第十章 含有耦合电感的电路
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电路分析基础第10章_含有耦合电感的电路讲诉
§10.2 含有耦合电感电路的计算
一、两个互感线圈的串联
1、反向串联 R1 L1
u1
R1i
(L1
di dt
M
di ) dt
u
u1 M R2
u2
R1i
( L1
M
)
di dt
u2
R2i
(L2
di dt
M
di ) dt
L2
R2i
( L2
M
)
di dt
无互感等效电路
R1
L1
u
u1 M R2 u2
L2
L1
M
i1
L2 u21
u21
M
di1 dt
M
u12
i2
u12
M
di2 dt
五、互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，
电压、电流方程可用相量形式表示:
•
•
•
U1 jL1 I1 jM I2
•
•
•
U2 jM I1 jL2 I2
jL1
•
jM I2
jL2
•
jM I1
•
•
通链两部分的代数和，
如线圈1 和2 中的磁通链分别为1和 2 则有 1 11 12
2 21 22
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种
磁通链都与产生它的施感电流成正比，
即有自感磁通链： 11 L1i1 22 L2i2
互感磁通链
12 M12i2 21 M 21i1
I1
U1
•
•
I2
U2
六、耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
电路理论第10章 含耦合电感的电路
u
L1
L2
–
i = i1 +i2 解得u, i 的关系：
u (L1 L2 M 2 ) di L1 L2 2M dt
等效电感：
Leq
(L1 L2 M 2 ) L1 L2 2M
0
如全耦合：L1L2=M2 当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确)
L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
注 否则取负。表明互感电压的正、负：
（1）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈的相对位置和绕向有关。
4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与符
合右螺旋定则，其表达式为
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
L1
di1 dt
i1
u11
上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写 出，可不用考虑线圈绕向。
jL2 )I2
jL2 j
j1CL2)II33
jM(I1 I3 ) kI1
jL1I1 jL2 I2
jM (I3 I1 ) jM (I3 I2 ) 0
例2 求图示电路的开路电压。
I1
R1
M12
L1
L2
会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
例
i 1*
*2
* 1
2
3
1'
2' 1'
2*'
3'
引入同名端的概念后，可以用带有互感
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
2019年第10章含耦合电感的电路.ppt
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互感 10.1 互感 (mutual inductance )
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
11
（2）同名端异侧并联
+
u
L1
di1 dt
R1i1
M
di2 dt
u
u
L2
di2 dt
R2i2
M
di1 dt
i = i1 +i2
–
解得u, i 的关系：
-M
u
M
di dt
(L1
M)
di1 dt
R1i1
+
u
M
di dt
(L2
M)
di2 dt
R2i2
u
M i
* i1
L1
R1
i i1 L1+M
R1
i2 L2 * R2
i2 L2+ M R2
去耦等效电路
–
返回本节 上 页 下 页
3. 受控源等效电路
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2 u
–
–
I1
+
j L1
U1
+
j
–
M I–2
U1 jL1 I1 jM I 2
互感 10.1 互感 (mutual inductance )
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、 电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器 等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含 这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
11
（2）同名端异侧并联
+
u
L1
di1 dt
R1i1
M
di2 dt
u
u
L2
di2 dt
R2i2
M
di1 dt
i = i1 +i2
–
解得u, i 的关系：
-M
u
M
di dt
(L1
M)
di1 dt
R1i1
+
u
M
di dt
(L2
M)
di2 dt
R2i2
u
M i
* i1
L1
R1
i i1 L1+M
R1
i2 L2 * R2
i2 L2+ M R2
去耦等效电路
–
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3. 受控源等效电路
i1
M
i2
+
**
+
u
L1
L2 u
–
–
I1
+
j L1
U1
+
j
–
M I–2
U1 jL1 I1 jM I 2
10第十章 含有耦合电感的电路PPT课件
1212111222LM 1i121i1M 1L2i22i2
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
第10章含有耦合电感的电路 (丘关源)
(2)异侧并联
i + u – M i1 * L1 i2 L2 去耦等效 + u –
2
i Leq
* 等效电感：Leq
证明：
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt
( L1 L2 M ) 0 L1 L2 2 M
解得u ~ i 的关系：
解:(1)用定义求
* L1
* L2
R1 I1 jL1 ( I1 I 3 ) jM ( I 2 I 3 ) U S
R2 I 2 jL2 ( I 2 I 3 ) jM ( I1 I 3 ) kI1 jL1 ( I 3 I1 ) jM ( I 3 I 2 ) I ) jM ( I I ) 1 I 0 jL2 ( I 3 2 3 1 3 jC
. I1 M * . I2 + + . U2 去藕 等效 . U1 – I1 * + . U1 L1 jL1
I2
+ . U2 –
jL2
L2
+ –
jMI2
+ –
jMI 1
证明：
U1 jL1 I1 jM I 2 ——证毕！ U 2 jM I1 jL2 I 2
(2)去耦法
R1 + i1 uS － M C + ki1 －
三、去耦等效 (方法3)
——将耦合电感电路等效为无耦合的电路 M L2 L1 i 1.耦合电感串联的去耦等效 + * u1 - +* u2 (1)顺接(同名端同向联接) + u – 证明：
第十章 含有耦合电感电路
§10.3
二、分析方法
1、方程法分析
空心变压器
在正弦稳态情况下，空心变压器电路的回路方程为：
令
Z11 R1 jL1
Z 22 R2 jL2 Z
称为原边回路阻抗
称为副边回路阻抗
§10.3
则上述方程简写为：
空心变压器
从上列方程可求得原边和副边电流：
§10.3
2、等效电路法分析
，求：原、副边电流 I 1
I2
§10.3
空心变压器
例10-9 全耦合互感电路如图（a）所示，求电路初级端 ab 间的等效阻抗。
例 10 — 9 图 （ a ）
例 10 — 9 图（ b ）
§10.3
空心变压器
例10-10、已知L1=L2=0.1mH , M =0.02mH , R1=10Ω , C1=C2=0.01μF , ω=106rad/s, U s 10 0 V 问：R2=？时能吸收最大功率,并求最大功率。
例 10-3 图（a）
例 10-3 图（b）
§10.2
例10-4
含有耦合电感电路的计算
图（a）为有耦合电感的电路，试列写电路的回路电流方程。
电路的开路电压。
§10.2
含有耦合电感电路的计算
例10-6 图（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电 流 i =0 ，问电源的角频率为多少？
第十章 含有耦合电感电路
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 互感 含有耦合电感电路的计算 空心变压器 理想变压器
§10.1
一、互感
互感
两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图所示，当 线圈1中通电流i1时，不仅在线圈1中产生磁通φ11，同时，有 部分磁通φ21穿过临近的线圈2；同理，若在线圈2中通电流i2 时，不仅在线圈2中产生磁通φ22，同时，有部分磁通φ12穿 过线圈1，φ12和φ21称为互感磁通。
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
第10章 含有耦合电感的电路
•
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
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五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
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五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
第十章 含有耦合电感的电路讲解
ZM Z11
U1
求Zeq，将独立源置零：
得：Zeq
U 2 I2
Z 22
M 2
Z11I1 ZM I2 U1 — —① ZM I1 Z22I2 0 — —②
目的：寻求原副边等效电路。
1、原边等效电路：
由方程②得： ③代入①得：
I1
I2
Z11
ZM
Z
ZZ22M
M Z22
I1
U1
③
Z1
铁芯的作用：增大导磁率μ，减小漏磁损耗.
3、空心变压器： 没有铁芯的变压器，原副绕组绕在非铁磁材料制成的骨架上； 铁芯变压器：K≈1； 空心变压器：K很小——最大特点：电磁特性为线性；
空心变压器电路模型
二、空心变压器的特性方程
R1 jL1I1 jMI2 U1
jMI1 R2 RL jL2 jX I2 0
可见：公共端为异名端时， 可从公共端抽出一个－M，原来的 两个电感变为：L1+M，L2+M；
2、互感线圈的并联
2、互感线圈的并联（同侧并联和异侧并联） 再用互感消去法看串联两种情况：
Z R1 R2 jL1 L2 2M Z R1 R2 jL1 L2 2M
U1 I1
Z11
ZM 2 Z22
Z11
M 2
Z22
M
Z22
2
的物理意义：原边施I1，由于互感的作用（磁的
耦合）
将副边阻抗反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性变为容性
2、副边等效电路
第十章--含有耦合电感的电路
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相 反，互感起削弱作用。
2024年7月17日星期
11
三
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
三
§10-1 互感
1. 互感的概念 一个电感线圈的情况
L1 N1
i1产生的磁通为F11。
i1与F11的参考方向符 F11
合右手螺旋法则，为
关联的参考方向。
i1
1' -
u11
1 +
F11穿越自身线圈时，
产生的自感磁通链用
若u11与i1取关联参考方向
Y11表示：Y11= L1i1
当i1变化时，将产生 自感电压u11。
第十章 含有耦合电感的电路
学习要点 熟练掌握互感的概念； 具有耦合电感电路的计算方法：
①直接列写方程的支路法或回路法。 ②受控源替代法。 ③互感消去法。 掌握空心变压器和理想变压器的应用。
2024年7月17日星期
1
三
重点
互感和互感电压的概念及同名端的含义； 含有互感电路的计算； 空心变压器和理想变压器的电路模型。
名端要用不同的符号一对一对标记。
L2
M
L1 *
* L2
2'பைடு நூலகம்
1 i1
+
M
i2 2
+
M
L3 M
u1
-
L1
1'
电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路
+
2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
22 L2i2
12 M12i2 21 M 21i1 互感磁通链 上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。 由于互感具有互易性质，即M12= M21 ， 当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
令自感电压 互感电压
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u 22
di2 L2 dt
di1 u 21 M dt
di2 u 22 L2 自感电压 dt di1 u 21 M 互感电压 dt 说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
Z1 R1 j ( L1 M )
u
R1 u1
L1
M
R2
u2
L2
Z 2 R2 j ( L2 M )
而
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
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二、同向串联
di u1 R1i L1 M dt di u2 R2i L2 M dt di u R1 R2 i L1 L2 2M dt
+
i
+
R1 u1
L1
M
+
R2 u2 L2
u
-
-
R j L M I Z I U 1 1 1 1
制作群
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§10-1 互感
二、伏安关系
d 1 di di u1 L1 1 M 2 dt dt dt u2 d 2 di di M 1 L2 2 dt dt dt
u11、u22为自感电压。
u12、u21为互感电压。
互感电压前的“+”或“-”号的选取原则： 方法一：当耦合电感同向耦合时，则互感电压在 KVL方程中与自感电压同号，反向耦合时与自感电压 异号。 方法二：如果互感电压的 “+” 极性端(设定)与 产生它的施感电流流进的端为一对同名端，则互感电 压前取 “+”号，反之取“-”号。
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§10-1 互感
例10-2 图中 i1 1A , i2 5 cos10t A , L1 2H , L2 3H , M 1H , 求耦合电感的端电压u1、u2。
1
i1
解：u1 L1 di1 M di2 50 sin 10t V
R j L M I Z I U 2 2 2 2
R R j L L 2M I ZI U 1 2 1 2
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§10结点上。
含有耦合电感电路的计算。
制作群
主
页
总目录
章目录
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退
出
含有耦合电感电路的去耦等效电路。
讲课3学时，习题1学时。
制作群
主
页
总目录
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退
出
§10-1 互感
一、基本概念
⒈ 磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的 物理现象。 i1、i2为施感电流。 N1、N2为线圈的匝数。 ψ11、ψ22为自感磁通链。 ψ12、ψ21为互感磁通链。
S1 I 2 Z1 5.592 3 j0.5 93.75 j15.63V A S2 I 2 Z 2 5.592 5 j4.5 156.25 j140.63V A
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
1'
11 12 21 22
1 i1
i2 2
N2
2'
N1
磁通链符号中双下标的含义：第1个下标表示该磁通链所在 线圈的编号，第2个下标表示产生该磁通链的施感电流所在线圈 的编号。
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§10-1 互感
⒉ 耦合电感：耦合线圈的理想模型。
耦合电感中的磁通链等于 1 i 1 自感磁通链和互感磁通链的代 + 数和。 L1 u1
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互感抗：M
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
一、反向串联
u1 R1i L1 di di M dt dt di R1i L1 M dt L1- M R1
+
i
+
R1 u1
L1
M
+
R2 u2 L2
u
+
i
+
di di u2 R2i L2 M dt dt di R2i L2 M dt
去耦等效电路。
制作群
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R1
总目录 章目录 上一页
R2
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
四、异侧并联
异名端连接在同一结点上。
R jL I U 1 1 1 jMI 2 Z1 I1 Z M I 2 jMI R jL I U 1 2 2 2 Z M I1 Z 2 I 2
1 , 2或 1' , 2' 为同名端 1 , 2'或 1' , 2 为异名端
1 L1i1 Mi2
1
+
i1
M
i2
2
+
u1
L1
L2
u2
2 Mi1 L2i2
制作群
1'
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2'
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§10-1 互感
当有两个以上电感彼此之间存在耦合时，同名端应 当一对一对地加以标记，每一对宜用不同符号标记。每 一个电感中的磁通链等于自感磁通链与所有互感磁通链 的代数和。同向耦合时互感磁通链求和时取“+”号，反 向耦合时取“-”号。 例10-1 图中 i1 1A , i2 5 cos10t A , L1 2H , L2 3H , M 1H , 求耦合电感中的磁通链。
+
u1
R2 u2
u
L2- M
-
制作群
-
去耦等效电路
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
di di di di u u1 u2 R1i L1 M R2i L2 M dt dt dt dt di R1 R2 i L1 L2 2M dt
方 j L1 M R1 jM R2 3 j7.5 法 Z eq j L2 M j L1 M R1 jM R2 一
R1 jL1 M
I 1
U s
+
j L2 M
-
jM a R2
页 总目录 章目录 上一页 下一页
2'
退 出
§10-1 互感
⒊ 耦合因数k 工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧疏程 度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何 平均值定义为耦合因数。
12 21 k 11 22
def
k
def
M 1 L1 L2
k的大小与两个线圈的结构、相互位置及周围磁介 质有关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因 数的大小；当 L1 、L2 一定时，也就相应地改变了互感 的大小。
dt dt di1 di2 u2 M L2 150 sin 10t V dt dt
+
M
i2
2
+
u1
L1
L2
u2
1'
2'
直流产生自感和互感磁通链，但不产生自感和互 感电压。
正弦稳态情况下
jL I U 1 1 1 jMI 2 jMI jL I U 2 1 2 2
例10-5 图示电路， U s 12V , R1 R2 6 , L1 L2 10 ,
120V M 5，求ZL最佳匹配时获得的功率P。 令U s
U s jM R 解：U 60V oc 2 j L1 M R1 jM R2
I
R1 I jL1 1
U s
+
jM jL2 a
ZL
I
-
R2
ZL
去耦等效电路
制作群
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退
出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
* 当 Z L Z eq 3 j7.5 时
第十章
含有耦合电感的电路
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 耦合电感的功率 §10-4 变压器原理 §10-5 理想变压器
制作群
主
页
总目录
章目录
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下一页
退
出
理解耦合电感的定义；掌握判断同名端的方法； 掌握运用去耦法分析计算含有耦合电感的电路；了解 含有空心变压器电路的阻抗折算；掌握理想变压器的 VCR和阻抗变换关系。
去耦等效电路。
制作群
主 页
R1
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R2
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
去耦方法
如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成 一个仅含3条支路的共同结点，则可用3条无耦合的电 感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为： （支路3） L3 M （同侧取“+”，异侧取“-”）
正弦稳态电路的相量表示
R j L M I Z I U 1 1 1 1 R j L M I Z I U 2 2 2 2 R R j L L 2M I ZI U 1 2 1 2
显然，反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和 输入阻抗都比无互感时的阻抗小，这是由于互感的反 向耦合作用，它类似于串联电容的作用，常称为互感 的“容性”效应。注意：整个电路仍呈感性。
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
例10-3 图中，正弦电压的 U 50V , R1 3 , L1 7.5 , R2 5 , L2 12.5 , M 8 , 求该耦合电感的耦合因数 和该电路中各支路吸收的复功率 S1 和 S2 。 解： k M
M 8 0.826 L1 L2 L1 L2 7.5 12.5