二名，由于乙预测不正确，故乙是第一名或第二名，于是丙为第三名，故丙预测正确，矛盾；(2)若乙预测正确，则甲预测也正确，矛盾；故而只有丙预测正确，即丙为第二或第三名，由于甲预测不正确，故而甲为第三名，于是丙为第二名，乙为第一名．故选A．7.答案：D解析：解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3的值，由于y=sin nπ3的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2016÷6=336，故S=sinπ3+sin2π3+sinπ+⋯+sin2016π3=336×0=0，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8.答案：B解析：本题考查函数的零点存在性问题，涉及三角函数的图像及性质的应用，属于中档题目．解：∵x∈[0,π]，ω>0，，∵函数f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点， ∴π≤ωπ−π6<2π，解得76≤ω<136．故选B ．9.答案：A解析：解：若函数f(x)={1+1gx,x >a(a −1)x −88,x ≤a ，在R 上是单调函数，由y =lgx ，x >a 是增函数， 所以{a −1>01+lga ≥(a −1)a −88，当a >1时，lga −a 2+a +89>0，画出函数y =1+lga ， 以及y =a 2−a −88的图象如图： 可得，a ∈(1,10]． 故选：A ．判断函数的单调性，利用函数的单调性的性质，列出不等式，即得所求．本题主要求函数的单调性的性质，分段函数的应用，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．由题意画出图形，再由已知求出底面三角形的边长，数形结合可知，当△ABC 为等边三角形时，三棱锥A −BCD 的体积取最大值，则答案可求． 解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=√3．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=√15，∴DG=√15−3=2√3．则DE=3√3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A−BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A−BCD的高为3√3．∴三棱锥A−BCD的体积的最大值为V=13×12×6×3√3×3√3=27．故选C．11.答案：D解析：解：∵由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−x)=−f(x)，∴f(−12)=−f(12)=−log2(2×12+1)=−1．故选：D．由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(−12)=−f(12)，由此可解得f(−12)的值．本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题．12.答案：B解析：本题考查了抛物线的性质，三角形的面积计算，属于中档题．根据抛物线的性质，求出a值，即可计算三角形的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x =−1．设E(−1,2a)，则A(a 2,2a)，由中点公式可得B(0,4a)，故2a 2=1，解得a =√22， 故E (−1,√2)，B(0,2√2)， ∴直线BF ：2√2x +y −2√2=0，故可得点E 到直线BF 的距离d =√2+√2−2√2|√(−2√2)2+1=√2，又|AB|=√(0−1)2+(2√2−0)2=3，∴△BFE 的面积为12×3×√2=3√22． 故选B ． 13.答案：725解析：解：∵tanα=−34，∴cos2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=1−tan 2α1+tan 2α=1−9161+916=725， 故答案为：725．利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简要求的式子，可得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.答案：[−2,4]解析：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件{x −y ≥1x +y ≤4x ≥0y ≥0作出可行域如图，联立{x +y =4x −y =1，解得A(52,32)， 联立{y =0x +y =4，解得B(4,0)， 由图可知，当目标函数z =x −3y 过A 时，z 有最小值为−2；当目标函数z =x −3y 过B 时，z 有最大值为：4．故答案为：[−2,4]．15.答案：π6解析：解：∵b =2asinB ，∴sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =12，∵A 为锐角，∴A =π6， 故答案为：π6根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理，以及解三角形，属于基础题． 16.答案：(0,1)解析：解：函数f(x)=e x (2x −3)−a 2x 2+ax ，∴f′(x)=e x (2x −1)−ax +a ，若要使f(x)在(−∞,1)内有两个极值点，只需f′(x)=0在(−∞,1)内有两个解，可转换为函数g(x)=e x (2x −1)与ℎ(x)=a(x −1)的图象在(−∞,1)内有两个交点，由g′(x)=e x (2x +1)知，当x ∈(−∞,−12)时，g′(x)<0，函数g(x)在(−∞,−12)上为减函数;当x ∈(−12,1)时，g′(x)>0，函数g(x)在(−12,1)上为增函数，当直线ℎ(x)=a(x −1)与曲线g(x)=e x (2x −1)相切时，设切点坐标为(x 0,y 0)，由导数的几何意义可以得到{e x 0(2x 0+1)=ay 0=e x 0(2x 0−1)y 0=a(x 0−1)，解得x 0=0或x 0=32(不合题意，舍去)，可知a =e 0(2×0+1)=1，由图象可知，g(x)与ℎ(x)的图象在(−∞,1)内有两个交点，则a 的取值范围是(0,1)．故答案为：(0,1)．本题考查了利用函数的导数判断函数极值点的应用问题，也考查了转化思想与分析问题、解决问题的能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)4S n =(a n +1)2(n ∈N ∗)，n =1时，4a 1=4S 1=(a 1+1)2，解得a 1=1，当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=(a n +1)24−(a n−1+1)24，整理可得(a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0，因为数列{a n }各项均为正数，a n −a n−1=2(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =2n −1；(Ⅱ)由b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，前n 项和T n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；(Ⅱ)求得b n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算x=1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841，∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：由已知，得DC⊥SA，DC⊥DA，又SA∩DA=A，SA，DA⊂平面SAD，∴DC⊥平面SAD，∵AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA =AD ，M 是SD 的中点，∴AM ⊥SD ，又AM ⊥DC ，SD ∩DC =D ，DC ⊂平面SDC ，∴AM ⊥平面SDC ，又SC ⊂平面SDC ，∴SC ⊥AM ．由已知SC ⊥AN ，则SC ⊥平面AMN ．∵MN ⊂平面AMN ，∴SC ⊥MN ；(2)解：由题意可知，在Rt △SAC 中，SA =2,AC =2√2,SC =2√3，由SA ⋅AC =SC ⋅AN ，可得AN =√22√3=√2√3， 则CN =2−AN 2=4√33，∴CN SC =4√332√3=23， 故三棱锥M −ANC 的体积V =12V D−ANC =12V N−ACD =12×23V S−ACD =(13)2×12×2×2×2=49．解析：(1)由已知利用线面垂直的判定可得DC ⊥平面SAD ，得到AM ⊥DC.再由已知得到AM ⊥SD ，可得AM ⊥平面SDC ，从而得到SC ⊥AM ，结合SC ⊥AN ，利用线面垂直的判定可得SC ⊥平面AMN.则SC ⊥MN ； (2)由已知求解三角形得到AN ，进一步求得CN ，得到CN SC =23，然后利用等积法求三棱锥M −ANC 的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.答案：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将A ，B 点坐标代入方程得：mx 12+ny 12=1，mx 22+ny 22=1，两式相减得：m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，{x 1+x 2=2x 0y 1+y 2=2y 0， mx 0+ny 0⋅y 1−y0x 1−x 0=0， ∴mx 0+ny 0k OC =0，m =−ny 0x 0⋅k OC =−n ×√22×(−1)=√22n ，即n =√2m ，∴椭圆mx 2+√2my 2=1联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +1，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0， x 1+x 2=√2√2+1，x 1x 2=√2m−1√2+1，2√2=|AB|=√2⋅(6√2√2+1)−49√2m−1√2+1，解得m =13,n =√23．解析：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由点差法得m(x 1+x 2)(x 1−x 2)+n(y 1+y 2)(y 1−y 2)=0，设C(x 0,y 0)，得n =√2m ，椭圆mx 2+√2my 2=1，联立{mx 2+√2my 2=1y =−x +3，得(√2+1)mx 2−6√2mx +9√2m −1=0，由椭圆弦长公式能求出m ，n 的值．本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆弦长公式的合理运用． 21.答案：解：(1)因为f(x)=x −lnx −a ，所以f′(x)=1−1x =x−1x ，则当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(1)=1−a ．①当a <1时，f(x)无零点；②当a =1时，f(x)有一个零点； ③当a >1时，因为f(e a )=e a −2a >0，f(1e )=1e>0，f(1)=1−a <0，所以f(x)有两个零点． (2)因为g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，所以g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a ．由(1)可知当a ∈(1,e −1]时，f(x)有两个零点x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，同时x 1，x 2也是F(x)=e x−a −x 的两个零点，且在定义域内f(x)与F(x)的符号完全相同， 所以g(x)在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，所以g(x)的极小值为ℎ(a)=g(x 2)=e x 2−a −x 2lnx 2+(1−a)x 2．因为x 2满足e x 2−a −x 2=0，所以a =x 2−lnx 2，则ℎ(a)=g(x 2)=x 2−x 2lnx 2+(1−x 2+lnx 2)x 2=2x 2−x 22． 因为a =x 2−lnx 2∈(1,e −1]，所以x 2∈(1,e]，所以ℎ(a)=g(x 2)∈[2e −e 2,1)．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题，(1)求出f′(x)=1−1x =x−1x ，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后判断零点的个数．(2)通过g(x)=e x−a −xlnx +(1−a)x ，求出g′(x)=e x−a −lnx −a =e x−a −x +x −lnx −a.通过函数的零点与函数的单调性转化求解即可．22.答案：解：(1)圆锥曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ(θ为参数)， ∴普通方程为C ：x 24+y 23=1，A(0,−√3)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，k AF 2=√3，直线l 的方程为y =√3(x +1)，∴直线l 极坐标方程为：ρsinθ=√3ρcosθ+√3，化为2ρsin(θ−π3)=√3．(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，∴t 1t 2=−125．∴|F 1M|⋅|F 1N|=|t 1t 2|=125．解析：(1)利用cos 2θ+sin 2θ=1可得曲线C 的普通方程，即可得出焦点坐标，得到直线l 的点斜式方程，化为极坐标方程即可；(2)直线的参数方程是{x =−1+12t y =√32t (t 为参数)，代入椭圆方程得5t 2−4t −12=0，利用参数的意义即可得出．本题考查了直线的直角坐标方程化为极坐标、椭圆的参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m ≥3，n ≥3，所以f(m)+f(n)=|m −3|+|n −3|=m −3+n −3=3， 即m +n =9．所以1m +4n =19(m +n)(1m +4n )=19(1+4+n m +4m n )≥19(5+2√n m ⋅4m n )=1，当且仅当n m =4m n ，即m =3，n =6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，说明x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，求出a ，然后转化不等式f(x)<2f(x +1)−1为|x −3|<2|x −2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m +n =9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。