最小方差无失真响应波束形成器

最小方差无失真响应波束形成器实验
1、实验内容和目的
1）通过LMS 算法在波束形成上的应用加深对LMS 算法的理解，掌握LMS 算法的matlab 编程。

2）初步学习阵列信号的处理方法，掌握波束形成的原理，深入理解最小方差无失真响应波束形成的方法，并将LMS 自适应算法应用其中，比较不同信噪比和迭代次数对波束形成的影响。

2、基本原理分析
1）LMS 算法原理
LMS 算法一般来说包括两个基本过程：滤波过程和自适应过程。

滤波过程来计算线性滤波器的输出及输出结果与期望响应的误差。

自适应则是利用误差来自动调节滤波器的参数。

LMS 算法也是一个递推的算法。

设()J n 是滤波器在n 时刻产生的均方误差，其梯度计算如下：
()()22n n ∇=-+J p Rw
其中R 和p 分别是输入的自相关矩阵和输入与期望输出的互相关矩阵：
()()()ˆH n n n =R
u u ()()()*ˆn n n =p
u d 则梯度向量的瞬态估计为：
()()()()()()*ˆˆ22H n n n n n n ∇
=-+J u d u u w 由最速下降算法可以得到抽头向量更新的递推关系式：
()()()()()()*ˆˆˆ1H
n n n n n n μ⎡⎤+=+-⎣⎦w w u d u w
整个LMS 算法归纳总结如下： 参数设置：
M=抽头数（滤波器长度）
μ=步长参数max
2
0MS μ<<
其中max S 是抽头输入功率谱密度的最大值，而滤波器长度M 为中到大 初始化：
如果知道抽头权向量()n w 的先验知识，则用它来选择()ˆ0w 的合适值，否则令()ˆ00=w。

更新滤波过程：
()()()ˆH y n n n =w
u ()()()e n d n y n =- ()()()()*ˆˆ1n n n e n μ+=+w
w u 2）MVDR 波束形成。

在一些滤波器应用中，人们希望所设计滤波器在一定约束条件下使均方误差最小化，如，要求在要求线性滤波器的平均输出功率最小化的同时要求在一些特定的感兴趣频率上响应保持恒定。

对于一个线性M 阶横向滤波器来说，假设滤波器的输入为u(n)，u(n-1)，…，u(n-M+1)，则输出为：
()()1
*
0M k k y n w u n k -==-∑ (2.1)
对于正弦激励这一特殊情况，设输入：
()jwn u n e = (2.2)
代入(2.1)中，可以得到：
1*0
()M jwn
jwk
k
k y n e
w e
--==∑ (2.3)
于是，约束条件为，寻找一组最优的滤波器系数，满足平均输出功率最小的同时使得在特定频点w 0处满足：
01*0
M jw k k
k w e
g --==∑(2.4)
(2.1)与(2.4)描述的是时域约束最优滤波问题。

对于天线均匀间隔的线性阵列，从空间的角度来看，假设在n 时刻，一个平面波沿着与阵列垂直方向成θ0
角度的方向入射到阵列上，如图2-1所示：
图2-1 平面波入射到线性阵列上
所产生的波束形成器的输出为：
()()0
1
*00M jk k k y n u n w e θ--==∑ (2.5)
其中，u 0(n)是天线接收到的信号。

w k 是波束形成器的权值。

于是空间的约束条件就变为，寻找一组最优的权值w k ，使得对于特定的入射方向θ0，满足：
1*0
M jk k
k w e
g θ--==∑ (2.6)
从式(2.4)与式(2.6)可以看出，时域约束与空间约束从数学角度来看是等效的。

利用拉格朗日乘子算法来求解这个约束最优化问题。

可以得到期望的最优权向量为：
()
()()
*100100H g R s w s R s θθθ--= (2.14)
以w 0表征的波束形成器，称为线性约束最小方差（LCMV ）波束形成器。

在g=1 的特殊情况下，式(2.14)可以简化为：
()
()()
1001
00H
R s w s R s θθθ--= (2.15) 这个波束形成器被约束成沿着对应于θ0的观测方向产生无失真响应。

于是对于MVDR 算法有以下三个关系式：
1) 波束形成器的权向量：
()
()()
1001
00H
R s w s R s θθθ--= (2.16) 2) MVDR （空间）功率谱：
()()()
11
MVDR H S s R s θθθ-=
(2.17)
其中()s θ为M ×1的阵列流形矢量。

3) MVDR 波束形成器的自适应空间响应为：
()()2
1020log H w n s θ (2.18)
3、实验参数设置
1）MVDR 波束形成实验
仿真一个8阵元的天线阵，来波方向分别是0度、30度和60度，30度方向是干扰信号，快拍数设为512，约束条件为对于0度和60度g=1，对于30度方向g=0，相当于在30度方向上天线阵的增益为0，形成一个零陷，画出其天线阵的方向图和功率谱图。

2）基于LMS 算法的MVDR 波束形成
天线阵的阵元数是5，相对于阵列线的法线方向用弧度来度量，则目标信号与干扰信号入射角度可表示为 目标信号
1target sin (0.2)φ-=- 干扰
1int sin (0)erf φ-= 增益向量1g =
空间响应的定义为
2
^
10
20log ()()
H w n s θ
234()1,,,,T
j j j j s e e e e θ
θ
θ
θθ----⎡⎤=⎣
⎦
信噪比是10dB ，分别针对20、100和200次快拍数，研究不同干噪比（20dB 30dB 40dB ）下天线阵的方向图，并对应三种干噪比设LMS 算法的步长分别为8910101010---、和来保证LMS 算法是收敛的。

最后针对干噪比为20dB ，步长为810-，研究不同快拍数对波束形成的影响，分别设20、25和30次
4、实验过程及结果分析
1）MVDR 波束形成（运行mvdr ）：
-20
-18-16-14-12-10-8
-6-4-20theta/o
F /d B
MVDR beamforming 方向图
-100
-80-60-40-20
020*********
-30-25
-20
-15
-10
-5
theta/o
功率/d B
MVDR beamforming 功率谱
从功率谱图中可以看到，MVDR 的谱估计可以很好地辨别出来波信号的方向，而从波束形成的图中可以看到天线阵在30度干扰方向上形成了一个很深的零陷，而对0度和60度有用信号方向增益为1，从而起到了提取有用信号，抑制干扰的作用。

2）基于LMS 算法的MVDR 波束形成（运行main ）
-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81
sin θ
A m p l i t u d e r e s p o n s e , d B
迭代20次不同干噪比对波束形成结果的影响
sin θ
A m p l i t u d e r e s p o n s e , d B
迭代100次不同干噪比对波束形成结果的影响
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
00.2
0.4
0.6
0.8
1
sin θ
A m p l i t u d e r e s p o n s e , d
B
迭代200次不同干噪比对波束形成结果的影响
从上图中可以看到，迭代次数为20次时，由于迭代次数太少，干噪比对波束形成的影响不明显，3中干噪比下的方向图是重合的。

迭代次数增大后，对于n 为100和200的情况，随着干噪比的增大，波束形成对干扰方向（0度方向）的衰减也越来越大，这就意味着MVDR 波束形成能随干扰信号的变化自适应的调整抑制干扰，实现阵列方向的选择。

-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.81
-50-40
-30
-20
-10
10
sin θ
A m p l i t u d e r e s p o n s e , d B
迭代次数不同时MVDR 波束形成器的空间自适应响应
从上图中可以看到，固定了信噪比和干噪比后，随着迭代次数的增大，波束形成在0度方向上的零陷越来越深，即对干扰信号的抑制效果是越来越强，而且不会影响对有用信号的选择。

综上可以得到这样的结论，对于基于LMS算法的MVDR波束形成器来说，迭代次数越大，干噪比越大，在干扰方向上的零陷就越深，从而使对干扰信号的抑制始终维持在规定的水平上。

5、总结和体会
本实验中首先对MVDR波束形成进行了仿真，验证了MVDR算法能够很好的约束干扰信号，保留目标信号，在功率谱上对信号有很好的分辨能力。

之后对LMS 算法在MVDR中应用进行了仿真。

由于不用进行求逆运算，MVDR算法计算复杂度被大大简化，但是却能保证性能损失不大。

由仿真的结果可以看出，波束形成器的零干扰容量随着迭代次数的增加以及干扰目标信号强度的增大而改善。

通过本次试验初步对阵列信号的处理有了一个全面的认识，学习了一些波束形成的算法，为后续的课程做了一些准备，同时还练习了LMS算法的编程，实现了LMS 算法在实际中的应用。