第4章树(自考)

/*先根遍历以r的右孩子为根的右子树*/
}；
24
递归调用函数preorder
preorder(A)
参数为根A
A
函数preorder 参数为根∧ return
参数为根D 调用
返回 调用
第四章
函数preorder
参数为根B 调用 返回
B
D E
C
输出A preorder( A->lchild) preorder( A->rchild)
13
第四章 4.2.2 二叉树的性质 5、性质5： 对有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号 （从第1层到第【log2n】+1层，每层从左到右), 则对任一结点i（1≤i≤n),有： （1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根； 如果i>1，则i的双亲是结点【i/2】; （2）如果2*i≤n，则其左孩子是结点2*i, 否则，结点i无左孩子且为叶子结点； （3）如果2*i＋1≤n，则其右孩子是结点2*i＋1， 否则，结点i无右孩子。 A 1 B2 D 4 H 8 I 9 C 3 G 7
●度——
结点度：该结点的子树数（即分支数）。 树的度：树中结点最大度。
●叶结点（终端结点）——度为零的结点。 ●非终端结点——度不为零的结点。 ●孩子——结点的子树根称为该结点的孩子。 ●双亲——一个结点称为该结点所有子树根的双亲。 ●祖先——结点祖先指根到此结点的一条路径上的所有结点。
●子孙——从某结点到叶结点的分支上的所有结点称为该结
调用
输出C preorder( C->lchild)
参数为根E
preorder( 参数为根∧ 调用 C->rchild)
return
返回
输出E preorder( E->lchild)
调用
函数preorder 参数为根∧
return
调用
preorder( E->rchild)
函数preorder 参数为根∧
4.3.1 二叉树的顺序存储结构
第四章
它是用一组连续的存储单元存储二叉树的数据元素。因此，必须 把二叉树的所有结点安排成为一个恰当的序列，结点在这个序列中的 相互位置能反映出结点之间的逻辑关系，可用编号的方法。
二叉树的顺序存储结构——即对二叉树按完全二 叉树进行编号，然后用一维数组存储，其中编号 为i的结点存储在数组中下标为i的分量中。 ——该方法称为“以编号为地址”策略
4. 树形结构中，若结点Ａ有４个兄弟，Ｂ是Ａ的双亲，则Ｂ的度为
____________。
5. 深度为15的满二叉树上，第11层有____ _____个结点。
6. 三个结点可构成____ ____种不同形态的二叉树。 7. 三个结点可构成____ ____种不同形态的二叉树。
16
4.3 二叉树的存储结构
即：叶结点数n0=度为2的结点数n2+1
10
第四章 4.2.2 二叉树的性质
▲满二叉树——深度为k且有2k-1个结点的二叉树。
1
2 3
4
5
6
7
满二叉树（结点数=23-1=7）
▲满二叉树中结点顺序编号：即从第一层结点开始自上 而下，从左到右进行连续编号。
11
第四章 4.2.2 二叉树的性质
▲完全二叉树——深度为K的二叉树中，K-1层 结点数是满的(2k-2 )，K层结点是左连续的(即 结点编号是连续的)。如下图（a）
14
E F 6 5 J 10
第四章
思考题:
▲深度为5的二叉树
结点数最少 5 个?
结点数最多 31 个?
结点数最少 16 个? 结点数最多 31 个?
▲深度为5的完全二叉树
▲一棵完全二叉树,结点总数n=980,问:
该二叉树的深度=?
——性质4
最下层结点个数=? ——性质2 度为1的结点个数n1=?——完全二叉树定义 叶结点个数n0=?
第四章
1
第四章
4.1 树的基本概念 4.2 二叉树 4.3 二叉树的存储结构 4.4 二叉树的遍历 4.5 树和森林
4.6 哈夫曼树
2
4.1 树的定义和基本术语
第四章
树型结构是一类重要的非线性结构。树型结构是结点之间有分支， 并且具有层次关系的结构，它非常类似于自然界中的树。树结构在客观 世界中是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可用树形象地表示。 树在计算机领域中也有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示 源程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；在分析算法 的行为时，可用树来描述其执行过程等等。
20
例：
A
T A
第四章 4.3 二叉树的存储结构
^ B B
D F G C 二叉链表
C ^ D ^ E ^ G ^ ^ H ^
E
H ^ F ^
注：在含n个结点的二叉链表中有n+1个空链域.
▲三叉链表表示法： 结点形式：
lchild data parent 指向双亲 rchild
21
4.4 二叉树的遍历
调用
输出B preorder( B->lchild)
函数preorder 参数为根∧ return 函数preorder 参数为根∧ return
Preorder( B->rchild)
调用
输出D preorder( D->lchild)
函数preorder
参数为根C
调用
preorder( D->rchild)
≤2
有(左、右)
4、二叉树的基本操作（见P77）
8
4.2.1 二叉树的定义
第四章
二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一棵子树 也要进行区分，说明它是左子树，还是右子树。这是二叉树与树的 最主要的差别。下图列出二叉树的5种基本形态，图(C) 和（d）是 不同的两棵二叉树。
A
A
A
A
(a)
空二叉树
return
25
第四章
Байду номын сангаас
2、中根遍历运算（递归算法） ▲步骤：若二叉树为空，则退出； 否则: （1）中根遍历根的左子树； （2）访问根结点； （3）中根遍历根的右子树。 ▲ 算法：
(b)
根和空的 左右子树
(c)
根和左子树
(d)
根和右子树
(e)
根和左右子树
二叉树的5种形式
9
第四章
4.2.2 二叉树的性质（★）
二叉树具有下列重要性质：
1、性质1： 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。
2、性质2：深度为k的二叉树至多有2k－1个结点。 3、性质3：对任何一棵二叉树，如果其终端结点 数为n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。
19
第四章
4.3.2 二叉树的链式存储结构
▲二叉链表表示法： 结点形式：
lchild data rchild
左孩指针—指向其左孩结点； 右孩指针—指向其右孩结点； ▲二叉链表类型定义
typedef struct btnode { datatype data; struct btnode *lchild,*rchild; }*bitreptr;——二叉链表类型
1 a 2 b
c e f k
5 e 6 f 7 g
g
i
3 c 4 d
j
l
8 h 9 10 11 12 i j k l
18
第四章
▲用于一般二叉树： （浪费空间）
B
D F 10 E
A C
G
Ø 表示该处没有元素存在
1 A
2 B
3 C
4 D
5 E
6 Ø
7 Ø
8 Ø
9 Ø
10 11 F G
▲用于单分支二叉树则存储空间浪费极大。
a、文氏图法： E F
A
——第一层
B
C
D
G
第二层 第三层
C
E B F A b、嵌套括号法： (根(子树,子树…子树)) ( A ( B ( E, F ), C , D ( G ) )
C D
G
G D c、凹入法表示： 根A
B
E F
4
第四章
三、树的基本术语 ●结点—由一个数据元素及若干指向其它结点的分支所组成。
一、遍历含义
第四章
在二叉树的一些应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的 结点，或者对树中全部结点逐一进行某种处理。这就引入了遍历二 叉树的问题。
遍历二叉树——是指按一定规律对二叉树中的每 个结点访问且仅访问一次——即访遍树中每一结 点（只一次），打印或处理结点。
遍历对线性结构是容易解决的，而二叉树是非线性的，因而需 要寻找一种规律（或次序），能把二叉树上的各结点都访问一次且 只访问一次。
——性质3
15
思考题
请你给出答案
想一想 第四章
1. 树最适合用来表示( ) A.有序数据元素 B.无序数据元素 C.元素之间具有分支层次关系的数据 D.元素之间无联系的数据
2. 根据定义，树的叶子结点其度数（ ） A. 必大于0 B. 必等于0 C.必等于1 D.必等于2
3. 对一棵有100个结点的完全二叉树按层序编号，则编号为49的结 点，它的左孩子的编号为（ ） A. 99 B. 98 C. 97 D. 50
这是一个递归定义。 二叉树可以是空集合， 根可以有空的左子树 或空的右子树。
F B C
D
G
E H
7
第四章
2、特点： ①二叉树可以是空的，称空二叉树； ②每个结点最多只能有两个孩子； ③子树有左、右之分且次序不能颠倒。
３、二叉树与树的比较：