2018届高考数学二轮复习小题押题16—10空间几何体的三视图、表面积与体积课件(全国通用)
高三数学二轮专题复习第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
O的直径，所以OA⊥SC，OB⊥SC.
因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂
平面SAC，所以OA⊥平面SBC.
设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以 VA－SBC＝13×S△SBC×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3， 所以13r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为 4πr2＝36π. 答案 36π
C.8 2π
D.10π
解析 因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆
柱的高为 2 2，底面圆的直径为 2 2.所以 S 表面积＝2×π×( 2)2＋2π× 2×2 2＝12π.
答案 B
3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其 余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为 ________.
A.17π
B.18π
C.20π
D.28π
(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几 何体的表面积为( )
A.3π＋4 2－2 C.32π＋2 2－2
B.3π＋2 2－2 D.32π＋2 2＋2
解析 (1)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆 面积之和，易得球的半径为 2，则得 S＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.
【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶 点的多面体的体积为________.
2018学高考理科数学通用版二轮复习 小题押题16—10 空间几何体的三视图、表面积与体积
2015
选择题第11题
卷 别 年 份 2017 全国 卷Ⅱ 2016
考题位置 选择题第4题 选择题第6题
考查内容 空间几何体的三视图及组合体体 积的计算 空间几何体的三视图及组合体表 面积的计算 空间几何体的三视图及组合体体 积的计算
选择题第6题
2015
2017
全国 卷Ⅲ 2016
三棱锥的体积、球的表面积、球 选择题第9题 与三棱锥的结构特征 选择题第8题 球的内接圆柱、圆柱体积的计算 选择题第9题 空间几何体的三视图及组合体表 面积的计算
1 2 90°，∴S△AOB＝2R . ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB 面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大，∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体 1 1 2 积 VO ABC 最大，为 × R ×R＝36，∴R＝6，∴球 O 的表面积 3 2 答案：C 为 4πR2＝4π×62＝144π.
选择题第10题 直三棱柱的体积最值问题
命题规律分析
立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难
点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一 大”或“两小一大”的格局．以选择题或填空题的形 式主要考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的 体积或表面积的计算．
考查点一
空间几何体的三视图
1．(2017· 全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所 示， 其中正视图和左视图都由正方形和等 腰直角三角形组成，正方形的边长为 2， 俯视图为等腰直角三角形． 该多面体的各 个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积 之和为 A．10 C．14 B．12 D．16 ( )
小题押题 16—10
空间几何体的三视图、表面积与体积
2018年高考数学二轮总复习 第一部分 专题攻略 专题五 立体几何(十一)空间几何体的三视图、表面积
课时作业(十一)空间几何体的三视图、表面积和体积．②①① B．②①②．②④① D．③①①由已知可得正视图应当是②，排除D；侧视图是一个正方形，中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，对角线的方向应该从左上到右下，即侧视图应当是①，排除该物体的表面积为S＝π×12＋π152＋1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)如图，网格纸上正方形小格的边长为1 3×12×1×2×2＋．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为由三视图可知，该几何体为半圆柱与正方体的组合体，则其表面积由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，2×3＝π2＋1.由三视图可得原几何体如图所示，由三视图知该几何体的高．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有10，故该多面体的所有棱中，最大值为．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为－ABCD ，如图所示，＝13S ▱ABCD ×PD ＝13(S ×3×4＋12×3×5＋12×3×5＋由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为所以其侧面积S ＝2×2＋22×2＝4cm2(24＋85＋82)cm2如图，依题意可知四棱锥P－ABCD是此几何体的直观图，在四棱锥ABCD是正方形，△PAD≌△(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，＋×2＝2答案：B该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截.的棱长为1，E，F分别为线段的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形FAB分别是以BC为折痕折起△DBC，△。
2018届高三理科数学答题模板 根据三视图求几何体的表面积与体积
根据三视图求几何体的表面积与体积【空间几何体的三视图】光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。
【柱、锥、台和球的侧面积和体积】【几何体的表面积】(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和【求组合体的两种方法】(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值。
【多面体的面积和体积公式】【旋转体的面积和体积公式】【2017年高考全国II卷,理4】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为A．B．C．D．【答案】B【考点】三视图、组合体的体积【点拨】求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑．答题思路【命题意图】高考对本部分内容的考查以读图、识图能力以及空间想象能力为主,重点考查根据几何体的三视图确定其体积或表面积,在考查三视图的同时,又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．【命题规律】从近几年的高考试题来看,三视图是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度中、低档．高考对三视图的考查主要考查由三视图得出几何体的直观图,求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；试题难度逐年有所增加,近几年组合体、几何体的切割及非正常状态下放置的棱锥的三视图成为高考考查的热点.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：观察三视图,确定几何体形状观察三视图,确定该几何体是一个组合体,下半部分是一个圆柱,上半部分是圆柱的一半；第二步：由三视图确定相关数据根据三视图,可知圆柱的底面半径为3,下半高为4,上半部分高为6；第三步：利用公式求表面积体积借助圆柱的体积计算公式,分别求出两部分的体积,再相加.【方法总结】1.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．由三视图还原几何体时,要遵循以下三步：(1)看视图,明关系；(2)分部分,想整体；(3)综合起来,定整体．4.画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同．5.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等．6.由三视图求几何体体积的步骤(1)应先根据三视图得到几何体的直观图；(2) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7.由三视图求几何体表面积应注意的问题以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．注意多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8．从能力上来看,三视图着重考查空间想象能力,即空间形体的观察分析和抽象的能力,要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形,想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.9.易错警示(1)不能正确把握投影方向、角度致误；不能正确确定点、线的投影位置；不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．是解决三视图问题常出现的错误(2) 求组合体的表面积时,要忽视重叠部分不再是组合体表面积的一部分．(3)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆．(4)当三视图都在全等的正方形内时,常通过构造正方体,把几何体放到正方体内求解.1.【2017年高考全国Ⅰ卷，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面()S=+⨯÷=24226梯S=⨯=6212全梯故选B2.【2017年高考北京卷，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）C）（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图l==，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故选B.【考点】三视图【点拨】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.3．【2017年高考浙江卷，理3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π 【答案】A【解析】【考点】 三视图【点拨】思考三视图中·华.资*源%库 还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4.【2017年高考山东卷，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.【答案】【解析】试题分析：该几何体的体积为．【考点】1.三视图.2.几何体的体积.【点拨】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．3.利用面积或体积公式计算.5.【2017黑龙江大庆三模】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥,如下图所示,根据上图计算可得三棱锥的表面积为.故选择D.6．【2017辽宁省实验中学考前模拟】某几何体的三视图如图所示,其体积为A. B. C. D.【答案】B7．【2017吉林吉大附中6月模考】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r＝A. B. C. D.【答案】B8．【2017黑龙江虎林最后冲刺】如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分,下半部分是长、宽、高分别为的长方体,上半部分为底面半径为1,高为2的两个半圆柱,故其体积为,故选A.9．【2017辽宁鞍山最后一次模】如图是某四棱锥的三试图,且该四棱锥的顶点都在同一球面上,则该四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】如图四棱锥就是题中的几何体,它是正方体中的一部分,正方体棱长为10.记正方体棱长为,四棱锥外接球半径为,则,解得,所以,故选C．11.【2017辽宁沈阳三模】已知一个三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为A. 9B. 21C. 25D. 34【答案】B12．【2017内蒙古鄂尔多斯三拟】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. 1B.C.D.【答案】D8．【2017甘肃省肃南5月联考】若某几何体的三视图（单位：）如图所示,则此几何体的侧面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图知：几何体是圆锥,其中圆锥的母线长为5,底面直径为6,∴圆锥的侧面积（cm2）,故选C.9．【2017黑龙江哈尔滨三模】北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层,上底由个物体组成,以下各层的长、宽依次各增加一个物体,最下层（即下底）由个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示,则该垛积中所有小球的个数为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知：,故选A.13．【2017青海西宁二模】某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A. 8B.C. 4D.【答案】D14.【2016年高考全国Ⅱ卷,理6】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.20B.24C.28D.32【答案】C【考点】三视图,空间几何体的表面积【点拨】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意各几何体重叠部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【方法】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．15.【2016年高考全国Ⅰ卷,理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428ππR 833V =⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734π2π217π84⨯⨯+⨯⨯=，故选A ． 【考点】三视图及球的表面积与体积【点拨】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.16.【2016年高考全国Ⅲ卷,理9】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A)18+54+【答案】B【解析】 试题分析：由三视图知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积为2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【考点】空间几何体的三视图及表面积．17.【2016年高考四川卷,理13】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积【点拨】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．。
2018届高三理科数学答题模板 三视图与几何体体积表面积
三视图与几何体体积、表面积【空间几何体的三视图】光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。
几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
常见几何体的三视图：【体积与表面积公式】(1)柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：.(2)球的表面积公式：.棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积.【2017新课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【考点】简单几何体的三视图【点拨】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.答题思路【命题意图】本类题主要以三视图为载体,通过还原几何体考查空间想象能力,通过体积和表面积的运算考查运算求解能力．【命题规律】高考对三视图的考查注意以以下几个方面为主：1、已知部分三视图，考查还原为原来立体图形的直观图；2、已知三视图，考查还原为立体图形的直观图并能计算表面积或体积；3、已知三视图，需要还原立体图形后求空间角或空间距离以及相关元素的位置关系4、以三视图为载体，考查还原后几何体的外接球或内切球问题.【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下二步：第一步：由三视图画出直观图由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成；第二步：根据直观图求表面积、体积该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=【方法总结】1.三视图和直观图1）三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2）直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x’轴、y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半.2.体积与表面积公式：(1)柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：.(2)球的表面积公式：.棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积.1.【2017年高考全国Ⅱ卷。
2018大二轮高考总复习理数文档：自检10 空间几何体的三视图、表面积和体积
自检10：空间几何体的三视图、表面积和体积A组高考真题集中训练空间几何体的三视图(2014·全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是阿凡题1083936()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．答案：B空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为阿凡题1083937()A．90πB．63πC ．42πD ．36π解析：方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． 答案：B2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B ．答案：B3．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4解析：设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝12－122＝32．∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B ．答案：B4．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知该几何体为一个圆柱与一个同底圆锥的组合体，且圆锥母线长l ＝ (23)2＋22＝4．∴S 表＝12·2πr ·l ＋2πrh ＋πr 2＝28π．答案：C5．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A ．12π B ．323πC ．8πD ．4π解析：∵a 3＝8，∴a ＝2，∴2R ＝23，R ＝3，∴S ＝4πR 2＝12π． 答案：A6．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：该几何体为一个球切去18部分，由78×43πR 3＝28π3，得R ＝2，所以S ＝78×4πR 2＋3×14πR 2＝17π．答案：A7．(2016·全国丙卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：由三视图可知，该几何体为四棱柱S 表＝2S 底＋2S 前＋2S 侧＝2×32＋2×3×6＋2×3×32＋62＝18＋36＋185＝54＋185．答案：B8．(2016·全国丙卷)在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3解析：设Rt △ABC 内切圆的半径为r ，则r ×(6＋8＋10)＝6×8，∴r ＝2.又∵AA 1＝3，∴内切球的半径为32，∴V ＝43π×278＝9π2．答案：B9．(2015· 全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺”．问：“积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 答案：B10．(2015· 全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B ．答案：B11．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16.剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D ．答案：D12．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2．∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值， ∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O -ABC 最大为13×12R 2·R ＝36． ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C ． 答案：C13．(2014·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A ．1727B ．59C ．1027D ．13解析：原毛坯的体积V ＝(π·32)×6＝54π(cm 3)，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V ′＝V 1＋V 2＝(π·22)×4＋(π·32)×2＝34π(cm 3)，故所求比值为1－V ′V ＝1027．答案：C 14．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC ． 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5．令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4．令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415．∴三棱锥体积的最大值为415cm 3． 答案：415B 组 高考对接限时训练(十)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·大连调研)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P -A 1B 1A 的侧视图是( )解析：在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，从左侧看三棱锥P -A 1B 1A ，B 1，A 1，A 的射影分别是C 1，D 1，D ；AB 1的射影为C 1D ，且为实线，P A 1的射影为PD 1，且为虚线．故选D ．答案：D2．(2017·汕头一模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选A．答案：A3．(2017·晋中一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．16B．20C．52 D．60解析：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图，体积为12×3×4×2＋13×12×3×4×4＝20；故选B．答案：B4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A ．16B ．13C ．12D ．1解析：通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P -ABC ，通过侧视图得高h ＝1，底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16．答案：A5．(2017·兰州一模)某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为4，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12＋π×2×4＋12×π×2×22＋12＝(9＋5)π；故选A ．答案：A6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V -ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝3．答案：C7．(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A ．1B ．52C ． 6D ．2 3解析：由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A -BCD ，如图，其最大面的表面是边长为22的等边三角形，故其面积为34×(22)2＝23．答案：D8．(2017·河南六市二模)一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3.∴此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B ． 答案：B9．(2017·临沂一模)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，E 、F 分别为AB 边、CD 边上一点，且AE ＝DF ＝1，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB 、CD ，则所得三棱柱ABE -DCF 的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多(取5≈2.236)( )A ．68%B ．70%C ．72%D ．75%解析：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE -DCF (如图)，侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB ⊥BC ，△ABE 是直角三角形，∴AB ⊥BC .同理可证ABCD 是矩形．∵在矩形ABCD 中，AE ＝DF ＝1.AB ＝3，AD ＝5， ∴BE ＝2，∴可得三棱柱中AB ＝5，故得侧面积增加的部分为 S ＝5×5＝5．侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多出535＝53＝2.2363＝75%，故选D ．答案：D10．(2017·晋中一模)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．94解析：由题意，四棱锥P -ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点，设PH ＝h ，由几何体可知，Rt △PGO ∽Rt △PHF ，∴OG FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm 3)．答案：80 4012．(2017·焦作二模)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3)，则该圆柱形容器能放米________斛．解析：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，r ＝9，故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案为2700．答案：270013．(2017·九江十校二模)某四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为________．解析：由已知可得四棱锥是以正视图为底面的，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：2,1,1的长方体的外接球，其外接球半径R ＝12＋22＋122＝62，故它的外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π．答案：6π14．(2017·广元二诊)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF .三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：12＋12＋22＝ 6.∴球的半径为62． 答案：62。
2018届高考数学二轮复习 第一部分 专题五 立体几何 1.5.1 空间几何体的三视图、表面积及
限时规范训练空间几何体的三视图、表面积及体积限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2017·山东烟台模拟)一个三棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧(左)视图可能为( )解析：选D.分析三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故其侧(左)视图应为D.2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.作出三棱锥的直观图如图所示，由三视图可知AB＝BD＝2，BC＝CD＝2，AD＝22，AC＝6，故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形，故选C.3．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π解析：选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2×2×2＝42π3.4．(2017·厦门质检)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13 B.512C.36D.16解析：选D.VD 1B 1C 1E＝VE B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D.5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π解析：选C.将三棱锥P ABC 放入长方体中，如图，三棱锥P ABC 的外接球就是长方体的外接球．因为PA ＝AB ＝2，AC ＝4，△ABC 为直角三角形，所以BC ＝42－22＝2 3.设外接球的半径为R ，依题意可得(2R )2＝22＋22＋(23)2＝20，故R 2＝5，则球O 的表面积为4πR 2＝20π.故选C.6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧(左)视图中线段的长度x 的值是()A.7 B ．27 C ．4D ．5解析：选 C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，所以CP ＝7，所以x ＝32＋72＝4.7．(2017·山东青岛二模)如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(左)视图的周长等于( )A ．17 cmB ．(119＋5)cmC ．16 cmD ．14 cm解析：选D.由题意可知，侧(左)视图是一个三角形，底边长等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形．因为侧棱长5 cm ，所以斜高h ＝52－32＝4(cm)，又正四棱锥底面正方形的边长为6 cm ，所以侧(左)视图的周长为6＋4＋4＝14(cm)．8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310解析：选C.因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝122＋52＝13，即R ＝132.9．(2016·高考山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C.由三视图可知，半球的半径为22，四棱锥底面正方形边长为1，高为1， 所以该组合体的体积＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫223×12＋13×1×1×1＝13＋26π.10．(2017·吉林长春模拟)某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6解析：选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，而PB ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.11．(2017·甘肃兰州三模)某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋213解析：选D.可借助长方体，作出该四棱锥的直观图，如图中的四棱锥V ABCD 所示．则BC ⊥平面VAB ，AB ⊥平面VAD ，CD ⊥平面VAD ，VD ＝5，VB ＝13，所以四棱锥V ABCD 的表面积S 表＝S △VAB ＋S △VBC ＋S △VCD ＋S △VAD ＋S 四边形ABCD ＝12×(2×3＋4×13＋2×5＋3×4)＋2×4＝22＋213.故选D.12．(2017·河北衡水模拟)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π解析：选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝12AD ＝1222＋22＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π，应选B. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7. 答案：714．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，△PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：1415．(2017·山东临沂模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.答案：16＋8π16．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：如图，连接OD ，交BC 于点G ， 由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3. 答案：415。
(通用版)18年高考数学二轮复习专题三立体几何第一讲小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积及位
[答案]
(1)B
(2)B
(3)B
[方法技巧]
1．求解几何体的表面积与体积的技巧 (1)求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转化原 则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上． (2)求不规则几何体的体积：常用分割或补形的方法，将 不规则几何体转化为规则几何体求解． (3)求表面积：其关键思想是空间问题平面化． 2．根据几何体的三视图求其表面积或体积的步骤 (1)根据给出的三视图还原该几何体的直观图． (2)由三视图中的大小标识确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式或体积公式计算求解．
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
4．(2018届高三· 浙江名校联考)某简单几 何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为________，其外接球的表面 积为________．
解析：由三视图得该几何体是一个底面为对角线为4的正方 1 形，高为3的直四棱柱，则其体积为4×4× ×3＝24.又直四 2 棱柱的外接球的半径R＝
2
法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的 圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等 价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝ π×32×7＝63π. 1 (3)该几何体是一个直三棱柱截去 所得，如图所示，其 4 3 1 体积为 × ×3×4×2＝9. 4 2
A．3 2
B． 2 3
C．2 2 D．2 解析：在正方体中还原该四棱锥如图所示，
从图中易得最长的棱为 AC1＝ AC2＋CC2 1＝ 22＋22＋22＝2 3.
答案：B
3．(2017· 福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实 线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三 角形的个数是 ( )
2018高考数学二轮复习专题四立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积及体积课时
第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．答案：D2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12(1＋2)×2＝3.所以V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.答案：D3．(2017·衡阳第二次联考)如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A ．6π B.23π＋ 3 C ．4πD ．2π＋ 3解析：此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π. 答案：C4．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案：A5．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )(导学号 55410117)A ．12π B.323π C ．8π D ．4π解析：设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π.答案：A 二、填空题6．(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝（1＋2）×12×1＝32.答案：327．球面上有不同的三点A 、B 、C ，且AB ＝BC ＝AC ＝3，球心到A ，B ，C 所在截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为________．解析：设球的球心为O ，△ABC 的中心为O ′，在等边△ABC 中，边长AB ＝3，则O ′A ＝23×32×3＝ 3.依题意，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋O ′A 2，得R ＝2.所以S 球＝4πR 2＝16π. 答案：16π8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球半径为R ，则圆柱底面圆半径为R ，母线长为2R . 又V 1＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝2πR 343πR3＝32.答案：32三、解答题9．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6， 故AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 10．(2017·沈阳质检)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(导学号 55410118)(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．(1)证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点， 所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ， 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABC .(2)解：因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离． 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，所以VC 1ABC ＝VA 1ABC ＝13S △AB C ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.11．(2017·贵阳调研)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥BE .因为BE ∩BD ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解：设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD 知BE ⊥BG ， 故△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.。
[推荐学习]新课标2018届高考数学二轮复习专题能力训练11空间几何体的三视图表面积与体积理
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专题能力训练11 空间几何体的三视图、表面积与体积(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若一棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与其底面圆周上的任意一点的连线都是母线2.(2017浙江台州实验中学模拟)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为()A.8-B.8-C.8-2π D3.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为()4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90πB.63πC.42πD.36π5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A B C D6.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点P到这三个面的距离分别为4,5,5,则这只小球的半径是()A.3或8B.8或11C.5或8D.3或117.一正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为()A.64πB.32πC.16πD.8π8.某个长方体被一个平面所截,得到的几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A.4B.2C D.8二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.(2017浙江舟山模拟)已知正三角形ABC的边长为a,则△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为.10.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是cm3,则正视图中x的值是cm,该几何体的表面积是cm2.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为,表面积为.12.所谓正三棱锥,指的是底面为正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥,在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的体积为,其外接球的表面积为.13.下面是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是.14.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,AC=,AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=30°.(1)求证:EF⊥PB;(2)试问:当点E在何处时,四棱锥P-EFCB的侧面PEB的面积最大?并求此时四棱锥P-EFCB 的体积.16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.参考答案专题能力训练11空间几何体的三视图、表面积与体积1.D解析 A.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥,故A错误;B.如图(2)(3)所示,若△ABC不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥,故B错误;C.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由过中心和定点的截面知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长,故C错误;D.根据圆锥母线的定义知本选项正确.故选D.2.A解析由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=·π·12·2=.故该几何体的体积为V=8-.3.D解析由题图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面ACD⊥平面BCD.4.B解析由题意,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为6的圆柱截去一半后的图形和高为4的圆柱,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为V=×π×32×6+π×32×4=63π.故选B.5.B解析由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉一半圆锥的组合体,其体积V=×2×2×2-π×1=.6.D解析设小球球心为O,半径为r,点P所在的与底面平行的截面圆心为O1,O1O=d,则d=r-4,O1,O到与底面垂直的棱的距离为r,故点P到棱的距离为r+,且有化简得r2-14r+33=0,解得r=3或r=11.故选D.7.A解析作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R.在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,解得R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.8.D解析由题中所给的三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正方形的边长为2,HD=3,BF=1,将两个这样的几何体放在一起,可以构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为×2×2×4=8.9. 解析作出正三角形ABC的实际图形和直观图如图①②,由图②可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=O'C'=a,所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.10.2解析由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的四棱锥,其直观图如右图所示,由棱锥的体积公式得×(1+2)×x=,解得x=2,侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形,侧面BCS是以BC为底的等腰三角形,所以该几何体的表面积为S=[(1+2)×+2×2+×2+1×+2×]=.11.4032+16解析由题中三视图可知该几何体是放倒的三棱柱去掉两个三棱锥后的组合体,底面是边长为4,8的矩形,两个侧面都是等腰梯形,上、下底边长为8,4;两侧面是全等的等腰三角形,底边长为4,三角形的高为.等腰梯形的高为.几何体的体积为×4×3×4+2××2×4×3=40,几何体的表面积为4×8+2××4×+2××(4+8)×=32+16.12. 12π解析如图,由正三棱锥性质可知,SB⊥AC,又SB⊥AM,故SB⊥平面SAC.∴∠BSA=∠BSC=∠CSA=90°.由AB=2,可知SA=SB=SC=2.∴V S-ABC=V B-SAC=·S△SAC·SB=·22·2=,可以把三棱锥补成一个棱长为2的正方体,故其外接球的直径为2r=2,表面积为S=4πr2=12π.13.3解析由三视图作出几何体的直观图(如图所示),计算可知AF最长,且AF==3.14. 解析将直三棱柱沿侧棱A1A剪开,得平面图形如图所示,A'C1为定长,当A,M,C1共线时AM+MC1最短,此时AM=,MC1=2.又在原图形中AC1=,易知∠AMC1=120°,故×2×sin 120°=.15.(1)证明∵EF∥BC,且BC⊥AB,∴EF⊥AB,即EF⊥BE,BF⊥PE.又BE∩PE=E,∴EF⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE,∴EF⊥PB.(2)解设BE=x,PE=y,则x+y=4.∴S△PEB=BE·PE·sin∠PEB=xy≤=1,当且仅当x=y=2时,S△PEB的面积最大.此时,BE=PE=2.由(1)知EF⊥平面PBE,∴平面PBE⊥平面EFCB.在平面PBE中,作PO⊥BE于O,则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P-EFCB的高.又PO=PE·sin 30°=2×=1,S EFCB=×(2+4)×2=6,∴V P-BCFE=×6×1=2.16.(1)证明由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解在平面PAD内作PE⊥AD,垂足为E.由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE,可得PE⊥平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=x,PE=x.故四棱锥P-ABCD的体积V P-ABCD=AB·AD·PE=x3.由题设得x3=,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为PA·PD+PA·AB+PD·DC+BC2sin 60°=6+2.。
2018大二轮高考总复习文数文档：自检10 空间几何体的
自检10：空间几何体的三视图、表面积和体积A组高考真题集中训练空间几何体的三视图1．(2014·全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B．答案：B2．(2013·全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置，然后进行投影，分析其正视图形状．易知选A．答案：A空间几何体的表面积与体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：方法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B ．方法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．故选B ． 答案：B2．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．答案：A3．(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D ．答案：D4．(2016·全国甲卷)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.答案：C5．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．答案：A6．(2016·全国丙卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋365B ．54＋18 5C ．90D ．81解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋1 8 5.故选B ．答案：B7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O －ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O －ABC 最大，为13×12R 2×R＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C ． 答案：C8．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B ． 答案：B9．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．32解析：由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD ＝2sin 60°＝3，所以VA －B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C ．答案：C10．(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2B 组 高考对接限时训练(十)(时间：35分钟 满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·大连调研)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中点P 是棱CD 上一点，则三棱锥P －A 1B 1A 的侧视图是( )解析：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，从左侧看三棱锥P －A 1B 1A ，B 1，A 1，A 的射影分别是C 1，D 1，D ；AB 1的射影为C 1D ，且为实线，P A 1的射影为PD 1，且为虚线．故选D ．答案：D2．(2017·汕头一模)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d解析：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选A．答案：A3．(2017·晋中一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．16B．20C．52D．60解析：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图，体积为12×3×4×2＋13×12×3×4×4＝20；故选B．答案：B4．(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A ．16B ．13C ．12D ．1解析：通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥P －ABC ，通过侧视图得高h ＝1，底面积S ＝12×1×1＝12，所以体积V ＝13Sh ＝13×12×1＝16.答案：A5．(2017·兰州一模)某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：由三视图得到几何体为圆柱挖去一个圆锥，圆柱的底面直径为2，高为4，圆锥的底面直径为2，高为2，所以几何体的表面积为π×12＋π×2×4＋12×π×2×22＋12＝(9＋5)π；故选A ．答案：A6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A ．1B ． 2C ．3D ．2解析：根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V －ABCD ，其中VB ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，VB ＝1.所以四棱锥中最长棱为VD .连接BD ，易知BD ＝2，在Rt △VBD 中，VD ＝VB 2＋BD 2＝ 3.答案：C7．(2017·永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A ．1B ．52C ．6D ．2 3解析：由题意得，该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，如图，其最大面的表面是边长为22的等边三角形，故其面积为34×(22)2＝2 3.答案：D8．(2017·河南六市二模)一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．4πD ．6π解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为 3.∴此四面体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫322＝3π.故选B ． 答案：B9．(2017·临沂一模)如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，E 、F 分别为AB 边、CD 边上一点，且AE ＝DF ＝1，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB 、CD ，则所得三棱柱ABE －DCF 的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多(取5≈2.236)( )A ．68%B ．70%C ．72%D ．75%解析：将矩形ABCD 沿EF 折起，使得平面ADFE ⊥平面BCFE ，可得三棱柱ABE －DCF (如图)，侧面积增加的部分为ABCD ，∵EB ⊥BC ，△ABE 是直角三角形，∴AB ⊥BC .同理可证ABCD 是矩形．∵在矩形ABCD 中，AE ＝DF ＝1.AB ＝3，AD ＝5， ∴BE ＝2，∴可得三棱柱中AB ＝5，故得侧面积增加的部分为S ＝5×5＝5. 侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多出535＝53＝2.2363＝75%，故选D ．答案：D10．(2017·晋中一模)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．94解析：由题意，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上；过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图所示，其中PE ，PF 是斜高，G 为球面与侧面的切点，设PH ＝h ，由几何体可知，Rt △PGO ∽Rt △PHF ，∴OG FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.故选D ．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm 3)．答案：80 4012.(2017·焦作二模)《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制1丈＝10尺，1斛＝1.62立方尺，圆周率π＝3)，则该圆柱形容器能放米________斛．解析：设圆柱的底面半径为r ，则2πr ＝54，r ＝9，故米堆的体积为π×92×18＝4374立方尺，∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴4374÷1.62≈2700斛，故答案为2700.答案：270013．(2017·九江十校二模)某四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为________．解析：由已知可得四棱锥是以正视图为底面的，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：2,1,1的长方体的外接球，其外接球半径R ＝12＋22＋122＝62，故它的外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.答案：6π14．(2017·广元二诊)如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，将△ADE 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使得A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意可知△A ′EF 是等腰直角三角形，且A ′D ⊥平面A ′EF .三棱锥的底面A ′EF 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：12＋12＋22＝ 6.∴球的半径为62. 答案：62。
2018年高考数学(理)二轮复习练习专题限时集训8 空间几何体的三视图、表面积和体积 Word版含答案
专题限时集训(八) 空间几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第页)(限时：分钟)．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是如图所示，图中圆内有一个以圆心为中心边长为的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是( )图．π．π．π．π[由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为，∴此四面体的外接球的表面积为π×＝π，故选.]．(·惠州三调)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )【导学号：】图．．．[四棱锥的直观图如图所示，⊥平面，＝，底面四边形为正方形且边长为，故最长棱＝＝.]．(·沈阳一模)已知，，，是球表面上的不同点，⊥平面，⊥，＝，＝，若球的表面积为π，则＝( )．．[根据已知把补成如图所示的长方体．因为球的表面积为π，所以球的半径＝＝＝，解得＝，故选.]．(·广州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是( )图[由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为，其底面为正方形，面积为×＝，因为该几何体的体积为××＝，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形 .选.]．(·江西五校联考)如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱后得到的几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积的比值为( )图－．－．＋。
专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积(仿真押题)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押
1．一个侧面积为4π的圆柱，其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形，则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为()【答案】C2．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()【解析】由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.【答案】C3.一个正方体截去两个角后所得几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()【解析】由题意得正方体截去的两个角如图所示，故其俯视图应选C.【答案】C4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()【解析】左视图是从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是左下角与右上角的连线，故选C.【答案】C5．如图，用斜二测画法得到四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．【答案】8 26.如图是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，则该几何体的体积是()A．24 B．12C．8 D．4【解析】由三视图可知，该几何体由两个相同的直三棱柱构成，三棱柱的高为4，三棱柱的底面三角形为直角三角形，两直角边分别为2，32，所以三棱柱的底面积为12×2×32＝32，所以三棱柱的体积为32×4＝6.即该几何体的体积为2×6＝12，故选B. 【答案】B7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是( )A.12B.32C ．1 D. 3【答案】B8．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋16B.4π3＋16C.2π6＋16D.2π3＋12【解析】据三视图可知，该几何体是一个半球(下部)与一个四面体(上部)的组合体，其直观图如图所示，其中BA ，BC ，BP 两两垂直，且BA ＝BC ＝BP ＝1，∴(半)球的直径长为AC ＝2，∴该几何体的体积为V＝V半球＋V P-ABC＝12×43π⎝⎛⎭⎫AC23＋13×12×BA·BC·PB＝2π6＋16.【答案】C9.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为()A．92＋24πB．82＋24πC．92＋14πD．82＋14π表面积为S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.【答案】C10.四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为()A．12π B．24π C．36π D．48π【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，且该正方体的棱长为a .设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 的中点为G ，连接OG ，OA ，AG .根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为22，即正方体的面对角线长也是22，可得AG ＝2＝22a ，所以正方体的棱长a ＝2，在Rt △OGA 中，OG ＝12a ＝1，AO ＝3，即四棱锥P -ABCD 的外接球半径R ＝3，从而得外接球表面积为4πR 2＝12π，故选A.【答案】A11．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为 3 cm 和 2 cm ，其余四根的长度均为1 cm ，则这样的三棱锥的体积为________cm 3.【答案】21212．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．【解析】由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′，∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 【答案】24 213．如图所示，E ，F 分别是正方体的面ADD 1A 1，面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)【解析】由正投影的定义，四边形BFD 1E 在面AA 1D 1D 与面BB 1C 1C 上的正投影是图③；其在面ABB 1A 1与面DCC 1D 1上的正投影是图②；其在面ABCD 与面A 1B 1C 1D 1上的正投影也是②，故①④错误． 【答案】②③14．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】715．三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________. 【解析】如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，△P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E -ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.【答案】1416．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.【答案】16＋8π17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．18．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．【解析】(1)正六棱锥．(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.19.已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .【解析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)几何体的体积为：V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5. 左、右侧面的底边上的高为h 2＝42＋42＝4 2. 故几何体的侧面面积为： S ＝2×(12×8×5＋12×6×42)＝40＋24 2.20.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．(2)设正三棱锥P -ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r .∴V P -ABC ＝V O -P AB ＋V O -PBC ＋V O -P AC ＋V O -ABC ＝13S 侧·r ＋13S △ABC ·r ＝13S 表·r ＝(32＋23)r .又V P -ABC＝13×12×32×(26)2×1＝23， ∴(32＋23)r ＝23，得r ＝2332＋23＝23（32－23）18－12＝6－2.∴S 内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π. V 内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.。
专题12 空间几何体的三视图﹑表面积及体积(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押
【命题热点突破一】三视图与直观图1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1、【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【变式探究】【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π【答案】C【方法技巧】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．【变式探究】(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()【答案】(1)D (2)D【命题热点突破二】 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2、【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A ． 90π B ．63π C ．42π D ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V ππ=⨯⨯=，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积()22136272V ππ=⨯⨯⨯=，故该组合体的体积12362763V V V πππ=+=+=．故选B ．【变式探究】【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：【方法技巧】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．【变式探究】在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P A 1MN 的体积是________． 【答案】124【解析】由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，∵11P A MN A PMN V V --＝， 又∵AA 1∥平面PMN ，∴1A PMN V -＝V A-PMN ， ∴V A-PMN ＝13×12×1×12×12＝124， 故1P A MN V -＝124.【命题热点突破三】 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． 例3、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：【方法技巧】三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1)P 可作为长方体上底面的一个顶点，A 、B 、C 可作为下底面的三个顶点； (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线． 【变式探究】在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为22，32，62，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________.【答案】6π【解析】如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．【高考真题解读】1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为()12242122⨯+⨯⨯=，故选B.2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）B．90πB．63πC．42πD．36π【答案】B3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ） （B ） （C ） （D ）2 【答案】B【解析】几何体是四棱锥P ABCD -，如图.4.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，1，圆柱的高为1，底面圆半径为1，所以2π1π21121242V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+.5.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______.【答案】【考点】简单几何体的体积1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（）（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16 B.13 C.12D.1 【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C【解析】由三视图可知,的半球,体积为311423V =⨯π⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C. 6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C 【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选C ．7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .正视图3318.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 1．(2015·广东，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3 【答案】C【解析】当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.2．(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403 cm 3【答案】C3．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.4．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.【答案】83π5．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4 【答案】D【解析】由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.6.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【答案】B【解析】由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.7．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64πC ．144πD ．256π【答案】C8．(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】C【解析】如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.9．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B .23＋π C.13＋2π D.23＋2π 【答案】A【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 10．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15【答案】D11．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π【答案】A。
2018年高考数学二轮复习 专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积押题专练 文
专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )【答案】D【解析】先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确． 2．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π【解析】选B.旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高2，高即斜边的长的一半2，故所得几何体的体积V ＝13π(2)2×2×2＝42π3.4．如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥D 1B 1C 1E 的体积等于( )A.13 B.512C.36D.16【解析】选D.V D 1B 1C 1E ＝V E B 1C 1D 1＝13S △B 1C 1D 1·CC 1＝13×12×12×1＝16，故选D.5．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC 为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧 (左)视图中线段的长度x 的值是( )3A.7 B ．27 C ．4D ．5【解析】选C.分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，所以CP ＝7，所以x ＝32＋72＝4.7．如图，正四棱锥P ABCD 的底面边长为6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧(左)视图的周长等于( )A ．17 cmB ．(119＋5)cmC ．16 cmD ．14 cm8．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．3109．如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A ．6π B.23π＋ 3 C ．4π D ．2π＋ 3【答案】C【解析】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π.10．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是( )A ．2 5B ．2 6C ．27D ．4 2【解析】选C.由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中AC ＝2，PA ＝2，△ABC 中，边AC 上的高为23，所以BC ＝42＋32＝27，而P B ＝PA 2＋AB 2＝22＋42＝25，PC ＝PA 2＋AC 2＝22，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是BC ，其长为27，选C.511．某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A ．17B ．22C ．14＋213D ．22＋21312．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A ．24πB ．6πC ．4πD ．2π【解析】选B.题中的几何体是三棱锥A BCD ，如图所示，其中底面△BCD 是等腰直角三角形，BC ＝CD ＝2，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝2，BD ＝2，AC ⊥CD .取AD 的中点M ，连接BM ，CM ，则有BM ＝CM ＝12AD＝1222＋22＝62.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎪⎫622＝6π，应选B.13．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】7【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解． 设新的底面半径为r ，由题意得13×π×52×4＋π×22×8＝13×π×r 2×4＋π×r 2×8， ∴r 2＝7，∴r ＝7.14．三棱锥P ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥 D ABE 的体积为V 1，P ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.【答案】1415．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．7【答案】16＋8π【解析】根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.16．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．17．如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，。
2018届高考数学二轮复习 专题检测(四)空间几何体的三视图、表面积与体积 文
专题检测（四） 空间几何体的三视图、表面积与体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92 C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，故该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，则球心O 到平面α的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D. 6解析：选B 依题意，设该球的半径为R ，则有4π3R 3＝43π，由此解得R ＝3，因此球心O 到平面α的距离d ＝R 2－12＝ 2.5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫a 2a 2＝22. 7．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M PBC ＝V P MBC ＝13×92×1＝32.8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S正视图＝12a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a2＝2. 9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④解析：选D 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C ，则三棱锥B ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203πC ．10πD ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π.11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x 2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r2－r 3)(0<r <1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232－⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8π27.12．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：选 C 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π.二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案：3314．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ， 设球O 的半径为R ， ∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ，∴V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π16．某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ABCD ，CD ＝y2，AB＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，∴BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ， 则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立． 此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：37。
2018届高三数学二轮复习冲刺提分作业专题五立体几何刺第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积文含答案
1.(2017 安徽合肥质量检测 ( 二 )) 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示
()
, 则该几何体的体积为
A.
B.
C.28 D.22+6
2.(2017 贵州贵阳检测 ) 三棱锥 P-ABC的四个顶点都在体积为
小圆面积为 16π, 则该三棱锥的高的最大值为 (
)
的球的表面上 , 底面 ABC所在的
A.4
角梯形绕 BC边所在直线旋转一周 , 则所得几何体的表面积为
.
16.(2017 江苏 ,6,5 分) 如图 , 在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切 .
记圆柱 O1O2 的体积为 V1, 球 O的体积为 V2, 则 的值是
.
B 组 提升题组
时间 :25 分钟
分值 :50 分
图为正六边形 , 则该几何体的体积是 ( )
A.
B.1
C.2
D.
7.(2017 河南郑州质量预测 ( 一 )) 某几何体的三视图如图所示 , 则其体积为 (
)
A.207
B.216-
广东广州五校协作体第一次诊断
()
) 某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的表面积为
第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积和体积
A 组 基础题组
时间 :35 分钟
分值 :80 分
1.(2017 湖南长沙模拟 ) 如图是某几何体的三视图 , 其正视图、 侧视图均是直径为 2 的半圆 , 俯视图
是直径为 2 的圆 , 则该几何体的表面积为 ( )
A.3 π
B.4 π
C.5 π
D.12 π
A.
+1
B.
C.
(新课标)高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图、表面积与体积学案 理 新人
第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积[做真题]题型一三视图与直观图1．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5C．3 D．2解析：选B．由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选A．由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A．3．(2019·高考全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x ，则22x ＋x ＋22x ＝1，解得x ＝2－1，故题中的半正多面体的棱长为2－1. 答案：262－1题型二 空间几何体的表面积与体积1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.解析：由题易得长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V四棱锥O EFGH＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π题型三 与球有关的切、接问题1．(2019·高考全国卷Ⅰ )已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π解析：选D ．因为点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以EF ∥PB ， 因为∠CEF ＝90°，所以EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，易证AC ⊥平面BDP ，所以PB ⊥AC ，又AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ， 所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，因为PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为正三角形，所以PA ⊥PC ，即PA ，PB ，PC 两两垂直，将三棱锥P -ABC 放在正方体中如图所示．因为AB ＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝62，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π，故选D ．2．(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：选B ．设等边三角形ABC 的边长为x ，则12x 2sin 60°＝93，得x ＝6.设△ABC 的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－(23)2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4解析：选B ．设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B ． [明考情]1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，此小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．空间几何体的三视图[考法全练]1．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体木块ABCD A 1B 1C 1D 1的直观图如图所示，平面α过点D 且平行于平面ACD 1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )A ． 3B ．32 3C ． 2D ．1解析：选A ．棱长为1的正方体木块ABCD A 1B 1C 1D 1在平面α内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为2的等边三角形，所以木块在平面α内的正投影面积是2×12×2×2×32＝ 3.2．(2019·福州市第一学期抽测)如图为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是( )解析：选B ．由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B ．3．(2019·江西省五校协作体试题)如图1，在三棱锥D ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图2，则其侧视图的面积为( )A ． 6B ．2C ． 3D ． 2解析：选D ．由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为 2.所以侧视图的面积为2，故选D ．4．(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )A ．52B ． 2C ．355D ．32解析：选D ．在棱长为2的正方体中还原该四面体P ABC .如图所示，其中最短的棱为AB 和BC ，最长的棱为PC .因为正方体的棱长为2，所以AB ＝BC ＝2，PC ＝3，所以该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值为32，故选D ．5．(2019·湖南省五市十校联考)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为( )A ．8B ．4 5C ．8 2D ．12 2解析：选D ．由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4，AB ＝4，BC ＝4，CD ＝6，所以AD ＝25，PD ＝6，PB ＝42，连接AC ，则AC ＝42，所以PC ＝43，显然在各侧面面积中△PCD 的面积最大，又PD ＝CD ＝6，所以PC 边上的高为62－⎝ ⎛⎭⎪⎫4322＝26，所以S △PCD ＝12×43×26＝122，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为122，故选D ．(1)识别三视图的步骤①应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置． ②根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图． ③被遮住的轮廓线应为虚线． (2)由三视图还原到直观图的思路 ①根据俯视图确定几何体的底面．②根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．③确定几何体的直观图形状．(3)由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．空间几何体的表面积和体积[典型例题]命题角度一 空间几何体的表面积(1)(2019·安徽五校联盟第二次质检)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．20＋2 3B ．18＋2 3C ．18＋ 3D ．20＋ 3(2)(2019·福建五校第二次联考)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A ．39π4＋3 3B ．45π4＋3 3C ．23π2D ．49π4【解析】 (1)如图所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，根据三视图，还原几何体的直观图为图中多面体ABCD A 1C 1D 1，其表面积为S正方形ABCD＋S 正方形ADD 1A 1＋S 正方形DCC 1D 1＋S△ABA 1＋S △A 1C 1D 1＋S △BCC 1＋S △A 1BC 1＝4＋4＋4＋2＋2＋2＋34×8＝18＋23，故选B ．(2)由三视图知，该几何体为圆锥挖掉14圆台后剩余部分，其表面积S 表＝34π×22＋14π×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×2π×2×4＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14×2π×1×2＋(1＋2)×32×2＝39π4＋3 3.故选A ．【答案】 (1)B (2)A求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得不规则几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．23π B ．43π C ．2πD ．25π(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为________．【解析】 (1)由三视图知，该几何体是由两个底面半径为1，高为2的圆锥组成的，所以该几何体的体积V ＝2×13×12×π×2＝4π3，故选B ．(2)把三视图还原成几何体ABC DEF ，如图所示，在AD 上取点G ，使得AG ＝2，连接GE ，GF ，则把几何体ABC DEF 分割成三棱柱ABC GEF 和三棱锥D GEF ，所以V ABC -DEF ＝V ABC -GEF ＋V D -GEF ＝43×2＋13×43×2＝3233.【答案】 (1)B (2)3233求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．[对点训练]1．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )A ．1－π4B ．3＋π2C ．2＋π4D ．4解析：选D ．由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D ．2．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为________．解析：记所有棱长都是2的三棱锥为P ABC ，如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，作PO ⊥AD 于点O ，则PO ⊥平面ABC ，且OP ＝63×2＝233，故三棱锥P ABC 的体积V ＝13S △ABC ·OP ＝13×34×(2)2×233＝13.答案：13与球有关的切、接问题[典型例题]命题角度一 外接球(2019·石家庄市质量检测)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P AOB 的外接球的体积是________．【解析】 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，即OA ⊥OB ，因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB ⊥AO ，又OB ∩PB ＝B ，所以AO ⊥平面PBO ，所以AO ⊥PO ，即△PAO 是以PA 为斜边的直角三角形，因为PB ⊥AB ，所以△PAB 是以PA 为斜边的直角三角形，所以三棱锥P AOB 的外接球的直径为PA ，因为PB ＝1，∠APB ＝π3，所以PA ＝2，所以三棱锥P AOB 的外接球的半径为1，所以三棱锥P AOB 的外接球的体积为4π3.【答案】4π3解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．命题角度二 内切球(2019·广东省七校联考)在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝2a ，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为________．【解析】 通解：由题意知，球内切于四棱锥P ABCD 时半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为O ，半径为r ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP ，则V P -ABCD ＝V O -ABCD ＋V O -PAD ＋V O -PAB ＋V O -PBC ＋V O -PCD ，即13×2a ×2a ×2a ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋2×12×2a ×2a ＋2×12×2a ×22a ×r ，解得r ＝(2－2)a . 优解：易知当球内切于四棱锥P ABCD ，即与四棱锥P ABCD 各个面均相切时，球的半径最大，作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥P ABCD 内切球的半径为r ，则12×2a ×2a ＝12×(2a＋2a ＋22a )×r ，解得r ＝(2－2)a .【答案】 (2－2)a求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．命题角度三 与球有关的最值问题(2019·昆明市质量检测)三棱锥P ABC 的所有顶点都在半径为2的球O 的球面上．若△PAC 是等边三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，则三棱锥P ABC 体积的最大值为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．3 3【解析】 根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.【答案】 B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．[对点训练]1．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A ．83π B ．323πC ．16πD ．32π解析：选B ．设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π，故选B ．2．(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )A ．3π4B ．2πC ．3π2D ．9π4解析：选C ．正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A 1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C ．一、选择题1.如图是一个正方体，A ，B ，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A BCD 的正视图和俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )解析：选A ．正视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见，故为虚线，易知选A ．2．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为CD 的中点，则三棱锥A BC 1M 的体积VA BC 1M ＝( )A ．12 B ．14 C ．16 D ．112解析：选C ．VA -BC 1M＝VC 1-ABM ＝13S △ABM ·C 1C ＝13×12AB ×AD ×C 1C ＝16.故选C ． 3．(2019·昆明市质量检测)一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为( )A．12 3 B．24C．12＋ 3 D．24＋2 3解析：选B．根据三视图可知该三棱柱的直观图如图所示，所以该三棱柱的侧面积S＝[2(3)2＋12＋2]×4＝(2×2＋2)×4＝24.4．(2019·蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图1所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形(如图2所示)，则此几何体的体积为( )A．1 B． 2C．2 D．2 2解析：选B．根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V＝1 3×(12×2×2)×3＝ 2.故选B．5．(2019·昆明市质量检测)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4＋2π3B ．4＋4π3C ．12＋2π3D ．12＋4π3解析：选C ．三视图对应的几何体是一个半球与一个长方体的组合体，半球的半径为1，体积为2π3，长方体的长、宽、高分别为2、2、3，体积为12.所以组合体的体积为12＋2π3.故选C ．6．(2019·合肥市第二次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( )A ．17π＋12B ．12π＋12C ．20π＋12D ．16π＋12解析：选C ．由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为12×2π×3×3＋12×2π×1×3＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12π×32－12π×12＋2×2×3＝20π＋12，故选C ．7．(2019·济南市学习质量评估)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．5B ．163C ．6D ．8解析：选C ．该几何体是以左视图为底面的五棱柱，高为2，底面积为2×1＋12×2×1＝3，故其体积为3×2＝6.8．(2019·江西七校第一次联考)一个半径为1的球对称削去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C ．由题中俯视图可知该球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分为该几何体，所以该立体图形的表面积为2×π×12＋3×π×12＝5π，故选C ．9．(2019·广州市综合检测(一))一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A ．13π2B ．7πC ．15π2D ．8π解析：选B ．由三视图可知该几何体是一个圆柱体和一个球体的四分之一的组合体，则所求的几何体的表面积为14×4π×12＋π×12＋π×12＋2π×1×2＝7π，选B ．10．(2019·重庆市七校联合考试)已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( )A ．18B ．12C ．6 3D ．4 3解析：选B ．由题意知，球心在三棱锥的高PE 上，设内切球的半径为R ，则S 球＝4πR2＝16π，所以R ＝2，所以OE ＝OF ＝2，OP ＝4.在Rt △OPF 中，PF ＝OP 2－OF 2＝2 3.因为△OPF ∽△DPE ，所以OF DE ＝PF PE，得DE ＝23，AD ＝3DE ＝63，AB ＝23AD ＝12.故选B ．11．(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．32B ．16C ．323D ．803解析：选D ．由三视图知，该几何体为直三棱柱ABC A 1B 1C 1割去一个小三棱锥D ABC 后剩余的部分，如图所示，故所求几何体的体积为12×43－13×12×42×2＝803.故选D ．12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A ．334B ．233C ．324D ．32解析：选A ．记该正方体为ABCD A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A ．二、填空题13．(一题多解)(2019·南昌市第一次模拟测试)底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为________．解析：法一：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，设正三棱锥的高为h ，则13×12×32×32×32＝13×34×36h ，解得h ＝ 6.法二：由题意得，三棱锥的侧棱长为32，底面正三角形的外接圆的半径为23，所以正三棱锥的高为18－12＝ 6.答案： 614．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为____________． 解析：如图，过点P 分别作PE ⊥BC 交BC 于点E ，作PF ⊥AC 交AC 于点F .由题意知PE ＝PF ＝ 3.过P 作PH ⊥平面ABC 于点H ，连接HE ，HF ，HC ，易知HE ＝HF ，则点H 在∠ACB 的平分线上，又∠ACB ＝90°，故△CEH 为等腰直角三角形．在Rt △PCE 中，PC ＝2，PE ＝3，则CE ＝1，故CH ＝2，在Rt △PCH 中，可得PH ＝2，即点P 到平面ABC 的距离为 2.答案： 215．(2019·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以圆柱的体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4. 答案：π416. (2017·高考全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．解析：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎪⎫5－36a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝25－533a ，所以25－533a >0，所以0<a <53，所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2× 25－533a ＝312× 25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3. 答案：415。
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7．(2016· 全国卷Ⅲ)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积 为 A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81
解析：由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱， 其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面 积为(3×3＋3×6＋3×3 5)×2＝54＋18 5.
解析：作出空间直角坐标系，在坐标系中标出各点的位置， 然后进行投影，分析其正视图形状．易知选 A.
答案：A
考查点二
空间几何体的表面积、体积
4．(2017· 全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实 线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱 截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( )
12 3 －2 ＝4，所以圆
答案：B
9．(2015· 全国卷Ⅱ)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥 O ABC 体积的 最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析： 如图，设球的半径为 R ，∵∠ AOB ＝
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体 1 积 V＝π×3 ×10－2×π×32×6＝63π.
2
法二：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱 截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，其体积等价于 底面半径为 3 ，高为 7 的圆柱的体积，所以它的体积 V ＝ π×32×7＝63π.
(
)
答案：B
考查点三 与球有关的结合体问题 8．(2017· 全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在 直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． π 3π B. 4 π C.2 π D.4
2 2
(
)
解析：设圆柱的底面半径为 r，则 r ＝1 3 3π 柱的体积 V＝4π×1＝ 4 .
答案：B
5．(2016· 全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图 是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相 28π 垂直的半径．若该几何体的体积是 3 ， 则它的表面积是 ( ) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：由几何体的三视图可知，该几何体是一
1 个球体去掉上半球的4，得到的几何体如图．设 4 3 1 4 3 28 球的半径为 R，则3πR －8×3πR ＝ 3 π，解得 7 3 2 2 R＝2.因此它的表面积为8×4πR ＋4πR ＝17π. 答案：A
2．(2014· 全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实 线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 )
解析：由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四 边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选 B.
答案：B
3．(2013· 全国卷Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面 体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正 视图可以为 ( )
6．(2016· 全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组 合而成的几何体的三视图， 则该几何体 的表面积为 A．20π C．28π B．24π D．32π ( )
解析：由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆Байду номын сангаас 底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h.由 图得 r＝2， c＝2πr＝4π， h＝4， 由勾股定理得： l＝ 22＋2 32 1 ＝4，S 表＝πr ＋ch＋2cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 答案：C
2015
选择题第11题
卷 别 年 份 2017 全国 卷Ⅱ 2016
考题位置 选择题第4题 选择题第6题
考查内容 空间几何体的三视图及组合体体 积的计算 空间几何体的三视图及组合体表 面积的计算 空间几何体的三视图及组合体体 积的计算
选择题第6题
2015
2017
全国 卷Ⅲ 2016
三棱锥的体积、球的表面积、球 选择题第9题 与三棱锥的结构特征 选择题第8题 球的内接圆柱、圆柱体积的计算 选择题第9题 空间几何体的三视图及组合体表 面积的计算
选择题第10题 直三棱柱的体积最值问题
命题规律分析
立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难
点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一 大”或“两小一大”的格局．以选择题或填空题的形 式主要考查空间几何体三视图的识别，空间几何体的 体积或表面积的计算．
考查点一
空间几何体的三视图
1．(2017· 全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所 示， 其中正视图和左视图都由正方形和等 腰直角三角形组成，正方形的边长为 2， 俯视图为等腰直角三角形． 该多面体的各 个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积 之和为 A．10 C．14 B．12 D．16 ( )
小题押题 16—10
空间几何体的三视图、表面积与体积
卷 别
年 份 2017
考题位置 选择题第7题 填空题第16题
考查内容
空间几何体的三视图及有 关面积的计算
三棱锥体积及最值的计算 有关球的三视图及表面积 的计算 锥体体积的计算 空间几何体的三视图及组 合体表面积的计算
全国 卷Ⅰ
2016
选择题第6题 选择题第6题
解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一 个底面是等腰直角三角形的直三棱柱， 上面是一个底面 是等腰直角三角形的三棱锥， 等腰直角三角形的腰长为 2，直三棱柱的高为 2，三棱锥的高为 2，易知该多面体 2＋4×2 有 2 个面是梯形，这些梯形的面积之和为 ×2 2 ＝12，故选 B.
答案：B
1 2 90°，∴S△AOB＝2R . ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB 面积为定值， ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时，VOABC 最大，∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时，体 1 1 2 积 VO ABC 最大，为 × R ×R＝36，∴R＝6，∴球 O 的表面积 3 2 答案：C 为 4πR2＝4π×62＝144π.