专升本高等数学测试题(答案)

1.函数y 1 sin x 是(D )

•

(A)奇函数;

解析因为1 si nx 专升本高等数学测试题

(B)偶函数;

1，即0 1 sin x (C)单调增加函数; (D)有界函数. 2,所以函数y 1 si nx为有界函数.

2若f(u)可导，且y f(e x)，则有 B )；

(A) dy f'(e x)dx ；(B) dy f '(e x)e x dx ；

(C) dy X 、X .

f (e )e dx ；(D) dy

x x [f (e )]' e dx .

解析y f (e x)可以看作由y f (u)和u e x复合而成的复合函数由复合函数求导法 f (u) e x f (u) e x,

所以dy dx f'(e x)e x dx .

3. 0 e* B );

(A)不收敛；(B)1; (C) -1 ; (D)0.

解析0 e x dx

4. y 2y y (x 1)e x的特解形式可设为( A )；

解析(A) x2(ax

(C) (ax

b)e x

b)e x

(B)

(D)

x(ax b)e x；

2

(ax b)x .

特征方程为r22r 0，特征根为A = h=1. =1是特征方程的特征重根，于是有y p x2(ax b)e x.

5.

D

2 2 2

y dxdy ( C )，其中D : 1w x y w 4 ；

(A) d 2

r d r ；(B) d r d r

0 1 0 1

2 n 2 2 2 n 2

(C) d

r dr ；

1

(D) 0d 1

0 1

r d r

解析此题考察直角坐标系下的

二

一重积分转化为极坐标形

式.

当

x r cos

y r sin

时,dxdy rdrd ，由于1 w x2 y2w 4 , D表示为1 r 2 , 0

\x2 y2 dxdy r rdrd 2r2dr.

1

D D

x 解：特征方程r 2 2r 1 0,特征根r 1 r 2 1,

解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小 于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解

.即

即0 x . 3,因此，所给函数的定义域为

[0, .3）.

7.求极限x m

解：原式= lim (2 x 2)(2

x 2)

x 2

(2 x)(2 J x 2)

=-.（恒等变换 之后“能代就代”）

4

x sin 冗tdt

1

8.求极限lim ---------------

x

1

1 cos n x

解：此极限是“ 0 ”型未定型，由洛必达法则，得

x x

1

sin n tdt ( 1 sin 冗tdt)

lim -------------- = lim - =lim

x 1 1 cos n x x 1 (1 cos 冗 x)

x 1

x t

9.曲线

3在点（1, 1）处切线的斜率

y t 3,

解：由题意知：

1 t, 3

t 1,

1 t 3,

dvi .it 1

dx

心

3t 2 3

(t)

t 1

Ol t 1

° ,

曲线在点（1, 1）处切线的斜率为 3

10.方程y 2y' y 0,的通解为 _________________

6.函数

1 3 x 2

arcsin( 1)的定义域 __________________________

v'3 x 0, 3 x 2

0,

x ‘ 一 1 1,

2

推得

>'3 x . 3, 0x4,

= ^2 2

1

、、x

2

sin n x n sin n x

通解为 y (C i C 2X )e x .

e X

14.设 f(x) X ，求 f'(x).

e X

解：令y X ,两边取对数得：

ln y e X ln X

两边关于X 求导数得：

1 X ln X

X

e

y' e

y

X

y' y(e X

l n X

X J

X

X

即

y' x"(e X l nx

—).

X

（4）

(1)n1 1

1

n 1 n(n 1)

n 1

n(n 1)

1 而级数 1

收敛，故原级数绝对收敛.

n 1 n(n 1)

1

11.交错级数

（1）n 1

的敛散性为 _________________

n i

n （n 1）

4T ）X .（第二个重要极限）

X

12. lim

(1

解一 原式=lim (1

X

1 X -)X (1 X 1 X —) X

1

X m 0

(1

;)

1 X 1

1

X m[(1 ；)] =ee

解二 原式=lim [(1

X

-)( X

X 2)( X)

]

=e 0

1

13.l X m 0

[

；

=n(1

X)]

解所求极限为

型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成—或一型.

X

m

ln(1 X)

1 lim

- X 0 1

1 X 2X

叫

Hx

15•求f (X ) X 3 + 3X 2在闭区间

5,5上的极大值与极小值，最大值与最小值

1 pln(1 X)] X