统计学原理-计算公式

位值平均数计算公式

1、众数：是一组数据中出现次数最多的变量值

组距式分组下限公式：

2

11

0m m d L M ⋅∆+∆∆+= 0m L ：代表众数组下限； 1100--=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组前一组频数

0m d ：代表组距； 1200+-=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组后一组频数

2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。

中位数位置2

1+=n 分组向上累计公式：e e

e e

m m m m e d f S f

L M ⋅-∑+=-12

e m L 代表中位数组下限；

1-e m S ：代表中位数所在组之前各组的累计频数；

e m

f 代表中位数组频数； e

m d 代表组距

3、四分位数：也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含

25%，处在25%和75%分位点上的数值就是四分位数。

其公式为：4

11+=n Q 212+=n Q （中位数） 4)

1(33+=n Q

实例

数据总量: 7, 15, 36, 39, 40, 41 一共6项

Q1 的位置=（6+1）/4=1.75 Q2 的位置=（6+1）/2=3.5 Q3的位置=3（6+1）/4=5.25

Q1 = 7+（15-7）×（1.75-1）=13， Q2 = 36+（39-36）×（3.5-3）=37.5，

Q3 = 40+（41-40）×（5.25-5）=40.25

数值平均数计算公式

1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。

其公式为：

n x n x x x X n ∑=⋯⋯++=21

2、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数f ）大小的影响，

其公式为：f

xf

f f f f x f x f x X i i i ∑∑=

⋯⋯++⋯⋯++=212211

3、加权算术平均数的频率：

其公式为：

f

f

X f f X f f X f f X X n ∑⋅∑=∑∑⋯⋯+∑+∑=2211

4、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M ）而缺少总体单位数（f ）的资料，

不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，则应采用加权调和平均数。

其公式为：

x

m m H ∑∑=

5、简单几何平均数：就是n 个变量值（Xn ）连乘积的n 次方根：

其公式为：n n n

X X X X X G ∏=⋯⋯⋅⋅=321

6、加权几何平均数：如果变量值较多，其出现的次数不同，则应采用加权几何平均数， 其公式为：f

f

f f f f n

f f X

X X X G n

n

∑⋯⋯++∏=

⋯⋯⋅=

212121

标志变异绝对指标及成数计算公式

一、标志变异绝对指标：

1、异众比率（又称离异比率或变差比，它是指非众数组的频数占总频数的比率）：

公式即，i

m

i m i r f f f f f V ∑-=∑-∑=1

2、极差（也称全距，它是一组数据的最大值与最小值这差

公式即：min max X X R

-=

3、平均差（总体各单位标志值对算数平均数的绝对离差的算术平均数，平均差是反映各标志

值对平均数的平均距离，平均差越大，说明总体各标志值越分散，平均差越小，说明各标志值越集中），

公式即为：（未分组情况）n

x x D A -∑=

. （分组情况）：f

f x x D

A ∑-∑=

·.

4、方差和标准差：

方差（是各变量值与其均值离差平方的平均数），

公式即为：（未分组情况）n

x x 2

2

)(-∑=

σ （分组情况）：f

f x x ∑-∑=·)(22

σ

标准差（方差的平方根），

公式即为：（未分组情况）n x x 2

)(-∑=

σ （分组情况）：

f

f x x ∑-∑=·)(2σ

方差的数学性质：变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。 方差的简便算法：方差=平方的平均数-平均数的平方

平方的平均数表示为：n x 2∑ 平均数的平方表示为：2

⎪⎭

⎫

⎝⎛∑n x 方差简便算法的公式即为：222)(x x -=σ

二、是非标志的平均数、方差、标准差：

是非标志：将总体分成具有某种性质和不具有某种性质的两部分，我们所关心的标志表

现称为“是”，另一标志标现称为“非”。例如：产品分为合格与不合格品。

成数：总体中，是非标志只有两种表现，我们把具有某种表现和不具有某种表现的单位

占全部总体单位的比重称为成数。具有某种性质的成数用（p ）表示，不具有某种性质的用（q ）表示。p+q=1。[成数的平均数（均值）就是成数本身]

成数方差：

)1(2

p p -=σ 成数标准差：p p -=1(σ 抽样平均误差、极限误差计算公式

1、抽样平均误差：反映所有的样本平均数与总体平均数的平均误差，用x σ表示。

平均数公式：

重置抽样公式为：n

M x x σ

μσ=-∑=2)(

其中σ表示总体标准差，n 表示样本容量，M 为样本个数。

不重抽样公式为：1

·)(2--=-∑=N n

N n M x x σμσ 其中N 为总体单位数。

成数公式：

重置抽样公式为：n P P P )1(-=σ

不重置抽样公式为：1

)1(--⋅-=

N n

N n P P P

σ