【精选】敏感性分析(运筹学教材)
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25敏感性分析
9
(二)、约束条件右端项 bj 的灵敏度分析 二、 (1)、bj 改变， B-1 b仍≥0时，最优方案不变。 、 改变， 仍 时 最优方案不变。 例中b 例中 1改变 B-1 b= 2 -1 -1 1 b1 20
≥0
2b1 -20 ≥0 -b1+20 ≥0
∴10≤ b1 ≤ 20
10
(2)、 b1改变 b1=30 ， -1 b= 、 改变, B CB 5 8 XB X1 X2 120 40 -10 100 5 0 X1 X4 20 10 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -2 2 -1
7
(2)、基变量系数Ci 、基变量系数 ① Ci 改变， 全部 i≤0，最优方案不变。 改变， 全部λ 最优方案不变。 例中C 例中 1改变 λA = C -CBB-1 A =(C1 ,8,6,0,0 ) -(C1 8) 1 0 0 2 -1 0 1 1 -1 1
=(0,0,-2,-2C1+8, C1 -8)≤ 0 -2C1+8 ≤ 0 C1-8 ≤ 0 4≤ C1≤ 8
λ6 = C6 - CBB-1 P6 = 10 - (5 8) 2 -1
-1 1 = 10 - 12 = -2 < 0
3 2
结论： 结论：无利
12
（1）产品D利润为多少时，投产有利？ 产品D利润为多少时，投产有利？ 有利
λ 6 = C6 - CBB-1 P6 = C6 - 12 >0 得 C6 >12
② λA = C - CBB-1 A λN = CN - CBB-1 N λj = Cj- CBB-1 Pj ③
~ A= B-1 A ~ Pj =B-1 Pj
2
例：
产品
原料
A 1 1 5
(二)、约束条件右端项 bj 的灵敏度分析 二、 (1)、bj 改变， B-1 b仍≥0时，最优方案不变。 、 改变， 仍 时 最优方案不变。 例中b 例中 1改变 B-1 b= 2 -1 -1 1 b1 20
≥0
2b1 -20 ≥0 -b1+20 ≥0
∴10≤ b1 ≤ 20
10
(2)、 b1改变 b1=30 ， -1 b= 、 改变, B CB 5 8 XB X1 X2 120 40 -10 100 5 0 X1 X4 20 10 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -2 2 -1
7
(2)、基变量系数Ci 、基变量系数 ① Ci 改变， 全部 i≤0，最优方案不变。 改变， 全部λ 最优方案不变。 例中C 例中 1改变 λA = C -CBB-1 A =(C1 ,8,6,0,0 ) -(C1 8) 1 0 0 2 -1 0 1 1 -1 1
=(0,0,-2,-2C1+8, C1 -8)≤ 0 -2C1+8 ≤ 0 C1-8 ≤ 0 4≤ C1≤ 8
λ6 = C6 - CBB-1 P6 = 10 - (5 8) 2 -1
-1 1 = 10 - 12 = -2 < 0
3 2
结论： 结论：无利
12
（1）产品D利润为多少时，投产有利？ 产品D利润为多少时，投产有利？ 有利
λ 6 = C6 - CBB-1 P6 = C6 - 12 >0 得 C6 >12
② λA = C - CBB-1 A λN = CN - CBB-1 N λj = Cj- CBB-1 Pj ③
~ A= B-1 A ~ Pj =B-1 Pj
2
例：
产品
原料
A 1 1 5
运筹学 敏感性分析
-3/2 0 -5/2 0 -3/2 -45
（2）基变量的系数
产品A单位利润c1变化： c1↘某一水平，不生产A，
上下限
c1↗某一水平，改变最优产品规划。
c1
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
c1 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 c1 /3-4 0 - c1/3+1 c1 /3-2
2 c2 3,5
1/ 1
3
c2
4
c2
4
如果产品B的单位利润增加到6（百元），则 2 2 ，生
产产品B会使总利润进一步提高，选非基变量x2为进基变量， 按最小比值原则，确定x3出基。
3
1
5
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1
-1/3
0
1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
B
1
b'r
0
bm
B-1 是当前基的你，解 上述不等式，求得保持可行 性不变的br的范围。
前例：原料在多大范围内变动， 最优性不变？
31500
x1
x2
x3
x4
x5
3 x1 1 -1/3 0 1/3 -1/3 5
5 x3 0
1
1 -1/5 2/5 3
0 -3 0 0 -1 -30
B1
1/3 1 / 5
x1,x2,x3
资源
A BC
总量 分 别 代
劳动力
《敏感性分析运筹学》课件
《敏感性分析运筹学》 PPT课件
探索《敏感性分析运筹学》的奥秘，揭示问题背景和概念，让您深入了解这 一重要领域的定义、作用和意义。
问题背景和概念
在这一部分，我们将探讨敏感性分析的历史背景和相关概念，帮助您全面了解这个领域的起源和基本概 念。
敏感性分析的定义
敏感性分析是一种运筹学方法，通过变化模型中各项参数的值，研究模型结 果的敏感程度，从而评估模型的稳定性和可靠性。
敏感性分析的作用和意义
敏感性分析在决策分析、风险评估、优化模型等领域具有广泛的应用，可以帮助决策者更好地理解和利 用模型的结果。
敏感性分析的方法和步骤
1
参数选择
选择需要进行敏感性分析的参数，确保参数具有实际意义和可调节性。
2
变量变化
对选择的参数进行变化，观察模型结果的变化情况。
3
结果分析
分析模型结果的敏感程度，从而评估参数对结果的影响程度。
实例分析二
进一步探索敏感性分析的实际 案例，并分析其在决策支持中 的重要作用。
实例分析三
通过多个案例研究，总结敏感 性分析的实际应用经验和最佳展望未来发展方向，探讨该领 域可能带来的新的挑战和机遇。
敏感性分析的局限性和挑战
1 简化模型
敏感性分析往往需要对 模型进行简化，可能无 法完全反映实际情况。
2 参数关联性
模型的参数可能存在相 关性，敏感性分析难以 准确评估每个参数对结 果的独立影响。
3 不确定性处理
模型结果的不确定性可 能导致敏感性分析结果 的不稳定性。
案例研究和实例分析
实例分析一
通过实际案例分析，展示敏感 性分析在实际决策中的应用和 效果。
探索《敏感性分析运筹学》的奥秘，揭示问题背景和概念，让您深入了解这 一重要领域的定义、作用和意义。
问题背景和概念
在这一部分，我们将探讨敏感性分析的历史背景和相关概念，帮助您全面了解这个领域的起源和基本概 念。
敏感性分析的定义
敏感性分析是一种运筹学方法，通过变化模型中各项参数的值，研究模型结 果的敏感程度，从而评估模型的稳定性和可靠性。
敏感性分析的作用和意义
敏感性分析在决策分析、风险评估、优化模型等领域具有广泛的应用，可以帮助决策者更好地理解和利 用模型的结果。
敏感性分析的方法和步骤
1
参数选择
选择需要进行敏感性分析的参数，确保参数具有实际意义和可调节性。
2
变量变化
对选择的参数进行变化，观察模型结果的变化情况。
3
结果分析
分析模型结果的敏感程度，从而评估参数对结果的影响程度。
实例分析二
进一步探索敏感性分析的实际 案例，并分析其在决策支持中 的重要作用。
实例分析三
通过多个案例研究，总结敏感 性分析的实际应用经验和最佳展望未来发展方向，探讨该领 域可能带来的新的挑战和机遇。
敏感性分析的局限性和挑战
1 简化模型
敏感性分析往往需要对 模型进行简化，可能无 法完全反映实际情况。
2 参数关联性
模型的参数可能存在相 关性，敏感性分析难以 准确评估每个参数对结 果的独立影响。
3 不确定性处理
模型结果的不确定性可 能导致敏感性分析结果 的不稳定性。
案例研究和实例分析
实例分析一
通过实际案例分析，展示敏感 性分析在实际决策中的应用和 效果。
常见的运筹学灵敏度分析
cj
4
3
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
3
x2
4
5
x1
6
0
1
3/5
-2/5
1
0
-2/5
3/5
Z
42
0
0
-1/5
8/5
13
用单纯形法迭代得最优解表如下：
cj
4
3
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
0
x3
20/3
0
5/3
1
5
x1
26/3
1
2/3
0
Z
130/3 0
1/3
0
0
x4 -2/3 1/3 16/15
（3）技术系数aij变化的分析 第一种情况（当jJN）：即aij为非基变量xj的技术系数
6/5
继续迭代以求出新的最优解。
11
（2）当CB(即基变量的目标函数系数)中某个Cj发生变化时
则会影响到所有变量的检验数σ=CBB-1A－C
解不等式组
CB B1 A C 0
就可得到 Cj的范围
例18 设基变量x1的系数C1变化为 C1 C1 ，在最优性不变 的条件下，试确定 C1 的范围
*Big M
0
0
0
0
0
0
23
2、增加新约束的灵敏度分析 Final tableau (Total iteration=3)
Basis C(j) X1
4.000
S1
0
X1 3.000
X2 4.000
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
运筹学02_对偶理论与敏感性分析
0 x3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 -2 0 50
0 x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0 -1 -1 1 -100 -1 1 1 50
I
θi 300 400 250 50 75
０
B-1
cBB-1
最优解：x1 = 50, x2 = 250, x4 = 50 B=(P1, P4, P2) 对偶最优解：y1 = 50, y2 = 0, y3 = 50 B-1对应的检验数 σT = cBB-1。
系数变成约束 条件右侧值
变成目标函 数的系数
最小化问题的对偶问题： 最小化问题的对偶问题：
max w = − 25 y 1 + 2 y 2 + 3 y 3
反过来， 反过来，由下 往上也是一样 的。
− y1 − y 2 + y 3 ≤ 1 − y1 + 2 y 2 − y 3 ≤ − 1 − 2 y1 − y 2 + y 3 = − 1 y1 , y 2 ≥ 0
12
CB 0 0 0 z 0 0 100 z 50 0 100 z
XB x3 x4 x5 x3 x4 x2 x1 x4 x2
300 400 250 0 50 150 250
-25000
50 50 250
-27500
50 x1 1 2 0 50 (1) 2 0 50* 1 0 0 0
100 x2 1 1 (1) 100* 0 0 1 0 0 0 1 0
25
例： 已知线性规划 max z = x1 + x2 s.t. -x1 + x2 + x3 ≤ 2 -2x1 + x2 - x3 ≤ 1 x1, x2 x3 ≥ 0 试用对偶理论证明该线性规划无最优 解。
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
运筹学课程04-灵敏度分析资料
XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
A ( B, N )
XB X X N
C (CB , CN )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2019/4/12 4
NEUQ
B-1b
0
≤0
但B 1b 0不变
Z： CBB-1b
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
若C N C B B N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2019/4/12 9
1
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
设 ck 变化为
X B 检验数
CB CB I 0 CB CB B B 0
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2019/4/12
7
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
' k
运筹学讲义-灵敏度分析
(I A)1Δ Y Δ X
ΔY 0
5
2.4.2 价值系数 cj 的灵敏度分析 • cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
• cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况 下，分析cj 允许的变动范围cj
• cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况
– 非基变量对应的价值系数变化，不影响其它检验数 – 基变量对应的价值系数变化，影响所有非基变量检验数
bi
bk ak ,ni
bi
bk ak ,ni
要求对所有 k 都成立 , 从而有
max k
ak
bk
,n
i
ak ,ni
0
bi
min k
bk ak ,ni
ak ,n i
0
此时 , 基变量的解值和目标函 数会发生变化
2.4.6 新增约束条件的分析
16
2.4.7 灵敏度分析举例
例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少110 个，求收 益最大的生产方案。
产量 组别
品种
I II III IV V
单位售价 (元 )
A 产品数量
32440
10
B 产品数量
x5 x6 x7 00 0 1 1/4 -1 0 1 -1 0 -3/4 1 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max01 .205,02100b2min 01.7050 200b213.33, 1000b2133.33
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学第二章灵敏度分析
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
敏感性分析运筹学
提高敏感性分析的准确性
增加数据维度与质量
收集更多维度的数据
为了更全面地了解系统行为，需要收集涵盖 更多变量的数据。
数据清洗和预处理
去除异常值、缺失值和错误数据，确保数据 质量。
数据标准化
将不同量纲的数据转换为统一尺度，便于比 较和分析。
选择合适的模型与方法
参数优化
采用合适的优化算法对模型参数进行优化， 提高模型预测精度。
风险控制
敏感性分析有助于识别生产计划中的风险因 素，并为企业提供应对措施，降低生产风险 。
物流与供应链管理
库存管理
敏感性分析在库存管理中用于确定最佳库存水平，以平衡 库存成本和缺货风险。
01
运输优化
通过敏感性分析，企业可以优化运输策 略，降低运输成本，提高运输效率。
02
03
供应商选择
敏感性分析有助于企业评估不同供应 商的价格、质量和交货期等因素，选 择最佳供应商。
数据来源
数据来源的可靠性、准确性和完整性对敏感性分析的结果具有重要 影响。如果数据存在误差或偏差，将导致分析结果的不准确。
数据处理
数据处理过程中的误差、遗漏或错误，可能导致数据质量下降，进 而影响敏感性分析的准确性。
数据不确定性
由于数据的不确定性，如随机波动、异常值等，可能导致敏感性分析 结果的不稳定。
适用场景
适用于存在不确定性因素的情况 ，能够为决策者提供风险预警和 应对建议。
03
CATALOGUE
敏感性分析的运筹学应用
生产计划优化
生产计划
敏感性分析在生产计划优化中用于评估不同 生产策略对成本、产量和利润的影响。
资源分配
通过敏感性分析，企业可以确定哪些资源对生产效 率影响最大，从而合理分配资源，提高生产效率。
增加数据维度与质量
收集更多维度的数据
为了更全面地了解系统行为，需要收集涵盖 更多变量的数据。
数据清洗和预处理
去除异常值、缺失值和错误数据，确保数据 质量。
数据标准化
将不同量纲的数据转换为统一尺度，便于比 较和分析。
选择合适的模型与方法
参数优化
采用合适的优化算法对模型参数进行优化， 提高模型预测精度。
风险控制
敏感性分析有助于识别生产计划中的风险因 素，并为企业提供应对措施，降低生产风险 。
物流与供应链管理
库存管理
敏感性分析在库存管理中用于确定最佳库存水平，以平衡 库存成本和缺货风险。
01
运输优化
通过敏感性分析，企业可以优化运输策 略，降低运输成本，提高运输效率。
02
03
供应商选择
敏感性分析有助于企业评估不同供应 商的价格、质量和交货期等因素，选 择最佳供应商。
数据来源
数据来源的可靠性、准确性和完整性对敏感性分析的结果具有重要 影响。如果数据存在误差或偏差，将导致分析结果的不准确。
数据处理
数据处理过程中的误差、遗漏或错误，可能导致数据质量下降，进 而影响敏感性分析的准确性。
数据不确定性
由于数据的不确定性，如随机波动、异常值等，可能导致敏感性分析 结果的不稳定。
适用场景
适用于存在不确定性因素的情况 ，能够为决策者提供风险预警和 应对建议。
03
CATALOGUE
敏感性分析的运筹学应用
生产计划优化
生产计划
敏感性分析在生产计划优化中用于评估不同 生产策略对成本、产量和利润的影响。
资源分配
通过敏感性分析，企业可以确定哪些资源对生产效 率影响最大，从而合理分配资源，提高生产效率。
敏感性分析(运筹学) ppt课件
ppt课件 12:44 36
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
百分之百法则的作用
可用于确定在保持最优解不变的条件下，目标 函 数系数的变动范围 百分百法则通过将允许的增加或减少值在各个 系数之间分摊，从而可以直接显示出每个系数 的允许变动值 线性规划研究结束以后，如果将来条件变 化 ，致使目标函数中一部分或所有系数都发生变 动，百分百法则可以直接表明最初最优解是否 保持不变
ppt课件
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
12:44
椅
Profit = $15/Chair
ppt课件 23
自己动手
拼装玩具生产
如果桌子的利润是$35，最优解会怎样变化呢？ 如果又有一个额外的大块，会增加总利润吗？ 如果桌子和椅子构成改变，最优解会变化吗？ 如果还有一些原材料，你愿意以多大的代价购买呢？ 你怎么来分析这些问题？
ppt课件 12:44
原问题（求极小） 右边 －3 －6 －2 0 0 2 －1 0
y1
y2 y3
7
－1 0
－ 3
6
maxT 7 y1 y2 s.t. 2 y1 16 y2 7 y3 1 3 y1 7 y y 2 y3 0 ppt课件 y1 , y2 , y3 0
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
运筹学02.5敏感性分析
Case 1 在最终的单纯形表中，xk 为非基变量 新的第k列为
′ a1k a′ k B −1 Pk′ = B −1 2 , M a′ mk
′ a1k ′ a2 k T T rk′ = cB B −1 Pk′ − ck = cB B −1 − ck ≥ 0. M a′ mk
其中
0 M ek = 1 k M 0
2011-3-10
7
运筹学
Operations Research
T T ′ z 0 = c ′T B −1b = (c B + ∆c k ek ) T B −1b = c B B −1b + ∆c k ek B −1b B
2011-3-10
8
运筹学
Operations Research
rj bkj | bkj > 0} ≤ ∆ck ≤ min {−
m +1≤ j ≤ n
要使最优解不变，只需 mmax n{− +1≤ j ≤
在例1中，当 − 最优解不变.
rj bkj
| bkj < 0}.
5 5 3 1 = max{− } ≤ ∆c1 ≤ min{− ,− } = 1 ，即2 ≤ c1 ≤ 3时， 4 4 −1 −1
w11 w −1 T 21 B = ( wij ) m×m z0 + ∆bk cB L wm1
w12 w22 L wm 2
0 L w1m M L w2 m 1 L L M L wmm 0
2011-3-10
w1k m w2 k = z0 + ∆bk (c1 , c2 ,L , cm ) = z + ∆bk ∑ ci wik M 0 i =1 wmk
运筹学导论之单纯形法与敏感性分析
在代数中如何定义角点：
在m×n (m<n)阶方程组中，如果令(n-m)个变量等于0， 然后求解其余的含m个变量的m个方程，如果有唯一解，则称 相应的解为基本解，它一定对应解空间的一个(可行或不可行) 角点，这意味着角点的最大数目为
Cm n
n! m!(n m)!
9
x2
F
B
max z 2x1 3x2 st 2x1 x2 4
单纯形迭代开始于原点（x2, x2）=(0, 0)，因此, 在初始点处的非基（零）变 量：（x1, x2），在初始点处的基变量： （s1, s2, s3, s4） 即 Z=0， s1=24, s2=6, s3=1, s4=2
初始解是最优解吗？
目标函数表明可以增加x1或x2来改进这个解，选择具有最正的系数的变量
y 2
和变量
y 2
，这等
价于
y 2
5和y2
0，或者y2=5-0=5.
类似地，如果在周
期2中劳动力减少到16名，则我们有
y 2
0和y2
4
或者
y2=0-4=-4. 替换还运行劳动力不作改变的可能性，此时两
个变量均为0来实现。
那么
y 2
和
y 2
能否同时取正值？
这种情况是不会发生的，否则这意味着相同的时间内既雇
6x1+4x2≤24 定义s1作为M1的松弛的或未用的量，约束可以转化为如下等 式约束：
6x1+4x2+s1=24, s1≥0 3
在(≥)约束设置了模型的活动(变量)对的下限。因此， 可以 将(≥)约束的左端项超出最下限制的量表示为剩余。 为了把(≤)不等式约束转为等式约束，在约束左端减去非负 的剩余变量(Surplus Variable). 例如在营养配方模型（例 2.2-2）中，表示最小饲料需求的约束是：
整理《运筹学》第五节 灵敏度分析
《运筹学》第五节灵敏度分析整理表姓名:职业工种:申请级别:受理机构:填报日期:A4打印/ 修订/ 内容可编辑文件编号：99-4D-41-DB-B6西南财经大学《运筹学》教学实施方案一、课程基本信息课程名称：运筹学课程代码： 131602学分：4学时：2学时/课，共64学时。
二、任课教师、助教、教室等情况（一）任课教师：张**，管理科学与工程博士、副教授办公室：通博楼B***答疑辅导时间：周一下午1:00-6:00电子邮件： hlzhang@（二）助教：管理科学与工程硕士研究生答疑辅导时间：双周星期一下午2：00-5:00答疑辅导地点：通博楼***电子邮件：349437566@（三）课程资源：教务处课程中心http://10.9.10.16/（四）教室：B214实验室：I108（五）上课时间：每周二早1-4节（六）纪律：1、无特殊情况，不允许无故缺课。
2、每次作业须在规定时间内提交。
三、阅读材料（一）推荐教材：胡运权:《运筹学教程》第4版，清华大学出版社,2012年11月。
（二）参考教材1.熊伟编著，《运筹学》，机械工业出版社，2005年11月。
2. 运筹学教材编写组，《运筹学（第三版）》，清华大学出版社，2006年。
（三）进一步阅读教材1.中国知网()相关文献2.David R. Anderson等，An Introduction To Management Science: Quantitative Approaches to Decision Making（13th）,South-Western Cengage Learning（电子书,简称MS）.3.自编教材《运筹学案例集》。
第2页共8页四、课程内容概要（一）课程目标1.理解并掌握运筹学系统优化与分析问题的基本思路。
2.能正确对现实中的问题进行抽象，在统筹规划基础上使用运筹学模型进行实际问题的模型构建与求解。
3.能够逻辑清晰地论证他人提出的运筹学模型，并进行评价和完善。
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sfsf
16
sfsf
17
例1：写出下面线性规划的对偶规划 min S x1 3x3
s.t. 2 x1 3x2 6 x3 7 16x 2 x 2 x 1 1 3 4 7 x 7 x 6 x x 0 1 2 3 4 x1 , x2 , x3 , x4 0
第三 讲 线性规划：灵敏度分析与对偶
李勇建 博士
sfsf
1
主要内容
线性规划的对偶问题 线性规划的灵敏度分析问题
sfsf
2
线性规划的对偶问题
•对偶问题的来源 •对偶问题的应用和经济解释
•对偶问题的转化
sfsf 3
对偶问题
原问题
max z 50x1 100x2
约束：
x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250
sfsf
10
资源定价的决策方案
例：某厂生产甲乙产品，（1）如何安排每周的利润为最大? 甲 乙 资源成本 资源拥有量
原材料 (kg) 设备 (工时) 电力 (度)
销售价格(元)
9 4 3
390
4 5 10
352
20 50 1
360 200 300
（2）如果企业可以不生产，那资源出让如何定价？
1、最优生产决策
x1 0, x2 0
最优解：x1=50, x2=250；Z*=27500
sfsf 4
如果把三种资源分别以价格 y1 , y 2 , y3 出租或买出， 那么出 让相对于生产一单位第 j 种产品的资源消耗的价值应不低 于第 j 种产品的单位利润价值 max z 50x 100x
1
因此有
sfsf 9
影子价值的内涵
影子价格不是资源的实际价格，反映了资源配置结构，
其它数据固定，某资源增加一单位导致目标函数的增量。
对资源i总存量的评估：购进 or 出让 对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少
第一，影子利润说明增加哪种资源对经济效益最有利 第二，影子价格告知以怎样的代价去取得紧缺资源 第三，影子价格是机会成本，提示资源出租/转让的基价 第四，利用影子价格分析新品的资源效果：定价决策 第五，利用影子价格分析现有产品价格变动的资源紧性 第六，可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益 第七，可以预知哪些资源是稀缺资源而哪些资源不稀缺
* y* 0, y 0 4 5
sfsf
12
阅读和自学：
参考书 P60-61，第3.3.4节
sfsf
13
想一想
产品的机会成本是什么:
j 表示减少一件产品 j 所节省的资源可以增加的 利润. 产品的差额成本是什么:
sfsf
14
对偶问题的经济解释
如果 则用这些资源来生产这种产品更为有利可图. 如果
sfsf
7
举例
原问题
Max 50x1+30x2 S.t. 4x1+3x2120 2x1+x250 x1,x20
对偶问题
Min 120y1+50y2 S.t. 4y1+2y250 3y1+y2 30 y1,y20
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8
对偶规划的应用
一般来说，线性规划问题是确定资源的最优分 配方案；对偶问题则是确定对资源的恰当估价， 以确定资源的最有效利用； 可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格， 以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营 的好坏； 对于一些紧缺资源，可以借助于影子价格机制 规定上交的利润额，控制一些经济效益低的公 司自觉地节约使用紧缺资源。
f min 27500 z *
sfsf 6
影子价格在原问题当中是什么意思? 设原问题的松弛变量为 s1 , s 2 , s3 , （对应资源的剩余量） ，那么原问题的 最优解为 ( x1 , x2 , sy s22,,y s3 ) = (50, 250, 50, 0, 50)。 1, 1,y 松弛变量不为 0，即有剩余的资源，其影子价格为 0。 没有剩余、比较紧缺的资源其影子价格，代表了其紧缺程度。 比如，当 x1 x2 300改为 x1 x2 301时, 最优解为 x1 51, x2 250 , 利润增加 50 元, 资源增加一个单位, 利润增加 50 元, 称为资源 1 的影子 价格。
max Z 7 x1 12x2 9 x1 4 x2 360 4 x 5 x 200 1 2 s.t. 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
X * (20, 24,84,0,0)T
sfsf
11
资源定价的决策方案
2、资源获利决策
如果决策者考虑自己不生产甲乙两种产品，而把原拟用于生产 这两种产品的原材料、设备工时、电量资源全部出售给外单位， 或者做代加工，则应如何确定这三种资源的价格。 设原材料的单位出让获利为y1，设备工时的单位出让获利为y2， 电量的单位出让获利为y3 。 出让决策的线性规划模型：
对偶问题
决策变量：yi 收买该公司一单位 i 种资源时付给的价格 目标函数： 约束：
min f 300y1 400y2 250y3
y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100
.
y1 , y2 , y3 0
此极小问题称为原问题的对偶问题，解是 y1 50, y2 0, y3 50 分别称为原料1，2，3的影子价格或对偶价格.
y1 2 y2 50 y1 y2 y3 100 y1 , y2 , y3 0
x1 x2 300 y2： 2 x1 x2 400 x2 250 y3 ：
y1 ：
2
但是买方会把价格压到最低 ：
min f 300y1 400y2 250y3
sfsf 5
min w 360 y1 200 y2 300 y3 9 y1 4 y2 3 y3 7 s.t. 4 y1 5 y2 10 y3 12 y , y , y 0 1 2 3
* * y1 0 y* 1.36 y 0.52 2 3
Z * 428
表明已经在其他地方以更为有利可图的方式使用这些资源，没有必 要生产产品j . 其经济解释是:在利润最大化的生产计划中 (1)边际利润大于0的资源没有剩余; (2)有剩余的资源边际利润等于0; (3)安排生产的产品机会成本小于等于利润; (4)机会成本大于利润的产品不安排生产.
sfsf 15
对偶的一般形式