专升本高等数学测试题(答案)

专升本高等数学测试题

1.函数x y sin 1+=是（ D ）．

（A ） 奇函数； （B ） 偶函数； （C ） 单调增加函数； （D ） 有界函数．

解析 因为1sin 1≤≤-x ，即2sin 10≤+≤x , 所以函数x y sin 1+=为有界函数．

2.若)(u f 可导，且)e (x f y =

，则有（ B ）； （A ）x f y x d )e

('d =； （B ）x f y x x d e )e ('d =； （C ）x f y x x d e )e (d =； （D ）x f y x x d e )]'e ([d =．

解析 )e (x

f y =可以看作由)(u f y =和x u e =复合而成的复合函数 由复合函数求导法 ()x x

u f u f y e )(e )(⋅'=''='， 所以 x f x y y x x d e )e ('d d =⋅'=．

3.⎰∞

+-0d e x x =( B );

(A)不收敛; (B)1; (C)－１; (D)0.

解析 ⎰∞+-0d e x x ∞

+--=0e x

110=+=． 4.2(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式可设为（ A ）；

(A)2()e x x ax b + ； (B) ()e x x ax b +；

(C) ()e x ax b +； (D) 2

)(x b ax +．

解析 特征方程为0122=+-r r ，特征根为 1r =2r =1．λ=1是特征方程的特征重根，于是有2()e x p y x ax b =+． 5.=+⎰⎰y x y x D d d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；

(A)

2π420

1d d r r θ⎰⎰； (B) 2π401d d r r θ⎰⎰； (C) 2π

2201d d r r θ⎰⎰； (D) 2π2

01d d r r θ⎰⎰． 解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式．

当⎩⎨⎧==θ

θsin cos r y r x 时，d d d d x y r r θ=，由于1≤22y x +≤4，D 表示为 21≤≤r ，02πθ≤≤，故=+⎰⎰y x y x D d d 22d d D r r r θ⋅=⎰⎰2π2

201d d r r θ⎰⎰．

6.函数y =)12arcsin(31

2-+-x x 的定义域 解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112

,03,032x x x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<

≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[. 7. 求极限x

x x -+-→222lim 2 = 解：原式=)

22)(2()22)(22(lim 2++-+++-→x x x x x =221lim

2++→x x =4

1. （恒等变换之后“能代就代”） 8.求极限x

t t x x πcos 1d πsin lim 11+⎰→= 解：此极限是“0

0”型未定型，由洛必达法则，得 x

t t x x πcos 1d πsin lim 11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim 11'+'⎰→x t t x x =π

1)π1(lim πsin ππsin lim 11-=-=-→→x x x x 9.曲线⎩⎨⎧==,

,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率 解：由题意知：

⎩

⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,

∴ 33)()(d d 12

131==''====t t t t t t x y ,

∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为3

10. 方程0'2''=+-y y y , 的通解为

解： 特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r ,

通解为x x C C y e )(21+=.

11. 交错级数)

1(1)1(11

+-∑∞=-n n n n 的敛散性为 （4） ∑∞=-+-11

)1(1)1(n n n n =∑∞=+1)1(1n n n , 而级数∑∞=+1

)1(1n n n 收敛，故原级数绝对收敛. 12.x x x )11(lim 2

-∞→. （第二个重要极限） 解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x x

x x x =1ee 1=-， 解二 原式=)1

()(2])11[(lim 2x x x x --∞→-=1e 0=． 13.)]1ln(11[lim 2

0x x x x +-→ 解 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成

00或∞∞型. )]1ln(11[lim 20x x x x +-→x x x x x x x 2111lim )1ln(lim 02

0+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim

00=+=+-+=→→x x x x x x . 14.设x x x f e )(=，求)('x f .

解：令x x y e =, 两边取对数得：x y x

ln e ln =,

两边关于x 求导数得： x

x y y x

x e ln e '1+⋅=⋅