精品课件-电路与信号分析-第6章

式中，jωL1、jωL2称为自感阻抗；jωM称为互感阻抗。耦合电 感相量模型如图6-6(a)和(b)所示，相应的用受控源表示互感电 压的耦合电感相量模型如图6-7(a)和(b)所示。
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第6章 耦合电感与变压器电路分析
图6-6 耦合电感相量模型
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图6-7 用受控源表示互感电压的耦合电感相量模型
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6.1.4 耦合线圈的耦合系数 一般情况下，流经耦合线圈的电流所产生的磁通只有部分
与另一线圈铰链，彼此不铰链的那部分磁通称为漏磁通。而耦合 线圈的互感量反映了一个线圈在另一个线圈产生磁链的能力。工 程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，把两个线圈 的互感磁链与自感磁链的比值的几何平均值定义为耦合系数，并 用符号k表示，即
图6-9 耦合电感的串联 (a) 顺串；(b) 反串；(c) 顺串等效电感；(d) 反串等效电感
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设耦合电感线圈上的电压电流取图6-9所示关联参考方向， 则由耦合电感的伏安关系可得两种连接方式的串联电路的伏安关 系为
di di di di u u1 u2 L1 dt M dt L2 dt M dt
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M21
di1
dt
(6-4)
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式(6-4)即为耦合电感的伏安关系式。该式表明：耦合电感的每 一线圈的感应电压包括两部分，一部分是由线圈自磁链产生的自 感电压(uL1或uL2)，另一部分是由互磁链产生的互感电压(uM1或 uM2)。根据电磁感应定律，若自感电压和互感电压的参考方向与 产生该感应电压的磁链的参考方向符合右手螺旋法则，当线圈的 电流与电压取关联参考方向时，自感电压前的符号总为正；而互 感电压前的符号可正可负，当互磁链与自磁链的参考方向一致时 取正号，反之取负号。
(6-1)
12
N111 N112 11 12 N222 N221 22 2
1
4
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其中，Φ11、Φ22分别为电流i1、i2流经线圈Ⅰ、Ⅱ所产生的 磁通，称为自感磁通；Φ12、Φ21分别是Φ11、Φ22中与相邻线圈 铰链的部分磁通，称为互感磁通；Ψnn=NnΦnn(n=1，2)表示线圈 n的线圈电流在线圈n中产生的磁链，称为自感磁链； Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示线圈m的线圈电流在线圈 n中产生的磁链，称为互感磁链；Ψ1、Ψ2分别是线圈Ⅰ、Ⅱ的总 磁链。
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在耦合线圈绕向无法知道的情况下，若需确定同名端，可用
图6-3所示试验方法测定：在该电路中，当开关S闭合时，i1将从
线圈 Ⅰ 的a端流入，且
di1，如0 果电压表正向偏转，表示线
dt
圈 Ⅱ 中的互感电压
uM 2
M
di1，则0 可判定电压表的正极所 dt
接端钮c与i1的流入端钮a为同名端；反之，如果电压表反向偏转，
(6-6)
k 12 21 11 22
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又因为Ψ11=L1i1，Ψ21=Mi1，Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式 (6-6)后有
(6-7)
k M L1L2
由于一般情况下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，所以k≤1。k＝1时
称为全耦合，此时一个线圈中电流产生的磁通全部与另一线圈铰
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图6-4 耦合电感的电路模型
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图6-5 用受控源表示互感电压时耦合电感的电路模型
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在正弦稳态电路中，式(6-4)所述耦合电感伏安关系的相量 形式为
(6-5)
UU12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
jL1I1 jMI2 jL2I2 jMI1
第6章 耦合电感与变压器电路分析
第6章 耦合电感与变压器电路分析
6.1 耦合电感元件 6.2 耦合电感的去耦等效 6.3 空芯变压器电路分析 6.4 理想变压器 6.5 一般变压器 习题6
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6.1 耦合电感元件
6.1.1 耦合电感的伏安关系 当一线圈中通以变化电流时，将在线圈中产生变化的磁通。
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6.2.1 耦合电感的串联 耦合电感两线圈的串联有两种连接方式：一种是如图6-9(a)
所示，将耦合电感线圈的两个异名端连在一起并通以同一个电流， 称为顺串；另一种是如图6-9(b)所示，将耦合电感线圈的两个同 名端连在一起并通以同一个电流，称为反串。
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从耦合电感的伏安关系式可以看出，由两个线圈组成的耦合 电感是一个由L1、L2和M三个参数表征的四端元件，并且由于它的 自感电压和互感电压分别与线圈中的电流的变化率成正比，因此 是一种动态元件、记忆元件。
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6.1.2 耦合线圈的同名端 由前面的分析可知，互磁链与自磁链的参考方向是否一致不
压
uM 2
。
M
di1 dt
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图6-8 例6-1图
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由此可得该耦合电感的伏安关系为
u1
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
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6.2 耦合电感的去耦等效
di
di
(6-8) (L1 L2 2M ) dt Leq dt
式中，M前的正号对应于顺串，负号对应于反串。 式(6-8)表明，作串联连接的耦合电感在电路中可等效为一
用图6-4(a)和(b)所示电路模型表示，图中L1、L2是自感系数，M 是它们之间的互感系数，“·”或“*”表示同名端。
由于耦合电感中的互感反映了耦合电感线圈间的耦合关系， 为了在电路模型中以较明显的方式将这种耦合关系表示出来，各 线圈中的互感电压可用CCVS表示。若用受控源表示互感电压，则 图6-4(a)和(b)所示耦合电感可用图6-5(a)和(b)所示的电路模型 表示。显然在这里，电感L1和L2之间已没有了耦合关系。
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若两线圈匝数分别为N1、N2，且线圈的每匝都全部铰链，选 定线圈中各部分磁链的参考方向与产生该磁链的线圈电流的参考 方向符合右手螺旋法则，每个线圈的总磁链的参考方向与它所在 线圈电流的参考方向也符合右手螺旋法则，则各线圈总磁链在图 6-1(a)所示电流参考方向下可表示为
图6-2 耦合电感的同名端
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有了同名端的概念，再根据设定电压、电流的参考方向，比 较图6-1(a)、(b)及其相应的伏安关系式(6-4)，我们不难得出直 接列写耦合电感伏安关系式的具体规则：若自感电压与产生该电 压的电流参考方向为关联参考，且耦合电感线圈电压与自感电压 方向一致，则自感电压前取正号，否则取负号；若耦合电感线圈 的电压正极性端与另一线圈的电流流入端为同名端，则该线圈的 互感电压前取正号，否则取负号。
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当流经耗合线圈的电流变化时，与线圈铰链的磁通要作相应 的变化，并在线圈两端产生感应电压。设各线圈电压电流均取关 联参考方向，则根据电磁感应定律可得
u1
d1
dt
d(11 12)
dt
uL1 uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d1
dt
d(22 21)
dt
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考虑相互靠近的两个线圈如图6-1(a)所示。设通过线圈Ⅰ的 电流为i1，通过线圈Ⅱ的电流为i2，由于两个线圈之间存在磁耦 合，因此每个线圈电流所产生的磁通不仅要与本线圈铰链形成磁 链，而且有部分甚至全部还将与相邻的另一线圈铰链形成磁链， 所以每个线圈中的磁链将由本线圈电流所产生磁链和相邻线圈电 流所产生磁链两部分组成。
仅与设定的两线圈电流的参考方向有关，还与线圈的绕向及线圈 间的相对位置有关。实际的线圈往往是密封的，难以根据磁通方 向来确定互感电压的参考方向，其次在图上也不便画出线圈的绕 向及相对位置。为了解决这一问题，引入同名端的概念。所谓同 名端，是指耦合线圈中这样一对端纽：当线圈电流同时流入(或 流出)该对端纽时，它们所产生的磁链是相互加强的，即线圈中 的自磁链与互磁链的参考方向是一致的。同名端通常用标志 “·”(或“*”)表示。
式称自中感，，L单1 位i为111 亨， ［L2利］i2(22H分)；别称为M线12圈Ⅰi21、2 ，Ⅱ的M自21感 系i12数1 ，，简
称为互感系数，简称互感，单位为亨［利］(H)。可以证明 M12=M21，表明互感的互易性质。因此，当只有两个线圈有耦合时 可以略去M的下标，即可令M=M12=M21。
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第6章 耦合电感与变压器电路分析
图6-1 耦合线圈 (a) 自磁链和互磁链参考方向一致；(b) 自磁链和互磁链参考方
向不一致
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第6章 耦合电感与变压器电路分析
由于线圈自磁链的参考方向由本线圈的电流按右手螺旋法则 决定，而互磁链的参考方向则由相邻线圈的电流按右手螺旋法则 决定，故随着线圈电流的参考方向和线圈绕向以及线圈间的相对 位置的不同，自磁链与互磁链的参考方向可能一致也可能相反。 如当线圈绕向和电流的参考方向如图6-1(a)所示时，每个线圈中 的自磁链和互磁链的参考方向均一致；而当线圈绕向和电流的参 考方向如图6-1(b)所示时，每个线圈中的自磁链和互磁链的参考 方向均不一致。因此耦合线圈中的总磁链可表示为