高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 理
高考数学第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用突破点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ω>0)的图象的两种方法[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()答案：(1)× (2)×二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3[全析考法]考法一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：(1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到 C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到 D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到 [解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cosx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象．[解](1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a＝4cos x ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ，∵f (x )的最大值为2，∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎪⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B.[答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－2 解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝ 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B.3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω， ∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入可得sin (π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图象．故选C.突破点二 三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000.(2)当cosπt －82＝－1时，C 达到最小值．即πt －82＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22－1 000≤1 250，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos πt －82＋22≤2.25，∴cos πt －82≤－0.5.即2k π＋23π≤πt －82≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z.又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．[方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40. ∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6.∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
届数学一轮复习第四章三角函数解三角形创新引领微课把握三角函数与解三角形中的最值问题教学案含解析
把握三角函数与解三角形中的最值问题微点聚焦突破类型一三角函数的最值角度1可化为“y＝A sin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题【例1－1】如图所示，在平面直角坐标系xOy中,扇形AOB的半径为2，圆心角为错误!,点M是弧AB上异于A，B的点。
（1）若点C(1，0)，且CM＝2,求点M的横坐标;（2）求△MAB面积的最大值.解（1）连接OM,依题意可得，在△OCM中,OC＝1，CM＝2，OM＝2，所以cos ∠COM＝错误!＝错误!，所以点M的横坐标为2×错误!＝错误!。
(2）设∠AOM＝θ，θ∈错误!，则∠BOM＝错误!－θ，S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB＝错误!×2×2错误!－错误!×2×2×错误!＝2错误!sin错误!－错误!，因为θ∈错误!，所以θ＋错误!∈错误!，所以当θ＝错误!时，△MAB的面积取得最大值，最大值为错误!。
思维升华化为y＝A sin（ωx＋φ）＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响,可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2可化为y＝f(sin x)(或y＝f(cos x））型的最值问题【例1－2】函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为________.解析y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1。
设t＝sin x，则－1≤t≤1，所以原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2错误!错误!＋错误!，所以当t＝错误!时,函数y取得最大值为错误!。
答案错误!思维升华可化为y＝f(sin x）（或y＝f(cos x））型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域。
【训练1】（1)（角度1)函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.(2)(角度2)若函数f(x)＝cos 2x＋a sin x在区间错误!上的最小值大于零，则a的取值范围是________.解析(1)f（x）＝3sin x＋4cos x＝5错误!＝5sin(x＋φ），其中cos φ＝错误!，sin φ＝错误!，错误!〈φ<错误!。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函
1 23 45
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题型分类 深度剖析
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例 1 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； 解 y＝2sin2x＋π3的振幅 A＝2， 周期 T＝22π＝π，初相 φ＝π3.
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
3π
_2__
_2_π_
－A
0
答案
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 的步骤如下：
|φ|
| |
答案
思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移 的长度一致.( × ) (2)y＝sinx－π4的图象是由 y＝sinx＋4π的图象向右平移2π个单位得到 的.( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中的最高 点的值与最低点的值确定的.( √ )
解析答案
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最 高点的坐标为(2， 2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 y＝ 2sinπ8x＋π4 . 解析 由题意得 A＝ 2，T4＝6－2，所以 T＝16，ω＝2Tπ＝π8. 又 sinπ8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2kπ (k∈Z). 又因为|φ|<2π，所以 φ＝π4.
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图
4.4 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用1．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )答案 A解析 令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D 项，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C 项，故选A.2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 3．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8B.π4C.3π8D.5π4解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.4．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 A解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.5．若把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A ．2B.32C.23D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ωπ3－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴ω的一个可能值是2.6．(2019·某某省某某市一中、某某六中联考)已知函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1，将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，则|x 1－x 2|的值可能为( ) A.5π4B.3π4 C.π2D.π3解析 函数f (x )＝3sin2x －2cos 2x ＋1 ＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 变换后得函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋1的图象，易知函数y ＝g (x )的值域为[－1,3]． 若g (x 1)·g (x 2)＝9，则g (x 1)＝3且g (x 2)＝3，均为函数y ＝g (x )的最大值， ∴|x 1－x 2|的值为函数y ＝g (x )的最小正周期T 的整数倍，且T ＝2π4＝π2.7．(多选)将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )具有以下哪些性质( ) A ．最大值为3，图象关于直线x ＝－π3对称B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称 答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos2x 的图象．对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝－π3时，g (x )＝32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝－π3对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0成中心对称，故D 正确．8．(多选)已知函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1，下列四个结论正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数B ．点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心C ．函数f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到D ．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域为[0，2]答案 AB解析 函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，因此函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8上是增函数，因此A 正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋π4＝2sinπ＝0，因此点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0是函数f (x )图象的一个对称中心，因此B 正确；由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ，因此由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位长度不能得到函数f (x )的图象，因此C 不正确；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， ∴f (x )的值域为[－1，2]，因此D 不正确．9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为____________________．答案 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )解析 由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．10.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 设f (x )周期为T ，由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin2π3＝32. 11．(2020·黄岗中学模拟)已知函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π.(1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到函数g (x )的图象，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，函数g (x )的最大值．解 (1)由题意知f (x )＝3sin 2ωx ＋1＋cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1，∵周期T ＝π，2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .(2)∵g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )max ＝2×1＋1＝3.12.(2019·某某七校联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，其中点P (1,2)为函数f (x )图象的一个最高点，Q (4,0)为函数f (x )的图象与x 轴的一个交点，O 为坐标原点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位长度得到y ＝g (x )的图象，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的图象的对称中心．解 (1)由题意得A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12. 又∵2πω＝12，∴ω＝π6.将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.(2)由题意，得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －2)＋π3＝2sin π6x .∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x ＝2sin 2π6x ＋23·sin π6x ·cos π6x ＝1－cosπ3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.由π3x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝3k ＋12(k ∈Z )． ∴函数y ＝h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k ＋12，1(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝2k π＋π6或ωx 2＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.14．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0 解析 由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3.∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f (x )>1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1>1，即cos(3x ＋φ)>0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|<π2可得，φ的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.15．(2019·全国Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增；④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B．②③C．①②③D．①③④ 答案 D解析 如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增，所以③正确．16．(2019·某某模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，某某数b 的取值X 围．解 (1)∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质(解析版)
第四篇三角函数与解三角形专题4.05函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3【答案】 C【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π2.所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )【答案】 A【解析】 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C. 5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 【答案】 D【解析】 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 6.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 【答案】π2＋4【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【考点聚焦】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z ).由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z ). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【规律方法】 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2B.32C.23D.12【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值. 考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2， 法一T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝⎛⎭⎫512π＋φ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.【答案】 4【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫π6×40＝4. 角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】 20.5【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期；②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π【答案】 B【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【评析】 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3 【答案】 D【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. 【评析】 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.【评析】 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4B.－π4C.π4D.5π4【答案】 B【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 D【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6.∴该函数的最小正周期T ＝6.4.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增. 5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π24 B.7π24C.5π12D.7π12【答案】 B【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6， 从而2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝724π.二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.【解析】 由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 8.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________. 【答案】143【解析】 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ). ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， 所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1C.－ 2D.－ 3【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1. 12.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100πC.1100D.440【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎡⎦⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝⎛⎭⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx＝2203⎝⎛⎭⎫32sin 100πx －12cos 100πx＝2203×sin ⎝⎛⎭⎫100πx －π6， 则由对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C.13.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值.【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2， 即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2， 所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.【答案】 π31 【解析】 函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3， 则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。
高考数学(理科)一轮复习：单元四 三角函数、解三角形 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
π 3
∴n· = (n∈N+), ������ 3 ∴ω=6n(n∈N+), ∴当 n=1 时,ω 取得最小值 6.
6
解析 答案
关闭
2π
π
第四章
知识梳理 考点自测
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
关键能力
必备知识
-9-
1
2
简谐运动对应的函数 f (x)=2sin ������ + ������ |������| < 的图 3 2 像经过点(0,1),则该函数的最小正周期T和初相φ分别 为 .
关闭
由题意知 1=2sin φ,得 sin φ= . 又|φ|< ,得 φ= .
2 6 π π 2
1
函数 f(x)的最小正周期为 T=2π÷ =6.
3
关闭
π
6,
π 6
解析
答案
第四章
考点1 考点2 考点3
4.4
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
关键能力
必备知识
-10-
考点 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及变换
A. ������π- 4 , ������π + 4 (k ∈Z) B. C. D.
π 3π ������π + 4 , ������π + 4 (k ∈Z) 2π π ������π- 3 , ������π- 6 (k ∈Z) π π ������π- , ������π + (k ∈Z) 12 12
(
π
)
关闭
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2k π+2 (k ∈Z).
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形6函数y=Asinωx φ练习含解析
函数y＝A sin(ωx＋φ)考试要求 1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2π3π22πx 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．( √ ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( × )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( √ )教材改编题1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，只要把y ＝sin3x 的图象( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 C2．为了得到y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π8的图象，只需把y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8图象上的所有点的( ) A ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D ．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案 D3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，A >0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2k π，k ∈Z ，0<φ<π， 所以φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14].题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )等于( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．(2)(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π3答案 C解析 y ＝sin2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ个单位长度后， 得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由题意知2φ－π2＝π6＋2k π(k ∈Z )，则φ＝π3＋k π(k ∈Z )，又0≤φ<π2，所以φ＝π3.教师备选1．要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 D解析 函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6， 所以只需将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度就可以得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．2．(2020·江苏)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________． 答案 x ＝－5π24解析 将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度， 所得图象的函数解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近．思维升华 (1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练 1 (1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.下列结论正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为2πB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2是f (x )的最大值C ．把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象D ．把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象 答案 AC解析 T ＝2π1＝2π，故A 正确．当x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝π6＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，故B 错误．y ＝sin x 的图象―――――――――――――――――――――――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故C 正确．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象上所有点的――――――――――――――――――――――――――――――――――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫13x ＋π3的图象，故D错误．(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( ) A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 D解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，故π6为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期， 即2k πω＝π6(k ∈N *)， 则ω＝12k (k ∈N *)，故当k ＝1时，ω取得最小值12.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的大致图象如图所示，将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3k π，3k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π，3k π＋3π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋3k π，5π4＋3k π(k ∈Z ) 答案 C 解析 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，b ＝－1，故f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4， 故T ＝π＝2πω，则ω＝2；∴2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝1，故π6＋φ＝2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，故φ＝－π6，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1；将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1， 再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3－π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.答案 － 3解析 由题意可得，34T ＝13π12－π3＝3π4，∴T ＝π，ω＝2πT＝2，当x ＝13π12时，ωx ＋φ＝2×13π12＋φ＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－136π(k ∈Z )．令k ＝1可得φ＝－π6，据此有f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝2cos 5π6＝－ 3.教师备选1．(2022·天津中学月考)把函数f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象，已知函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3 B ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6C ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3答案 D解析 先根据函数图象求函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式， 由振幅可得A ＝1，显然T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，所以ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，再由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0， 由|φ|<π2可得φ＝－π6，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，反向移动先向左平移π4个单位长度可得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，再将横坐标伸长到原来的2倍可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.答案 － 3解析 由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数， 所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3.思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2.(2)求ω.确定函数的最小正周期T ，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析 由图象知π<T <2π，即π<2π|ω|<2π，所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝－94k －34，k ∈Z .因为1<|ω|<2， 故k ＝－1，得ω＝32，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y ＝g (x )的图象，至少要将函数y ＝f (x )的图象向右平移________个单位长度．答案π86 解析 由图象可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2×[6－(－2)]＝16， ∴ω＝2π16＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋φ，由于函数f (x )的图象过点(－2,0)且在x ＝－2附近单调递增， ∴－2×π8＋φ＝2k π(k ∈Z )，可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 8＋π4，假设将函数f (x )的图象向右平移t 个单位长度可得到偶函数g (x )的图象， 且g (x )＝f (x －t )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x －πt 8＋π4，∴－πt 8＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得t ＝－2－8k (k ∈Z )，∵t >0，当k ＝－1时，t 取最小值6.题型三 三角函数图象、性质的综合应用 命题点1 图象与性质的综合应用例3 (2022·衡阳模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且其图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数g (x )为偶函数，则f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称答案 D解析 依题意可得ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，所以f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又函数g (x )为偶函数， 所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )图象的对称轴为x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，排除A ，C ，由2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ，则f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，排除B ，当k ＝1时，－π12＋π2＝5π12，故D 正确．命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是_____． 答案 [－2,1)解析 同例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 三角函数模型例5 (多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t 分钟，当t ＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )A ．摩天轮离地面最近的距离为4米B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则h ＝－60cosπ15t ＋68 C ．若在t 1，t 2时刻，游客距离地面的高度相等，则t 1＋t 2的最小值为30 D ．∃t 1，t 2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 答案 BC解析 由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A 不正确；t 分钟后，转过的角度为π15t ，则h ＝60－60cosπ15t ＋8＝－60cos π15t ＋68，故B 正确； h ＝－60cosπ15t ＋68，周期为2ππ15＝30，由余弦型函数的性质可知，若t 1＋t 2取最小值，则t 1，t 2∈[0,30]，又高度相等， 则t 1，t 2关于t ＝15对称， 则t 1＋t 22＝15，则t 1＋t 2＝30，故C 正确；令0≤π15t ≤π，解得0≤t ≤15，令π≤π15t ≤2π，解得15≤t ≤30，则h 在t ∈[0,15]上单调递增，在t ∈[15,20]上单调递减， 当t ＝15时，h max ＝128， 当t ＝20时，h ＝－60cosπ15×20＋68＝98>90， 所以h ＝90在t ∈[0,20]只有一个解， 故D 不正确． 教师备选(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计时，则( )A ．点P 第一次到达最高点需要20秒B ．当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C ．当水轮转动50秒时，点P 在水面下方，距离水面2米D ．点P 距离水面的高度h (米)与t (秒)的函数解析式为h ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π3＋2答案 ABC解析 设点P 距离水面的高度h (米)和时间t (秒)的函数解析式为h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h max ＝A ＋B ＝6，h min＝－A ＋B ＝－2，T ＝2πω＝60，h 0＝A sin ω·0＋φ＋B ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4，B ＝2，ω＝2πT ＝π30，φ＝－π6，故h ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2.故D 错误；对于A ，令h ＝6，即h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2＝6，解得t ＝20，故A 正确；对于B ，令t ＝155，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2，解得h ＝2，故B 正确； 对于C ，令t ＝50，代入h ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋2， 解得h ＝－2，故C 正确．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则下列说法正确的是( )A ．直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴B ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减C ．函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度可得到y ＝cos2x 的图象D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1答案 ABD解析 ∵f (x )＝cos2x cos φ－sin2x sin φ＝cos(2x ＋φ)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵0<φ<π2，∴φ＝π6.则f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝cosπ＝－1，∴直线x ＝512π是函数f (x )的图象的一条对称轴，故A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递减，故B 正确；函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为cosπ＝－1，故D 正确．(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (3，－33)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2，则下列叙述正确的是( )A ．水斗作周期运动的初相为－π3B ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加C ．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 3D ．当水斗旋转100秒时，其和初始点A 的距离为6 答案 AD解析 对于A ，由A (3，－33)， 知R ＝32＋－332＝6，T ＝120，所以ω＝2πT ＝π60；当t ＝0时，点P 在点A 位置，有－33＝6sin φ， 解得sin φ＝－32，又|φ|<π2， 所以φ＝－π3，故A 正确；对于B ，可知f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π60t －π3，当t ∈(0,60]，π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，所以函数f (t )先增后减，故B 错误； 对于C ，当t ∈(0,60]， π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π60t －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，所以点P 到x 轴的距离的最大值为6，故C 错误； 对于D ，当t ＝100时，π60t －π3＝4π3，P 的纵坐标为y ＝－33，横坐标为x ＝－3，所以|PA |＝|－3－3|＝6，故D 正确．课时精练1．函数f (x )＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的振幅、初相分别是( )A ．－2，π4B ．－2，－π4C ．2，π4D ．2，－π4答案 C解析 振幅为2，当x ＝0时，φ＝π4，即初相为π4.2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝sin2x B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 答案 C解析 向右平移π4个单位长度后得，g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.3．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，将其图象向左平移π3个单位长度后对应的函数为偶函数，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( ) A ．－12B.32C ．1 D.12答案 D解析 因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，图象向左平移π3个单位长度后所得函数为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ是偶函数，所以2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以k ＝0，φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π6＝sin π6＝12. 4．(2022·天津五十七中月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2答案 A解析 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝1， 12·2πω＝2π3－π6， ∴ω＝2.结合“五点法”作图可得2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将f (x )的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．再把所得的图象沿x 轴向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象．令2k π－π2≤12x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得4k π－5π3≤x ≤4k π＋π3，k ∈Z ，可得函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，4k π＋π3，k ∈Z ，令k ＝0，可得一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π3，π3. 5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝2(sin x ＋cos x ) C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝2sin x ＋ 2 答案 AD解析 f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4与f (x )＝2sin x ＋2经过平移后能够重合． 6．(多选)(2022·深圳模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则下列结论中正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 B ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2C ．将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合D ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合答案 BD解析 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，令x ＝－π12，求得f (x )＝－1，为最小值，故f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，故A 错误；若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为T 2＝12×2π2＝π2，故B 正确；将曲线y ＝sin2x 向右平移π3个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，故C 错误； 将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，与曲线E 重合，故D 正确．7．(2022·北京丰台区模拟)将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一) 答案π4解析 将函数f (x )＝cos2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度， 可得g (x )＝cos(2x ＋2φ)，由函数g (x )的图象关于原点对称， 可得g (0)＝cos2φ＝0， 所以2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝π4＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π4.8．(2022·济南模拟)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则为了得到曲线C 1，首先要把C 2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度．(本题所填数字要求为正数) 答案 2π6解析 ∵曲线C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3－π6，∴先将曲线C 2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12x ＋2π3向右至少平移π6个单位长度．9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2. (1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)；(3)函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ 解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π， 所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2，所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6.列表如下，2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π f (x )12－21描点、连线得图象．(3)将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)， 得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．10．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－12，n ＝(3cos x ，cos2x )，函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值及最小正周期； (2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． 解 (1) f (x )＝m ·n ＝3sin x cos x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以函数的最大值为1，最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π2＝π. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．因此g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2020)＋f (2021)＋f (2022)＋f (2023)的值分别为( )A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2023B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝202312C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝202412D ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝2024答案 D解析 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，又T ＝4，∴ω＝π2，b ＝1，A ＝12，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 由f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32得12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝32， ∴cos φ＝1.∴φ＝2k π，k ∈Z ，取k ＝0得φ＝0. ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin0＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinπ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin3π2＋1＝4. 又2024＝4×506， ∴S ＝4×506＝2024.12．(多选)关于函数f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1的描述正确的是( )A ．其图象可由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增C ．f (x )在[0，π]上有3个零点D ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－ 2 答案 AD解析 f (x )＝2cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 对于A ，由y ＝2sin2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，π2上单调递减，故选项B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[]0，π， 所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0， 所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以f (x )∈[]－2，1，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值为－2， 故选项D 正确．13．(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算⎪⎪⎪⎪a 1a 3 a 2a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪31 sin ωx cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________． 答案 12解析 f (x )＝3cos ωx －sin ωx＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3， 图象向左平移2π3个单位长度得，g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3－π3， g (x )为奇函数，则2πω3－π3＝k π，k ∈Z ， 解得ω＝12＋32k ，k ∈Z ，所以ω的最小值为12.14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9000元，9月份价格最低，为5000元，则7月份的出厂价格为________元． 答案 6000解析 作出函数简图如图．三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ， 由题意知A ＝12×(9000－5000)＝2000，B ＝12×(9000＋5000)＝7000， T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2000sinπ6x ＋7000(1≤x ≤12，x ∈N *)． ∴f (7)＝2000×sin7π6＋7000＝6000(元)．故7月份的出厂价格为6000元．15．(多选)将函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω>0)的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，且g (0)＝－1，则下列说法正确的是( ) A ．g (x )为奇函数B ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0C ．当ω＝5时，g (x )在(0，π)上有4个极值点D ．若g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则ω的最大值为5答案 BCD解析 由题意得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2.因为g (0)＝－1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫－ωπ2＝－1，所以ωπ2＝2k π＋π2，ω＝4k ＋1，k ∈N ， 从而g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2k π－π2＝－cos ωx ，显然为偶函数，故A 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－cos4k ＋1π2＝0，故B 正确； 当ω＝5时，g (x )＝－cos5x ， 令g (x )＝－cos5x ＝±1得 5x ＝k π，x ＝k π5，k ∈Z .因为0<x <π，所以x 的值为π5，2π5，3π5，4π5，即函数g (x )在(0，π)上有4个极值点，故C 正确；若函数g (x )＝－cos ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π5上单调递增，则πω5≤π，即0<ω≤5，故D 正确．16．(2022·深圳模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A >0，ω>0,0<φ<π，函数f (x )图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x ＝π3处取到最小值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间；(3)若关于x 的方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)， 其中A >0，ω>0,0<φ<π，由题知函数f (x )的最小正周期为π2＝2πω，解得ω＝4，又函数f (x )在x ＝π3处取到最小值－2，则A ＝2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－2， 即4π3＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ， 令k ＝0可得φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向左平移π6个单位长度可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2cos 2x ，令－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ， 解得－π2＋k π≤x ≤k π，k ∈Z ，∴g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋k π，k π(k ∈Z )． (3)∵方程g (x )＝m ＋2在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8上有两个不同的实根，作出函数g (x )＝2cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，9π8的图象，由图可知－2<m＋2≤2或m＋2＝2，解得－4<m≤2－2或m＝0.∴m的取值范围为－4<m≤2－2或m＝0.31。
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高三数学一轮总结复习目录理科数学 -模拟试题分类目录1第一章会合与常用逻辑用语1.1 会合的观点与运算专题 1 会合的含义与表示、会合间的基本关系专题 2 会合的基本运算专题 3 与会合有关的新观点问题1.2 命题及其关系、充要条件专题 1 四种命题及其关系、命题真假的判断专题 2 充足条件和必需条件专题 3 充足、必需条件的应用与研究（利用关系或条件求解参数范围问题）1.3 简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词专题 1 含有简单逻辑联络词的命题的真假专题 2 全称命题、特称命题的真假判断专题 3 含有一个量词的命题的否认专题 4 利用逻辑联络词求参数范围第二章函数2.1 函数及其表示专题 1 函数的定义域专题 2 函数的值域专题 3 函数的分析式专题 4 分段函数2.2 函数的单一性与最值专题 1 确立函数的单一性（或单一区间）专题 2 函数的最值专题 3 单一性的应用2.3 函数的奇偶性与周期性专题 1 奇偶性的判断专题 2 奇偶性的应用专题 3 周期性及其应用2.4 指数与指数函数专题 1 指数幂的运算专题 2 指数函数的图象及应用专题 3 指数函数的性质及应用2.5 对数与对数函数专题 1 对数的运算专题 2 对数函数的图象及应用专题 3 对数函数的性质及应用2.6 幂函数与二次函数专题 1 幂函数的图象与性质专题 2 二次函数的图象与性质2.7 函数的图像专题 1 函数图象的辨别专题 2 函数图象的变换专题 3 函数图象的应用2.8 函数与方程专题 1 函数零点所在区间的判断专题 2 函数零点、方程根的个数专题 3 函数零点的综合应用2.9 函数的应用专题 1 一次函数与二次函数模型专题 2 分段函数模型2专题 3 指数型、对数型函数模型第三章导数及其应用3.1 导数的观点及运算专题 1 导数的观点与几何意义专题 2 导数的运算3.2 导数与函数的单一性、极值、最值专题 1 导数与函数的单一性专题 2 导数与函数的极值专题 3 导数与函数的最值3.3 导数的综合应用专题 1 利用导数解决生活中的优化问题专题 2 利用导数研究函数的零点或方程的根专题 3 利用导数解决不等式的有关问题3.4 定积分与微积分基本定理专题 1 定积分的计算专题 2 利用定积分求平面图形的面积专题 4 定积分在物理中的应用第四章三角函数、解三角形4.1 三角函数的观点、同角三角函数的基本关系及引诱公式专题 1 三角函数的观点专题 2 同角三角函数的基本关系专题 3 引诱公式4.2 三角函数的图像与性质专题 1 三角函数的定义域、值域、最值专题 2 三角函数的单一性专题 3 三角函数的奇偶性、周期性和对称性4.3 函数 y = A sin(wx +j ) 的图像及应用专题 1 三角函数的图象与变换专题 2 函数 y=Asin( ωx+φ ) 图象及性质的应用4.4 两角和与差的正弦、余弦与正切公式专题 1 非特别角的三角函数式的化简、求值专题 2 含条件的求值、求角问题专题 3 两角和与差公式的应用4.5 三角恒等变换专题 1 三角函数式的化简、求值专题 2 给角求值与给值求角专题 3 三角变换的综合问题4.6 解三角形专题 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形专题 2 判断三角形的形状专题 3 丈量距离、高度及角度问题专题 4 与平面向量、不等式等综合的三角形问题第五章平面向量5.1 平面向量的观点及线性运算专题 1 平面向量的线性运算及几何意义专题 2 向量共线定理及应用专题 3 平面向量基本定理的应用5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示专题 1 平面向量基本定理的应用3专题 2 平面向量的坐标运算专题 3 平面向量共线的坐标表示5.3 平面向量的数目积专题 1 平面向量数目积的运算专题 2 平面向量数目积的性质专题 3 平面向量数目积的应用5.4 平面向量的应用专题 1 平面向量在几何中的应用专题 2 平面向量在物理中的应用专题 3 平面向量在三角函数中的应用专题 4 平面向量在分析几何中的应用第六章数列6.1 数列的观点与表示专题 1 数列的观点专题 2 数列的通项公式6.2 等差数列及其前 n 项和专题 1 等差数列的观点与运算专题 2 等差数列的性质专题 3 等差数列前 n 项和公式与最值6.3 等比数列及其前 n 项和专题 1 等比数列的观点与运算专题 2 等比数列的性质专题 3 等比数列前 n 项和公式6.4 数列乞降专题 1 分组乞降与并项乞降专题 2 错位相减乞降专题 3 裂项相消乞降6.5 数列的综合应用专题 1 数列与不等式相联合问题专题 2 数列与函数相联合问题专题 3 数列中的研究性问题第七章不等式推理与证明7.1 不等关系与一元二次不等式专题 1 不等式的性质及应用专题 2 一元二次不等式的解法专题 3 一元二次不等式恒建立问题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题专题 1 二元一次不等式（组）表示的平面地区问题专题 2 与目标函数有关的最值问题专题 3 线性规划的实质应用7.3 基本不等式及其应用专题 1 利用基本不等式求最值专题 2 利用基本不等式证明不等式专题 3 基本不等式的实质应用7.4 合情推理与演绎推理专题 1 概括推理专题 2 类比推理专题 3 演绎推理7.5 直接证明与间接证明专题 1 综合法4专题 2 剖析法专题 3 反证法7.6 数学概括法专题 1 用数学概括法证明等式专题 2 用数学概括法证明不等式专题 3 概括－猜想－证明第八章立体几何8.1 空间几何体的构造及其三视图和直观图专题 1 空间几何体的构造专题 2 三视图与直观图8.2 空间几何体的表面积与体积专题 1 空间几何体的表面积专题 2 空间几何体的体积专题 3 组合体的“接”“切”综合问题8.3 空间点、直线、平面之间的地点关系专题 1 平面的基天性质及应用专题 2 空间两条直线的地点关系专题 3 异面直线所成的角8.4 直线、平面平行的判断与性质专题 1 线面平行、面面平行基本问题专题 2 直线与平面平行的判断与性质专题 3 平面与平面平行的判断与性质8.5 直线、平面垂直的判断与性质专题 1 垂直关系的基本问题专题 2 直线与平面垂直的判断与性质专题 3 平面与平面垂直的判断与性质专题 4 空间中的距离问题专题 5 平行与垂直的综合问题（折叠、研究类）8.6 空间向量及其运算专题 1 空间向量的线性运算专题 2 共线定理、共面定理的应用专题 3 空间向量的数目积及其应用8.7 空间几何中的向量方法专题 1 利用空间向量证明平行、垂直专题 2 利用空间向量解决研究性问题专题 3 利用空间向量求空间角第九章分析几何9.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题 1 直线的倾斜角与斜率专题 2 直线的方程9.2 点与直线、两条直线的地点关系专题 1 两条直线的平行与垂直专题 2 直线的交点问题专题 3 距离公式专题 4 对称问题9.3 圆的方程专题 1 求圆的方程专题 2 与圆有关的轨迹问题专题 3 与圆有关的最值问题59.4 直线与圆、圆与圆的地点关系专题 1 直线与圆的地点关系专题 2 圆与圆的地点关系专题 3 圆的切线与弦长问题专题 4 空间直角坐标系9.5 椭圆专题 1 椭圆的定义及标准方程专题 2 椭圆的几何性质专题 3 直线与椭圆的地点关系9.6 双曲线专题 1 双曲线的定义与标准方程专题 2 双曲线的几何性质9.7 抛物线专题 1 抛物线的定义与标准方程专题 2 抛物线的几何性质专题 3 直线与抛物线的地点关系9.8 直线与圆锥曲线专题 1 轨迹与轨迹方程专题 2 圆锥曲线中的范围、最值问题专题 3 圆锥曲线中的定值、定点问题专题 4 圆锥曲线中的存在、研究性问题第十章统计与统计事例10.1 随机抽样专题 1 简单随机抽样专题 2 系统抽样专题 3 分层抽样10.2 用样本预计整体专题 1 频次散布直方图专题 2 茎叶图专题 3 样本的数字特点专题 4 用样本预计整体10.3 变量间的有关关系、统计事例专题 1 有关关系的判断专题 2 回归方程的求法及回归剖析专题 3 独立性查验第十一章计数原理11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理专题 1 分类加法计数原理专题 2 分步乘法计数原理专题 3 两个计数原理的综合应用11.2 摆列与组合专题 1 摆列问题专题 2 组合问题专题 3 摆列、组合的综合应用11.3 二项式定理专题 1 通项及其应用专题 2 二项式系数的性质与各项系数和专题 3 二项式定理的应用第十二章概率与统计612.1 随机事件的概率专题 1 事件的关系专题 2 随机事件的频次与概率专题 3 互斥事件、对峙事件12.2 古典概型与几何概型专题 1 古典概型的概率专题 2 古典概型与其余知识的交汇（平面向量、直线、圆、函数等）专题 3 几何概型在不一样测度中的概率专题 4 生活中的几何概型问题12.3 失散型随机变量及其散布列专题 1 失散型随机变量的散布列的性质专题 2 求失散型随机变量的散布列专题 3 超几何散布12.4 失散型随机变量的均值与方差专题 1 简单的均值、方差问题专题 2 失散型随机变量的均值与方差专题 3 均值与方差在决议中的应用12.5 二项散布与正态散布专题 1 条件概率专题 2 互相独立事件同时发生的概率专题 3 独立重复试验与二项散布专题 4 正态散布下的概率第十三章算法初步、复数13.1 算法与程序框图专题 1 次序构造专题 2 条件构造专题 3 循环构造13.2 基本算法语句专题 1 输入、输出和赋值语句专题 2 条件语句专题 3 循环语句13.3 复数专题 1 复数的有关观点专题 2 复数的几何意义专题 3 复数的代数运算第十四章选修模块14.1 几何证明选讲专题 1 平行线分线段成比率定理专题 2 相像三角形的判断与性质专题 3 直角三角形的射影定理专题 4 圆周角、弦切角及圆的切线专题 5 圆内接四边形的判断及性质专题 6 圆的切线的性质与判断专题 7 与圆有关的比率线段14.2 坐标系与参数方程专题 1 极坐标与直角坐标的互化专题 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化专题 3 曲线的极坐标方程的求解专题 4 曲线的参数方程的求解专题 5 参数方程与一般方程的互化7专题 6 极坐标方程与参数方程的应用14.3 不等式选讲专题 1 含绝对值不等式的解法专题 2 绝对值三角不等式的应用专题 3 含绝对值不等式的问题专题 4 不等式的证明8。
高考数学总复习 第四章 4.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像
5π 6
(3)说明函数X f(x)的图0像可由2 y＝π 2 2π
s得in到yx．＝的y2＝s图insi像2nxX经＋过3π 怎样00 的变12换而00
－1 －2
0 0
思维升华
题型分类·深度剖析
题型一
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像变换
【例 1】 设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪 解析
(23)c令os Xω＝x(ω2x>＋0)π3的，周则期y为＝2πs.in2x＋π3＝2sin X. (1)求它的振幅、初相； 列表，并描点画出图像：
(个2)周用期五的点闭法x 区作间出上它的－在图π6长像度；1ππ2为一π3
7π 12 3π
思维升华
(13)c五os点ωx法(ω作>简0)的图周：期用为“五π. 点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主
((要求12))求用是出它五通相的过应点振变的法幅量作x，、代出通初换它过相，在列；设长表z度，＝计为ω算x一＋得φ出，五由点z 坐取标0，，描π2，点π后，得32π出，图2π像来． 个周期的闭区间上的图像；
((32))说图明像函变数换：f由(x)函的数图y像＝可si由n x y的＝图像通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平 s移in ”x ．的图像经过怎样的变换而 得到．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 已知函数 f(x)＝3sin12x－π4，x∈R. (1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
【例 1】 设函数 f(x)＝sin ωx＋
思维启迪 解析
思维升华
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4
高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形4.5 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质．知识梳理1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x | x ≠k π ⎭⎬⎫＋π2 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间⎣⎡ 2k π－π2，⎦⎤2k π＋π2[2k π－π，2k π]⎝⎛ k π－π2，⎭⎫k π＋π2递减区间⎣⎡ 2k π＋π2，⎦⎤2k π＋3π2[2k π，2k π＋π]对称中心 (k π，0) ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0⎝⎛⎭⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π常用结论1．对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )．(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (2)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( √ )(4)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( √ ) 教材改编题1．若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则( )A ．T ＝π，A ＝1B ．T ＝2π，A ＝1C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2 答案 A2．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z .3．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 解析 因为y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，求得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，可得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22， 且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]． 当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1＋222，1.教师备选1．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象， 如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 答案 1解析 由题意可得 f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos x ∈[0,1]． ∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )取最大值为1. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解． (2)三角函数值域的不同求法①把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ③利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．跟踪训练1 (1)(2021·北京)函数f (x )＝cos x －cos 2x ，试判断函数的奇偶性及最大值( ) A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98答案 D 解析 由题意，f (－x )＝cos (－x )－cos (－2x ) ＝cos x －cos 2x ＝f (x )， 所以该函数为偶函数，又f (x )＝cos x －cos 2x ＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －142＋98， 所以当cos x ＝14时，f (x )取最大值98.(2)函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2，∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <π2＋k π，－3≤x ≤3，其中k ∈Z ，∴－3≤x <－π2或0<x <π2，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2.题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x |答案 A解析 A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1，φ∈(0，π)，且f (x )为偶函数，则φ＝________，f (x )图象的对称中心为________． 答案5π6 ⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z 解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ＋1为偶函数，则－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝5π6.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋1＝3cos 2x ＋1， 由2x ＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π2，1，k ∈Z . 教师备选1．下列函数中，是周期函数的为( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |答案 B解析 ∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数． 2．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，若f (x )为奇函数，则φ＝________. 答案 π3解析 若f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， 则－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)， ∴φ＝π3.思维升华 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x3最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和 2B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2答案 C解析 因为函数f (x )＝sin x 3＋cos x3＝2⎝⎛⎭⎫22sin x 3＋22cos x 3＝2⎝⎛⎭⎫sin x 3cos π4＋cos x 3sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为 2.(2)已知f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R 的奇函数，且当x ＝3时，f (x )取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022)的值为( ) A.32 B ．－6－3 3 C ．1 D ．－1答案 B解析 ∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R 的奇函数， ∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，则φ＝π2，则f (x )＝－A sin ωx .当x ＝3时，f (x )取得最小值－3， 故A ＝3，sin 3ω＝1， ∴3ω＝π2＋2k π，k ∈Z .∴ω的最小正数为π6，∴f (x )＝－3sin π6x ，∴f (x )的周期为12，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 022) ＝168×0＋f (1)＋f (2)＋…＋f (6) ＝－6－3 3.(3)(2022·郑州模拟)设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34，则下列叙述正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 C ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 答案 C解析 对于A ，f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；对于B ，∵sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝－12≠±1， 故B 错误；对于C ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋34∈⎣⎡⎦⎤－54，3＋34， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的最小值为－54，故C 正确； 对于D ，∵f ⎝⎛⎭⎫2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＋34＝34， ∴f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，34对称，故D 错误． 题型三 三角函数的单调性 命题点1 求三角函数的单调区间例3 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 延伸探究 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3在[0，π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π 解析 令A ＝⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ， B ＝[0，π]，∴A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤0，5π12∪⎣⎡⎦⎤11π12，π， ∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，5π12和⎣⎡⎦⎤11π12，π. 命题点2 根据单调性求参数例4 (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2， 即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 单调递增； 当π2≤ωx ≤3π2， 即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 单调递减． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，知π2ω＝π3， ∴ω＝32. (2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0， 得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 因为y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z . 又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z ， 且2k ＋54>0，k ∈Z ， 解得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54.教师备选(2022·定远县育才学校月考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．1答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点， x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴， 所以2n ＋14·T ＝π2(n ∈N )， 即2n ＋14·2πω＝π2(n ∈N )， 所以ω＝2n ＋1(n ∈N )，即ω为正奇数．因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则5π36－π18＝π12≤T 2， 即T ＝2πω≥π6， 解得ω≤12.当ω＝11时，－11π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫13π36，46π36， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调，不满足题意；当ω＝9时，－9π4＋φ＝k π，k ∈Z ， 因为|φ|≤π2， 所以φ＝π4， 此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，9x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2， 此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调递减，符合题意．故ω的最大值为9.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎝⎛⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π答案 A解析 令－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .取k ＝0，则－π3≤x ≤2π3.因为⎝⎛⎭⎫0，π2⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以区间⎝⎛⎭⎫0，π2是函数f (x )的单调递增区间． (2)(2022·开封模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎝⎛⎦⎤13，23D.⎣⎡⎦⎤23，2答案 A解析 当－π6<x <π3时， －πω6＋π3<ωx ＋π3<πω3＋π3， 当x ＝0时，ωx ＋π3＝π3. 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增， 所以⎩⎨⎧ －πω6＋π3≥－π2，πω3＋π3≤π2，解得ω≤12， 因为ω>0，所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 课时精练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 答案 D 解析 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．函数f (x )＝2sin π2x －1的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤π3＋4k π，5π3＋4k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π6＋4k π，5π6＋4k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤16＋4k ，56＋4k (k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得2sin π2x －1≥0， π2x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤13＋4k ，53＋4k (k ∈Z )． 3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数答案 D解析 由题意可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12－π2 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π12， ∴f (x )＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，由函数奇偶性的定义易知，f (x )为非奇非偶函数． 4．函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )答案 D解析 由f (－x )＝sin －x ＋－x cos －x ＋－x2 ＝－sin x －x cos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ； 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝1＋π2⎝⎛⎭⎫π22＝4＋2ππ2>1， f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C. 5．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题中为假命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心D ．y ＝f (x )的最大值为 2答案 B解析 因为f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 所以f (x )的最大值为2，故D 为真命题；因为ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4，终边不在y 轴上，故直线x ＝π4不是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )图象的一个对称中心，故C 为真命题．6．(2022·广州市培正中学月考)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |，下列叙述正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增C ．f (x )的最大值为2D ．f (x )在[－π，π]上有4个零点答案 C解析 f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，f (x )是偶函数，A 错误；当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，单调递减，B 错误；f (x )＝sin|x |＋|sin x |≤1＋1＝2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝2，C 正确；在[－π，π]上，当－π<x <0时，f (x )＝sin(－x )＋(－sin x )＝－2sin x >0，当0<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x >0，f (x )的零点只有π，0，－π共三个，D 错误．7．写出一个周期为π的偶函数f (x )＝________.(答案不唯一) 答案 cos 2x8．(2022·上外浦东附中检测)若在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1，则实数k 的取值范围是________．答案 0≤k <1解析 函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递增； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6单调递减， f (0)＝2sin π6＝1， f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2， f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin 7π6＝－1，所以在⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的实数值满足等式cos 2x ＋3sin 2x ＝k ＋1， 则1≤k ＋1<2，所以0≤k <1.9．已知函数f (x )＝4sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－1(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω及f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )图象的对称中心．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx －1 ＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. ∵最小正周期为π，∴2π2ω＝π， ∴ω＝1，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，0，k ∈Z .10．(2021·浙江)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2 ＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时， 函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.11．(2022·苏州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则下列结论不正确的是( ) A ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点 B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 D ．函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3是偶函数 答案 D解析 对于A 选项，因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 0＝0， 故x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，A 对； 对于B 选项，当－5π12≤x ≤π12时， －π2≤2x ＋π3≤π2， 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上单调递增，B 对； 对于C 选项，因为对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 解得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，C 对； 对于D 选项，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 则g ⎝⎛⎭⎫π6＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3≠0， 故函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3不是偶函数，D 错． 12．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－cos 2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的最大值为3－12B ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫7π6，0对称C ．f (x )的图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z ) D ．f (x )在[0,2π]上有2个零点答案 C解析 f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32－cos 2x ＝12＋12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝34sin 2x －34cos 2x ＋12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12， 则f (x )的最大值为1＋32，A 错误； 易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12， B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )， 此即f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋12＝0， 得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33， 当x ∈[0,2π]时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3， 作出函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π3的图象，如图所示．所以方程sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝－33在[0,2π]上有4个不同的实根， 即f (x )在[0,2π]上有4个零点，D 错误．13．(2022·绵阳中学实验学校模拟)已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为______． 答案 916解析 ∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]， ∴cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，54， 即cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1， ∵sin x －sin 2y ＝14－cos y －(1－cos 2y ) ＝cos 2y －cos y －34＝⎝⎛⎭⎫cos y －122－1， 又cos y ∈⎣⎡⎦⎤－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时， (sin x －sin 2y )max ＝⎝⎛⎭⎫－34－122－1＝916. 14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.答案 ±22解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π4， 又因为y ＝f (x ＋θ)是偶函数，所以θ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ， 即θ＝π4＋k π，k ∈Z ， 所以cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋k π＝±22.15．(2022·江西九江一中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根，则实数ω的值可能为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 令f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＝0， 则ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 所以x ＝－π3ω＋k πω，k ∈Z ， 所以当x ≥0时，函数f (x )的第一个零点为x 1＝－π3ω＋πω＝2π3ω，第六个零点为x 6＝－π3ω＋6πω＝17π3ω，第七个零点为x 7＝－π3ω＋7πω＝20π3ω， 因为方程f (x )＝0在[0,2π]上有且仅有6个根等价于函数y ＝f (x )在[0,2π]上有且仅有6个零点，所以17π3ω≤2π<20π3ω， 所以176≤ω<103. 16．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点x 1，x 2. ①求m 的取值范围；②求sin(x 1＋x 2)的值．解 (1)f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π42＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－12 ＝12－24cos 2x ＋24sin 2x ＋22cos 2x －12＝24sin 2x ＋24cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 结合正弦函数的图象与性质， 可得当－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )时，函数单调递增， ∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )． (2)①令t ＝2x ＋π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8时，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π，12sin t ∈⎣⎡⎦⎤－14，12， ∴y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t ∈⎣⎡⎦⎤0，12(如图)．∴要使y ＝|f (x )|－m 在区间⎣⎡⎦⎤－5π24，3π8上恰有两个零点，m 的取值范围为14<m <12或m ＝0. ②设t 1，t 2是函数y ＝⎪⎪⎪⎪12sin t －m 的两个零点⎝⎛⎭⎫即t 1＝2x 1＋π4，t 2＝2x 2＋π4， 由正弦函数图象性质可知t 1＋t 2＝π，即2x 1＋π4＋2x 2＋π4＝π. ∴x 1＋x 2＝π4，∴sin(x 1＋x 2)＝22.。
2025年广东省高三数学第一轮复习第四章三角函数、解三角形第1节 任意角、弧度制和三角函数的概念
角度 1 三角函数的定义
例 3 (1)(2024·湖北新高考协作体考试)已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边
与 x 轴的非负半轴重合.若 Pcos π3，1是角 α 终边上一点，则 sin α＝( D )
A.
5 5
B.
3 2
C.12
D.2 5 5
解析 依题意，点 P12，1，则|OP|＝ 122＋12＝ 25，
∴sin α＝ 15＝255. 2
索引
(2)(2024·豫北名校联考)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半 轴重合，终边经过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值为__25_或__－__52__.
解析 由题意得，点 P 与原点间的距离 r＝ （－4m）2＋（3m）2＝5|m|， 所以 sin α＝53|mm|，cos α＝－5|m4m| ， 当 m>0 时，sin α＝53，cos α＝－45， 故 2sin α＋cos α＝25； 当 m<0 时，sin α＝－35，cos α＝45， 故 2sin α＋cos α＝－25.
对于A，tan α－sin α>0，故A正确；
对于B，sin α＋cos α<0，故B错误；
对于C，cos α－tan α<0，故C错误；
对于D，tan αsin α<0，故D错误.
索引
(2)(多选)(2024·衢州质检)若 sin xcos x>0，sin x＋cos x>0，则x2可以是( AC )
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第四章 三角函数、解三角形
考试要求
1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式课
4.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.
h
3
•关 注 热 点
•1.三角函数的定义及应用是本节考查重点，注 意三角函数值符号的确定．
•2.同角三角函数关系式常用来化简、求值，是 高考热点．
•3.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查 重点．
•4.主要以选择题、填空题的形式考查.
－α)＝
－.tanα
•(5)公式五
cosα，tan( －c，osαtan(π
sin(π2－α)＝ cosα ，cos(2π－α)＝ sinα .
h
11
(6)公式六 sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(2π＋α)＝ －sinα .
即 α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角函数值，等于 α 的 同名 函 数值，前面加上一个把 α 看成 锐角 时原函数值的符号；π2±α 的 正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的 余弦(正弦) 函数值，前面 加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即 tanα＝2.
(1)原式＝5ttaannαα－＋42＝5×2－2＋4 2＝－16.
h
32
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sins2iαn＋2α＋2sicnoαsc2αosα ＝tanta2αn＋2α＋2ta1nα＝85.
h
33
化简ssiinn[kkπ＋－1απc＋osα[]kc－os1kππ－ ＋αα](k∈Z)．
终边在 y 轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；
终边在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k2π，k∈Z}．
h
14
高考数学总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点3三角函数的周期性奇偶性对称性
三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 周期性求下列函数的最小正周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的最小正周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x |的最小正周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象． 如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的最小正周期与y ＝tan x 的最小正周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以y 的最小正周期T ＝2π2＝π.角度2 奇偶性1．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( A )A ．5π6B ．π2C ．π3D ．－π2[解析] 因为当－π3＋φ＝k π＋π2时，f (x )为偶函数，即φ＝k π＋56π，当k ＝0时，φ＝56π，故选A ．2．(多选题)已知f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( CD )A ．π2B ．－π2C ．3π4D ．－π4[解析] 由题意，f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4为奇函数，所以φ＋π4＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π4，k ∈Z .因此，选项CD 正确．角度3 对称性已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( A )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称[解析] 由已知可得ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是该函数图象的对称中心，所以A 正确，B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不是该函数图象的对称中心，所以C 错误； 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－32≠±1，所以直线x ＝π3不是该函数图象的对称轴，所以D 错误．名师点拨：1．求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解． 2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． (1)∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．4．注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．【变式训练】1．(角度1)①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，③y ＝|sin x |，④y ＝cos|2x |中，最小正周期为π的函数为( B )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期，T ＝2π2＝π；②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2；③由函数图象知y ＝|sin x |的最小正周期为π； ④y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π.故选B ．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π[解析] ∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2⇒cos(π＋φ)＝－cos(－π＋φ)⇒－cos φ＝cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2.当φ＝π2时，f (x )＝－sin x sin 2x 为偶函数，满足题意，故选C ．3．(角度3)下列关于函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的说法错误的是( C )A ．最小正周期为πB ．最大值为1，最小值为－1C ．函数图象关于直线x ＝0对称D ．函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称[解析] 将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等，函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，函数的最小正周期T ＝π，A正确；最大值为1，最小值为－1，B 正确；由2x ＝k π＋π2⇒x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，得函数图象关于直线x ＝k π2＋π4，k ∈Z 对称，C 不正确；由2x ＝k π⇒x ＝k π2，k ∈Z ，得函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称，D 正确．故选C ．。