【人教A版】2020年秋高中数学选修1-1：全一册学案(23套,含答案)

1.1.1 命题

学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．命题的定义与分类

(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．

(3)分类

命题⎩

⎪⎨

⎪⎧

真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句

思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？

(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．

(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．

2．命题的结构

(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．

( )

[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③

B ．①③④

C．①②⑤ D．②③⑤

A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]

3．下列命题中，真命题共有( )

【导学号：97792000】

①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；

③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

A[①、②、④是假命题，③是真命题．]

[合作探究·攻重难]

A．x2－1＝0 B．2＋3＝8

C．你会说英语吗？D．这是一棵大树

(2)下列语句为命题的有________．

①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.

[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．

[答案](1)B (2)①④

感叹句等都不是命题

对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若

1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．

(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；

(2)x2－3x＋2＝0；

(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.

(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

(5)一个数不是奇数就是偶数；

(6)2030年6月1日上海会下雨．

[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．

(2)不是命题，不能判断真假．

(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．

(4)疑问句，不是命题．

(5)是命题，能判断真假．

(6)不是命题，不能判断真假．

改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.

【导学号：97792001】

(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

①函数y＝lg x是单调函数；

②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.

[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．

[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．

[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．

(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．

②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.

③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.

2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1

b

时，a

(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1

b

，则a

(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．

1．如何判断一个命题是真命题？

提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可．

给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b

；

②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π

2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；

④在△ABC 中，若AB →·BC →

>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．

[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理

真命题―――――→恰当的反例

假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x

的单调性知①为真命题．

对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题． 对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π

2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．

对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →

|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．

[答案] ①③④