运筹学灵敏度分析

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灵敏度分析(运筹学)

最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ

（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步骤。
原问题可行解可行解非可行解非可行解对偶问题可行解非可行解可行解非可行解结论或继续计算的步骤原最优基不变用单纯形法继续迭代用对偶单纯形法继续迭代引入人工变量，扩大原单纯形表继续计算

资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ，因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生变化。因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。

运筹学灵敏度分析

只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数这时要影响所有的检验数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2

84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2

84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.

运筹学_第11讲灵敏度分析1

第20页
例1-2 分析λi分别在什么范围变化时，最优基不变？
max z = 2x1 + 3x2
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
第7页
分析 cj 的变化 c j c j c j
基变量基变量基可
系数
行解
基变量 XB
CB
XB B-1b
I
非基变量
XN
Xs
B-1N
B-1
Y*T= CBB-1
最c j优值z j可原问题能对已偶变问题
0 CN－CBB-1N －CBB-1 Z*=CBB-1b 结论或继续计算的步骤
得最优解为：
cj zj
0 0 0 1/ 4 1/ 2
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且 zmax=8.5(百元)。
第14页
例2-1
产品Ⅰ利润降至1.5百元/单位，产品Ⅱ的利润增至2百元/单位，生产计划如何变化？
解：(2) 将产品Ⅰ、Ⅱ的利润变化反映在最终单纯形表中，可得
max z = 21x.51x+1x+22x2 s.t. 5x2 ≤15
6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5
x1, x2 ≥0
因有非基变量的检验数大于零
需继续用单纯形法迭代计算，
cj CB 基 b
1.25 21 0 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 15/ 2 0 0 1 5/ 4 15/ 2
原问题对偶问题值可能已变结论或继续计算的步骤
0 可行解可行解问题的最优解或最优基不变
可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解

运筹学05-灵敏度分析

0 1 0
4 4 2
2 1
2
4 1
2 1
8
1 0
4 0 0
4 4 2
0 -8 2
40 4-8 22
4 -4 4
将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。
Ci
2
3
0
0
0
B-1b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
2
x1
1
0
0
1/4
0
4
0
(1)、参数A，b，C在什么范围内变动，对当前方案无影响？
(2)、参数A，b，C中的一个(几个)变动，对当前方案影响？
(3)、如果最优方案改变，如何用简便方法求新方案？
当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有无变化，但这样做既麻烦又没有必要。
灵敏度分析一词的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。
5.1 目标函数系数的灵敏度分析
考虑检验数 σ C CB B1 A
σ j C j CB B1 Pj
(1) 若ck是非基变量的系数：
设 c'k ck Δck ,则 σ'k ck Δck CB B1 Pk σk Δck 当 σ'k σk Δck 0 即 σk Δck 时原最优解不变；
B-1(b + b) ≥ 0 ，则最优基不变，即基变量保持，只有值的变化；否则，需要利用对偶单纯形法继续计算。
例 Max z 2x1 3x2
x1 2x2 8
s.t
4x1 16 4x2 12
x1,x2 0
解: 下表为最优单纯形表

运筹学第11讲灵敏度分析

第二章线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格线性规划的对偶问题对偶单纯形法灵敏度分析对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：

运筹学第二章24灵敏度分析

（3）其他情况讨论：某个产品工艺参数改变；新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况：（1）当cj是非基变量的价值系数——它的变化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变时cj的变化范围！基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件：相当于系数阵A增加1行首先将原最优解代入新增约束检查是否满足？是，则说明新增约束不影响最优解。否则再作下面的讨论：

将新增约束标准化，添加到原最优表格中（相当于约束矩阵新增1行）；

进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换将当前基变成单位阵；用适当方法（通常是对偶单纯形法）进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种产品的产量为 xk ，则 ck 和 Pk 已知，需要进行 “是否投产”的决策。

运筹学-4灵敏度分析

c j (CB CB )B 1Pj
c j CB B 1Pj CB B 1Pj
j CB B 1Pj
j (0, ,0, ci ,0, ,0)(a1 j , a2 j , , amj )'
j ci aij 0
当aij
0时有ci
j
aij
,
当aij
0时有ci
j 。
aij
令
1＝maj x
检验数为
j c j cB B1Pj , j 1,2, , n
要使最优解不变，即当cj变化为仍然是小于等于零，即
c j ' c j c后j ，检验数
j ' c j 'CB B1Pi 0
这时分cj是非基变量和基变量的系数两种情况讨论。
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2020年6月20日星期六 Page 8 of 34
对于c3：表2－6中x3对应行 a32 1，a36 1,而a35 0,则有
1
max
2
a32
,
6
a36
max
3 1
,
2 1
2
Δc3无上界，即有Δc3≥－2，c3的变化范围是。
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 3 of 34
一、cj是非基变量xj的系数
j ' c j 'CB B1Pj c j c j CB B1Pj c j CB B1Pj c j j c j 0
所以
c j j
即cj的增量 c j 不超过cj的检验数的相反数时，最优解不

运筹学8_灵敏度分析

CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于b2：β12<0,
β22>0，所以
−
5
=
max{−
b2 }
β 22
≤
Δb1
≤
min{−
b1 }
β12
基变量 xi 的系数 ci 的变化范围
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 ci 是基变量xi 的系数， ci 变化影响每一个非基变量xj对应的检验数σj
• 当 ci 变为 ci’ = ci +Δci 时，要使得线性规划最优解不
变需要且只需要每一个非基变量xj对应的检验数都有
σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0
什么是灵敏度分析
• 在以前讲的线性规划问题中，aij，bi，cj 均为已知常数，但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字，如随市场条件变化， cj 的值就会变化； aij 也会随工艺条件的改变而改变， bi 是各项资源的投入数量，随着企业资金水平的变化也会变化。
• 问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时，问题的最优解不变？这就是灵敏度分析。
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15

运筹学课件灵敏度分析

运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解，采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解可行解非可行解非可行解
对偶问题
可行解非可行解可行解非可行解

运筹学课程04-灵敏度分析资料

XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
A ( B, N )
XB X X N
C (CB , CN )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2019/4/12 4
NEUQ
B-1b
0
≤0
但B 1b 0不变
Z： CBB-1b
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
若C N C B B N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2019/4/12 9
1
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
设 ck 变化为
X B 检验数
CB CB I 0 CB CB B B 0
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2019/4/12
7
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
' k

运筹学讲义-灵敏度分析

(I A)1Δ Y Δ X

ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi

bk ak ,ni
bi

bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k

ak
bk
,n
i
ak ,ni
0

bi

min k

bk ak ,ni
ak ,n i
0

此时 , 基变量的解值和目标函数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收益最大的生产方案。
产量组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33

运筹学第二章灵敏度分析

m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数：指目标函数中的系数允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时，最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原有的模型中加入新的约束条件：

运筹学课件第五节灵敏度分析

参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解可行解非可行解非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj

3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0

运筹学-第七周-灵敏度分析-运输问题

0 -1/2 0 -9/2
x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*= x5*=0，z*=495/2
2. 右端常数bi (资源系数)的变化分析
初始单纯形表
CB
CN
XB
XN
0 XS B
N
检验数 CB
CN
0
0
XS
b
I
b
0
0
最
优
XB
XN
XS
b
单
纯 CB XB I
B－1N
B－1
B－1b
形表
x5
单纯
0 5
x3 x1
25 35
0 1
0 0
1 0
2 1
-5 -1
形表 4 x2 10 0 1 0 -1 2
0 0 0 -1 -3
最优基：
B=（P3，P1，P2）
B－1=
1 0
2 1
0 - 1
- 5 1
2
最优单纯形表的A中松弛变量的系数
（1）
B－1
90 80
=
1 0
b
3
0
x1,x2 ,xn,xn10
最优单纯形表
检验行 XB
XB XN
xn1
I B-1N
B 1Pn1 B-1b
0
CN-
CBB-1N
cn1
CB
B
P1 n1
- CBB-1b
此时C N C B B 1 N 0， B 1b 0
若 cn1CBB1Pn10：
此表达到最优
xn1为非基变量 xn1*0 新产品不投产
X，X s≥0
I 1
0

运筹学敏感性分析

-3/2 0 -5/2 0 -3/2 -45
（2）基变量的系数
产品A单位利润c1变化： c1↘某一水平，不生产A，
上下限
c1↗某一水平，改变最优产品规划。
c1
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
c1 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 c1 /3-4 0 - c1/3+1 c1 /3-2
2 c2 3,5
1/ 1
3

c2
4
c2
4
如果产品B的单位利润增加到6（百元），则 2 2 ，生
产产品B会使总利润进一步提高，选非基变量x2为进基变量，按最小比值原则，确定x3出基。
3
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1
-1/3
0
1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
B
1
b'r
0
bm
B-1 是当前基的你，解上述不等式，求得保持可行性不变的br的范围。
前例：原料在多大范围内变动，最优性不变？
31500
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 -3 0 0 -1 -30
B1
1/3 1 / 5
x1,x2,x3
资源
A BC
总量分别代
劳动力

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