专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法一、概述二元一次方程组是由两个同时存在的一次方程组成的方程组，可形式化地表示为：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知系数，x、y为未知数。
本文将介绍三种常见的解法：代入法、消元法和Cramer法。
二、代入法代入法是通过求解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而得到未知数的解。
以下为代入法的步骤：1. 选择一个方程，将其中一个未知数用另一个未知数表示，即得到一个未知数的表达式。
2. 将该表达式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
3. 解这个含有一个未知数的方程，求解得到第一个未知数的值。
4. 将求得的第一个未知数的值代入任意一个方程中，求解得到第二个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
三、消元法消元法是通过对方程组进行变形，使得一方程的一个未知数系数与另一个方程相应未知数系数的乘积相等，从而消除一个未知数。
以下为消元法的步骤：1. 将方程组进行适当的变形，使得两个方程中一个未知数的系数相等或者成比例。
2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含有另一个未知数的方程。
3. 解这个只含一个未知数的方程，求得某个未知数的值。
4. 将求得的未知数值代入任意一个方程中，求解得到另一个未知数的值。
5. 验证解是否满足原方程组，若满足则为正确答案，否则继续调整求解过程。
四、Cramer法Cramer法是利用行列式的性质来求解二元一次方程组。
该方法要求方程组的系数行列式不为零。
以下为Cramer法的步骤：1. 计算原方程组系数行列式D。
2. 分别将方程组中第一个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数x的系数行列式Dx。
3. 将方程组中第二个未知数的系数替换为等号右边的值，计算得到未知数y的系数行列式Dy。
4. 分别计算未知数x和y的值，即x = Dx / D，y = Dy / D。
二元一次方程组怎么解
二元一次方程组怎么解二元一次方程组是高中数学中的一种基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
它由两个包含两个未知数的方程组成，通常可以用代数方法或图形方法求解。
在本文中，我们将讨论二元一次方程组的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 代数解法代数解法是求解二元一次方程组的传统方法。
它的基本思想是通过等式的转化将两个方程中的某一个未知数消去，从而得到只包含另一个未知数的方程，再通过解这个方程得到另一个未知数的值。
最后，再将这个值带入原来的方程中，求出另一个未知数的值。
下面以一个典型的例子来说明。
例1：求解方程组 2x + y = 7 x + y = 4解：观察这两个方程，我们可以发现它们含有相同的未知数y，因此我们可以通过消去y的方法来求解。
为此，我们将第二个方程的等式两边都减去y，得到如下方程：x = 4 - y现在，我们将这个x的值代入第一个方程，得到：2(4 - y) + y = 7化简这个方程，得到：8 - y + y = 7因此，y的值为1。
然后，我们将这个y的值代入第二个方程，得到：x + 1 = 4因此，x的值为3。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
2. 图形解法图形解法是另一种求解二元一次方程组的方法，它的基本思想是将两个方程表示成直线的形式，然后通过解直线方程的交点来求解方程组。
具体来说，我们可以将两个方程表示成如下形式：y = -2x + 7 y = -x + 4利用直线的斜率和截距，我们可以画出这两条直线。
这两条直线的交点就是方程组的解。
下图是这两条直线的图像。
从图中可以看出，这两条直线在（3,1）这个点相交。
因此，这个方程组的解为（x,y）=（3,1）。
3. 矩阵解法矩阵解法是一种更为简便和通用的求解二元一次方程组的方法。
它的基本思想是将方程组表示成矩阵的形式，然后通过矩阵的运算求解。
具体来说，我们可以将方程组表示成如下矩阵形式：Ax = b其中，A是一个2×2的矩阵，x和b都是2×1的列向量，分别表示未知数和方程组的常数项。
二元一次方程组 解法
二元一次方程组解法
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的线性方程组成的方程组，一般形式如下：
ax + by = c
dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f均为已知数，而x、y为未知数。
解二元一次方程组有以下两种方法：
1.代入法
用其中一个方程把x或y表示出来，代入另一个方程，解得另一个未
知数，再将两个未知数代入其中一个方程，检查是否符合条件。
2.消元法
这个方法我们也叫做高斯消元法或者高斯-约旦消元法。
主要步骤如下：
(1) 将方程组的系数矩阵写出来；
(2) 利用初等变换，将系数矩阵消元为上三角矩阵；
(3) 具体方法是以第一行元素为主元，对其他行逐一进行消元；
(4) 化为上三角矩阵后，用回代法求出方程组的解。
以上就是二元一次方程组的解法，希望对您有所帮助。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，一元一次方程是我们最常见的方程类型，例如 "2x + 3 = 7"。
然而，有时一个问题需要我们同时考虑两个未知数，这就涉及到了二元一次方程组。
本文将介绍二元一次方程组的解法，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、图形法解决二元一次方程组的一种方法是使用图形法。
通过在坐标系中绘制方程组的解，我们可以直观地找到它们的交点。
例如，考虑以下方程组：2x + y = 5 （方程组1）x - y = 3 （方程组2）为了绘制这个方程组，我们可以将每个方程看作一个直线，然后找到它们的交点。
首先，我们来绘制方程组1。
将x取不同的值（例如 -5，0和5），计算相应的y值。
我们得到以下坐标点：(-5, 15)，(0, 5)和(5, -5)。
在坐标系中，连接这些点，我们得到一条斜率为-2的直线。
接下来，我们绘制方程组2。
同样地，我们计算不同x值对应的y 值。
得到的坐标点为(-2, -5)，(1, -2)和(4, 1)。
在坐标系中，连接这些点，我们得到一条斜率为1的直线。
通过观察图形，我们可以看到这两条直线在点(2, 1)交叉，因此，这个方程组的解是x = 2，y = 1。
二、代入法另一种求解二元一次方程组的方法是代入法。
我们可以通过将一个方程中的一个变量表示为另一个方程中的变量的函数，然后代入到另一个方程中，从而找到变量的值。
考虑以下方程组：3x - y = 7 （方程组3）x + 2y = 5 （方程组4）我们可以从方程组4中得到x的表达式：x = 5 - 2y。
将这个表达式代入到方程组3中，得到3(5 - 2y) - y = 7。
通过解这个方程，我们可以找到y的值。
将y = 1代入x = 5 - 2y中，我们可以求解得到x = 3。
因此，这个方程组的解是x = 3，y = 1。
三、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
通过对方程组进行一系列的加、减、乘、除操作，我们可以逐步消除其中一个变量，从而得到另一个变量的值。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法一、图形法解二元一次方程组可以使用图形法来进行求解。
图形法的基本思想是将方程组表示在坐标系中，通过观察图像的交点确定方程组的解。
具体步骤如下：1. 将两个方程分别表示在坐标系中，作出对应的直线。
2. 观察两条直线的交点，如果两条直线相交于一个点，则该点为方程组的解。
3. 如果两条直线平行，即不相交，则方程组无解。
4. 如果两条直线重合，即完全重合在一起，则方程组有无限多解。
二、代入法代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。
代入法的基本思想是将其中一个方程的变量表示为另一个方程的变量，然后代入到另一个方程中进行求解。
具体步骤如下：1. 选取其中一个方程，将其中一个变量表示为另一个方程的变量。
2. 将表示后的变量代入到另一个方程中，得到一个一元一次方程。
3. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
4. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
三、消元法消元法是解二元一次方程组常用的方法之一。
消元法的基本思想是通过消去一个变量，将方程组化简为只包含一个变量的方程，然后进行求解。
具体步骤如下：1. 确定一个目标，选择其中一个方程，通过变换使得其中一个方程的一个变量的系数和另一个方程的对应变量的系数相等或相反数。
2. 将选择的方程两边同乘以适当的数使得系数相等或相反数。
3. 将上述变换后的方程两方程对应的相应项相减，得到一个只包含一个变量的方程。
4. 求解一元一次方程得到一个变量的值。
5. 将求得的变量值代入到原方程中，得到另一个变量的值。
四、等价变形法等价变形法是解二元一次方程组常用的方法之一。
等价变形法的基本思想是通过对方程进行等价变形，将方程组化简成更容易求解的形式。
具体步骤如下：1. 对方程组的两个方程进行等式变形，使得方程组的形式更加简化。
2. 对方程组进行加减运算，使得一个未知数的系数相等或相反数。
3. 利用一次方程的等价性，解得一个未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入到方程组中，求得另一个未知数的值。
二元一次方程组的巧妙解法
(\begin{cases}
2x + y = 8 \
x - y = 1
\end{cases})
将两式相加得3x=9，解得x=3，再代入求y=2。
乘除消元法
通过对方程组中的方程进行乘除运算，使一个未知数的系数相等或互为相反数，然后相加或相减消元。
方程组：
(\begin{cases}
3x + 2y = 8 \
构造矩阵(ad be )和向量(cf )，通过矩阵逆运算求解。
2x + y = 5
\end{cases})
将第一个பைடு நூலகம்程乘以21 得23 x+y=4，再与第二个方程相减得21 x=−1，解得x=−2，再代入求y=7。
矩阵法
使用矩阵表示方程组，通过矩阵运算求解。
方程组：
(\begin{cases}
ax + by = c \
dx + ey = f
\end{cases})
二元一次方程组的巧妙解法
解法名称
简要描述
示例
代入法
从方程组中解出一个未知数的表达式，然后代入另一个方程求解。
方程组：
(\begin{cases}
x + y = 5 \
y = 2x - 1
\end{cases})
代入y=2x−1到x+y=5中，解得x=2，再代入求y=3。
加减消元法
通过对方程组中的方程进行相加或相减，消去一个未知数，从而求解。
解二元一次方程组的方法与实例
解二元一次方程组的方法与实例在初中数学学习中，解二元一次方程组是一个重要的内容。
通过解方程组，我们可以找到两个变量之间的关系，解决实际问题。
本文将介绍解二元一次方程组的方法，并通过实例进行说明。
一、图解法图解法是一种直观的解方程组的方法。
我们可以将方程组表示为两条直线，通过观察两条直线的交点来得到方程组的解。
例如，考虑以下方程组：2x + y = 5x - y = 1我们可以将两个方程分别表示为直线的斜截式方程：y = -2x + 5y = x - 1通过绘制这两条直线，我们可以观察到它们的交点，即为方程组的解。
在这个例子中，两条直线交于点(2, 3)，因此方程组的解为x = 2，y = 3。
图解法的优点是直观易懂，适用于简单的方程组。
但对于复杂的方程组，图解法可能不够准确，我们需要使用其他方法。
二、代入法代入法是解方程组常用的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的一个变量表示为另一个方程的变量，然后代入另一个方程中求解。
考虑以下方程组：x + y = 52x - y = 1我们可以将第一个方程表示为y = 5 - x，然后将其代入第二个方程中：2x - (5 - x) = 1通过化简，我们得到3x = 6，解得x = 2。
将x = 2代入第一个方程中，我们可以得到y = 3。
因此，方程组的解为x = 2，y = 3。
代入法的优点是简单易行，适用于大多数情况。
但对于一些特殊的方程组，代入法可能会导致计算复杂，我们需要使用其他方法。
三、消元法消元法是解方程组的常用方法之一，它通过消去一个变量，将方程组转化为只含有一个变量的方程，然后求解。
考虑以下方程组：2x + 3y = 74x - 5y = 1我们可以通过乘以适当的系数，使得两个方程的系数相等，然后相减消去y的项。
在这个例子中，我们可以将第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得到：10x + 15y = 3512x - 15y = 3将这两个方程相加，我们可以消去y的项，得到22x = 38，解得x = 1。
专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
2.
解方程组：ìïïíïïî
2 2
015 016
x＋2 x＋2
016 017
y＝2 y＝2
017，① 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
- 24 y2 6
=
-
44 y2
=
. 11
本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其 中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知 数的式子去表示另外两个未知数．
1. 用代入法解方程组：
ìïïïíïïïî
x ＋ y ＝0，① 34 （2 x＋y）－（3 2
y－x）＝62.②
解：由①，得 x = 3
y 4.
设 x = - y ＝k，则x＝3k，y＝－4k. 34
将x＝3k，y＝－4k代入方程②，
得2(3k－4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k＝2.所以x＝6，y＝－8.
ìïïíïïî
x＝-1， y＝2.
观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如 果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大， 而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未 知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再 用代入法或加减法求解，更为简便．
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：ìïïíïïî
018的值．
解：依题意有(1)
ìïïíïïî
3 x－y＝5， 4x－7 y＝1，(2)
ìïïíïïî
ax－by＝4， ax＋by＝16.
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程构成的方程组。
解决这种方程组通常涉及到代数运算和求解变量的值，下面将介绍两种常见的解法。
一、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而得出另一个未知数的值的解法。
具体步骤如下：1. 首先，将其中一个方程解出一个未知数，例如解出x，得到x=...的表达式。
2. 将x的值代入到另一个方程中，得到一个只含有y的一次方程。
3. 解这个只含有y的一次方程，得到y的值。
4. 将求得的x和y的值代回到任意一个原方程中，验证两个方程是否同时成立。
通过以上步骤，我们可以得到二元一次方程组的解。
需要注意的是，有时候方程组可能有无解或者有无穷多解的情况，这种情况下需要额外的判断。
二、消元法消元法是一种通过消去一个未知数，从而得出另一个未知数的值的解法。
具体步骤如下：1. 将两个方程中的某一个未知数系数相等或者互为倍数，使得两个方程中的该未知数的系数相等或互为倍数。
2. 将第二个方程的系数乘以适当的倍数，使得该未知数的系数与第一个方程中的系数相等。
3. 两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一次方程。
4. 解这个只含有一个未知数的一次方程，得到该未知数的值。
5. 将求得的未知数的值代回到任意一个原方程中，验证两个方程是否同时成立。
通过以上步骤，我们可以得到二元一次方程组的解。
同样需要注意的是，方程组有时可能无解或有无穷多解的情况，需要做额外的判断。
总结：二元一次方程组的解法主要有代入法和消元法。
代入法通过将一个方程的解代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值；消元法通过消去一个未知数，求解另一个未知数的值。
通过这两种解法，我们可以得到二元一次方程组的解。
但需要注意的是，方程组有时可能无解或有无穷多解，需要做额外的判断。
二元一次方程的标准形式解法
二元一次方程的标准形式解法
二元一次方程的标准形式解法如下：
1、整体代入法。
整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入。
2、换元法。
换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个两思庆饭轮附般才喜药未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进李缺果若话诗行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法。
3、直接加减法。
直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单。
4、消常数项法。
5、相乘保留法。
6、科学记数法。
当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写。
7、系数化整法。
若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算。
8、对称法。
9、拆数法。
专题07 二元一次方程组(原卷版)-备战2024年中考数学一轮复习之必考点题型全归纳与分层精练
专题07二元一次方程组【专题目录】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【题型】一、二元一次方程组的有关概念【题型】二、用代入法解二元一次方程组【题型】三、用加减法解二元一次方程组【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组【题型】五、同解方程组【题型】六、列二元一次方程组【考纲要求】1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组【注意】1.解二元一次方程组的步骤（1）代入消元法①变：将其一个方程化为y =ax +b 或者为x =ay+b 的形式②代：将y =ax +b 或者为x =ay+b 代入另一个方程③解：解消元后的一元一次方程④求：将求得的未知数值代入y =ax +b 或x =ay+b ，求另一个未知数的值⑤答:写出答案（2）加减消元法①化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,②加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数③解：解消元后的一元一次方程方程组的解.加减法解二元一次方程组的一般步骤:a .方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b .把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;c.解这个一元一次方程;d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.常见运用题型解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s 甲+s 乙=s 总;追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程利润问题：利润=卖价-进价；利润率=进价利润×100%.数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字④求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值2.解二元一次方程组的方法选择（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法【技巧归纳】技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法【类型】一、引入参数法解二元一次方程组1．用代入法解方程组：＋y 6＝0，①x －y ）－4（3y ＋x ）＝85.②【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等2015x ＋2016y ＝2017，①016x ＋2017y ＝2018.②题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等3＋14y ＝40，①＋13y ＝41.②【类型】三、利用换元法解二元一次方程组4y ）＋4（x －y ）＝20，－x －y 2＝0.【类型】四、同解交换法解二元一次方程组5．已知关于x ，y －by ＝4，－y ＝5＋by ＝16，－7y ＝1的解相同，求(a －b)2018的值．【类型】五、运用主元法解二元一次方程组6－3y －3z ＝0，－3y －z ＝0(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用【类型】一、整体思想1．先阅读，然后解方程组．－y－1＝0，①（x－y）－y＝5②时，由①，得x－y＝1，③然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，从而进一步求得x＝0.＝0，＝－1.这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：0，2y＝9.2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．【类型】二、化繁为简思想3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：＋18y＝17，①＋16y＝15②时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③③×16，得16x＋16y＝16，④②－④，得x＝－1，将x＝－1代入③，得y＝2.＝－1，＝2.018x＋2017y＝2016，016x＋2015y＝2014.【类型】三、方程思想4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2018的值．【类型】四、换元思想6＋x－y3＝6，y）－5（x－y）＝2.【类型】五、数形结合思想7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？【类型】六、分类组合思想8－y ＝5，＋by ＝－1＋y ＝9，－4by ＝18有公共解，求a ，b 的值．技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值1．若关于x ，y－y ＝m ，＋my ＝n＝2，＝1，则|m －n|的值为()A ．1B ．3C ．5D ．22＝2，＝3＝－4，＝2是关于x ，y 的二元一次方程2ax －by ＝2的两组解，求a ，b 的值．【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值3．已知关于x ，y＋2y ＝3m ，－y ＝9m 的解也是方程3x ＋2y ＝17的解，求m 的值．【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值4．已知m ，n 互为相反数，关于x ，y＋ny ＝60，－y ＝8的解也互为相反数，求m ，n 的值．【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值5．关于x ，y＋5y ＝－6，－by ＝－4－5y ＝16，＋ay ＝－8有相同的解，求(2a ＋b)2018的值．【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值6＋y ＝5，－by ＝13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a＝72，＝－2；乙看错了方程组中的b＝3，＝－7.(1)甲把a 错看成了什么？乙把b 错看成了什么？(2)求出原方程组的正解．【题型讲解】【题型】一、二元一次方程组的有关概念例1、若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（）A．3B．3，－3CD．【题型】二、用代入法解二元一次方程组例2、二元一次方程组224x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是()A．2xy=⎧⎨=⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．31xy=⎧⎨=-⎩D．11xy=⎧⎨=⎩【题型】三、用加减法解二元一次方程组例3、由方程组+=43x my m⎧⎨-=⎩可得出x与y之间的关系是()．A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组例4、若方程组237351m nm n-=⎧⎨+=⎩的解是21mn=⎧⎨=-⎩，则方程组()()()()2132731521x yx y⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A．11xy=⎧⎨=⎩B．11xy=⎧⎨=-⎩C．31xy=⎧⎨=⎩D．33xy=⎧⎨=-⎩【题型】五、同解方程组例5、已知关于x，y的方程组2342x yax by-=⎧⎨+=⎩，与3564x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩，有相同的解，则a，b的值为（）A．21ab=-⎧⎨=⎩B．12ab=⎧⎨=-⎩C．12ab=⎧⎨=⎩D．12ab=-⎧⎨=-⎩【题型】六、列二元一次方程组例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩B．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩C．2392x yx y⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩D．2392x yx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩二元一次方程组（达标训练）一、单选题1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x 元，每棵柏树y 元，则列出的方程组正确的是（）A ．23120220x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．23120220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．23120220x y y x +=⎧⎨-=⎩D ．32120220x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2022·天津河北·一模）方程组282x y x y +=⎧⎨=⎩的解是()A ．21x y =⎧⎨=⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =⎧⎨=⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．（2022·天津红桥·三模）方程组21230x y y x +=-⎧⎨+=⎩的解是（）．A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．12x y =-⎧⎨=-⎩C ．23x y =-⎧⎨=⎩D ．23x y =⎧⎨=-⎩4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（）A ．1xy =B ．210x -=C ．1x y -=D ．11x y+=5．（2022·山东威海·一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则2a b -的值是（）A ．2-B ．2C ．3D ．3-二、填空题6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组26221x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y +的值为______．三、解答题8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②时，采用了一种“整体代入”的解法：解：由①得x ﹣y ＝1③将③代入②得：4×1﹣y ＝5，即y ＝﹣1把y ＝﹣1代入③得x ＝0，∴方程组的解为01x y =⎧⎨=-⎩请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程232235297x y x y y -=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩．二元一次方程组（提升测评）一、单选题1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式3aa 、b 的值分别是（）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和12．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组m −n =8m +n =1的解，则43m n +的立方根为（）A ．±1BC ．±D ．1-3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组233345x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是31x y =⎧⎨=⎩．现给出另一个二元一次方程组2(21)3(31)33(21)4(31)5x y x y +--=⎧⎨+--=⎩，它的解是（）A ．123x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩B ．123x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩C ．123x y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．123x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x 辆车，y 人，根据题意，列方程组是（）A ．2932y x y x =+⎧⎨=-⎩B ．293(2)y x y x =+⎧⎨=-⎩C ．2932y x y x =-⎧⎨=-⎩D ．()2932y x y x =-⎧⎨=-⎩5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于x ，y 的方程组436626x y x my -=⎧⎨+=⎩的解是整数，那么整数m 的值为（）A ．4，4-，5-，13B ．4，4-，5-，13-C ．4，4-，5，13D ．4-，5，5-，13二、填空题6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x 人，库绢有y 匹，则可列方程组为______．三、解答题7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：(1)1223334m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩；(2)6234()5()2x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩；(3)0.10.3 1.3123x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩；(4)23433x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩．8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．(1)求排球和篮球的单价．(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的23，如何购买总费用最少．(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，每个方程包含两个变量和一个等号。
解二元一次方程组的方法有三种：代入法、消元法和Cramer法。
下面将详细介绍这三种解法。
代入法:代入法是解二元一次方程组最直观的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的一个变量表示成另一个方程中相关变量的函数，然后代入到另一个方程中求解未知数。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1: 2x + 3y = 7方程2: 4x - y = 1首先，将方程2中的y表示为方程1中x的函数，即y = 4x - 1。
然后将y代入方程1中，得到2x + 3(4x - 1) = 7。
继续整理得到14x - 3 = 7，化简为14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入任一方程，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，此方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
代入法解二元一次方程组的关键是将一个方程的一个变量表示成另一个方程中的变量的函数，通过代入求解未知数。
消元法:消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过运用加减法，消去一个方程中的一个变量，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1: 2x + 3y = 7方程2: 4x - y = 1首先，将方程2的y系数乘以3，得到3(4x - y) = 3。
这样就得到了一个新的方程3(4x - y) = 3，将其与方程1相加，得到2x + 3y + 3(4x - y) = 7 + 3。
继续整理得到14x = 10，解得x = 5/7。
将x的值代入任一方程，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，此方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
消元法解二元一次方程组的关键在于通过加减法将一个变量消去，从而化简为含有一个未知数的方程，再进行求解。
二元一次方程组解法详解
二元一次方程组解法详解一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，晨旭教育培训中心所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．晨旭教育培训中心又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x 的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
解二元一次方程组的方法总结
解二元一次方程组的方法总结在数学中，二元一次方程组是由两个未知数的两个一次方程组成的方程组。
解二元一次方程组可以通过多种方法进行，本文将对常用的三种方法进行总结：代入法、消元法和Cramer法。
一、代入法代入法是解二元一次方程组中最基本的方法之一。
其基本思路是先解出其中一个方程中的一个未知数，然后将该未知数的值代入另一个方程中求解另一个未知数。
具体步骤如下：1. 选择一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数。
2. 将该表示式代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入步骤1中找到的表示式中，求解另一个未知数。
二、消元法消元法是解二元一次方程组中常用的一种方法。
其基本思路是通过适当的运算将方程组中的一个未知数的系数相消，从而转化为只含有一个未知数的方程。
具体步骤如下：1. 比较两个方程中未知数的系数，选择一个系数相等的未知数，使其相加或相减后系数为0。
2. 将两个方程中选中的未知数相加或相减，消去该未知数的项，得到只含有一个未知数的一次方程。
3. 解出该未知数的值。
4. 将得到的未知数的值代入其中一个原始方程中，求解另一个未知数。
三、Cramer法Cramer法是解二元一次方程组的另一种常用方法，它利用了行列式的性质进行求解。
该方法的主要思路是构建一个系数行列式，通过计算行列式的值来求解未知数。
具体步骤如下：1. 根据方程组的系数，构建一个增广矩阵。
2. 计算增广矩阵的系数行列式和各个未知数对应的余子式。
3. 将系数行列式除以未知数对应的余子式，得到各个未知数的值。
总结：解二元一次方程组的方法有代入法、消元法和Cramer法三种常用方法。
对于不同的情况，选择合适的方法可以更高效地求解方程组。
在实际应用中，针对具体问题的特点和要求选择合适的方法进行解题，可以提高解题的效率和准确性。
通过本文对这三种方法的总结，相信读者能够更好地掌握解二元一次方程组的技巧，提高解题能力。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法
二元一次方程是指含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组。
解决二元一次方程组的方法有三种常见的方法：代入法、消元法和等式相减法。
1.代入法：通过将其中一个方程的一个变量用另一个方程
中对应的变量表示，然后再将此代入另一个方程中，从而将方程组化简为只含有一个变量的一次方程，进而求解该方程得到一个变量的值，再将其代入另一个方程中求解另一个变量的值。
2.消元法：通过加减乘除等基本运算，将方程组中的某一
变量相消，使得方程组中只含有一个变量，并且求得该变量的值，再将该值代入另一个方程中求解另一个变量的值。
3.等式相减法：将两个方程相减，得到一个新的方程，该
方程中只含有一个变量，然后求解该方程得到一个变量的值，再将其代入原来的方程中求解另一个变量的值。
需要注意的是，无论使用哪种方法，最终的解都需要检验是否符合原方程组。
解题技巧：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略(原卷版) 七年级数学下册
专题04解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一求二元一次方程的正整数解】 (1)【考点二解二元一次方程组】 (1)【考点三二元一次方程组的错解复原问题】 (2)【考点四二元一次方程组的特殊解法】 (4)【考点五新定义型二元一次方程组问题】 (5)【过关检测】 (7)【典型例题】【考点一求二元一次方程的正整数解】x y+=的正整数解的对数是（）例题：（2023下·四川资阳·七年级校考期中）方程7A．5B．7C．6D．无数对【变式训练】【考点二解二元一次方程组】例题：（2024下·全国·七年级假期作业）解方程组：【变式训练】【考点三二元一次方程组的错解复原问题】例题：（2023下·七年级课时练习）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的问题：解方程组：34 6310 x yx y-=⎧⎨-=⎩①②解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴22 xy=⎧⎨=⎩(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________法，以上求解步骤中，马小虎同学从第________步开始出现错误；(2)请写出此题正确的解答过程．【变式训练】【考点四二元一次方程组的特殊解法】【变式训练】1．（2023上·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考期中）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组()()()()3523135237m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩时，采用了一种“整体换元”的解法，把5m +，3n +分别看成一个整体，设5m x +=，【考点五新定义型二元一次方程组问题】例题：（2023下·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）我们定义：若整式M 与N 满足：(M N k k +=为整数)，我们称M 与N 为关于k 的平衡整式．例如，若234x y +=，我们称2x 与3y 为关于4的平衡整式．(1)若25a -与49a +为关于1的平衡整式，求a 的值；(2)若310x -与y 为关于2的平衡整式，2x 与510y +为关于5的平衡整式，求x y +的值．【变式训练】1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）对于有理数x 、y 定义一种新运算“※”：规定x ※2y ax by =-+，等式右边是通常的四则运算．例如：2※122a b =-+．(1)若1※(1)4-=-，3※24=，求a 、b 的值；(2)若运算“※”满足交换律，即对于任意有理数x 、y 且x y ≠，都满足x ※y y =※x ，求a 、b 之间的数量关系．2．（2023下·湖北十堰·七年级校考阶段练习）对于有理数x ，y ，定义新运算：2x y x y *=-，2x y x y ⊗=+，其中a ，b 是常数.例如111*=，328⊗=．(1)若关于x ，y 的方程组*45x y m x y m =-⎧⎨⊗=⎩的解也满足方程5x y +=，求m 的值；(2)若关于x ，y 的方程组111222*a x b y c a x b y c =⎧⎨⊗=⎩的解为45x y =⎧⎨=⎩，求关于x ，y 的方程组()()()()111222*a x y b x y c a x y b x y c ⎧+-=⎪⎨+⊗-=⎪⎩的解．【过关检测】一、单选题1．（2023上·山西太原·八年级太原市实验中学校联考阶段练习）用代入法解方程组22340y x x y =-+⎧⎨-=⎩①②时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（）A ．2364x x --=B ．2324x x +-=C ．2364x x -+=D ．2364x x +-=2．（2023下·山东威海·七年级统考期末）二元一次方程2321x y +=的正整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2023上·广东茂名·八年级统考期末）已知代数式与242m x y --与52n m nx y +是同类项，那么m 、n 的值分别是（）A ．31m n =-⎧⎨=-⎩B ．31m n =⎧⎨=-⎩C ．31m n =-⎧⎨=⎩D ．31m n =⎧⎨=⎩4．（2023下·浙江·七年级校联考阶段练习）对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b ⊗=-．例如342342=⨯-=⊗．若2x y ⊗=，且4y x ⊗=，则x y +的值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2023上·四川达州·八年级校考期末）两位同学在解方程组273ax by cx y +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确地解出11x y =-⎧⎨=-⎩，乙同学因把c 抄错了解得32x y =-⎧⎨=-⎩，则a 、b 、c 正确的值应为（）A ．315a b c =-=-=-，，B ．115a b c ==-=-，，C ．2410a b c ==-=-，，D ．315a b c ===-，，二、填空题6．（2023上·山东济南·八年级统考期中）把方程24x y -=变形，用含x 的代数式表示y ，则y =．7．（2023下·浙江湖州·七年级统考阶段练习）二元一次方程25x y +=的一个正整数解是．（只要写出一个）8．（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知方程组2324x y x y -=-⎧⎨-+=⎩，则x y +的值为．9．（2023上·山东·八年级期末）已知关于x ，y 的方程组210220x y m x y m +-+=⎧⎨+++=⎩．则x y +=．10．（2023下·山东济南·七年级统考期末）定义新运算：对于任意实数a 、b 约定关于⊗的一种运算如下：2a b a b ⊗=＋．例如：()()3223-⊗=⨯-24+=-．若()5x y ⊗-=，且27y x ⊗=，则x y +的值是．三、解答题。
二元一次方程组 解法
二元一次方程组解法
二元一次方程组是高中数学中的重要知识点，它描述了两个未知数之间的关系。
解决二元一次方程组的方法有多种，以下是其中几种常用的：
1. 直接代入法
将其中一个方程中的一个未知数表示出来，代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的一元一次方程，解出该未知数后再代回原方程组中求出另一个未知数。
2. 消元法
通过加减、乘除等运算使得两个方程中一个未知数的系数相等，然后将两个方程相加或相减，得到只含有一个未知数的一元一次方程，解出该未知数后再代回原方程组中求出另一个未知数。
3. 矩阵法
将方程组表示为矩阵形式，通过矩阵的运算求解未知数。
以上三种方法都能解决二元一次方程组，具体的选择应该根据具体情况而定。
掌握了解决二元一次方程组的方法，对于高中数学的学习和应用都具有重要意义。
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二元一次方程组方法
二元一次方程组方法
解二元一次方程组的方法有很多种，我将从代数方法和图形方法两个角度来全面回答你的问题。
首先，我们可以使用代数方法来解二元一次方程组。
对于形如ax + by = c和dx + ey = f的方程组，我们可以通过消元法、代入法或加减消去法来求解。
消元法是将其中一个方程中的一个变量消去，然后将消去的式子代入另一个方程中，从而得到另一个变量的值。
代入法是将一个方程解出其中一个变量，然后将其代入另一个方程中求解。
加减消去法是将两个方程相加或相减，从而消去一个变量，然后求解另一个变量。
这些方法都可以用来解二元一次方程组，具体选择哪种方法取决于具体的方程组形式和求解的方便程度。
其次，我们还可以使用图形方法来解二元一次方程组。
对于形如ax + by = c和dx + ey = f的方程组，我们可以将它们表示在坐标系中的直线，然后通过观察它们的交点来求解。
两条直线的交点就是方程组的解，如果两条直线平行，则方程组无解，如果两条直线重合，则方程组有无穷多解。
通过观察直线的位置关系，我们可以直观地得出方程组的解。
综上所述，解二元一次方程组的方法包括代数方法和图形方法。
通过选择合适的方法，我们可以有效地求解二元一次方程组，从而
得到方程组的解。
希望我的回答能够帮助到你。
专题4-1 二元一次方程组(考题猜想,六种特殊解法)解析版-24学年7下数学期末考点大串讲(人教版)
专题4-1二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法）解法1：用整体代入法解二元一次方程组【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②，由①得1x y -=③，把③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-，把1y =-代入③得0x =．∴01x y =⎧⎨=-⎩，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：310622243x y x y y -+=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：()2034x y x y y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，由①，得2x y +=．③把③代入②，得324y ⨯-=，解得2y =．把2y =代入③，得0x =．∴原方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：321032526x y x y y --=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组()4314x y x y y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②将①整体代入②，得3414y ⨯+=，解得2y =，把2y =代入①，得2x =，所以22x y =⎧⎨=⎩这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②【答案】01x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．【详解】解：由①得：1x y -=③，将③代入②得：415y ⨯-=，解得：1y =-，将1y =-代入①得：()110x ---=，解得：0x =，∴方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②的解为01x y =⎧⎨=-⎩【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组2320523297x y x y y -+=⎧⎪-+⎨+=⎪故原方程组的解为54 xy=⎧⎨=⎩解法2：用特殊消元法解二元一次方程组类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组3242x y kx y k+=+⎧⎨-=⎩(1)若方程组的解互为相反数，求k的值(2)若方程组的解满足方程310x y+=，求k的值．代入②得：321k -⨯=，∴1k =【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组(1)()()4320679x x x x --=--(2)1226x x x +-=-(3)2354210x y x y +=⎧⎨--=⎩①②所以原方程组的解为1698x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】41x y =⎧⎨=-⎩【分析】用加减消元法解方程组即可；【详解】()()22,15,2x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解：(1)(2)-得33y =-，解得1y =-．将1y =-代入（1）得4x =．所以该方程组的解为4,1.x y =⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)248x y x y -=⎧⎨+=⎩；(2)422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩．类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于x，y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩，a为常数．(1)求方程组的解（用含a的式子表示）；(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y在第一、三象限的角平分线上，求a的值．【答案】(1)212 x a y a=+⎧⎨=-⎩(2)3a=-【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键．（1）直接利用加减消元法解方程组即可；（2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩①②，+①②，得363x a =+，∴21x a =+．将21x a =+代入①，得2y a =-．∴原方程组的解为：212x a y a =+⎧⎨=-⎩；（2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y 在第一、三象限的角平分线上，∴212a a +=-，解得：3a =-【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：227x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可．【详解】227x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，+①②得39x =，解得3x =，把3x =代入①，可得32y -=，解得1y =，31x y =⎧∴⎨=⎩是原方程的解【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②，甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．【答案】23x y =⎧⎨=-⎩．【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值；把m 与n 的值代入方程组求解即可得到答案．则方程组的解为23 xy=⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：(1)2531x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)92153410x yx y+=⎧⎨+=⎩解法3：用换元法解二元一次方程组【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)解方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为___________；(2)如何解方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把5,3m n ++分别看成一个整体，设5m x +=，3n y +=，请补全过程求出原方程组的解；(3)若关于m ，n 的方程组()()()()3223226m n m n m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩，则方程组的解为______．【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组726x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪（）（93x y =⎧∴⎨=⎩【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)已知方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，如何解大于,m n 的方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把分别5,3m n ++看成一个整体，设5,3m x n y +=+=，则原方程组的解为______________________；(2)若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是32x y =⎧⎨=-⎩，求方程组1111122222322322a m b n a b c a m b n a b c +=++⎧⎨+=++⎩的解．(3)已知m ，n 为定值，关于x 的方程136kx m x nk ++=-，无论k 为何值，它的解总是2x =，求m n +的值．把2x =代入，得4262k m nk +=--，(4)240n k m ∴++-=恒成立，40240n m +=⎧∴⎨-=⎩，即42n m =-⎧⎨=⎩，2m n ∴+=-【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：121134x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪．∴原方程组的解是11x y =-⎧⎨=⎩解法4：用同解交换法解二元一次方程组【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x y ，的方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩和28x by a x y +=⎧⎨+=⎩的解相同．求,a b 的值．【答案】11a b ==-，【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出x y ，的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解．【详解】解：方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩①②与28x by a x y +=⎧⎨+=⎩③④的解相同，∴①与④组合得，3728x y x y -=⎧⎨+=⎩①④，①+④得，3x =，∴2y =，把x y ，代入②与③组合的方程组中得，3232a b b a +=⎧⎨+=⎩②③，把③代入②得，1b =-，∴1a =，∴11a b ==-，【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组23324x y ax by -=⎧⎨+=⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求20243)(a b +的值．【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a b ，的值．由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求得a b ，的值，代入求解即可．【详解】解：由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩可得：31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩可得：324633a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：25ab=-⎧⎨=⎩，将25ab=-⎧⎨=⎩代入()20243a b+可得，原式()2024651-+==，即()20243a b+的值1．【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x y、的方程祖35368x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩的正确解与乙求关于,x y的方程组25264x yax by+=-⎧⎨-=-⎩的正确的解相同．则()20232a b+的值为多少？【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：联立得：3536 2526 x yx y-=⎧⎨+=-⎩，解得：26 xy=⎧⎨=-⎩，代入得：268 264 b aa b-=-⎧⎨+=-⎩，解得：11 ab=⎧⎨=-⎩，∴()()2023202321 211a b=⨯-=+【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解相同，求mn的值．【答案】2mn=【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩，再根据两个方程组同解，得到关于m、n的方程，求解即可计算求值．【详解】解：45321x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，2⨯+①②得：1111x =，解得：1x =，将1x =代入①得：1y =，∴方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为11x y =⎧⎨=⎩， 方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组31mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，31m n m n +=⎧∴⎨-=⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，2mn ∴=解法5：用主元法解方程组【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知3460x y z -+=，45230x y z +-=，0xyz ≠，则2222324x y z xy yz zx --+-的值为．故答案为：5-【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知433030x y zx y z--=⎧⎨--=⎩（x，y，z均不为0），求2222xy yzx y z++-的值．【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知430,4520,x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩xyz≠．（1）用含z的代数式表示x，y；（2）求222232x xy zx y++的值．（2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键【变式3】已知x ，y ，z 都不为零，且满足4360x y z --=，270x y z +-=．求2335x y z x y z-++-的值．【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z 的代数式来表示x 、y ，这是解题的关键解法6：用设辅助元法解方程组【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线a 、n 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【理解运用】（1）计算111111111111113367867896786789⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．【拓展提高】（2）若关于x，y的方程组mx ny pax by q+=⎧⎨-=⎩的解是32xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组(1)(1)(1)(1)m x n y pa xb y q-++=⎧⎨--+=⎩的解为．【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”.在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践·体验】（1）已知210a a +-=，则23a a ++=______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.（2）如图②，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证：AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造·突破】（3）若关于x y ，的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于x y ，的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为______．【答案】（1）4；（2）见解析；（3）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把210a a +-=变形为21a a +=，然后整体代入求值即可；（2）利用“辅助线”延长BA 交EC 于点F ，由三角形内角和定理以及等量代换可得AFE C ∠=∠，由同位角相等，两直线平行可得结论；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得答案．【详解】解：（1）∵210a a +-=，∴21a a +=，∴23134a a ++=+=，故答案为：4（2）如图，延长BA 到，使BA 与CE 相交于点F ，∵AFE E EAB C E EAB ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴EFA C =∠∠，∴AB CD ∥；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得，223223ax by a b mx ny m n -=+⎧⎨+=-⎩，所以13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提．【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图1，很难看出直线a 、b 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算111111125675678⎛⎫⎛⎫+++⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111125675678⎛⎫⎛⎫-++⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图2，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】(3)若关于,x y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为___________．(4)如图3，15120A A ∠=∠=︒，2470A A ∠=∠=︒，6890A A ∠=∠=︒，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角3270A ∠=︒，则优角7A ∠=___________．EAB ∠ 是EFA 的外角，EAB E EFA ∴∠=∠+∠，又EAB E C ∠=∠+∠ ，EFA C ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（3）把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩得：2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，与方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩比较得：13x y =⎧⎨=-⎩，方程组的解为：13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩；（4）连接3A 、7A ，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，两个五边形的内角和为1080︒，7A ∠=两个五边形的内角和1263222A A A A -∠-∠-∠-∠10802120270290270250=︒-⨯︒-⨯︒-⨯︒-︒=︒，故答案为：250°．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会]如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．【实践•体悟】（1）计算111111111111112256756785675678⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）若关于x、y的方程组的解是ax by cmx ny p+=⎧⎨-=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组22ax by cmx ny p-=⎧⎨+=⎩的解为．【创造•突破】（3）已知直线AB//CD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．（4）已知直线AB//CD．如图3，∠ABM＝13∠MBE，∠CDN＝13∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=．（用含m的代数式表示）。
二元一次方程组的特殊解法
方程组的特殊解法
解下列方程组
x-3y=-5
3x-2y=-1
3x+4y=16 5x-6y=33
代入消元法：
当方程组中的其中一个方程的 某个未知数的系数1或-1时， 可以采用代入消元法。
2x-5y=-3 -4x+y=-3
加减消元法： 1、当方程组的两个方程中某一个未 知数的系数相等或互为相反数时， 可采用加减消元法。如：
x-2y=9 3x-2y=-1
2、当方程组中任一未知数的系数都 不是1或-1，既不相等又不互为相反 数时，可利用等式的基本性质将两 个方程转化为某一个未知数的系数 相等或互为相反数的情况，然后再 利用加减消元法消去这个未知数。 如：
3x+4y=16 5x-6y=33
整体代入法
5x+6(x+y)=23 3x+3y=9
换元法
x 2 3 x 2 3
y 1 2 2 y 1 1 2
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专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
名师点金：解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知”为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组的变形的技巧，选用较简便的方法来解．
引入参数法解二元一次方程组
1．用代入法解方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋y 4＝0，① 2（x ＋y ）－3（2y －x ）＝62.②
特殊消元法解二元一次方程组
类型1 方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
2．解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧2 015x ＋2 016y ＝2 017，①2 016x ＋2 017y ＝2 018.②
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3．解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧13x ＋14y ＝40，①14x ＋13y ＝41.②
利用换元法解二元一次方程组
4．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋y ）＋4（x －y ）＝20，x ＋y 4
－x －y 2＝0.
同解交换法解二元一次方程组
5．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，3x －y ＝5与方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝16，4x －7y ＝1
的解相同，求(a －b)2 018的值．
运用主元法解二元一次方程组
6．已知⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －3z ＝0，x －3y －z ＝0
(x ，y ，z 均不为0)，求xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2的值．
答案
1．解：由①，得x 3＝－y 4
. 设x 3＝－y 4
＝k ，则x ＝3k ，y ＝－4k. 将x ＝3k ，y ＝－4k 代入方程②，得2(3k －4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k ＝2.所以x ＝6，y ＝－8.
所以原方程组的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8. 技巧点拨：本题利用引入参数法解方程组．当方程组中出现x a ＝y b 的形式时，常考虑先用参数分别表示出x ，y 的值，然后将x ，y 的值代入另一个方程求出参数的值，最后将参数的值回代就能求出方程组的解．
2．解：②－①，得x ＋y ＝1.③
由③，得x ＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y ＝2 017.
解这个方程，得y ＝2.
把y ＝2代入方程③，得x ＝－1.
所以原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便．
3．解：①＋②，得27x ＋27y ＝81.化简，得x ＋y ＝3.③
①－②，得－x ＋y ＝－1.④
③＋④，得2y ＝2，y ＝1.
③－④，得2x ＝4，x ＝2.
所以这个方程组的解是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 点拨：方程组中x 的系数分别为13，14，y 的系数分别为14，13.当两式相加时，x 和y 的系数相等，化简即可得到x ＋y ＝3；当两式相减时，x 和y 的系数互为相反数，化简即可得到－x ＋y ＝－1.由此达到化简方程组的目的．
4．解：设x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则原方程组可转化为⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝20，m 4－n 2
＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2.
所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.所以原方程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 5．解：依题意有(1)⎩
⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4x －7y ＝1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4，ax ＋by ＝16. 解方程组(1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，代入(2)，得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝6. 所以(a －b)2 018＝(5－6)2 018＝1.
6．解：将原方程组变形，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －3z ＝3y ，x －z ＝3y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ，z ＝－9y.
所以xy ＋2yz x 2＋y 2－z 2＝（－6y ）·y ＋2y·（－9y ）（－6y ）2＋y 2－（－9y ）2＝－24y 2－44y 2＝611
. 点拨：本题不能直接求出x ，y ，z 的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．。