运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-整数规划(圣才出品)
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-运输问题(圣才出品)
计算所有非基变量的检验数，如表 4-18 所示：
表 4-18
由 24 = 0 可得 c24 =17 ，所以当 c24 变为 17 时，此问题有无穷多最优调运方案。以 (A2, B4 ) 为调入格，作一闭回路，取不同的调入量对其进行调整可得到其它两个最优调运方
如表 4-5 所示：
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表 4-5
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-6 所示： 表 4-6
第二步：用位势法进行最优解的检验。在对应于表 4-6 的数字格处填入单位运价，并增
加一行一列，在行中填入 vj ，在列中填入 ui 。令 u1 = 0 ，按照 ui + vj = cij （ i,j B ）求出所 有的 ui 和 vj ，并依据 ij = cij − (ui + vj ) （ i,j N ）计算所有空格处的检验数，计算结果如表 4-7 所示：
表 4-2 中，有 10 个基格，而理论上只应有 m+n-l=9 个，所以表 4-2 给出的调运方案 不能作为表上作业法的初始解。
4.2 判断下列说法是否正确。 （1）在运输问题中，只要任意给出一组含（m+n+1）个非零的{xij}，且满足
，就可以作为一个初始基可行解； （2）表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法； （3）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数 k，最优 调运方案将不发生变化； （4）运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数 k（k>0），最优调运方案将不发生
如表 4-8 所示： 表 4-8
第一步：用伏格尔法求得初始可行解如表 4-9 所示： 表 4-9
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运筹学：整数规划习题与答案
一、单选题1、下列说法正确的是（）。
A.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值正确答案：A2、整数规划的最优解中，决策变量满足（）。
A.决策变量不是整数B.没有要求C.决策变量至少有一个是整数D.决策变量必须都是整数正确答案：D3、下列（）可以求解指派问题。
A.梯度法B.牛顿法C.单纯形法D.匈牙利法4、整数规划中，通过增加线性约束条件将原规划可行域进行切割，切割后的可行域的整数解正好是原规划的最优解的方法是（）。
A.隐枚举法B.0-1规划法C.分支定界法D.割平面法正确答案：D5、标准指派问题（m人，m件事）的规划模型中，有（）个决策变量。
A.都不对B. m*mC. mD.2m正确答案：B二、判断题1、匈牙利法可以直接求解极大化的指派问题。
（）正确答案：×2、整数规划的可行解集合是离散型集合。
（）正确答案：√3、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，任何一个可行解的目标函数值是该问题的目标函数值的下界。
（）4、用分支定界法求一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可以任取一个作为下界值，在进行比较和剪枝。
（）正确答案：×5、用割平面求纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量都取整数。
（）正确答案：√。
运筹学课后习题答案
第一章 线性规划1、由图可得：最优解为2、用图解法求解线性规划： Min z=2x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+-01058244212121x x x x x x解：由图可得：最优解x=1.6,y=6.4Max z=5x 1+6x 2⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-0,23222212121x x x x x x解：由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞Maxz = 2x 1 +x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x由图可得：最大值⎪⎩⎪⎨⎧==+35121x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧==2321x xmax Z = 8.1212125.max 23284164120,1,2maxZ .jZ x x x x x x x j =+⎧+≤⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为26将线性规划模型化成标准形式：Min z=x 1-2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-=++-≥+-≤++无约束321321321321,0,052327x x x x x x x x x x x x解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥0,x 3’’≥0Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0,0,0'',0',0,05232'''7'''5433213215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x7将线性规划模型化为标准形式Min Z =x 1+2x 2+3x 3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-=--≥++-≤++无约束，321321321321,00632442392-x x x x x x x x x x x x解：令Z ’ = -z ，引进松弛变量x 4≥0,引进剩余变量x 5≥0,得到一下等价的标准形式。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-网络计划(圣才出品)
第11章网络计划11.1 已知下列资料(表11-1)。
表11-1要求：（1）绘制网络图；（2）用图上计算法计算各项时间参数(除外)；（3）确定关键路线。
解：（1）由题意绘制网络图如图11-1所示。
（2）事项最早时间见图11-1中“□”中的数字，事项最迟时间见图11-1中“△”中的数字。
图11-1（3）总时差为零的工序为关键工序，所以关键路线为①→③→④→⑤→⑥→⑦→⑩→⑪，对应的工序为。
11.2 已知下列资料，如表11-2所示。
rH B G A F K→→→→→要求：（1）绘制网络图；（2）计算各项时间参数；（3）确定关键路线。
表11-2解：（1）由题意绘制网络图如图11-2所示。
（2）事项最早时间见图11-2“□”中的数字，事项最迟时间见图11-2中“△”中的数字。
图11-2（3）总时差为零的工序为关键工序，所以关键路线为，如图11-2所示。
11.3 已知下列资料，如表11-3所示：表11-3求出这项工程的最低成本日程。
解：由表11-3中的已知条件和数据，绘制如图11-3所示的网络图。
图11-3各事项的最早时间为：各事项最迟时间为：()()()()()()(){} 6max44,6,33,6,55,6E E E ET T T T T T T=+++{}max84,45,11012=+++=()()()()(){}{} 7max22,7,66,7max86,12315 E E ET T T T T=++=++=将各事项的最早时间与最迟时间分别记入该事项右下角的“□”和“△”内，如图11-4所示。
图11-4总时差为零的工序为关键工序，从图11-4可以看出关键路线为又已知工程项目每天的间接费用为500元，按图11-4及表11-3中的已知资料，若按图11-4安排，易知工程总工期为l5天，工程的直接费用(各工序直接费用之和)为（20+30+15+5+18+40+10+15）×100=15300元 工程间接费用15×500=7500元 工程总费用为15300+7500=22800元如果要缩短工期，应该首先缩短关键线路上赶一天进度所需费用最小的工序的作业时间。
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(对策论基础)
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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
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是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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运筹学教材习题答案详解
出售单位产品A、B、C的利润分别为3、7、2元，每单位产品C的销毁费为1元．预测表明，产品C最多只能售出13个单位．试建立总利润最大的生产计划数学模型．
【解】设x1,x2分别为产品A、B的产量，x3为副产品C的销售量,x4为副产品C的销毁量，有x3+x4=2x2,Z为总利润，则数学模型为
公司目前和预计今后三年可用于三个项目的投资金额是：现有2500万，一年后2000万，两年后2000万，三年后1500万．当年没有用完的资金可以转入下一年继续使用．
IV公司管理层希望设计一个组合投资方案，在每个项目中投资多少百分比，使其投资获得的净现值最大．
表1－24
年份
10％项目所需资金（万元）
项目1
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
3
2
-0.125
0
0
0
R. H. S.
Ratio
3/4
C(j)-Z(j)
0
0
-0.375
-0.875
11.25
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X(1)=（0，0，2，12）、
X(2)=（0，2，0，6，）、
X(3)=（ 、
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-线性规划与单纯形法(圣才出品)
= =
8 −3
x1, x2, x3, x4 0
解：在第二个约束条件两边同时乘以-1，得到该线性规划问题的系数矩阵
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A
=
(
P1,
P2
,
P3
,
P4
)
=
2 −1
3 2
−1 −6
−4
7
①因为 P1 、 P2 线性无关，故有
令非基变量
x2
=
x3
=
0 ，解得
x1
=
34 , 5
x4
=
7 5
，故有基可行解
X
(3)
=
34 5
, 0, 0,
7 5
T
，
z3
=
117 5
。
④因为 P2 、 P3 线性无关，故有
32xx22
− −
x3 = 8 − 2x1 6x3 = 3+ x1
+ −
4x4 7x4
令非基变量
x1
=
x4
= 0，解得
x2
最优解或称为无界解。
（4） max z = x1 + x2 s.t. 3x1x1−−x2x20−3
x1, x2 0
解：如图 l-4 所示，该问题的可行域为空集，因此该线性规划无可行解。
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1.2 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
取得最小值，求解方程组
x1 x1
+ +
3x2
=
3
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-存储论(圣才出品)
第14章存储论14.1设某工厂每年需用某种原料1800吨，不需每日供应，但不得缺货。
设每吨每月的保管费为60元，每次订购费为200元，试求最佳订购量。
解：由题意知，该模型为“不允许缺货，生产时间很短”，按E.O.Q计算Q*得所以最佳订购量为32吨。
14.2某公司采用无安全存量的存储策略。
每年使用某种零件100000件，每件每年的保管费为30元，每次订购费为600元。
试求：（1）经济定购批量；（2）订购次数。
解：（1）按E.O.Q模型计算，得所以经济订购批量为2000件。
（2）订购次数为：＝50（次）所以每年的订购次数为50次。
*32()Q==≈吨*Q*2000()Q===件14.3某工厂生产某种零件，每年需要量为18000个，该厂每月可生产3000个，每次生产后的装配费为5000元，每个零件的存储费为1.5元，求每次生产的最佳批量。
解：由题意知，该题模型为“不允许缺货，生产需一定时间”，已知，，。
最佳批量是所以，每次生产的最佳批量为4472个。
14.4某产品每月用量为4件，装配费为50元，存储费每月每件为8元，求产品每次最佳生产量及最小费用。
若生产速度为每月可生产10件，求每次生产量及最小费用。
解：（1）用“不允许缺货，生产时间很短”的模型求解。
已知。
则最佳批量为以月为单位的平均费用为（2）用“不允许缺货，生产需一段时间”的模型求解。
已知，，则最佳批量为最小费用为3C5000=1C 1.5=P3000R180********==÷=，*Q4472==≈（个）31C50R4C8===，，*7()Q==≈件**1374()85056.6()227Q RC Q CCQ=+=⨯+⨯≈元31C50C8P10===，，R4=所以，如果生产时间足够短，那么最佳生产量为7件，最小费用为56.6元；如果生产速度为每月可生产10件，那么最佳生产量为9件，最小费用为43.8元。
14.5每月需要某种机械零件2000件，每件成本l50元，每年的存储费用为成本的16％，每次订购费100元，求E.O.Q 及最小费用。
《运筹学》习题汇总
整数、运输、目标三、整数规划（每小题20分，共100分）1.对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是A. (4，1)B.(4，3)C.(3，2)D.(2，4)2.下列说法正确的是A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值B.用割平面法求解整数规划问题，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解C.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝D.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
3. x 1要求是非负整数，它的来源行是A. B. C. D. 4.，最优解是A.（0, 0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）5 分枝定界法中a .最大值问题的目标值是各分枝的下界b .最大值问题的目标值是各分枝的上界c .最小值问题的目标值是各分枝的上界d .最小值问题的目标值是各分枝的下界 12121212max 32,2314,0.5 4.5,,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥且为整数145578333x x x -+=32313154-≤-x x －254-≤-x x －254＝＋S x x +254＝－＋s x x 12121212max 3,437,24,,01Z x x x x x x x x =++≤+≤=或e .以上结论都不对A. a,bB. b,dC. c,dD. e四、目标规划（每小题20分，共100分）1.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值，目标函数是A.B.C.D.2.下列正确的目标规划的目标函数是 "A. max Z ＝d －+d +B. max Z ＝d －－d +C. min Z ＝d －+d +D. min Z ＝d －－d +3. 目标函数的含义是A. 首先第一和第二目标同时不低于目标值，然后第三目标不低于目标值B.第一、第二和第三目标同时不超过目标值C.第一和第二目标恰好达到目标值，第三目标不超过目标值D.首先第一和第二目标同时不超过目标值，然后第三目标不超过目标值4.目标规划)(m in 22211+--++=d d p d p Z )(m in 22211+-+++=d d p d p Z 11222min ()Z p d p d d +-+=+-11222min ()Z p d p d d --+=+-11223min ()Z p d d p d ---=++⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=-+=-+=-++=-+++++=+-+-+-+-+---+)4,,1(0,,,20506040)(min 21442331222111214332211 i d d x x d d x d d x d d x x d d x x d P d P d d p z i i －的满意解是A.（50，20）B.（40，0）C.（0，60）D.（50，10）5 下列线性规划与目标规划之间错误的关系是A.线性规划的目标函数由决策变量构成，目标规划的目标函数由偏差变量构成B.线性规划模型不包含目标约束，目标规划模型不包含系统约束C.线性规划求最优解，目标规划求满意解D.线性规划模型只有系统约束，目标规划模型可以有系统约束和目标约束E.线性规划求最大值或最小值，目标规划只求最小值五、运输问题（每小题10分，共100分）1.有6个产地7个销地的平衡运输问题模型的对偶模型具有特征A 有12个变量B 有42个约束 C. 有13个约束D．有13个基变量2.有5个产地4个销地的平衡运输问题A.有9个变量B.有9个基变量C. 有20个约束D．有8个基变量3.下列变量组是一个闭回路A.{x11,x12,x23,x34,x41,x13}B.{x21,x13,x34,x41,x12}C.{x12,x32,x33,x23,x21,x11}D.{x12,x22,x32,x33,x23,x21}4. m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件是A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路B.m+n－1个变量不包含任何闭回路C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关5.运输问题A.是线性规划问题B.不是线性规划问题C.可能存在无可行解D.可能无最优解6.下列结论正确的有A 运输问题的运价表第r行的每个c ij同时加上一个非零常数k，其最优调运方案不变B 运输问题的运价表第p列的每个c ij同时乘以一个非零常数k，其最优调运方案不变C.运输问题的运价表的所有c ij同时乘以一个非零常数k, 其最优调运方案变化D．不平衡运输问题不一定存在最优解7.下列说法正确的是A.若变量组B包含有闭回路，则B中的变量对应的列向量线性无关B.运输问题的对偶问题不一定存在最优解C. 平衡运输问题的对偶问题的变量非负D．第i行的位势u i是第i个对偶变量8. 运输问题的数学模型属于A.0-1规划模型B.整数规划模型C. 网络模型D.以上模型都是9.不满足匈牙利法的条件是A.问题求最小值B.效率矩阵的元素非负C.人数与工作数相等D.问题求最大值10.下列错误的结论是A.将指派（分配）问题的效率矩阵每行分别乘以一个非零数后最优解不变B.将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变C.将指派问题的效率矩阵每个元素同时乘以一个非零数后最优解不变D.指派问题的数学模型是整数规划模型PPT习题。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-运输问题(圣才出品)
需进行进一步调整。
利用闭回路法进行解的改进。
在初始方案表中以（丙，A）出发作一闭回路，利用闭回路进行调整，得到的结果如表
3-4 所示：
表 3-4
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
483Leabharlann M145 / 41
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乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
0
3
四、简答题 1．用表上作业法解运输问题时，在什么情况下会出现退化解?当出现退化解时如何处理? 答：当运输问题某部分产地的产量和，与某一部分销地的销量和相等时，在迭代过程中 间有可能在某个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行和一列，这时就出现了退化。 当出现退化时，为了使表上作业法的迭代工作能顺利进行下去，退化时应在同时划去的 一行或一列中的某个格中填入数字 0，表示这个格中的变量是取值为 0 的基变量，使迭代过 程中基变量个数恰好为（m+n-1）个。
采用最小元素法得初始调运方案如表 3-2 所示：（因为基格个数=7-1=6 个，故在一空
格中填入 0）
表 3-2
A
B
C
D
供应量
甲
7
6
48
3
M
14
乙
10 5
6
6
8
M
16
丙
3
50
8 15 7
15
4 / 41
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需求量
10
12
2．一个运输问题，如果其单位运价表的某一行元素分别加上一个常数，最优调运方案 是否发生变化，试说明理由(用表或直接用公式)；[武汉大学 2007 研]
(NEW)运筹学教材编写组《运筹学》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
线性规划问题的共同特征：
（1）每一个问题都用一组决策变量
表示某一方案，这组
决策变量的某一确定值就代表一个具体方案。一般这些变量的取值是非
负且连续的。
（2）存在有关的数据，如资源拥有量、消耗资源定额、创造新价值 量等，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组 线性等式或线性不等式来表示。
1.2 课后习题详解
本章无课后习题。
1.3 考研真题详解
本章只是对本课程的一个简单介绍，不是考试重点，所以基本上没 有学校的考研试题涉及到本章内容，因此，读者可以简单了解，不必作 为复习重点，本部分也就没有可选用的考研真题。Leabharlann 第2章 线性规划与目标规划
2.1 复习笔记
1．线性规划模型的概念及其一般形式
目 录
第1章 运筹学概论 1.1 复习笔记 1.2 课后习题详解 1.3 考研真题详解
第2章 线性规划与目标规划 2.1 复习笔记 2.2 课后习题详解 2.3 考研真题详解
第3章 对偶理论与灵敏度分析 3.1 复习笔记 3.2 课后习题详解 3.3 考研真题详解
第4章 运输问题 4.1 复习笔记 4.2 课后习题详解
2．线性规划问题的标准型及标准化 （1）线性规划的标准型
或
（2-4） （2-5） 线性规划的标准型要求：目标函数是Max型；约束条件是等式约 束；决策变量非负。 （2）线性规划的标准化方法
① 若要求目标函数实现最小化，即
，则只需将目标函数最
小化变换为求目标函数最大化，即令 ，于是得到
第13章 排队论
13.1 复习笔记 13.2 课后习题详解 13.3 考研真题详解 第14章 存储论 14.1 复习笔记 14.2 课后习题详解 14.3 考研真题详解 第15章 对策论基础 15.1 复习笔记 15.2 课后习题详解 15.3 考研真题详解 第16章 单目标决策 16.1 复习笔记 16.2 课后习题详解 16.3 考研真题详解 第17章 多目标决策 17.1 复习笔记
运筹学教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(整数规划)【圣才出品】
常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，这样的方法称为隐枚举法。
隐枚举法的基本思想是：在 2n 个可能的变量组合中，往往只有一部分是可行解。只要
发现某个变量组合不满足其中的某一约束条件，就不必要再去检验其他的约束条件是否可行。 若已发现一个可行解，则根据它的目标函数值可以产生一个过滤条件，对于目标函数值比它 差的变量组合就不必再去检验它的可行性（类似分支定界法中的定界。实际上，隐枚举法是 一种特殊的分支定界法）。在以后的求解过程中，每当发现比原来更好的可行解，则依次替 代原来的过滤条件（可减少运算次数，较快地发现最优解）。
3．割平面法 基本思想：先不考虑变量的取整数约束，求解相应的线性规划，然后不断增加线性约束 条件（即割平面），将原可行域割掉不含整数可行解的一部分，最终得到一个具有整数坐标 顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。割平面法的关键是切割方程的求 解。 切割方程的基本步骤：
（1）令 xi 是相应线性规划问题最优解中为分数值的一个基变量，由最终单纯形表得到
2．分支定界法 分支定界法的依据：整数规划的最优解不会优于相应的线性规划问题的最优解。 分支定界法步骤： （1）求解相应的线性规划问题的最优解和最优值。 ①若没有可行解，计算停止； ②若有满足整数条件的最优解，则已得到整数规划问题的最优解，计算停止；
③若有最优解，但不满足整数条件，记此最优值为原整数规划问题 Z* 的上界，然后，
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第 6 章 整数规划
6.1 复习笔记
1．整数规划的分类 （1）纯整数规划：要求所有的变量均为（非负）整数； （2）混合整数规划：只有部分变量限制为整数； （3）0-1 规划：变量的取值仅限于 0 或 1。 注意：由于整数规划对变量的整数限制，一般情况下，整数规划的最优解不会优于相应 线性规划的最优解。
运筹学教材编写组《运筹学》章节题库-线性规划与单纯形法(圣才出品)
约束条件应引入（ ）。[北京交通大学 2010 研]
A．可控变量
B．环境变量
C．人工变量
D．松弛变量
【答案】D
【解析】约束方程为“≥”不等式，则可在“≥”不等式左端减去一个非负剩余变量（也
可称松弛变量）。
2．单纯形法中，关于松弛变量和人工ห้องสมุดไป่ตู้量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学 2008 研]
A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】如果人工变量不为 0，则原问题无可行解。
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
6．若 X1，X2 分别是某一线性规划问题的最优解，则 X=λ1X1+λ2X2 也是该线性规划问 题的最优解，其中 λ1，λ2 为正实数。[南京航空航天大学 2011 研]
【答案】×
【解析】 1，2 不但应该是正实数，还应该满足 1+2 =1
7．如果线性规划问题有最优解，则它一定是基可行解。[东北财经大学 2008 研] 【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
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是
C
m n
个。[暨南大学
2011
研]
【答案】×
【解析】其基解的个数最多是
C
m n
个，且一般情况下，基可行解的数目小于基解的个数。
5．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。[南京航空航天大 学 2011 研]
【答案】C
【解析】当某些 σj＞0 时，xj 增加则目标函数值还可以增大，这时要将某个非基变量 xj
《运筹学》教材编写组《运筹学》笔记和课后习题(含考研真题)详解(运输问题)
第3章 运输问题3.1 复习笔记1．运输问题的数学模型运输问题：已知有m 个生产地点,1,2,,i A i m =…，可供应某种物资，其供应量（产量）分别为i a ，1,2,,i m =…，有n 个销地j B ，1,2,,j n =…，其需要量分别为j b ，1,2,,j n =…，从i A 到j B 运输单位物资的运价（单价）为ij c 。
如何安排运输，能使得总运输成本最小？（1）产销平衡运输问题的数学模型1111min ,1,2,,..,1,2,,0m nij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 模型特点：①该模型包含m n ⨯个变量，()m n +个约束方程；②该系数矩阵中对应于变量ij x 的系数向量ij P ，其分量中除第i 个和第m j +个为1外，其余的都为零。
即(01010)T ij i m j P e e +==+…………③对于产销平衡的运输问题，有以下关系式存在：111111n m n n m m j ij ij i j i j j i i b x x a ======⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 所以模型最多只有m+n-1个独立约束方程。
即系数矩阵的秩≤m+n -1。
注意：运输问题的基变量一定是m+n-1个，m+n-1个变量构成基变量的充要条件是它们不构成闭回路。
闭回路的特点：在运输产销平衡表中，每一条边都是水平或垂直的；每一行或每一列至多只有两个闭回路的顶点。
（2）产销不平衡运输问题的数学模型当产大于销，即11m n i j i j a b ==>∑∑时，运输问题的数学模型可写成：1111min ,1,2,,..,1,2,,0m n ij iji j mij j i nij i j ijz c x x b j n s t x a i mx =====⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑∑ 当产小于销，即11m n i j i j a b ==<∑∑时，运输问题的数学模型可写成：11min m n ij ij i j z c x ===∑∑11, (1,2,,), (1,2,,)0nij i j mij j i ij x a i m x b j n x ==⎧==⎪⎪⎪≤=⎨⎪⎪≥⎪⎩∑∑……2．表上作业法表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法。
运筹学-第4章--整数规划习题
第四章 整数规划４.1 某工厂生产甲、乙两种设备,已知生产这两种设备需要消耗材料A 、材料B,有关数据如下,问这两种设备各生产多少使工厂利润最大？(只建模不求解）解:设生产甲、乙这两种设备的数量分别为x １、x 2,由于是设备台数,则其变量都要求为整数,建立模型如下:2123max x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x４．2 2197max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s 割平面法求解。
(下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得:27221227432=++x x x ﻩ④ 将系数和常数项分解成整数和非负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得:①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x 只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4-4由ｘ1行得:7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和非负真分数之和:74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，用对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优目标函数值为z *=55。
4．3 m ａx z =４ｘ1+３x 2+2x ３⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s 隐枚举法解：(１）先用试探的方法找出一个初始可行解,如x 1=ｘ２＝０,x 3＝1。
满足约束条件，选其作为初始可行解，目标函数z 0=2。
16993-运筹学-习题答案选03_整数规划
运筹学教程（胡运权主编，清华第4版）部分习题答案（第五章）5.1设长度为a j的毛坯截取x j根，则min z = L - ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n即max z’ = ∑j=1,2,...,n a j x js.t. ∑j=1,2,...,n a j x j≤ Lx j ≥ 0, integer, j = 1, 2, …, n5.2设x j = 1, 当第j队员上场；x j = 0, 当第j队员不上场，则max z = 1.92x1 + 1.90x2 + 1.88x3 + 1.86x4 + 1.85x5 + 1.83x6 + 1.80x7 + 1.78x8s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8= 5x1 + x2 = 1x6 + x7 + x8 ≥ 1x6 ≤ 2 – (x1 + x4)x2 + x8 ≤ 1x j ={0 or 1}, j = 1, 2, …, 85.3max z = ∑i=1,2,...,m c i x is.t. ∑i=1,2,...,m a i x i≤ a∑i=1,2,...,m b i x i≤ bx i = 0 or 1, i = 1, 2, …, m5.4(1) x* = (3, 1); z* = 7(2) x* = (0, 9); z* = 95.5(1) 无可行解(2) x* = (1, 0, 0); z* = 25.6设x j = 1, 当消防站j不关闭；x j = 0, 当消防站j关闭min w = x1 + x2 + x3 + x4s.t. x1 + x2≥ 1 （区域1有消防站负责）x1 + x2≥ 1 （区域2有消防站负责）x1 ≥ 1 （区域3有消防站负责）x1 + x3≥ 1 （区域4有消防站负责）x3≥ 1 （区域5有消防站负责）x1 + x3 + x4≥ 1 （区域6有消防站负责）x1 + x4≥ 1 （区域7有消防站负责）x1 + x2 + x4≥ 1 （区域8有消防站负责）x2 + x4≥ 1 （区域9有消防站负责）x4≥ 1 （区域10有消防站负责）x3 + x4≥ 1 （区域11有消防站负责）x1, x2, x3, x4 = 0 或1最优解：x* = (1, 0, 1, 1); z* = 35.7设y i = 0，当条件i被选；y i = 1，当条件i不选∑j=1,2,…n a ij x j ≥ b i - My i, ( i = 1, 2, …, p)∑i=1,2,...,p y i = p - q5.11(1) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1(2) 令x = 0x0 +1x1 + 4x2 + 6x3; x j = 0 or 1; x0 + x1 + x2 +x3 = 1。
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max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 + x3 = 14
s.t.
2x1x,1x+2 ,xx23
+ x4 = 9 , x4 0
x1, x2为整数
先不考虑上述模型中的整数约束，利用单纯形法进行求解，如表 6-2 所示：
表 6-2
此时的最优解为 X * = (13 / 4,5 / 2, 0, 0)T ，最优目标值 Z* = 59 / 4 。 对该最优解进行凑整，当凑整为 X (1) = (3, 2, 0, 0)T 时，为可行解，z＝13；当凑整为 X (2) = (4,3, 0, 0)T ， X (3) = (4, 2, 0, 0)T ， X (4) = (3,3, 0, 0)T 时均为非可行解。
题：
B3： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
s.t.
2 0
x1
+ x2 x1
3
9
0 x2 2
求得 B3 的最优解 x1 = 3, x2 = 2, z1 =13 z 。
B4： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
于是得到 0 z* 44 / 3 ，再将 B1 分解成两个子问题：
B3： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
3
16.5
0 x2 2
求得 B3 的最优解为 (3, 2,5 / 2,5 / 2, 0, 0)T ，max z3 =13。
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求得 B1 的最优解 x1 = 4, x2 =1, z1 =14 。
B2： max z=3x1 + 2x2 2x1 + 3x2 14
s.t.2x1x1+3x2 9 x1, x2 0
求得 B2 的最优解 x1 = 3, x2 = 8 / 3, z2 = 43/ 3 。 B1 已求得整数解，则可取 z = z1 =14 ，故14 z* 43 / 3 ，继续将 B2 分解为两个子问
B3 已求得整数解，则可取为 z = z3 =13 ，故13 z* 57 / 4 ，对于 B2 而言，继续分解
已无意义，可舍去。继续将 B4 分解为两个子问题：
B5 无可行解，舍去。
B5： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
04
x1
+ x2 x1
3
16.5
表 6-1
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此时的最优解为 X * = (7 / 2,5 / 2, 0, 0)T ，最优目标值 Z* = 31/ 2 。 对该最优解进行凑整，当凑整为 X (1) = (3, 2, 0, 0)T 时，为可行解， z =13 ；当凑整为 X (2) = (4,3, 0, 0)T ， X (3) = (4, 2, 0, 0)T ， X (4) = (3,3, 0, 0)T 时均为非可行解。
B4： max z=3x1 + 2x2
2 / 21
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2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
3
16.5
x2 3
求得 B4 的最优解为 (11/ 4,3,0,5 / 2,1/ 4,0,0)T ，max z4 = 57 / 4 。
求得 B1的最优解 (3,17 / 6,0,5 / 3,0)T ，max z1 = 44 / 3 。
B2： max z=3x1 + 2x2
s.t.
2 4
x1 x1
+ +
3x2 14.5 x2 16.5
x1 4, x2 0
求得 B2 的最优解为 B2 (4,1/ 2,5, 0, 0)T ，max z2 =13。
x2 3
x1 3
B6： max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4 0
x1
+ x2 x1
2
16.5
x2 3
求得 B6 的最优解 (2, 7 / 2, 0,5, 0,1/ 2, 0)T ， z6 =13。
所以，得到最优解 x1 = 3, x2 = 2，与用舍去法得到的最优解一致。所以，用先解相应的
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第 6 章 整数规划
6.1 对下列整数规划问题，问用先解相应的线性规划然后凑整的办法能否得到最优整
数解?
（1） max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14.5
s.t.
4x1 + x1, x2
x2 0
16.5
用分支定界法进一步求解此整数规划。
记 z = 59 / 4 ，因为 X = (0, 0, 0, 0)T 为可行解，所以 0 z* 59 / 4 。将原问题分解为两
个子问题：
B1： max z=3x1 + 2x2 2x1 + 3x2 14
s.t.2x2x1+4x2 9 x1, x2 0
4 / 21
x1, x2为整数
解：在该线性规划问题的约束条件中分别加入松弛变43; 2x2
2x1 + 3x2 + x3 = 14.5
s.t.
4x1x,1x+2 ,xx23
+ x4 = 16.5 , x4 0
x1, x2为整数
先不考虑上述模型中的整数约束，利用单纯形法进行求解，如表 6-1 所示：
用分支定界法进一步求解此整数规划。
记 z = 31/ 2 ，因为 X = (0, 0, 0, 0)T 为可行解，所以 0 z* 31/ 2 。将原问题分解为两
个子问题：
B1： max z=3x1 + 2x2
s.t.
42xx11
+ +
3x2 14.5 x2 16.5
0 x1 3, x2 0
线性规划然后凑整的办法能得到最优整数解。
（2） max z=3x1 + 2x2
2x1 + 3x2 14
s.t.
2x1x,1x+2
x2 0
9
x1, x2为整数
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解：在该线性规划问题的约束条件中分别加入松弛变量 x3, x4 ，并化为标准型