25.2 旋转变换
第二讲 旋转变换
旋转变换【中考要求】1．基本要求通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形2．略高要求能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角3．较高要求能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实际问题【知识点讲解】1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心．2．旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和方向.3．旋转的性质：（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；（4）旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.4．简单图形的旋转作图：（1）确定旋转中心；（2）确定图形中的关键点；（3）将关键点沿指定的方向旋转指定的角度；（4）连结各点，得到原图形旋转后的图形.5．旋转对称图形：一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转中心.正n边形都是旋转对称图形,其旋转中心是它们的中心,旋转角为360n.圆的旋转角是任意角度.6．中心对称图形：当旋转角为180°时,旋转对称图形是一个中心对称图形,所以中心对称图形是旋转对称图形的特例.【重点与难点】重点：（1）掌握旋转的概念及相关的对应点、对应线段、旋转中心、旋转角度等概念（2）掌握旋转对称图形、中心对称图形的概念及性质难点：（1）图形旋转中相关概念、性质的灵活运用（2）旋转对称图形中的旋转角的确定、求法（3）学生抽象思维能力的培养【例题讲解】1、如下图所示，在图甲中，Rt △OAB 绕其直角顶点O 每次旋转90˚，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC 绕O 点每次旋转120˚，旋转二次得到右边的图形．下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( )答案：D2（深圳）、图所列图形中是中心对称图形的为（ ）A B C D答案：C3、如图1，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 左0︒~90︒的旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 关系的图象大致是（ ）答案：C4、（浙江金华）如图2是跷跷板的示意图，支柱ＯＣ与地面垂直，点Ｏ是横板ＡＢ的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠ＯＡＣ＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ’OA）是（ ）A ．B ．C ．Ｄ．(C11 图1Ａ、80° Ｂ、60° Ｃ、40° Ｄ、20°答案：C5（厦门）、已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0）、A （－1，1）、B （－1，0），将△ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135°，则点A 、B 的对应点A 1、B 1的坐标分别是A 1（ ， ） ，B 1( ， ) .答案：A 1 (2，0)， B 1(22，22)6、如图3，将边长为2cm 的两个互相重合的正方形纸片按住其中一个不动，另一张绕点B顺时针旋转一个角度，若使重叠部分的面积为23，则这个旋转角度为________度．答案：307、（绵阳）. 分析图4①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图4③中画出其中的阴影部分.答案：8(黑龙江)、如图5网格中有一个四边形和两个三角形.(1) 请你画出三个图形关于点O 的中心对称图形;(2) 将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数; 这个整体图形至少旋转多少度与自身重合图2图39、四边形ABCD 中，∠=∠=︒===A C CD CB AD AB 9013，，，。
3旋转变换、投影变换、切变变换036
课题：旋转变换、投影变换、切变变换【教学目标】1． 理解旋转变换、投影变换、切变变换的几何意义及其矩阵表示； 2． 进一步理解矩阵与变换的关系； 3． 巩固二阶矩阵与向量的乘法。
【教学过程】一．旋转变换及旋转变换矩阵将一个图形F 绕某个定点O 旋转角度θ所得图形F ’的变换称为旋转变换，其中点O 称为旋转中心，角度θ称为旋转角。
以原点为旋转中心，按逆时针方向旋转θ角的旋转变换矩阵为cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；以原点为旋转中心，按顺时针方向旋转θ角的旋转变换矩阵为cos sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦。
(两者是统一的) 二．投影变换及投影变换矩阵将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换。
投影到x 轴的投影变换矩阵为1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦；投影到y 轴的投影变换矩阵为0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦；竖直方向投影到直线y ＝x 的投影变换矩阵为1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦；水平方向投影到直线y ＝x 的投影变换矩阵为0101⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
一般地，将点P(x,y)沿竖直方向投影到直线y ＝kx(k ≠0)的变换为x x T y kx ⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应矩阵为100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；将点P(x,y)沿水平方向投影到直线y ＝kx(k ≠0)的变换为1x y T k y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应矩阵为1001k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
三．切变变换及切变变换矩阵保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换。
沿x 轴方向的比例系数为k 的切变变换为x x ky T y y +⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，其对应的矩阵为101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；沿y 轴方向的比例系数为k 的切变变换为x x T y y kx ⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦：，其对应的矩阵为101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
【例题选讲】例1 求点A ()1,1绕原点按照逆时针方向旋转300后所得点的坐标。
数学：25.2《旋转变换》课件(北京课改版九年级下)
C B B′ D′ A D
C′
探究活动
如图：能通过旋转变换由图形A得到图形B吗？如果用 两种变换呢？比如旋转变换和轴对称变幻，旋转变换 和平移变换等。请说出能将图形A变换到B的一个（或 一组）变换。如果将牌“红心3”换成“方块8”呢？用 扑克牌试一试。
A
B
1、相同：都是一种运动；运动前 后不改变图形的形状和大小 2、不同
B C D A
O
例3 ：当汽车在雨天行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前
方挡风玻璃上的雨刷器。如图是一个雨刷器的示意图，雨刷器杆 AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕点A转动90° 时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动 情况，量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是 11.5cm、35cm，他经过思考只选用了其中的部分数据就求得了结 果。你知道小明是怎样计算的吗？
轴对称 形状 不变 大小 不变 方向 改变
平移
旋转
不变
不变
不变
不变
不变
改变
如下图，在方格纸上作出“小旗子” 绕 O点按顺时针方向旋转90º 后的图案， 并简述理由。
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想到被壹个天五境の宗王给算计了,这诡异の毒素她还-有些轻敌了."啊..."冰层之中,壹个老头子,脸上全-鲜血の爬了起来,抬头看着那道银光,咬着牙大骂道："臭娘们尔!竟然还有这样の大招,你休想逃!"他知道自己这种毒の厉害,怕就-女准圣也扛不住,更别提她还只-壹位年轻の上宗王 了."你-咱の!"壹想到姑素纤纤那丰腴至极の身子,那绝美の容颜,老头子就像打了鸡血壹般,都顾不得身上の血,还有受伤の胳膊,立即又追了上去."不行...&#
北京课改版九年级数学下册25.2旋转变换公开课优质教案(1)
课题：旋转变换教材：北京市义务教育课程改革实验教材九年级下册第25章第2节教学目标：1．使学生通过具体实例认识旋转变换，理解旋转变换的概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.2．使学生经历对旋转图形的欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图的操作技能；通过多角度地认识旋转图形的形成过程，培养学生的发散思维能力．3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用，使学生发现旋转变换所蕴含的美，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：旋转变换的概念和基本性质，按要求作出简单平面图形旋转后的图形．教学难点：探索旋转变换的基本性质．教学方法：启发讲授，小组讨论，合作探究．教学手段：常规教学用具，计算机及课件．教学过程：教师向学生说明：在生活中，我们经常见到钟表的指针、电风扇的扇叶、车轮等，在它们的转动过程中，就包含着我们今天要学习的数学知识问题1：这些旋转现象有共同的特点吗？学生先独立思考，然后与同桌进行交流，教师适时安排课件的动画演示，引导学生观察生活中的旋转现象，抽象出数学图形的旋转变换的特点.学生回答问题后，教师引导其他学生修改、补充，总结出这些旋转现象的共同特点是“一个图形沿某个方向绕定点转动”.问题2：你能尝试叙述一下“旋转变换”的概念吗?引导学生类比“平移变换”的概念进行思考，在学生回答的基础上，修改、补充，达成共识后教师进行板书．（板书）在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新的图形，这样的图形运动称为旋转变换，简称旋转．问题3：你认为在旋转变换的概念中，哪些是关键的字词？学生独立思考后进行回答，在其他学生补充后，教师指出：旋转变换的概念中三个重要的关键词----定点、方向、角度是影响旋转的重要因素，并结合多媒体课件演示介绍和旋转变换有关的知识：定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角．如果图形上的点A经过旋转到点A′，那么这两个点叫做旋转的对应点．问题4：钟表的指针在转动过程中，其形状、大小是否发生改变？电风扇扇叶的转动呢？学生就问题自由发言，发表自己的看法，最后达成共识．教师结合学生的发言指出：“旋转不改变图形的形状和大小”是对概念的进一步理解和认识，并进行板书.2．探究旋转的性质教师先用多媒体课件演示一个图形的旋转过程， 请学生观察后进行思考．观 察如图1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上一点，△ABD 经过旋转后到达△ACE 的位置． 图11，总结出旋转现象的特点.通过解决问题2，抽象出旋转变换的概念.通过解决问题3，抓住旋转变换概念中的关键词，认识旋转变换概念的本质．通过解决问题4，进一步理解和认识了旋转变换概念的内涵.思 考（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（2）如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 旋转到了什么位置？ （3）请写出图中所有的旋转的对应点． 请学生利用教师提供的教具----三角形纸板，在实物投影上一边演示操作一边回答问题，其他同学给予补充．学生明确了此图形中的“旋转中心、旋转角度和旋转的对应点”后，教师安排学生进行动手测量．测 量（1）每组对应点与旋转中心连线所成的角的度数. （2）每组对应点与旋转中心所连线段的长度. 你有什么发现吗？学生拿到下发的图形（图1），以小组为单位进行动手测量，并由各小组的代表进行汇报，师生共同总结得出：每组对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，每组对应点到旋转中心的距离相等．师生达成共识后，教师继续引导学生思考：是否可以将这个结论推广到一般情况呢？学生和教师一起借助课件的演示进行观察、分析和验证.推 广（几何画板课件的演示）如图，△ABC 绕某一点O 旋转一定角度后到达△A′B′C′的位置．①观察图中对应点与旋转中心所连线段的长度的关系，每组对应点与旋转中心连线所成的角度的关系，上述结论是否成立？② 改变点O 的位置，再对△ABC 作旋转变换，上述结论是否仍然成立？在学生回答问题的基础上，教师引导学生对以上结论进行归纳.归 纳旋转的性质：任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是“探究旋转的性质”是本节课的难点，采用“观察—思考—测量—推广—归纳”的模式展开教学，引导学生深层次的参与知识的形成过程，加深对旋转性质的理解．学生通过观察、分析和验证，经历从特殊到一般的认识过程，在丰富的活动中培养学生的思维能力.旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．A BCE DA三、应用知识，培养能力[例1] 如图2，△ACB 与△ADE 是两个全等的等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，△ACB 以某个点为旋转中心，逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合.（1）请指出其旋转中心与旋转角度； （2）如果再将图2作为“基本图形”绕着A 点顺时针连续旋转组合得到图3，那么图3是图2通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？ 图2学生在独立思考后发言、讨论，教师再通过激励性评价明确正误. 最后教师用动画把图3补充成一个漂亮的风车(图4)，用这个实例说明旋转与现实生活联系紧密，许多美丽的图案可以由旋转设计而成． 答案：（1）旋转中心是点A ，旋转角度是45°；（2）图3是图2绕着A 点顺时针通过3次旋转组合得到的，旋转角度分别为90°、180°、270°．图3 图4[例2] 请按照题目要求完成作图.（1）如图5，画出△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后的图形．分析：假设点B 、A 的对应点为B ′、A ′，则∠BCB ′、∠ACA ′都是旋转角，且∠ACA ′=∠BCB ′=90°，CB ′=CB ，CA ′=CA ．图5 图6 答案：见图6．（2）如图7，△ABC 绕点C 顺时针旋转后，点B 的对应点为点B ′．试确定通过例1的讲解，使学生巩固旋转的概念，并体会旋转与现实生活的紧密联系.通过例2的教学，使学生在动手画图的过程中，理解旋转的性质，掌握有关画图的操作步骤，认识旋转图形的形成过程.第（1）小题的设计目的是使学生会按题目给出的旋转方向、旋转角度画出旋转后的三角形.点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′=90°，CB′=CB，CA′=CA．图7 图8答案：见图8．（3）如右图，△ABC绕点C顺时针旋转后，B的对应点为点B′．试确定点A的对应点的位置，并画出旋转后的三角形．分析：假设点A的对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．解：①联结CB′；②以AC为一边作∠ACF，使∠ACF=∠BCB′；③在射线CF上截取CA′= CA；④联结B′A′．右下图中的△A′B′C就是△ABC绕点C按顺时针旋转后的图形．要求学生先独立画出图形再进行小组交流，并请学生利用实物投影叙述作图过程.然后请学生结合例2进行小结：如何按要求作出简单平面图形旋转后的图形？在学生交流的基础上，教师进行评价，师生达成共识：按题目要求找到旋转中心、旋转方向、旋转角度和对应点是作图的关键.[拓展练习] 如图9，点O是六个正三角形的公共顶点，这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得到的？请同学们以小组为单位进行探究，看哪个小组得到的方案最多？第（2）小题是在第（1）小题的基础上，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形.第（3）小题是在第（2）题的基础上，当旋转角不再是特殊角、同时没有网格背景时，使学生能根据题目给出的一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后的三角形．“拓展练习”是一道开放性练习，通过这道题的分析和讲解，让学生多角度地认识旋转图形的形成过程，同图9在小组讨论的基础上，请学生展示各种方案：（1）图10和图11是分别以“等边三角形”、“折线”为基本图形，以点O 为旋转中心顺时针旋转5次组合得到的，旋转角度分别为 60°、120°、180°、240°、300°．图 10 图 11（2）图12和图13是分别以“一个内角为60°的菱形”、“一个底角为60°的等腰梯形”为基本图形，以点O 为旋转中心顺时针旋转4次组合得到的，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°．图 12 图 13 （3）其它答案：时培养学生的观察能力和动手操作能力．四、课堂小结，回顾知识1．学生自己总结，并在班上交流本节课——我学会了……使我感触最深的……我感到最困难的是……2．结合学生所述，教师给予指导：①正确理解旋转变换的概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后的图形．②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中的实际问题．知识的小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行．五、布置作业，巩固知识1．基础题：课后习题第48页第1、2、3题．2．实践题：小小设计师如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形，你会得到一个美丽的“立体图形”!但是涂阴影．．．时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！第1题是基础题，加深知识的巩固；第2题是实践题，供学有余力的学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后的图形，感受图形上点的坐标与图形旋转之间的关系，发展学生的形象思维能力和数形结合意识，为以后的教学埋下伏笔．教案设计说明（一）关于教学内容本节课是在平移变换的基础上学习旋转变换，它是数学课程标准中《空间和图形》的一个新内容．这节课充分体现了新课程所倡导的“从生活走进课程，从课程走进社会”的理念．在学习旋转变换的概念和探索它的基本性质的过程中，不仅可以使学生感受到旋转变换与实际生活的密切相关，而且使学生掌握有关画图的操作技能，增强对图形欣赏的意识，形成初步的审美能力．（二）关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合的教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程．（三）关于教学手段在教学手段方面，选择多媒体课件辅助教学的方式，直观、形象地再现图形的旋转过程．生动、有趣的多媒体课件一方面为学生在课堂教学中进行自主探究和发现新知提供了技术支持，另一方面为教师进行教学演示提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务．（四）关于教学过程为了达到教学目标，强化重点内容并突破教学中的难点，在课堂教学过程中，根据教学目标和学生的具体情况，紧密联系生活实际中的旋转实例，精心设计问题情境，使所有学生既能参与，又有一定的拓展、探索的余地，全体学生在获得必要发展的前提下，不同的学生获得不同的体验．（五）关于学法指导围绕本节课所学知识，设置有现实意义的、具有挑战性的开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动的经验，学会探索，提高解决问题的能力，培养一定的创新意识和实践能力．通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，培养他们良好的学习习惯．。
最新北京课改版九年级数学下册25.2旋转变换公开课优质教案(1)
课题：旋转变换教材：北京市义务教育课程改革实验教材九年级下册第25章第2节教学目标：1．使学生通过具体实例认识旋转变换，理解旋转变换地概念和基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后地图形.2．使学生经历对旋转图形地欣赏、分析、画图等过程，掌握有关画图地操作技能；通过多角度地认识旋转图形地形成过程，培养学生地发散思维能力．3．通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件地使用，使学生发现旋转变换所蕴含地美，激发学生学习数学地兴趣.教学重点：旋转变换地概念和基本性质，按要求作出简单平面图形旋转后地图形．教学难点：探索旋转变换地基本性质．教学方法：启发讲授，小组讨论，合作探究．教学手段：常规教学用具，计算机及课件．教学过程：师生活动设计意图一、创设情境，引入新课提问：你能举出生活中与旋转现象有关地例子吗？在学生回答地基础上，教师用计算通过举出与旋转现象有关地生活机演示动画图片.教师向学生说明：在生活中，我们经常见到钟表地指针、电风扇地扇叶、车实例，加深学生对旋转地感性认识.轮等，在它们地转动过程中，就包含着我们今天要学习地数学知识----旋转变换.二、合作探究，学习新知1．认识旋转变换问题1：这些旋转现象有共同地特点吗？学生先独立思考，然后与同桌进行交流，教师适时安排课件地动画演示，引导学生观察生活中地旋转现象，抽象出数学图形地旋转变换地特点.学生回答问题后，教师引导其他学通过解决问题1，总结出旋转现象地特点.生修改、补充，总结出这些旋转现象地共同特点是“一个图形沿某个方向绕定点转动”.问题2：你能尝试叙述一下“旋转变换”地概念吗?引导学生类比“平移变换”地概念进行思考，在学生回答地基础上，修改、补充，达成共识后教师进行板书．（板书）在平面内，将一个图形绕一个定点沿顺时针或逆时针方向转动一个角度，得到一个新地图形，这样地图形运动称为旋转变换，简称旋转．问题3：你认为在旋转变换地概念通过解决问题2，抽象出旋转变换地概念.通过解决问题3，抓住旋转中，哪些是关键地字词？学生独立思考后进行回答，在其他学生补充后，教师指出：旋转变换地概念中三个重要地关键词----定点、方向、角度是影响旋转地重要因素，并结合多媒体课件演示介绍和旋转变换有关地知识：定点O称为旋转中心，转动地角称为旋转角．如果图形上地点A经过旋转到点A′，那么这两个点叫做旋转地对应点．问题4：钟表地指针在转动过程中，变换概念中地关键词，认识旋转变换概念地本质．通过解决问题4，进一步理其形状、大小是否发生改变？电风扇扇叶地转动呢？学生就问题自由发言，发表自己地看法，最后达成共识．教师结合学生地发言指出：“旋转不改变图形地形状和大小”是对概念地进一步理解和认识，并进行板书.2．探究旋转地性质教师先用多媒体课件演示一个图形地旋转过程，请学生观察后进行思考．观察如图1，△ABC是等边三角形，D是解和认识了旋转变换概念地内涵.BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE地位置．图1思考（1）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？（2）如果M是AB地中点，那么经过上述旋转后，点M旋转到了什么位置？（3）请写出图中所有地旋转地对应点．请学生利用教师提供地教具----三角形纸板，在实物投影上一边演示操作一边回答问题，其他同学给予补充．学生明确了此图形中地“旋转中心、旋转角度和旋转地对应点”后，教师安排学生进行动手测量．“探究旋转地性质”是本节课地难点，采用“观察—思考—测量—推广—归纳”地模式展开教学，引导学生深层测量（1）每组对应点与旋转中心连线所成地角地度数.（2）每组对应点与旋转中心所连线段地长度.你有什么发现吗？学生拿到下发地图形（图1），以小组为单位进行动手测量，并由各小组地代表进行汇报，师生共同总结得出：每组对应点与旋转中心地连线所成地角都是旋转角，每组对应点到旋转中心地距离相等．师生达成共识后，教师继续引导学次地参与知识地形成过程，加深对旋转性质地理解．生思考：是否可以将这个结论推广到一般情况呢？学生和教师一起借助课件地演示进行观察、分析和验证.推广（几何画板课件地演示）如图，△ABC绕某一点O旋转一定角度后到达△A′B′C′地位置．①观察图中对应点与旋转中心所连线段地长度地关系，每组对应点与旋转中心连线所成地角度地关系，上述结论是否成立？②改变点O地位置，再对△ABC作旋转变换，上述结论是否仍然成立？学生通过观察、分析和验证，经历从特殊到一般地认识过程，在丰在学生回答问题地基础上，教师引导学生对以上结论进行归纳.归纳旋转地性质：任意一对对应点与旋转中心地连线所成地角都是旋转角，对应点到旋转中心地距离相等．富地活动中培养学生地思维能力.ABCE D三、应用知识，培养能力[例1] 如图2，△ACB 与△ADE 是两个全等地等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE 都是直角，点C 在AE 上，△ACB 以某个点为旋转中心，逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合.（1）请指出其旋转中心与旋转角度；（2）如果再将图2作为“基本图形”绕着A 点顺时针连续旋转组合得到图3，那么图3是通过例1地讲解，使学生巩固旋转地概念，并体会旋转与现实生活地紧密联系.A图2通过几次旋转得到地？每次旋转了多少度？图2学生在独立思考后发言、讨论，教师再通过激励性评价明确正误.最后教师用动画把图3补充成一个漂亮地风车(图4)，用这个实例说明旋转与现实生活联系紧密，许多美丽地图案可以由旋转设计而成．答案：（1）旋转中心是点A ，旋转角度是45°；（2）图3是图2绕着A 点顺时针通过3次旋转组合得到地，旋转角度分别为90°、180°、270°．图 3图4[例2] 请按照题目要求完成作图.（1）如图5，画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后地图形．分析：假设点B、A地对应点为B′、通过例2地教学，使学生在动手画图地过程中，理解旋转地性质，掌握有关画图地操作步骤，认A ′，则∠BCB′、∠ACA ′都是旋转角，且∠ACA ′=∠BCB ′=90°，CB ′=CB ，CA ′=CA ．图5 图6答案：见图6．（2）如图7，△ABC 绕点C 顺时针识旋转图形地形成过程.第（1）小题地设计目地是使学生会按题目给出地旋转方向、旋转角度画出旋转后地旋转后，点B 地对应点为点B ′．试确定点A 地对应点地位置，并画出旋转后地三角形．分析：假设点A 地对应点为A ′，则∠BCB ′、∠ACA ′都是旋转角，且∠ACA ′=∠BCB ′=90°，CB ′=CB ，CA ′=CA ．图7 图8答案：见图8．（3）如右图，△ABC 绕点C 顺时针三角形. 第（2）小题是在第（1）小题地基础上，使学生能根据题目给出地一组对应点找到旋转中旋转后，B地对应点为点B′．试确定点A地对应点地位置，并画出旋转后地三角形．分析：假设点A地对应点为A′，则∠BCB′、∠ACA′都是旋转角，且∠ACA′=∠BCB′，CB′=CB，CA′=CA．解：①联结CB′；②以AC为一边作∠ACF，使∠ACF =∠BCB′；③在射线CF上截取CA′= CA；④联结B′A′．右下图中地△A′B′C就是△ABC绕点C按心、旋转方向和旋转角度，并画出旋转后地三角形.第（3）小题是在第（2）题地基础上，顺时针旋转后地图形．要求学生先独立画出图形再进行小组交流，并请学生利用实物投影叙述作图过程.然后请学生结合例2进行小结：如何按要求作出简单平面图形旋转后地图形？在学生交流地基础上，教师进行评价，师生达成共识：按题目要求找到旋转中心、旋转方向、旋转角度和对当旋转角不再是特殊角、同时没有网格背景时，使学生能根据题目给出地一组对应点找到旋转中心、旋转方向和旋应点是作图地关键.[拓展练习] 如图9，点O是六个正三角形地公共顶点，这个图案可以看作是哪个“基本图形”以点O为旋转中心经过怎样旋转组合得到地？请同学们以小组为单位进行探究，看哪个转角度，并画出旋转后地三角形．“拓展练习”小组得到地方案最多？图9在小组讨论地基础上，请学生展示各种方案：（1）图10和图11是分别以“等边三角形”、“折线”为基本图形，以点O 为旋转中心顺时针旋转5次组合得到地，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°、300°．是一道开放性练习，通过这道题地分析和讲解，让学生多角度地认识旋转图形地形成过程，同时培养学生地观察能力和动手操作能力．图10图 11（2）图12和图13是分别以“一个内角为60°地菱形”、“一个底角为60°地等腰梯形”为基本图形，以点O为旋转中心顺时针旋转4次组合得到地，旋转角度分别为60°、120°、180°、240°．图12 图 13（3）其它答案：四、课堂小结，回顾知识1．学生自己总结，并在班上交流本节课——我学会了……使我感触最深地……我感到最困难地是……2．结合学生所述，教师给予指导：知识地小结以教师提问、学生自由讨论地形式进行．①正确理解旋转变换地概念及其基本性质，并能按要求作出简单平面图形旋转后地图形．②生活中处处有数学地影子，只要留心观察身边地事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多生活中地实际问题．五、布置作业，巩固知识1．基础题：课后习题第48页第1、2、3题．2．实践题：小小设计师如下图是某设计师设计地方桌布图第1题是基础题，加深知识地巩固；第2案地一部分，请你运用旋转变换地方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转90°、180°、270°，并画出它在各象限内地图形，你会得到一个美丽地“立体图形”!但是涂阴影．．．时要注意利用旋转变换地特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想地效果，你来试一试吧！题是实践题，供学有余力地学生完成，让学生在坐标系中尝试画出旋转后地图形，感受图形上点地坐标与图形旋转之间地关系，发展学生地形象思维能力和数形结合意识，为以后地教学埋下伏笔．教案设计说明（一）关于教学内容本节课是在平移变换地基础上学习旋转变换，它是数学课程标准中《空间和图形》地一个新内容．这节课充分体现了新课程所倡导地“从生活走进课程，从课程走进社会”地理念．在学习旋转变换地概念和探索它地基本性质地过程中，不仅可以使学生感受到旋转变换与实际生活地密切相关，而且使学生掌握有关画图地操作技能，增强对图形欣赏地意识，形成初步地审美能力．（二）关于教学方法为了充分调动学生学习地积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、小组讨论、合作探究相结合地教学方式．在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”地教学思想，通过引导学生观察、分析和动手操作，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程．（三）关于教学手段在教学手段方面，选择多媒体课件辅助教学地方式，直观、形象地再现图形地旋转过程．生动、有趣地多媒体课件一方面为学生在课堂教学中进行自主探究和发现新知提供了技术支持，另一方面为教师进行教学演示提供了平台，二者有机结合，协调发挥作用，使信息技术与教学内容有机整合，真正为教学服务．（四）关于教学过程为了达到教学目标，强化重点内容并突破教学中地难点，在课堂教学过程中，根据教学目标和学生地具体情况，紧密联系生活实际中地旋转实例，精心设计问题情境，使所有学生既能参与，又有一定地拓展、探索地余地，全体学生在获得必要发展地前提下，不同地学生获得不同地体验．（五）关于学法指导围绕本节课所学知识，设置有现实意义地、具有挑战性地开放型问题，激发学生积极思考，引导学生自主探索与合作交流，既能在探索中获取知识，又能不断丰富数学活动地经验，学会探索，提高解决问题地能力，培养一定地创新意识和实践能力．通过课堂小结，增强学生学习过程中地反思意识，培养他们良好地学习习惯．。
北京版数学九年级下册《23.2 旋转变换》说课稿
北京版数学九年级下册《23.2 旋转变换》说课稿一. 教材分析旋转变换这一节的内容，主要介绍了旋转变换的定义，性质以及应用。
它是初中数学中比较重要的一个知识点，也是学生对几何变换的一个深化理解。
在教材中，通过具体的图形和实例，引导学生理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质，并能够应用旋转变换解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生，已经掌握了平面几何中的大部分知识，他们对图形的变换也已经有了初步的理解。
但是，对于旋转变换，他们可能还是第一次接触，因此需要通过具体实例，让学生理解旋转变换的概念，并能够熟练运用旋转变换解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质，并能够运用旋转变换解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察实例，让学生体验旋转变换的过程，培养学生的观察能力和操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，使学生感受到数学的美。
四. 说教学重难点1.重点：旋转变换的概念和性质。
2.难点：旋转变换的应用。
五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用讲授法和探究法相结合的教学方法。
在讲授旋转变换的概念和性质时，我会通过讲解和展示实例，让学生理解旋转变换的含义。
在讲解旋转变换的应用时，我会引导学生通过小组合作，共同探究旋转变换在实际问题中的应用。
同时，我还会利用多媒体教学手段，展示旋转变换的动态过程，帮助学生更好地理解旋转变换。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一个旋转变换的实例，引导学生思考旋转变换的概念。
2.新课导入：讲解旋转变换的定义和性质，让学生理解旋转变换的基本概念。
3.实例分析：通过展示几个旋转变换的实例，让学生体验旋转变换的过程，并引导学生总结旋转变换的性质。
4.应用探究：让学生通过小组合作，共同探究旋转变换在实际问题中的应用。
5.总结提升：对旋转变换的概念和性质进行总结，引导学生思考旋转变换的实际意义。
6.课堂练习：布置一些旋转变换的练习题，让学生巩固所学知识。
全国各地初中数学不同版本目录汇总
义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册第一章有理数1．1 正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4 有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5 有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1 整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1 从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4部分中英文词汇索引七年级下册第五章相交线与平行线5.1 相交线5.1.2 垂线5.1.3 同位角、内错角、同旁内角观察与猜想5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质5.3.2 命题、定理5.4 平移教学活动小结第六章平面直角坐标系6.1 平面直角坐标系6.2 坐标方法的简单应用阅读与思考6.2 坐标方法的简单应用教学活动小结第七章三角形7.1 与三角形有关的线段7.1.2 三角形的高、中线与角平分线7.1.3 三角形的稳定性信息技术应用7.2 与三角形有关的角7.2.2 三角形的外角阅读与思考7.3 多变形及其内角和阅读与思考7.4 课题学习镶嵌教学活动小结第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组8.2 消元——二元一次方程组的解法8.3 实际问题与二元一次方程组阅读与思考*8.4 三元一次方程组解法举例教学活动小结第九章不等式与不等式组9.1 不等式阅读与思考9.2 实际问题与一元一次不等式实验与探究9.3 一元一次不等式组阅读与思考教学活动小结第十章数据的收集、整理与描述10.1 统计调查实验与探究10.2 直方图10.3 课题学习从数据谈节水教学活动小结部分中英文词汇索引八年级上册第十一章全等三角形11.1 全等三角形11.2 三角形全等的判定阅读与思考全等与全等三角形11.3 角的平分线的性质教学活动小结复习题11第十二章轴对称12.1 轴对称12.2 作轴对称图形12.3 等腰三角形教学活动小结复习题12第十三章实数13.1 平方根13.2 立方根13.3 实数教学活动小结复习题13第十四章一次函数14.1 变量与函数14.2 一次函数14.3 用函数观点看方程（组）与不等式14.4 课题学习选择方案教学活动小结复习题14第十五章整式的乘除与因式分解15.1 整式的乘法15.2 乘法公式15.3 整式的除法教学活动小结复习题15部分中英文词汇索引八年级下册第十六章分式16.1 分式16.2 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16.3 分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17.1 反比例函数信息技术应用探索反比例函数的性质17.2 实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明18.2 勾股定理的逆定理数学活动小结复习题18第十九章四边形19.1 平行四边形阅读与思考平行四边形法则19.2 特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19.3 梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形19.4 课题学习重心数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1 数据的代表20.2 数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20九年级上册第二十一章二次根式21.1 二次根式21.2 二次根式的乘除21.3 二次根式的加减阅读与思考海伦－秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22.1 一元二次方程22.2 降次——解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22.3 实际问题与一元二次方程实验与探究三角点阵中前n行的点数计算数学活动小结复习题22第二十三章旋转23.1 图形的旋转23.2 中心对称信息技术应用探索旋转的性质23.3 课题学习图案设计阅读与思考旋转对称性数学活动小结复习题23第二十四章圆24.1 圆24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆阅读与思考圆周率Π24.4 弧长和扇形面积实验与探究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25.1 随机事件与概率25.2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25.3 用频率估计概率实验与探究П的估计25.4 课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25部分中英文词汇索引九年级下册第二十六章二次函数26．1 二次函数及其图像26．2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3 实际问题与二次函数实验与探索推测植物的生长与温度的关系教学活动小结复习题26第二十七章相似27．1 图形的相似27．2 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3 位似信息技术应用探索位似的性质教学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数表28．2 解直角三角形教学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1 投影29．2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3 课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29部分中英文词汇索引七年级上册第一章走进数学世界1.1 生活中的图形1.2 我们周围的“数”1.3 计算工具的发展1.4 科学计算器的使用第二章对数的认识的发展2.1 负数的引入2.2 用数轴上的点表示有理数2.3 相反数和绝对值2.4 有理数的加法2.5 有理数的减法2.6 有理数加减法的混合运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 有理数的混合运算2.11 有效数字和科学记数法2.12 用计算器做有理数的混合运算第三章一元一次方程3.1 字母表示数3.2 同类项与合并同类项3.3 等式与方程3.4 等式的基本性质3.5 一元一次方程3.6 列方程解应用问题第四章简单的几何图形4.1 平面图形与立体图形4.2 某些立体图形的展开图4.3 从不同方向观察立体图形4.4 点、线、面、体4.5 直线4.6 射线4.7 线段4.8 角及其表示4.9 角的分类4.10 角的度量4.11 用科学计算器进行角的换算 4.12 角平分线 4.13 两条直线的位置关系4.14 相交线与平行线4.15 用计算机绘图七年级下册第五章一元一次不等式和一元一次不等式5.1 不等式5.2 不等式的基本性质5.3 不等式的解集5.4 一元一次不等式及其解法5.5 一元一次不等式组及其解法第六章二元一次方程组6.1 二元一次方程和它的解6.2 二元一次方程组和它的解6.3 用代入消元法解二元一次方程组6.4 用加减消元法解二元一次方程组6.5 二元一次方程组的应用第七章整式的运算7.1 整式的加减法7.2 幂的运算7.3 整式的乘法7.4 乘法公式7.5 整式的除法第八章观察、猜想与证明8.1 观察8.2 实验8.3 归纳8.4 类比8.5 猜想8.6 证明8.7 几种简单几何图形及其推理第九章因式分解9.1 因式分解9.2 提取公因式法9.3 运用公式法第十章数据的收集与表示10.1 总体与样本10.2 数据的收集与整理10.3 数据的表示10.4 用计算机绘制统计图10.5 平均数10.6 用科学计算器求平均数10.7 众数10.8 中位数八年级上册第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方.第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 用科学计算器开方12.4 无理数与实数12.5 二次根式及其性质12.6 二次根式的乘除法12.7 二次根式的加减法第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形的性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角形的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8 基本作图13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理第十四章事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性八年级下册第十五章一次函数,15.1 函数15.2 函数的表示法15.3 函数图象的画法15.4 一次函数和它的解析式 15.5 一次函数的图象15.6 一次函数的性质15.7 一次函数的应用第十六章四边形,16.1 多边形16.2 平行四边形和特殊的平行四边.16.3 平行四边形的性质与判定16.4 特殊的平行四边形的性质与判.16.5 三角形中位线定理16.6 中心对称图形16.7 梯形16.8 等腰梯形与直角梯形第十七章一元二次方程,17.1 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法17.3 列方程解应用问题第十八章方差与频数分布,18.1 极差、方差与标准差18.2 用计算器计算标准差和方差 18.3 频数分布表与频数分布图九年级上册第十九章相似形,19.1 比例线段19.2 黄金分割19.3 平行线分三角形两边成比例 19.4 相似多边形19.5 相似三角形的判定19.6 相似三角形的性质19.7 应用举例第二十章二次函数和反比例函数, 20.1 二次函数20.2 二次函数的图象20.3 二次函数解析式的确定20.4 二次函数的性质20.5 二次函数的一些应用20.6 反比例函数20.7 反比例函数的图象、性质和应.第二十一章解直角三角形,21.1 锐角三角函数21.2 锐角的三角函数值21.3 用计算器求锐角三角函数值 21.4 解直角三角形21.5 应用举例第二十二章圆（上）,22.1 圆的有关概念22.2 过三点的圆22.3 圆的对称性22.4 圆周角第二十三章概率的求法与应用,23.1 求概率的方法23.2 概率的简单应用九年级下册第二十四章圆（下）,24.1直线和圆的位置关系24.2圆的切线24.3圆和圆的位置关系24.4正多边形的有关计算第二十五章图形的变换,25.1平移变换25.2旋转变换25.3轴对称变换25.4位似变换第二十六章投影、视图与展开图, 26.1中心投影与平行投影26.2简单几何体的三视图26.3简单几何体的平面展开图第二十七章探索数学问题的一些方法.27.1探索数学问题的一些方法27.2探索数学问题举例第二十八章数学应用的一般思路, 28.1数学应用的一般思路28.2数学应用举例北师大版初中数学目录七年级上册第一章丰富的图形世界1．生活中的立体图形2．展开与折叠3．截一个几何体4．从不同方向看5．生活中的平面图形回顾与思考复习题第二章有理数及其运算1．数怎么不够用了2．数轴3．绝对值4．有理数的加法5．有理数的减法6．有理数的加减混合运算7．水位的变化8．有理数的乘法9．有理数的除法10．有理数的乘方11．有理数的混合运算12．计算器的使用回顾与思考复习题第三章字母表示数1．字母能表示什么2．代数式3．代数式求值4．合并同类项5．去括号6．探索规律回顾与思考复习题第四章平面图形及其位置关系1．线段、射线、直线2．比较线段的长短3．角的度量与表示4．角的比较5．平行6．垂直7．有趣的七巧板8．图案设计回顾与思考复习题第五章一元一次方程1．你今年几岁了2．解方程3．日历中的方程4．我变胖了5．打折销售6．“希望工程”义演7．能追上小明吗8．教育储蓄回顾与思考复习题第六章生活中的数据1．100万有多大2．科学记数法3．扇形统计图4．月球上有水吗5．统计图的选择回顾与思考复习题第七章可能性1．一定摸到红球吗2．转盘游戏3．谁转出的四位数大回顾与思考复习题课题学习制成一个尽可能大的无盖长方体总复习七年级下册第一章整式的运算1．整式2．整式的加减3．同底数幂的乘法4．幂的乘方与积的乘方5．同底数幂的除法6．整式的乘法7．平方差公式8．完全平方公式9．整流器式的除法回顾与思考复习题第二章平行线与相交线1．台球桌面上的角2．探索直线平行的条件3．平行线的特征4．用尺规作线段和角回顾与思考复习题第三章生活中的数据1．认识百万分之一2．近似数和有效数字3．世界新生儿图回顾与思考复习题课题学习制作“人口图”第四章概率1．游戏公平吗2．摸到红球的概率3．停留在黑砖上的概率回顾与思考复习题第五章三角形1．认识三角形2．图形的全等3．图案设计4．全等三角形5．探索三角形全等的条件6．作三角形7．利用三角形全等测距离8．探索直角三角形全等的条件回顾与思考复习题第六章变量之间的关系1．小车下滑的时间2．变化中的三角形3．温度的变化4．速度的变化回顾与思考复习题第七章生活中的轴对称1．轴对称现象2．简单的轴对称图形3．探索轴对称的性质4．利用轴对称设计图案5．镜子改变了什么6．镶边与剪纸回顾与思考复习题总复习八年级上册第一章勾股定理1．探索勾股定理2．能得到直角三角形吗3．蚂蚁怎样走最近回顾与思考复习题课题学习拼图与勾股定理第二章实数1．数怎么又不够用了2．平方根3．立方根4．公园有多宽5．用计算器开方6．实数回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1．生活中的平移2．简单的平移作图3．生活中的旋转4．简单的旋转作图5．它们是怎样变过来的6．简单的图案设计回顾与思考复习题第四章四边形性质探索1．平行四边形的性质2．平行四边形的判别3．菱形4．矩形、正方形5．梯形6．探索多边形的内角和与外角和7．平面图形的密铺8．中心对称图形回顾与思考复习题第五章位置的确定1．确定位置2．平面直角坐标系3．变化的鱼回顾与思考复习题第六章一次函数1．函数2．一次函数3．一次函数的图象4．确定一次函数表达式5．一次函数图象的应用回顾与思考复习题第七章二元一次方程组1．谁的包裹多2．解二元一次方程组3．鸡兔同笼4．增收节支5．里程碑上的数6．二元一次方程与一次函数回顾与思考复习题第八章数据的代表1．平均数2．中位数与众数3．利用计算器求平均数回顾与思考复习题总复习八年级下册第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1．不等关系2．不等式的基本性质3．不等式的解集4．一元一次不等式5．一元一次不等式与一次函数6．一元一次不等式组回顾与思考复习题第二章相似图形1．线段的比2．黄金分割3．形状相同的图形4．相似多边形5．相似三角形6．探索三角形相似的条件7．测量旗杆的高度8．相似多边形的周长比和面积比9．图形的放大与缩小回顾与思考复习题课题学习制作视力表第三章分解因式1．分解因式2．提公因式法3．运用公式法回顾与思考复习题第四章分式1．分式2．分式的乘除法3．分式的加减法4．分式方程回顾与思考复习题第五章数据的收集与处理1．每周干家务活的时间2．数据的收集3．频数与频率4．数据的波动回顾与思考复习题课题学习吸烟的危害第六章证明（一）1．你能肯定吗2．定义与命题3．为什么它们平行4．如果两条直线平行5．三角形内角和定理的证明6．关注三角形的外角回顾与思考复习题总复习九年级上册第一章证明（二）1．你能证明它们吗2．直角三角形3．线段的垂直平分线4．角平分线回顾与思考复习题第二章一元二次方程1．花边有多宽2．配方法3．公式法4．分解因式法5．为什么是1.618回顾与思考复习题第三章证明（三）1．平行四边形2．特殊平行四边形回顾与思考复习题第四章视图与投影1．视图2．太阳光与影子3．灯光与影子回顾与思考复习题第五章反比例函数1．反比例函数2．反比例函数的图象与性质3．反比例函数的应用回顾与思考复习题课题学习猜想、证明与拓广第六章频率与概率1．频率与概率2．投针实验3．池塘里有多少条鱼回顾与思考复习题总复习九年级下册（培训用书）第一章直角三角形的边角关系1．从梯子的倾斜程度谈起2．30o，45o，60o角的三角函数值3．三角函数的有关计算4．船有触礁的危险吗回顾与思考复习题第二章二次函数1．二次函数所描述的关系2．结识抛物线3．刹车距离与二次函数4．二次函数的图象5．用三种方式表示二次函数6．何时获得最大利润7．最大面积是多少8．二次函数与一元二次方程回顾与思考复习题课题学习拱桥设计第三章圆1．车轮为什么做成圆形2．圆的对称性3．圆周角和圆心角的关系4．确定圆的条件5．直线和圆的位置关系6．圆和圆的位置关系7．弧长及扇形的面积8．圆锥的侧面积回顾与思考复习题课题学习设计庶阳棚第四章统计与概率1．50年的变化2．哪种方式更合算3．游戏公平吗回顾与思考复习题课题学习媒体中的数学总复习浙教版初中数学教材总目录七年级上册第1章从自然数到有理数1.1从自然数到分数 1.2有理数 1. 3数轴 1.4绝对值 1.5有理数的大小比较第2章有理数的运算2.1有理数的加法 2.2有理数的减法 2.3有理数的乘法 2.4有理数的除法2.5有理数的乘方 2.6有理数的混合运算 2.7准确数和近似数 2.8计算器的使用第3章实数3.1平方根 3.2实数 3.3立方根3.4用计算器进行数的开方 3.5实数的运算第4章代数式4.1用字母表示数 4.2代数式 4.3代数式的值 4.4整式 4.5合并同类项 4.6整式的加减第5章一元一次方程5.1一元一次方程 5.2一元一次方程的解法 5.3一元一次方程的应用5.4问题解决的基本步骤第6章数据与图表6.1数据的收集与整理 6.2统计表6.3条形统计图和折线统计图 6.4扇形统计图第7章图形的初步知识7.1几何图形 7.2线段、射线和直线 7.3线段的长短比较 7.4角与角的度量7.5角的大小比较 7.6余角和补角7.7相交线 7.8平行线七年级下册第1章三角形的初步知识1.1 认识三角形 1.2 三角形的角平分线和中线 1.3 三角形的高 1.4 全等三角形1.5 三角形全等的条件 1.6 作三角形第2章图形和变换2.1 轴对称图形 2.2 轴对称变换2.3 平移变换 2.4 旋转变换 2.5 相似变换2.6 图形变换的简单应用第3章事件的可能性3.1 认识事件的可能性 3.2 可能性的大小 3.3 可能性和概率第4章二元一次方程组4.1 二元一次方程 4.2 二元一次方程组 4.3 解二元一次方程组4.4 二元一次方程组的应用第5章整式的乘除5.1 同底数幂的乘法 5.2 单项式的乘法 5.3 多项式的乘法5.4 乘法公式 5.5 整式的化简 5.6 同底数幂的除法 5.7 整式的除法第6章因式分解6.1 因式分解 6.2 提取公因式法6.3 用乘法公式分解因式 6.4 因式分解的简单应用第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程八年级上册第1章平行线1.1同位角、内错角、同旁内角 1.2平行线的判定 1.3平行线的性质1.4平行线之间的距离第2章特殊三角形2.1等腰三角形 2.2等腰三角形的性质 2.3等腰三角形的判定 2.4等边三角形2.5直角三角形 2.6探索勾股定理2.7直角三角形全等的判定第3章直棱柱3.1认识直棱柱 3.2直棱柱的表面展开图 3.3三视图 3.4由三视图描述几何体第4章样本与数据分析初步4.1抽样 4.2平均数 4.3中位数和众数 4.4方差和标准差 4.5统计量的选择与应用第5章一元一次不等式5.1认识不等式 5.2不等式的基本性质 5.3一元一次不等式 5.4一元一次不等式组第6章图形与坐标6.1探索确定位置的方法 6.2平面直角坐标系 6.3坐标平面内的图形变换第7章一次函数7.1常量与变量 7.2认识函数 7.3一次函数 7.4一次函数的图象7.5一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式1.1 二次根式 1.2 二次根式的性质 1.3 二次根式的运算第2章一元二次方程2.1 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.3 一元二次方程的应用第3章频数及其分布3.1 频数与频率 3.2 频数分布直方图 3.3 频数分布折线图第4章命题与证明4.1 定义与命题 4.2 证明 4.3 反例与证明 4.4 反证法第5章平行四边形5.1 多边形 5.2 平行四边形 5.3 平行四边形的性质 5.4 中心对称5.5 平行四边形的判定 5.6 三角形的中位线 5.7 逆命题和逆定理第6章特殊平行四边形与梯形6.1 矩形 6.2 菱形 6.3 正方形6.4 梯形九年级上册第1章反比例函数1.1 反比例函数1.2 反比例函数的图象和性质1.3 反比例函数的应用●小结●目标与评定第2章二次函数2.1 二次函数2.2 二次函数的图象●阅读材料用计算机画二次函数的图象2.3 二次函数的性质2.4 二次函数的应用●小结●目标与评定第3章圆的基本性质3.1 圆3.2 圆的轴对称性3.3 圆心角3.4 圆周角●阅读材料生活离不开圆3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积●小结●目标与评定第4章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及其应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似●课题学习精彩的分形●小结●目标与评定九年级下册第1章解直角三角形1.1 锐角三角函数1.2 有关三角函数的计算1.3 解直角三角形●课题学习会徽中的数学●小结●目标与评定第2章简单事件的概率2.1 简单事件的概念2.2 估计概率2.3 概率的简单应用●小结●目标与评定第3章直线与圆、圆与圆的位置关系3.1 直线与圆的位置关系3.2 三角形的内切圆3.3 圆与圆的位置关系●小结●目标与评定第4章投影与三视图4.1 视角与盲区4.2 投影4.3 简单物体的三视图●小结●目标与评定初中教材各章节六年级第一学期第第第第第二学期第第第第七年级第一学期第九章整式第十章分式第十一章图形的运动第二学期第十二章实数第十三章相交线平行线第十四章三角形第十五章平面直角坐标系八年级第一学期第十六章二次根式第十七章一元一次方程第十八章正比例函数和反比例函数第十九章几何证明第二学期第二十章一次函数第二十一章代数方程第二十二章四边形第二十三章概率初步九年级第一学期第二十四章相似三角形第二十五章锐角的三角比第二十六章二次函数第二学期第二十七章圆和正多变形第二十八章统计初步六年级第一学期第一章数的整除第一节整数和整除1.1整数和整除的意义1.2因数和倍数1.3能被2，5整除的数第二节分解质因数1.4素数，合数与分解质因数1.5 公因数与最大公因数1.6 公倍数与最小公倍数第二章分数第一节分数的意义和性质2.1 分数与除数2.2 分数的基本性质2.3 分数的大小比较第二节分数的运算2.4 分数的加减法2.5 分数的乘法2.6 分数的除法2.7 分数与小数的互化2.8 分数，小数的四则混合运算2.9 分数运算的应用第三章比和比例第一节比和比例3.1 比的意义3.2比的基本性质3.3比例第二节百分比3.4 百分比的意义3.5 百分比的应用3.6 等可能事件第四章圆和扇形第一节圆的周长和弧长4.1 圆的周长4.2 弧长第二节圆和扇形的面积4.3 圆的面积4.4扇形的面积六年级第二学期第五章有理数第一节有理数5.1 有理数的意义5.2 数轴5.3 绝对值第二节有理数的运算5.4 有理数的加法5.5有理数的减法5.6 有理数的乘法5.7 有理数的除法5.8 有理数的乘方5.9 有理数的混合运算5.10科学计算法。
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2．平面直角坐标系 3．变化的鱼 第六章 一次函数 1．函数 2．一次函数 3．一次函数的图象 4．确定一次函数表达式 5．一次函数图象的应用 第七章 二元一次方程组 1．谁的包裹多 2．解二元一次方程组 3．鸡兔同笼 4．增收节支 5．里程碑上的数 6．二元一次方程与一次函数 第八章 数据的代表 1．平均数 2．中位数与众数 3．利用计算器求平均数 八年级上册 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组 1．不等关系 2．不等式的基本性质 3．不等式的解集 4．一元一次不等式 5．一元一次不等式与一次函数 6．一元一次不等式组 第二章 分解因式 1．分解因式 2．提公因式法 3．运用公式法 第三章 分式 1．分式 2．分式的乘除法 3．分式的加减法 4．分式方程 第四章 相似图形 1．线段的比 2．黄金分割 3．形状相同的图形 4．相似多边形 5．相似三角形 6．探索三角形相似的条件 7．测量旗杆的高度
七年级下册 第 1 章 三角形的初步认识
1.1 认识三角形 1.2 三角形的角平分线和中线 1.3 三角形的高线 1.4 全等三角形 1.5 三角全等的条件 1.6 作三角形 第 2 章 图形和变换 2.1 轴对称图形 2.2 轴对称变换 2.3 平移变换
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2.4 旋转变换 2.5 相似变换 2.6 图形变换的简单应用 第 3 章 事件的可能性 3.1 认识事件的可能性 3.2 可能性的大小 3.3 可能性和概率 第 4 章 二元一次方程 4.1 二元一次方程 4.2 二元一次方程组 4.3 解二元一次方程组 4.4 二元一次方程组的应用 第 5 章 整式的乘除 5.1 同底数幂的乘法 5.2 单项式的乘法 5.3 多项式的乘法 5.4 乘法公式 5.5 整式的化简 5.6 同底数幂的除法 5.7 整式的除法 第 6 章 因式分解 6.1 因式分解 6.2 提取公因式 6.3 用乘法公式分解因式 6.4 因式分解的简单应用 第 7 章 分式 7.1 分式 7.2 分式的乘除 7.3 分式的加减 7.4 分式方程 八年级上册 第 1 章 平行线 1.1 同位角内错角同旁内角 1.2 平行线的判定 1.3 平行线的性质 1.4 平行线之间的距离 第 2 章 特殊三角形 2.1 等腰三角形 2.2 等腰三角形的性质 2.3 等腰三角形的判定 2.4 等边三角形 2.5 直角三角形 2.6 探索勾股定理 2.7 直角三角形的全等判定
旋转变换
旋转的几种类型
（一）正三角形类型 在正Δ ABC 中， P 为Δ ABC 内一点， 将Δ ABP 绕 A 点按逆时针方 向旋转 60 ， 使得 AB 与 AC 重合。 经过这样旋转变化， 将图 （1-1-a） 中的 PA、PB、PC 三条线段集中于图（1-1-b）中的一个Δ P'CP 中，此时Δ P’AP 也为正三角形。
旋转变换
旋转变换
把图形 G 绕平面上的一个定点 O 旋转一个角度 ， 得到图形 G ， 这样的由图形 G 到 G G 叫做 G 的原象， 叫做旋转角， G 叫做 G 的象； 变换叫做旋转变换， 点 O 叫做旋转中心， 无论是什么图形，在旋转变换下，象与原象是全等形． 旋转变换具有以下基本性质： ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； ②对应直线的交角等于旋转角． 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的 条件相对集中，以便于诸条件的综合与推演．
3．对角互补模型
⑴如图①，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量 关系式__________； ⑵如图②，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM DN 时，猜想(1)问的结论还成 立吗？写出你的猜想并加以证明； ⑶如图③，当点 M，N 分别在边 AB，CA 的延长线上时，BM，NC，MN 之间的数量 关系，并说明理由。
2．角含半角模型
例 1 在等腰 Rt ABC 的斜边 AB 上取两点 M 、N ， 使 MCN 45 ， 记 AM m ，MN x ， BN n ，则以 x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是( )． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随 x 、 m 、 n 的变化而变化
旋转变换
A
P C
已知，如图边长为1的正方形EFOG绕与之边 长相等的正方形ABCD的中心O旋转任意角度，求 图中阴影部分的面积.
G A D
练一练
O E B C F
旋转的应用：
例10．已知E、F分别在正方形ABCD边 AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求 △BEF的周长.
解：∵ABCD是正 方形， ∴∠ADC=90°， AD=DC=AB=BC=1.
1、相同：都是一种运动；运动前 后 不改变图形的形状和大小 2、不同
平移 旋转 形状 不变 不变 大小 不变 不变 方向 不变 改变
试一试
下图可以看做是一个菱形通过几次旋 转得到的？每次旋转了多少度？
答：旋转5次得到， 旋转的角度分别是：
600，1200，1800，2400，3000
C
A
如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求 出它们的对称中心O。
C B A B’
怎么办？可以帮 帮我吗？
A’
C’
解法一：根据观察，B、B’应是对应点，连结 BB’，用刻度尺找出BB’的中点O，则点O即 为
A’
解法二：根据观察，B、B’及C、C’应是两组
D A E
B
回顾练习
如图，点 E为正方形 ABCD 的边 CD 上一点， AB=5 ， DE=6 。△ DAE 旋转后能与△ DCF 重合，（ 1 ）旋 转中心是哪一点？（ 2 ）旋转了多少度？（ 3 ）如 果连接EF，那么△DEF是怎样的三角形？（4）四 F 边形DEBF的周长和面积？
D
C
A
E
B
回顾练习
如图△ABC是等腰直角三角形, 点D是斜边BC 中点, △ABD绕点A旋转到△ACE的位置, 恰与 △ACD组成正方形ADCE, 则△ABD所经过的 旋转是( D ) A. 顺时针旋转225° B. 逆时针旋转45° C. 顺时针旋转315° D. 逆时针旋转 90 ° A E
教学课件：第2课时-方格纸上图形的旋转变换
02 什么是旋转变换
定义与性质
定义
旋转变换是图形在平面内绕某一 定点旋转一定的角度的运动或变 化。
性质
旋转变换具有中心性、角度性和 方向性，即图形围绕某一定点旋 转，旋转角度有正负之分，旋转 方向有顺时针和逆时针之分。
旋转变换的特点
图形旋转不改变其形状和大小，只改 变其位置和方向。
旋转变换可以应用于平面几何、解析 几何等领域，是几何学中的重要概念 之一。
练习题三：创意图形旋转变换
总结词：创意发挥
详细描述：鼓励学生发挥创意，自行设计图形并进行旋转变换。通过创意实践，培养学生的创新思维 和实践能力。
06 总结与回顾
本课时的重点回顾
01
理解旋转变换的概念
旋转变换是指图形绕某一点旋转一定的角度后，仍保持与原图形重合。
02
掌握旋转变换的性质
旋转变换具有中心性、角度性和周期性，即图形绕某一点旋转一定的角
练习题一：简单图形旋转变换
总结词：基础练习
详细描述：提供简单的图形，如正方形、三角形等，让学生进行旋转变换，理解 旋转的基本概念和操作方法。
练习题二：复杂图形旋转变换
总结词：进阶练习
详细描述：提供较为复杂的图形，如组合图形、图案等，让学生在理解旋转概念的基础上，进一步提高旋转变换的技巧和准 确性。
度后，与原图形重合，且旋转角度必须是360度的整数倍。
03
掌握方格纸上图形旋转变换的方法
在方格纸上进行图形旋转变换时，需要确定旋转中心和旋转角度，然后
按照旋转中心和旋转角度进行旋转操作。
下课时预告
学习图形平移变换的 概念和性质，了解平 移变换在生活中的应 用。
学习图形相似变换的 概念和性质，了解相 似变换在生活中的应 用。
24旋转变换
2.4旋转变换(浙教版七年级下)一、相关资料及教材背景介绍1、相关资料旋转门：具备旋转速度控制功能，遇到强风时，也能安全进出，有效控制内部冷/热功能，节省用电量，节约能源，防风、防尘及有效阻隔外部燥音的功能上海东方明珠电视塔：坐落于浦东黄浦江畔，以468米的高度位居亚洲第一、世界第三。
空中旋转餐厅位于267米上球体，其营业面积为1500平方米，可同时容纳350位来宾用餐。
是亚洲最高的旋转餐厅。
2、教学背景及教材地位：本节教材是学生学习了轴对称、平移变换基础上来学习的，学生已有了图形变换的知识和思想。
学习旋转变换，进一步引导学生用运动的观点看待和欣赏生活中的图形，并揭示图形的变化规律和内在联系，促进学生观察、实验、概括、探究能力的提高。
同时增强学生学数学，用数学的信心，培养他们积极的情感和态度。
二、教学程序设计：本节通过生活中的实例，如：“时钟的时针和分针”，“转动的风扇”荡秋千、“风车叶片”、“自行车踏脚板“、“旋转门”、：“上海东方明珠电视塔”，让学生直观地感受生活中的“旋转”现象，初步感知“旋转”概念。
并在此基础上，分析旋转现象的规律，得到旋转变换的性质，然后利用性质，进行一些简单的作图。
使学生进一步认识旋转变换，体现旋转变换的价值和丰富的内涵。
【教学目标】1、通过学生对生活中旋转现象的观察，分析、欣赏来认识图形的旋转变换。
2、通过观察实例，让学生探索图形旋转变换的几个要素，了解旋转变换的概念，会描述一个旋转变换的过程。
3、从简单的旋转画图（点绕一个固定的点旋转）中探索出旋转变换的性质。
4、会按要求作出简单平面图形旋转变换后的像。
5、培养学生良好的情感态度和审美情趣，掌握观察、实验、分析、概括、画图等学习方法。
【教学重点】旋转变换的概念和性质及会画简单平面图形旋转变换后的像。
【教学难点】旋转变换的作图及描述一个旋转变换的过程。
【教学准备】1、画图工具：直尺（三角板）、圆规、量角器。
2、旋转实例（多媒体放映）。
初中数学教材目录 人教版 北京版
第一章有理数1．1 正数和负数阅读与思考用正负数表示加工允许误差1．2 有理数1．3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1．4 有理数的乘除法观察与思考翻牌游戏中的数学道理1．5 有理数的乘方数学活动小结复习题1第二章整式的加减2．1 整式阅读与思考数字１与字母Ｘ的对话2．2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程3．1 从算式到方程阅读与思考“方程”史话3．2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无限循环小数化分数3．3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母3．4 实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章图形认识初步4．1 多姿多彩的图形阅读与思考几何学的起源4．2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4．3 角4．4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4部分中英文词汇索引～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～七年级下册第五章相交线与平行线5．1 相交线5．2 平行线5．3 平行线的性质5．4 平移数学活动小结复习题5第六章平面直角坐标系6．1 平面直角坐标系6．2 坐标方法的简单应用数学活动小结复习题6第七章三角形7．1 与三角形有关的线段7．2 与三角形有关的角7．3 多边形及其内角和7．4 课题学习镶嵌数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组8．1 二元一次方程组8．2 消元8．3 再探实际问题与二元一次方程组数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组9．1 不等式9．2 实际问题与一元一次不等式9．3 一元一次不等式组9．4 课题学习利用不等关系分析比赛（1）数学活动小结复习题9第十章实数10．1 平方根10．2 立方根10．3 实数数学活动小结复习题10部分中英文词汇索引～～～～～八～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第十一章一次函数11．1 变量与函数信息技术应用用计算机画函数图象11．2 一次函数阅读与思考科学家如何测算地球的年龄11．3 用函数观点看方程（组）与不等式数学活动小结复习题11第十二章数据的描述12．1 几种常见的统计图表12．2 用图表描述数据信息技术应用利用计算机画统计图阅读与思考作者可能是谁12．3 课题学习从数据谈节水数学活动小结复习题12第十三章全等三角形13．1 全等三角形13．2 三角形全等的条件阅读与思考为什么要证明13．3 角的平分线的性质数学活动小结复习题13第十四章轴对称14．1 轴对称14．2 轴对称变换信息技术应用探索轴对称的性质14．3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系数学活动复习题14第十五章整式15．1 整式的加减15．2 整式的乘法15．3 乘法公式阅读与思考杨辉三角15．4 整式的除法15．5 因式分解观察与猜想 x2+(p+qx+pq型式子的因式分解数学活动小结复习题15 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～八年级下册第十六章分式16．1 分式16．1 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吗16．1 分式方程数学活动小结复习题16第十七章反比例函数17．1 反比例函数17．1 实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题17第十八章勾股定理18．1 勾股定理18．2 勾股定理的逆定理小结复习题18第十九章四边形19．1 平行四边形19．1 特殊的平行四边形实验与探究巧拼正方形19．1 梯形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形数学活动复习题19第二十章数据的分析20．1 数据的代表20．2 数据的波动信息技术应用用计算机求几种统计量阅读与思考数据波动的几种度量20．3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20～～～九～～～年～～～级～～～上～～～册～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～第二十一章二次根式21．1 二次根式21．2 二次根式乘除阅读与思考海伦──秦九韶公式数学活动小结复习题21第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 降次──解一元二次方程阅读与思考黄金分割数22．3 实际问题与一元二次方程观察与猜想发现一元二次方程根与系数的关系数学活动小结复习题22第二十三章旋转23．1 图形的旋转23．2 中心对称信息技术应用探索旋转的性质23．3 课题学习图案设计小结复习题23第二十四章圆24．1 圆24．2 与圆有关的位置关系24．3 正多边形和圆阅读与思考圆周率π24．4 弧长和扇形面积实验与研究设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章概率初步25．1 概率25．2 用列举法求概率阅读与思考概率与中奖25．3 利用频率估计概率阅读与思考布丰投针实验25．4 课题学习键盘上字母的排列规律数学活动小结复习题25 ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～九年级下册第二十六章二次函数26．1 二次函数实验与探究推测植物的生长与温度的关系26．2 用函数观点看一元二次方程信息技术应用探索二次函数的性质26．3 实际问题与二次函数数学活动小结复习题26第二十四章相似27．1 图形的相似27．2 相似三角形观察与猜想奇妙的分形图形27．3 位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数28．2 解直角三角形数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图29．1 投影29．2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29．3 课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29～～～～～～～～全～～～部～～～结～～～束～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～1.2 我们周围的“数”1.3 计算工具的发展1.4 科学计算器的使用第二章对数的认识的发展2.1 负数的引入2.2 用数轴上的点表示有理数2.5 有理数的减法2.6 有理数加减法的混合运算2.7 有理数的乘法2.8 有理数的除法2.9 有理数的乘方2.10 有理数的混合运算2.12 用计算器做有理数的混合运算3.1 字母表示数3.2 同类项与合并同类项3.3 等式与方程3.4 等式的基本性质第四章简单的几何图形4.1 平面图形与立体图形4.2 某些立体图形的展开图4.3 从不同方向观察立体图形4.4 点、线、面、体4.8 角及其表示4.9 角的分类4.10 角的度量4.11 用科学计算器进行角的换算4.12 角平分线4.14 相交线与平行线4.15 用计算机绘图第五章一元一次不等式和一元一次不等式5.2 不等式的基本性质5.3 不等式的解集5.4 一元一次不等式及其解法5.5 一元一次不等式组及其解法第六章二元一次方程组6.2 二元一次方程组和它的解6.3 用代入消元法解二元一次方程组6.4 用加减消元法解二元一次方程组6.5 二元一次方程组的应用第七章整式的运算7.1 整式的加减法7.2 幂的运算7.4 乘法公式7.5 整式的除法第八章观察、猜想与证明8.1 观察8.2 实验8.3 归纳8.5 猜想第九章因式分解9.1 因式分解9.2 提取公因式法9.3 运用公式法第十章数据的收集与表示 10.1 总体与样本10.3 数据的表示10.4 用计算机绘制统计图 10.6 用科学计算器求平均数 10.7 众数10.8 中位数第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方. 第十二章实数和二次根式 12.1 平方根12.2 立方根12.3 用科学计算器开方12.4 无理数与实数12.6 二次根式的乘除法12.7 二次根式的加减法第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形的性质13.3 三角形中的主要线段13.5 全等三角形的判定13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形 13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理第十四章事件与可能性 14.2 事件发生的可能性 14.3 求简单事件发生的可能性八年级下册第十五章一次函数,15.2 函数的表示法15.3 函数图象的画法15.4 一次函数和它的解析式 15.5 一次函数的图象15.6 一次函数的性质第十六章四边形,16.2 平行四边形和特殊的平行四边. 16.3 平行四边形的性质与判定16.4 特殊的平行四边形的性质与判. 16.5 三角形中位线定理16.6 中心对称图形16.8 等腰梯形与直角梯形第十七章一元二次方程, 17.1 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法 17.3 列方程解应用问题第十八章方差与频数分布,18.2 用计算器计算标准差和方差 18.3 频数分布表与频数分布图九年级上册第十九章相似形, 19.1 比例线段 19.2 黄金分割 19.3 平行线分三角形两边成比例 19.4 相似多边形 19.5 相似三角形的判定 19.6 相似三角形的性质 19.7 应用举例第二十章二次函数和反比例函数, 20.1 二次函数 20.2 二次函数的图象 20.3 二次函数解析式的确定 20.4 二次函数的性质 20.5 二次函数的一些应用 20.6 反比例函数 20.7 反比例函数的图象、性质和应. 第二十一章解直角三角形, 21.1 锐角三角函数 21.2 锐角的三角函数值 21.3 用计算器求锐角三角函数值 21.4 解直角三角形 21.5 应用举例第二十二章圆（上）, 22.1 圆的有关概念 22.2 过三点的圆 22.3 圆的对称性 22.4 圆周角第二十三章概率的求法与应用, 23.1 求概率的方法 23.2 概率的简单应用九年级下册第二十四章圆（下）,24.1直线和圆的位置关系 24.2圆的切线 24.3圆和圆的位置关系 24.4正多边形的有关计算第二十五章图形的变换, 25.1平移变换 25.2旋转变换 25.3轴对称变换 25.4位似变换第二十六章投影、视图与展开图, 26.1中心投影与平行投影 26.2简单几何体的三视图 26.3简单几何体的平面展开图第二十七章探索数学问题的一些方法.27.1探索数学问题的一些方法 27.2探索数学问题举例第二十八章数学应用的一般思路, 28.1数学应用的一般思路 28.2数学应用举例。
苏教版高中数学选修4-2：旋转变换_课件1(1)
线方程是什么？
课
(2013·苏州模拟)已知椭圆 Γ：x2＋y12＝1，试
堂
4
课
互
时
动 求该曲线绕逆时针方向旋转 90°后所得到的曲线，画出示意 作
课 堂 互 动
从而可知所求的变换矩阵为10 －10.
课 时 作
探
业
究
菜单
课
当
前
堂
自 主 导
1．矩阵10
00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点
双 基 达
学
标
垂直投影到 x 轴上，即(x，y)―→(x,0)；矩阵11 00确定的投
影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于 x 轴方向投影到直
研究矩形的端点的变换情况即可，而
课 堂 互 动
1 0
31－11＝－ －21，10
3111＝41，
课 时 作
探 究
1 0
31－21＝11，
业
1 0
31－ －21＝－ －51.
在曲线 xy＝1 上任取一点 P(x，y)，设其在此旋转变换作 当
前
堂
自 主
用下得到点 P′(x′，y′)，则
双 基
导
达
学 课
2
2
－
2 2
2222xy＝xy′ ′，
标
堂
课
互 动 探 究
即x′＝ 22x＋y，
时 作 业
y′＝－ 22x－y，
10，11
00，00
01对应的变换的几何
基 达 标
意义是什么？
课 堂 互 动 探 究
1 (2)矩阵－212Байду номын сангаас
－121，121 2 2
25.2旋转变换
23.2 旋转变换学习目标：1、复习旋转变换的基本知识点：旋转角、旋转中心等及性质。
2、会画简单图形的旋转图，中心对称图形。
3、体会、运用旋转的思想解几何题。
学习重点：运用旋转的思想解几何题。
学习难点：运用旋转的思想解几何题。
学习过程：一、课前预习：1.看书P43，回忆定义。
是旋转变换的特殊情2.看右图回答问题△ABC绕点O顺时针旋转与△A′B′C′重合，（1）旋转中心为（2）旋转角为（3）对应点与旋转中心的连线关系为（4）△ABC与△A′B′C′的关系为3. A(x , y )关于原点中心对称的点A’ ( )二、课上探究：（一）典型例题Array例1：AB=AC, AD=AD’,∠CAB=∠DAD' =900,求证：△ABD ≌△ACD'_PC例2：如图，在四边形ABCD 中，∠ADC=∠ABC =900 , AD=CD, DP ⊥AB 于P,若四边形ABCD 的面积是18，求DP 的长。
（二）综合应用已知：正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，AF 为∠E AD 的平分线。
猜想：线段DF 、BE 、AE 的数量关系，并证明。
B三、小结:四、作业：1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的顶点都在格点上，点A、B的坐标分别为（－4，4）、（－6，2）．请按要求完成下列各题：⑴把△AOB向上平移4个单位后得到对应的△A1OB1，则点A1、B1的坐标分别是；⑵将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2OB2，在旋转过程中线段AO所扫过的面积为；2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,D 是AC延长线上一点，E是ABCD=BE, DE 交BC于F。
求证：EF=DF图1 图2 图3 图4 ABC DPFE3.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC 内有一点P ，且P A =3 ，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP C '，连接PP '，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．PCBAABC PP 'D P ACB请你回答：图1中∠APB 的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且P A=PB =1，PD，则∠APB 的度数等于 ，正方形的边长为 ；（2）如图4，在正六边形ABCDEF 内有一点P ，且P A =2，PB =1，PF则∠APB 的度数等于 ，正六边形的边长为 ．4挑战中考：请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ．（2）D A BE F C P G 图1 D C G PA B F图2。
旋转变换的应用
旋转变换的应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（旋转变换的应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为旋转变换的应用的全部内容。
第四节旋转变换的应用一、课标导航1.旋转变换的基本性质①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等。
②对应边所夹的角等于旋转角。
2.常见的几种基本旋转图形3。
常见的添加辅助线的方法旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等规则的图形上,其功能还是把分散的条件相对集中，以便于条件的综合与推演。
常用的方法有:（1)图形中出现等边三角形、等腰直角三角形和正方形，通常旋转60°或90°。
（2）图形中有线段的中点,通常旋转180°。
（3)图形中出现有公共端点且相等的线段,通常旋转夹角的度数。
(4）共端点或共线的三条线段转化到同一个三角形，通常考虑旋转。
本节重点讲解：一个性质、常用基本图形，常用的辅助线。
三、全能突破基础演练1．若点A的坐标为(6，3），O为帮战，将OA绕点O顺时针旋转90°得到OA＇,则点A＇的坐标是( ）．A．(3,-6） B．（—3,6） C．（-3，—6） D．（3，6）2.如图23-2-1所示,等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=a,O为AC中点，EO⊥OF，则BE+BF= ，四边形BEOF的面积为 .图23-2-13。
（1）如图23-2-2所示，在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC的长是 cm。
图23—2—2(2）如图23-2—3所示，在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积为49,则DP的长为 .图23—2-34.（1）如图23-3-4（a）所示，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，连接AD、BE相交于点P,求证：BE=AD。
九年级下册数学第25章知识点：旋转变换
九年级下册数学第25章知识点：旋转变换
1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状.
2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(3)旋转前、后的图形全等.
3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.
只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地应对新学习，达到长远目标。
由为您提供的九年级下册数学第25章知识点：旋转变换，祝您学习愉快!。
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1、点P(-2,1)关于原点对称的点的坐标是 （ ， ）关于x 轴对称的点的坐标是（ ， ）关于y 轴对称的点的坐标是（ ， ）。
2、正方形是中心对称图形，对称中心是 ，正方形也是轴对称图形，共有 条对称轴。
3、写出五个成中心对称的汉字 。
4、已知平面直角坐标系上的三个点O （0，0），Ａ（－1，1），Ｂ（－1，0），将∆ABO 绕点O 按顺时针方向旋转135度，则点Ａ、Ｂ的对应点Ａ’,B’的坐标分别是 、 。
5、右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则
每次旋转的度数可以是（ ）
A ．900
B ．600
C ．450
D ．300 6、如图所示，在图甲中，Rt △OAB 绕其直角顶点O 每次旋转90˚，旋转三次得到右边的图形．在图乙中，四边形OABC 绕O 点每次旋转120˚，旋转二次得到右边的图形．
下列图形中，不能通过上述方式得到的是 ( ) 7、四边形AECFk 中，AE=AF, ∠EAF=∠C=90°，AB ⊥FC 于B,且AB=BC,如图所示，若FC=10,EC=6,求四边形AECF 的面积。
(A) (B) (C) (D) 乙
O
A
B
C O A (C 1B
A 1(C 2
B 1 B 2
C (A 2
)
O
A
B
O A
B
A 3
B 3
B 1
A 1
B 2
A 2
甲
8、如图，已知∆ABC 中，AM 是中线。
求证：AB+AC>2AM.
9、如图所示菱形ABCD 中，AB=2, BAD=60°,E 是AB 的中点，Ｐ是对角线AC 上的一个动点，则ＰE ＋PB 的最小值是 。
10、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°，直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，Ｐ为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值为 。
11、已知，点P 是正方形ABCD 内的一点，连PA 、PB 、PC. （1）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的
位置（如图1）.
①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b <a ），求△PAB 旋
转到△P ′CB 的过程中边PA 所扫过区域（图1中阴
影部分）的面积；
图1 A B C D
P P′
A B
C
D
P
图2
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
（2）如图2，若PA2+PC2=2PB2，请说明点P必在对角线AC上. 12、如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°，边AB=6cm.
（1）求边AC和BC的值；
（2）求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积.
(结果用含π的代数式表示)
13、如图14―1，14―2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。
直角三角尺的
一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条
直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想。
⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
14、等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含300角的透明三角板，使300角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BP E ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交
BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． ① 探究１：△BP E 与△CFP 还
相似吗？（只需写出结论）
② 探究２：连结EF ，△BP E 与△PFE 是否相似？请说明理由；
③ 设EF=m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．
A B
C P
E F A
B C
P E F
图a 图b。