10-11(2)弯曲应力(0509)

b h (a)
已知h>b：
h
从抗弯强度来看，哪种放法更加合理？
P136 例题7.10
材料力学
b (b)
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
对于T字形截面， y1max y2 max , 则 Iz Wz1 , Wz 2 I z y1max y1max y2 max
z
y2 max M max max , Wz 2 对于低碳钢等材料， [ ] [ ], 因此只需计算
解：（1）作弯矩图
MB=12kN· m
问： B截面上的 Lmax 和 Y max 是否为整个梁上的 Lmax 和 Y max ？ 材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
6、弯曲正应力强度条件：
M max max [ ] Wz
可解决三方面问题：
（1）强度校核，即已知 M max , [ ],Wz , 检验梁是否安全；
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
所以纵向纤维ab的应变为:
ab ( y )d d yd y dx d ab
(a)
——横截面上距中性轴为y处的轴向变形规律。
曲率
1

(), 则 ();
曲率
1

(), 则 ();
1

C , y.
q=0.5KN/m
d 0.8 ，(1)试选择截面直径D； D
A
B
L=4m
(+)
M 图
1 2 qL 8
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
解：
由强度条件
1 2 M max qL 1.0 103 N.m 8
M max Wz D (1 ) 32 [ ]
3 4
材料力学
弯曲应力/弯曲时的剪应力 而
1 3 I z bh 12
6 FQ h 2 2 ( y ) P140 3 bh 4
因此矩形截面梁横截面上的
剪应力的大小沿着梁的高度按
抛物线规律分布。
并且
h y , 0; 2
y 0, max
3 FQ 3 FQ 2 bh 2 A

64
d 4,
Wz

32
d 3,
D
d z
Iz

64
(D d )
4 4

64
D4 (1 4 )
Wz

32
d ( ) D
D3 (1 4 )
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 注意：
（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截
面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中
1

C.
——横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y成比例。 当 y 0时,
0；
应力为零的点的连线。 M
y ymax时, max .
与实验结果相符。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
（3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式

M dA
z(中性轴) M x

D 0.113m
(2)若外径D增加一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？ 解：若外径D增加一倍，则 D 0.226m, 仍由强度条件，得
M max
材料力学
1 2 qL W [ ] D3 (1 4 )[ ] z 8 32
q 4.0KN .m
课后思考题 矩形梁平放（a）和竖放（b），
确定。
z
-M
材料力学
z
材料力学
例题
例：T形截面的外伸梁如下图，惯性矩 I z 2.9 105 m4 ，试作 横截面B上的正应力分布图。
12KN A P1=32KN 36KN C P2=16KN 20 Y 60.7MPa y1=146.8 200 40 8KN· m 160 Z
B
D
1m
1m
M M
横截面上 只有正应 力无剪应 力
材料力学
M
凹边缩短
长度保持 不变的纵 向纤维
凸边伸长 纵向纤维间无挤压作用
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
中性层——杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。
中性轴——中性层与横截面的交线。
中性轴
中性轴
中性层
4、平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。
第六章 弯曲应力
材料力学
一、纯弯曲时梁横截面上的正应力
材料力学
飞机机翅的弯曲强度问题
工程背景
飞机在飞行中，机翅受到强大的气流载荷作用
材料力学
工程背景
机毁人亡
材料力学
桥梁的受弯破坏问题
工程背景
材料力学
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹桥 发生垮塌，造成：
40人死亡； 14人受伤； 直接经济损失631万元。
M max （2）设计截面，即已知 M max , [ ], 可由 Wz 确定 [ ]
截面的尺寸；
（3）求许可载荷，即已知 WZ , [ ], 可由 M max Wz [ ] 确定。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
例6-1 一简支梁受力如图所示。已知 [ ] 12MPa，空心圆截面 的内外径之比 (2)若外径D增加一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？
( M dM ) y1 2 Iz
M Iz

A1
M dM y1dA bdx Iz dM bdx Iz
* z

A1
y1dA 0

A1
y1dA
S
* dM S FQ S z dx bI z bIz
* z
材料力学
FQ
弯曲应力/弯曲时的剪应力 P140
公式7.28
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
5、理论分析 （1）变形分布规律
m
o1
o
n
o2
dx

y
变形后 y b
a´ b´
a m
n
——中性层o1o2的曲率半径， o——曲率中心， y——任意纵向纤维至中性层的距离 纵向纤维ab: 变形前
变形后
材料力学
ab o1o2 dx d ab ( y)d
m
k
n

l FQ
2 ∵dx很小，在 kl 面上可认为 FN 2
均布。

3、列平衡方程，由
F
x
0 ：
FN1 FQ FN 2 0
即
dA (bdx )
A1 1 A2
材料力学
2
dA 0
弯曲应力/弯曲时的剪应力 而 代入得：
My1 1 , Iz
1
为常数，挠取轴 是一条圆弧线
可得
EIz ——抗弯刚度。
正应力的计算公式为
y 上式代入式（b） E E
（b）
My Iz
!!!! P135
σ -----横截面上某点处的正应力 M -----横截面上的弯矩 Y ----纵向纤维至中性层的距离
材料力学
I z ----截面对中性轴的惯性矩。
当 y 0时, 0； y ymax时, max . 与实验结果相符。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
（2）应力分布规律
在线弹性范围内，应用胡克定律
ab y ab
y E E
y
(b)
对一定材料， E=C； 对一定截面，
二、弯曲时的剪应力
材料力学
弯曲应力/弯曲时的剪应力
假 设

在有剪应力存在的情形下， 弯曲正应力公式依然存在
剪应力方向与剪力的方向相同，并 沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于

狭长的矩形截面适用） 在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的
切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物性
关系”。
材料力学
弯曲应力/弯曲时的剪应力
0.5m
y2=53.2
(mm) 22.0MPa 横截面B
M图 12KN· m
（2）计算B截面上的正应力
M B y1 12 103 146.8 103 Y max 60.7 MPa 5 IZ 2.9 10 M B y2 12 103 53.2 103 Lmax 22.0 MPa 5 IZ 2.9 10

FQ S bIz
* z
（儒拉夫斯基公式）
式中符号意义：
：截面上距中性轴y处的剪应力
c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
b：y处的宽度
对于矩形：
* z
yc
h b
y z
h y b h2 h * * 2 ] ( y2 ) Sz A yc b( y ) [ y 2 2 2 4
M max max Wz1


max
对于铸铁材料，

M max [ ] W z2
[ ] [ ],
P138 例题7.11 步骤（3） 因此需计算
材料力学
M max M max max [ ], max [ ] Wz 2 Wz1
由
F 0得 dA =0
x
A
dA

将(b)式代入，得
y(对称轴)

Sz 0
A
E
y

dA 0
(c)
E


A
ydA 0
E

S z Ayc 0
SZ---截面静矩 因此z轴通过截面形心，即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
考虑平衡条件
纯弯曲
横力 纯弯曲——梁弯曲变形时， 弯曲
横截面上只有弯矩而无剪 力（ M 0, FQ 0 ）。
a L
F
F (+)
F
横力弯曲——梁弯曲变形 时，横截面上既有弯矩又
Fa
FQ 图
(-) -F
有剪力（ M 0, FQ 0 ）。
(+) M-图
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力

材料力学
弯曲正应力——课堂问题
工程背景
如何从梁受弯角度分析油轮的破坏？
材料力学
由前面的工程实例可知：
工程背景
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。 弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。 研究弯曲强度问题 受弯构件内
应力的分布规律
危险部位极值应力的大小和方向
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 横力 F 弯曲 a F
正应力分析方法
1. 2. 3.
4. 5. 6.
外力分析（确定约束反力） 内力分析（绘剪力图、弯矩图） 平面假定与变形协调方程
应变分布与应力分布 应用静力学方程确定待定常数 正应力表达式
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
1、研究对象：等直细长对称截面梁
2、前提: (a)小变形——在弹性变形范围内， (b)满足平面弯曲条件， （c）纯弯曲。 3、实验观察:

M dA dA
z x
M
z
M
M z A (dA) y

y A E dA
2
y
E 2 A y dA M
Iz
E Iz M
1
(e)
I z 为截面对中性轴的惯性矩。
材料力学
M EI z
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
可得挠曲轴的曲率方程：
M EI z
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
横截面上最大正应力为
max
M max ymax M max M max Iz I z / ymax Wz
My Iz
Iz ——截面的抗弯截面模量，反映了截面 Wz ymax 的几何形状、尺寸对强度的影响。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
（一）矩形截面
m A
dx n m
n
F B b
分析方法（截面法）： 1、沿 mm,nn 截面截开， 取微段dx。 m n
FQ
h
L
M
FQ
M+dM
(+)
FQ 图
m
n
(-)
1
m
k l
n
2

(+)
材料力学
M 图
m
n
弯曲应力/弯曲时的剪应力 2、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：
1
FN 1
性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离。 （2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布 的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力 最大。
材料力学
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力
（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来
P140
公式7.29
材料力学
弯曲应力/弯曲时的剪应力
（二）工字形截面梁的弯曲切应力 1、腹板
* FQ S z
( y)
式中
I z
翼缘
y
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z
(y)：截面上距中性轴y处的剪应力
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： z h b
1 3 1 2 I z bh , Wz bh 12 6
平放：
b
h
材料力学
z´
1 1 2 3 I z hb , Wz hb 12 6
若h>b, 则
Wz Wz 。
弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力 d z
Iz