专升本(高数—)第五章多元函数微积分学

存在，则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数，并记作 z y x x0 , y y0 f x x0 , f ( x , y ) . y 0 0 x x0 , z y y y y0 y y0
如果函数 z f ( x, y ) 在区域 D 内每一点 ( x, y ) 处对 x 的偏导数 都存在， 这个偏导数仍是 ( x, y ) 的函数， 称它为函数 z f ( x, y ) 对自变量 x 的偏导数，记
z f ( x, y) 在点 ( x, y ) 处可微分.并称 A x B y 是函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y ) 处的全微分，记作
dz Ax B y .
2. 性质
定理 1（可微的必要条件） 如果 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微分，则它在该点的偏导 数
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 可以表示为关于 x ， y 的线
性函数与一个比
x y 高阶的无穷小之和，即
2 2
z f ( x x, y y) f ( x, y) Ax B y o() ,
其中 A , B 与 x ， y 无关，只与 x 与 y 有关， 则称函数
z x
,
f x
, z x , f x ( x, y ) .
类似地， 可以定义函数 z f ( x, y ) 对自变量 y 的偏导数， 并记 作
z y
,
f y
, z y , f y ( x, y ) .
显然，偏导数的概念可推广到三元和三元以上的函数． 求多元函数的偏导数的方法:因为这里只有一个自变量在 变化，可以把其它自变量被看成是固定的常数，所以仍然是 一元函数的导数．
种各样路径来逼近的（如图 11.1-4 所示） ，
1.二元函数的极限
设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.
z A z = f (x, y) M f (X) o x X X0 D 图11.1-4 X y
如图
如果当X在D内 变动并无限接近于
X0 时 (从任何方向,
以任何方式),对应 的函数值 f (X)无限 接近于数 A, 则称A为当X趋近于
图11.1-3
11.1.2
二元函数的极限与连续
1. 二元函数的极限 定义 设二元函数 z f ( x, y) ，如果当点( x, y) 以任何
方式趋近于点 ( x0 , y0 ) 时， f ( x, y) 总是无限地趋近于一个 确定的常数 A，则称常数 A为函数 z f ( x, y) 在 x x0 ， y y0 时的极限，记作
lim f ( x, y ) A ，或 f ( x, y) A xx0 y y 0
（ ( x, y ) ( x0 , y0 ) ）．
必 须 注 意 ， 定 义 中 的 当 点 ( x, y) 以 任 何 方 式 趋 近 于 点
( x0 , y0 ) 是指点 ( x, y) 趋近于点 ( x0 , y0 ) 是沿 “四面八方” 的各
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的 函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．
第二节
偏导数与全微分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义 定义 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有
z x
,
存在，且 A z , B z , x y y dz z x z y x y
z
即
一般地，记 dx = x ，dy = y ，并称为自变量 x , y 的微分， 这样函数的全微分可写成 dz z dx z dy . x y
定理 2 （可微的充分条件） 如果函数 z f ( x, y ) 的偏导数
多元函数的性质
（1）多元连续函数的和、差、积、商（若分母 不为０）都是连续函数； （2）多元连续函数的复合函数都是连续函数； （3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限 次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示 的多元函数叫多元初等函数
（4）最大值和最小值定理
例
A.
设 z arc sin x e , 则
y
z y
2

2011年选择题、4分
1 1 x
2
e
y
B.
1 1 x
2
C.
1 1 x
D.
e
y
解
z y
把x看作常量，对y求导数，得
0e e
y
y
答案D
z x y x 3，则
2
练练 2009 年的选择题考了：设
2009 年的填空题考了：设
第七节
二重积分的应用
考试点津： • 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。 • 本讲重点： （1）二元函数的偏导数和全微分。 （2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分 • 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
X0时f (X)的极限.
2 . 多元函数的连续性 定义 设二元函数 z f ( x, y) 在点 P ( x0 , y0 ) 的某个 0
邻域内有定义，若
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) x x0 y y0
(1)
则称二元函数 z f ( x, y) 在点 P ( x0 , y0 ) 处连续．若函数 0
z x
x x0 , y y0
f x
x x0 , z x y y0
x x0 y y0
, f x ( x0 , y0 ) .
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有增量 y 时，如 果极限
lim y0
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y
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第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分） 第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 第五节 第六节 二重积分的概念和性质 直角坐标系下二重积分的计算 极坐标系下二重积分的计算
du u dx u dy u dz . x y z
例
设z x
2
3 y , 则 dz
2011年选择题、4分
D. x d x 3 yd y
2
A. 2 xd x 3 yd y B. x 2 d x 3 d y C. 2 xdx 3 dy
解 把x看作常量，对y求导数，得
z x
和
z y
在点 ( x, y ) 连续，则 z f ( x, y ) 在该点可微分. 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 处可微， 则它在该点处
定理 3 一定连续.
全微分的概念也可以推广到二元以上函数的情形. 如若 三元函数 u f ( x, y , z ) 可微分, 则
x
y0
O
x0
y
x轴的斜率; 偏导数 f y ( x 0 , y 0 ) 在几何上表示
曲线
z x
f ( x, y) x0
在点 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
处的切线对y轴的斜率.
（二） 全微分
1 .定义
定义 如 果 二 元 函 数 z f ( x, y) 在 点 ( x, y ) 处 的 全 增 量
一、主要内容
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元连续函数 的性质 多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念
偏导数在 经济上的应用
全微分 概念
全微分 的应用 高阶偏导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性
偏导数 概念
多元函数的极值
隐函数 求导法则
第一节 多元函数、极限和连续
（一）多元函数 1.二元函数、多元函数的定义
例如， s xy ( 长方形的面积 )， V xyz ( 立方体的体积 )
定义 1
设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P ( x, y) D ， 变量 z 按照一定的法则总有唯一确定
的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数， 记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
其定义域 D 是平面上的一个区域，对 于任取点 P( x, y)D ，其对应的函数值 为 z f ( x, y ) ， 于是得到了空间内的一 点 M ( x, y, z) ．所有这样确定的点的集 合就是二元函数 z f ( x, y ) 的图形， 由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
0
x
z f ( x , y ), y y0 .
y
x0
可知:
偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 在几何上表示
z
z f ( x, y)
z f ( x , y0 ) Ty z f ( x0 , y )
M0
Tx
曲线

z f ( x, y) y y0
在点
M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 )) 处的切线对
z x z


z sin( y x )，则
2
2010 年的选择题考了：设
y z 2 2 z x y xy ，则 x
相似度很高，好好练
2.偏导数的几何意义
设二元函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 有 偏导数. 如图, z z f ( x, y)
定义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函 数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，如果极限
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) x
lim x0
存在，则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的 偏导数，记作
把y看作常量，对x求导数，得
z y z

3 2x
x

因此 d z z d x z d y 2 x d x 3d y 答案C x y
设 z x y 2 y , 求 dz
2 2
2009年解答、8分。练练看 2010年填空、4分。练练看
z f ( x, y) 在区域 D 上每一点都连续，则称函数 f ( x, y) 在
区域 D 上连续.
如果函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处不连续，则称函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处间断，点 ( x0 , y0 ) 称为间断点. 可以证明， 一元函数关于极限的运算法则仍适用于多 元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分 母不为零处， 连续函数的商也是连续函数， 多元函数的复 合函数也是连续函数.由此还可得出如下结论：一切多元 初等函数在其定义区域内是连续的.
设 M 0 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
M0
z f ( x , y0 )
为曲面 z f ( x , y ) 上的一点,
过点 M 0 作平面 y y0 , 此平面
与曲面相交得一曲线, 曲线的
y0
O
方程为


由于偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) 等于一元函数 f ( x , y 0 ) 的 导数 f ( x , y 0 ) x x , 故由一元函数导数的几何意义
类似地可定义三元及三元以上函数．
当 n 2 时 ，n 元 函 数 统 称 为 多 元 函 数 .
多 元 函 数 中 同 样 有 定 义 域 、值 域 、自 变 量 、因 变 量 等 概 念
2．二元函数的几何意义 一元函数 y f ( x) 通常表示平面 上的一条曲线．二元函数
z f ( x, y ) ,( x, y)D ，