运筹学第2讲 线性规划1
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无可行解，故无最优解。
如果在例1的数学模型中 增加一个约束条件:
- 2 x1 + x2>=4 可行域的交集为空集，故 无可行解。
图解法
注： 当线性规划问题的可行域非空时，它是有界的或无 界的凸多边形； 若线性规划问题存在最优解，则一定在有界可行域 的某个顶点得到； 若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任 意一点都是最优解，即有无穷多个最优解。
无穷大(无穷小)，实际上这类问题无最优解；
max z x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x ,x 0 1 2
在目标函数等值线向右上方移动的 过程中，上端无边界，取不到最大 值，即无界解。
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
- 无可行解：当存在矛盾的约束条件时，可行域为空集
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
目标函数： max
(min)
z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
约束条件：
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
线性规划
例1.1 下料问题 如图所示，如何截取x使铁皮所围 成的容积最大？
v a 2 x x
2
x a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
线性规划模型的形式
对于含有两个决策变量的线性规划模型，可以利用 图解法(Graph Method)求解。 图解法是解线性规划的一种简便、直观的方法，对 于理解线性规划的基本概念和基本原理也是很有帮助 的。 定义： 可行解：满足所有约束条件的向量称为线性规划问 题的可行解。 可行域：全体可行解的集合称为线性规划问题的可 行域。 最优解：使目标函数达到最优值的可行解，称为线 性规划的最优解。
图解法
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式
（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点：
(1) 可行解区域要画正确
(2) 目标函数增加的方向不能画错
(3) 目标函数的直线怎样平行移动
数学规划模型的标准形式
以下形式的线性规划模型称为标准形(M1)：
目标函数：
max z = 2 x1 + 3 x2
线性规划
因此该问题的数学模型为：
设生产甲产品 x1 个单位、生产乙产品 x2 个单位: 目标函数: max z = 2 x1 + 3 x2 约束条件: x1 +2x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 ，x2 ≥0 这种模型实际上是一种约束限制下的最优线性数学 模型， 称为线性规划。
右端常数 项bi ≥ 0 均为非负 决策变量
数学规划模型的标准形式
线性规划的标准形式有如下四个要求： 目标最大化
约束方程为等式
决策变量为非负 右端项为非负
数学规划模型的标准形式
线性规划问题的几种表示形式：
M1 ’ :
max Z
c
j 1
n
j
xj (i 1 2 m) (j 1 2 n)
a
j 1
n
ij
x j bi
xj 0
M1’’(向量表示):
max z CX pjxj B X 0
数学规划模型的标准形式
线性规划问题的几种表示形式：
M1’’’:
max Z CX AX B X 0
数学规划模型的标准形式
化线性规划标准型的方法：
线性规划
如何用数学关系式描述这个问题？
step1 设x1 ，x2 分别表示计划生产 I，II 产品的数量， 称它们为决策变量。 step2 生产x1 ，x2 的多少，受到资源拥有量的限制，即 存在约束条件。 x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4x2 ≤12 生产的产品不能是负值： x1 ，x2 ≥ 0。 step3 如何安排生产，使得利润最大，这是目标函数。
其中：
C (c1 c 2 c n )
a11 a1n A a m 1 a mn
b1 x1 X B xn bm
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
此问题的线性规划模型： 目标函数：min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件：s.t. x1 0.8x1 + x1 ≥1 x2 ≥1.6 ≤2 x2 ≤1.4 x1 , x2 ≥ 0
线性规划 线性规划的数学模型由三个要素构成：
决策变量
目标函数 约束条件
Decision variables
图解法
考察目标函数： max z = 2 x1 + 3 x2 将目标函数化为点斜式坐标：
来自百度文库
x2=-(2/3) x1 +z/3
最优解
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
由于在同一条直线上的 所有点的目标函数取同 样的值，故称为等值线。
图解法
解联立方程组:
x1 + 2x2 = 8
- 有唯一的最优解；
- 存在无穷多最优解(多重最优解)；
目标函数 max z=2 x1 +4 x2 其最优解为线段Q2Q3上的 所有点，即{(x1 , x2)T| x1 +2 x2=8，2 ≤ x1 ≤4}
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
- 无界解：可行域无边界，目标函数值可增大(减小)到
Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性 不等式或等式。
线性规划
(1) 每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 , x2 , xn 表示 某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案，一 般这些变量取值是非负且连续的； (2) 存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束 条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式 来表示； (3) 存在一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有 关的价值系数构成的的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
图解法
采用图解法求解例题1.1：
max z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
可行域
例1.1中，所有约束条件作为半平面所围成的范围 如图中阴影部分所示。阴影部分中的每一个点(包 括边界点)都是这个线性规划问题的可行解。
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件： s. t. 均为 求最 大值 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 均为等 式约束
……
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn= bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0.
化目标函数等值线：对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然
后确定不等式所决定的半平面。 若各半平面交出来的公共区域存在，显然，其中
的点满足所有的约束条件，称这样的点为此线性规划的可行解，全体可行解的集
合称为可行集或可行域。若这样的公共区域不存在，则该线性规划问题无可行解。
找最优解：任意给定目标函数一个确定的值，作出对应的目标函数等值线，并确
4x1 = 16
得最优解为：
记为:
x1 = 4， x2 = 2，
(x1 , x2)T =(4，2)T或者
最优目标值为：
z = 14。
以上最优解和最优值说明该厂的最优生产计划方案是：生产4
件产品I，生产2件产品II，可得到最大利润为14元。
图解法
用图解法求解线性规划的基本步骤：
画可行域：分别取决策变量 x1 ，x2 为坐标向量建立直角坐标系。
定该族等值线平行移动时目标函数值增加的方向。然后平移目标函数的等值线， 使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置(有时交于无穷远处，此时 称无有限最优解）。此时，目标函数等值线与可行域的交点即此线性规划的最优 解（一个或多个），此目标函数的值即最优值。
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
简写为：
max (min) Z
c
j 1
n
j
xj (i 1 2 m) (j 1 2 n)
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
xj 0
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
矩阵形式：
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
a x 6
线性规划 例1.2 生产计划问题 某工厂在计划期内要安排生 产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备 台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示。
I 设 备 1 II 2 资源限制 8台时
原料A
原料B 单位产品利润
4
0 2元
0
4 3元
16千克
12千克
问题:工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使 工厂获利最多？
线性规划
现在问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少 工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
建模型之前的分析和计算：
设：第一化工厂每天处理工业污水量为x1 万立方米，第 二化工厂每天处理工业污水量为x2 万立方米。
经第二工厂前的水质要求： (2 x ) 2 1 500 1000 经第二工厂后的水质要求： [0.8(2 x ) (1.4 x )] 1 2 2 700 1000
（Operations Research）
上海海事大学
任课教师：邓 伟 邮 箱：dengwei1663@sina.com.cn
运
筹
学
线性规划
线性规划(Linear Programming)是运筹学的一个重 要分支。 线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广 泛与深入。它已是现代科学管理的重要手段之一。 线性规划最常用的求解方法—— 单纯形法(Simplex Method) 由丹捷格(G B Dantzig)提出(1947年)。
线性规划
例1.3 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
线性规划
假设：
1.第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2 万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立 方米。 2.从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水 的含量应不大于0.2%。 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工 厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第二化 工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。
向量形式：
max (min) z CX p j x j ( ) B X 0
其中：
C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
a1 j Pj a mj
b1 B bm
线性规划
本章主要内容 线性规划的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论 线性模型的应用、编程及软件实现
线性规划
规划问题：
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这 就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： 当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排， 用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时 间等）去完成确定的任务或目标。
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变
如果在例1的数学模型中 增加一个约束条件:
- 2 x1 + x2>=4 可行域的交集为空集，故 无可行解。
图解法
注： 当线性规划问题的可行域非空时，它是有界的或无 界的凸多边形； 若线性规划问题存在最优解，则一定在有界可行域 的某个顶点得到； 若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任 意一点都是最优解，即有无穷多个最优解。
无穷大(无穷小)，实际上这类问题无最优解；
max z x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 2 x ,x 0 1 2
在目标函数等值线向右上方移动的 过程中，上端无边界，取不到最大 值，即无界解。
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
- 无可行解：当存在矛盾的约束条件时，可行域为空集
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
目标函数： max
(min)
z c1 x1 c2 x2 cn xn
s.t.
约束条件：
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1 am1 x1 am 2 x2 amn xn ( ) bm x1 0 xn 0
在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
线性规划
例1.1 下料问题 如图所示，如何截取x使铁皮所围 成的容积最大？
v a 2 x x
2
x a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
线性规划模型的形式
对于含有两个决策变量的线性规划模型，可以利用 图解法(Graph Method)求解。 图解法是解线性规划的一种简便、直观的方法，对 于理解线性规划的基本概念和基本原理也是很有帮助 的。 定义： 可行解：满足所有约束条件的向量称为线性规划问 题的可行解。 可行域：全体可行解的集合称为线性规划问题的可 行域。 最优解：使目标函数达到最优值的可行解，称为线 性规划的最优解。
图解法
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式
（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点：
(1) 可行解区域要画正确
(2) 目标函数增加的方向不能画错
(3) 目标函数的直线怎样平行移动
数学规划模型的标准形式
以下形式的线性规划模型称为标准形(M1)：
目标函数：
max z = 2 x1 + 3 x2
线性规划
因此该问题的数学模型为：
设生产甲产品 x1 个单位、生产乙产品 x2 个单位: 目标函数: max z = 2 x1 + 3 x2 约束条件: x1 +2x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 ，x2 ≥0 这种模型实际上是一种约束限制下的最优线性数学 模型， 称为线性规划。
右端常数 项bi ≥ 0 均为非负 决策变量
数学规划模型的标准形式
线性规划的标准形式有如下四个要求： 目标最大化
约束方程为等式
决策变量为非负 右端项为非负
数学规划模型的标准形式
线性规划问题的几种表示形式：
M1 ’ :
max Z
c
j 1
n
j
xj (i 1 2 m) (j 1 2 n)
a
j 1
n
ij
x j bi
xj 0
M1’’(向量表示):
max z CX pjxj B X 0
数学规划模型的标准形式
线性规划问题的几种表示形式：
M1’’’:
max Z CX AX B X 0
数学规划模型的标准形式
化线性规划标准型的方法：
线性规划
如何用数学关系式描述这个问题？
step1 设x1 ，x2 分别表示计划生产 I，II 产品的数量， 称它们为决策变量。 step2 生产x1 ，x2 的多少，受到资源拥有量的限制，即 存在约束条件。 x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4x2 ≤12 生产的产品不能是负值： x1 ，x2 ≥ 0。 step3 如何安排生产，使得利润最大，这是目标函数。
其中：
C (c1 c 2 c n )
a11 a1n A a m 1 a mn
b1 x1 X B xn bm
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
此问题的线性规划模型： 目标函数：min z = 1000 x1 + 800 x2 约束条件：s.t. x1 0.8x1 + x1 ≥1 x2 ≥1.6 ≤2 x2 ≤1.4 x1 , x2 ≥ 0
线性规划 线性规划的数学模型由三个要素构成：
决策变量
目标函数 约束条件
Decision variables
图解法
考察目标函数： max z = 2 x1 + 3 x2 将目标函数化为点斜式坐标：
来自百度文库
x2=-(2/3) x1 +z/3
最优解
2 z x2 x1 3 3 表示一簇平行线
由于在同一条直线上的 所有点的目标函数取同 样的值，故称为等值线。
图解法
解联立方程组:
x1 + 2x2 = 8
- 有唯一的最优解；
- 存在无穷多最优解(多重最优解)；
目标函数 max z=2 x1 +4 x2 其最优解为线段Q2Q3上的 所有点，即{(x1 , x2)T| x1 +2 x2=8，2 ≤ x1 ≤4}
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
- 无界解：可行域无边界，目标函数值可增大(减小)到
Objective function Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
其特征是：
（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性 不等式或等式。
线性规划
(1) 每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 , x2 , xn 表示 某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案，一 般这些变量取值是非负且连续的； (2) 存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束 条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式 来表示； (3) 存在一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有 关的价值系数构成的的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
图解法
采用图解法求解例题1.1：
max z 2 x1 3 x2 x1 2 x2 2 4x 16 1 4 x2 12 x1 , x2 0
可行域
例1.1中，所有约束条件作为半平面所围成的范围 如图中阴影部分所示。阴影部分中的每一个点(包 括边界点)都是这个线性规划问题的可行解。
max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn 约束条件： s. t. 均为 求最 大值 a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 均为等 式约束
……
……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn= bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0.
化目标函数等值线：对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然
后确定不等式所决定的半平面。 若各半平面交出来的公共区域存在，显然，其中
的点满足所有的约束条件，称这样的点为此线性规划的可行解，全体可行解的集
合称为可行集或可行域。若这样的公共区域不存在，则该线性规划问题无可行解。
找最优解：任意给定目标函数一个确定的值，作出对应的目标函数等值线，并确
4x1 = 16
得最优解为：
记为:
x1 = 4， x2 = 2，
(x1 , x2)T =(4，2)T或者
最优目标值为：
z = 14。
以上最优解和最优值说明该厂的最优生产计划方案是：生产4
件产品I，生产2件产品II，可得到最大利润为14元。
图解法
用图解法求解线性规划的基本步骤：
画可行域：分别取决策变量 x1 ，x2 为坐标向量建立直角坐标系。
定该族等值线平行移动时目标函数值增加的方向。然后平移目标函数的等值线， 使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置(有时交于无穷远处，此时 称无有限最优解）。此时，目标函数等值线与可行域的交点即此线性规划的最优 解（一个或多个），此目标函数的值即最优值。
图解法
线性规划问题的解可能出现的几种情况：
简写为：
max (min) Z
c
j 1
n
j
xj (i 1 2 m) (j 1 2 n)
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
xj 0
线性规划模型的形式 数学规划的一般形式：
矩阵形式：
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
a x 6
线性规划 例1.2 生产计划问题 某工厂在计划期内要安排生 产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备 台时及A、B两种原材料的消耗，如下表所示。
I 设 备 1 II 2 资源限制 8台时
原料A
原料B 单位产品利润
4
0 2元
0
4 3元
16千克
12千克
问题:工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使 工厂获利最多？
线性规划
现在问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少 工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水费用最小。
建模型之前的分析和计算：
设：第一化工厂每天处理工业污水量为x1 万立方米，第 二化工厂每天处理工业污水量为x2 万立方米。
经第二工厂前的水质要求： (2 x ) 2 1 500 1000 经第二工厂后的水质要求： [0.8(2 x ) (1.4 x )] 1 2 2 700 1000
（Operations Research）
上海海事大学
任课教师：邓 伟 邮 箱：dengwei1663@sina.com.cn
运
筹
学
线性规划
线性规划(Linear Programming)是运筹学的一个重 要分支。 线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广 泛与深入。它已是现代科学管理的重要手段之一。 线性规划最常用的求解方法—— 单纯形法(Simplex Method) 由丹捷格(G B Dantzig)提出(1947年)。
线性规划
例1.3 简化的环境保护问题 靠近某河流有两个化工厂， 流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米，在两 个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
线性规划
假设：
1.第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2 万立方米，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万立 方米。 2.从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前， 有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水 的含量应不大于0.2%。 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工 厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米。第二化 工厂处理工业污水的成本是800元/万立方米。
向量形式：
max (min) z CX p j x j ( ) B X 0
其中：
C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
a1 j Pj a mj
b1 B bm
线性规划
本章主要内容 线性规划的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论 线性模型的应用、编程及软件实现
线性规划
规划问题：
生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这 就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： 当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排， 用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时 间等）去完成确定的任务或目标。
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可以通过以下变