数学建模背包问题

背包问题
背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP 完全问题。

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

问题的名称来源于如何选择最合适的物品放置于给定背包中。

相似问题经常出现在商业、组合数学，计算复杂性理论、密码学和应用数学等领域中。

也可以将背包问题描述为决定性问题，即在总重量不超过W 的前提下，总价值是否能达到V ？它是在1978年由Merkel 和Hellman 提出的
一、定义：
背包问题属于组合优化问题，一般的最优化问题由目标函数和约束条件两部部分组成：
我们有n 种物品，物品i 的重量为w i ，价格为p i 。

我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。

背包所能承受的最大重量为W 。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。

可以用公式表示为：
1
max n
i i i p x =∑
1
..,n i i i S T w x W =≤∑ {}0,1i x ∈
如果限定物品i 最多只能选择b i 个，则问题称为有界背包问题。

可以用公式表示为：
1max n
i i i p x =∑
1..,n i i i S T w x
W =≤∑ {}0,1,,i i x b ∈⋅⋅⋅
如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。

各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。

二、基本模型的建立方法
1、0-1背包问题的数学模型（最基础的背包问题）
分类：0-1背包问题简单分为一维背包和二维背包问题。

特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

1.1 一维背包问题
问题：一个旅行者准备进行徒步旅行，为此他必须决定携带若干物品。

设有n 件物品可供他选择，编号为1,2,...,n 第i 件物品重量为i w 千克，价值为i p 元，他能携带的最大重量为w 千克。

他应该装入哪几件物品价值最大。

解：引入变量i x ，且设
1,(1,2,,)0,i i x i n i ⎧==⎨⎩表示将第种物品装入包中表示不将第种物品装入包
于是此问题的数学模型为：
1max n
i i i f p x ==∑
1122.....01,1,2,...,.n n i
w x w x w x W S T x i n +++≤⎧⎨==⎩或 1.2 二维背包问题
一维背包问题只考虑了背包重量的限制，如果再增加背包体积的限制为V ，并设第i 件物品的体积i v ，问如何携带可使总价值最大。

这就是二维背包问题。

它的数学模型为：
1max n
i i i f p x ==∑
11221122........01,1,2,...,.n n n n i
w x w x w x W S T v x v x v x V x i n +++≤⎧⎪+++≤⎨⎪==⎩或
2、有界背包的数学模型
特点：能够选择的物品数则可以在某个范围内取值。

物品j 最多可以选择j m 个，那么有界背包问题可以描述为：
1max n
i i i f p x ==∑
1..n
i i i S T w x C =≤∑ {}0,1,...,1,2,...,.i j x m j n ∈=
3、无界背包问题的数学模型
特点：无界背包问题实际上就是有界背包问题的扩展，每个物品可以任意的取。

但是因为背包的承重能力有限，每个物品的数目不可能取到无穷大，因此，实际上它仍是一个有界背包问题。

适用范围：
背包问题（Knapsack Problem ）是组合优化领域内经典的NP 完备问题，是一个在运筹学领域常见的优化难题。

背包问题的研究起源于旅行者携带用品的背景，要求在旅行袋容积有一定限制的情况下，如何分配资源使得收益最大。

很多问题都可以建模为背包问题，如在管理中的资源分配、资金预算、投资决策、货物装载、项目选择，工厂里的下料问题等上都有着广泛的应用。

0-1背包源程序：
#include<iostream.h>
#define n 5
#define m 10
void knapbag(int *w,int *vl)
{
int c[n+1][m+1];//从1…i …item 物品中,背包剩余空间为0<=j<=max_wgt 的最大价值 for (int i=0;i<=n;i++)//初始化
{
for (int j=0;j<=m;j++)
{
c[i][j]=0;
}
}
//c(i,j)=max{c(i-1,j), c(i-1,j-w[i])+vl(i)}
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++)
{
if (w[i]<=j)
{
if (vl[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])
{
c[i][j]=vl[i]+c[i-1][j-w[i]];//选择第i物品
}
else
c[i][j]=c[i-1][j];//不选择第i个物品
}
else
c[i][j]=c[i-1][j];//剩余容量不够
}//endfor
}//endfor
cout<<"最优解：";
cout<<c[n][m]<<endl;//返回最大值
////算出是由哪几个物品组成
int temp_wei=m;
int x[n+1]={0,0,0,0};
for (i=n;i>0;i--)
{
if (c[i][temp_wei]==c[i-1][temp_wei])//最后一个肯定是最大价值的{
x[i]=0;
}
else
{
x[i]=1;
temp_wei-=w[i];
}
}
cout<<"应装入的物品有：";
for (i=0;i<=n;i++)
{
if (x[i])
{
cout<<"第"<<i<<"件\t";
}
}
cout<<endl;
}
int main()
{
int w[6]={0,2,2,6,5,4};//物品质量
int vl[6]={0,6,3,5,4,6};//物品价值
knapbag(w,vl);
return 0;
}。