第8讲 IIR滤波器设计

2.用双线性变换法设计IIR数字滤波器
脉冲响应不变法的主要缺点是产生频率响应的混 叠失真。这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映 射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用 非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范 围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到 Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩 映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二 步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到 整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了 一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就 消除了频谱混叠现象，映射关系如图1-3所示。
IIR数字滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数ak 和bk。 利用MATLAB信号处理工具箱中的滤波器设计和分 析工具(FDATool)可以很方便地设计出符合应用要 求的未经量化的IIR滤波器。 示例：IIR低通滤波器设计要求： 低通巴特奥斯滤波器在其通带边缘1kHz处的增益为 -3dB，12kHz处的阻带衰减为30dB，采样频率为 25kHz。
H a ( jΩ )
2π T
－π o T
π T
2π T
H (eΒιβλιοθήκη j )… －3 －2 － o 2 3
…
＝ T
对某一模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)进行采 样，采样频率为fs，若使fs增加，即令采样时间 间隔（T=1/fs）减小，则系统频率响应各周期 延拓分量之间相距更远，因而可减小频率响应的 混叠效应。
＝ 2 tan 2 T

－
o


由图看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的 变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越 来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而 双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到 低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

j 3 / T jIm[z]
/ T o － / T －3 / T S平面 Z平面

－1
o
1
Re[z]
由（1-1）式，数字滤波器的频率响应和模拟滤 波器的频率响应间的关系为 1 2k (1-2) j H (e ) H j
T
k

a

T
用MATLAB的FDA Tools求取滤波器系数，步骤:
1)双击Launch pad窗口中的Filter Design Toolbox项 中的Filter Design & Analysis Tool(FDA Tool) 2)在Design Filter选项卡中选择Filter Type类型为 Lowpass 3)在Design Method里选择IIR(Butterworth) 4)在Filter Order中选择Minimum order即最小的阶数 5)Frequency specifications里的Units选择为Hz，输 入Fs(采样频率)：25000，Fpass(通带截止频率)： 1000，Fstop(阻带截止频率):12000
还可以直接用MATLAB的命令输入方法求系数： 如本文采用巴特沃斯滤波器，故需要在工具箱中调用 的两个函数buttord和butter的调用格式为： [N，Wc]=buttord(wp，ws，Rp，As) [b，a] =butter(N，Wc) 其中N为滤波器阶数：wp和ws分别为通带截止频率 矢量和阻带截止频率矢量，单位为π，一般需要模拟 频率指标对采样频率的一半作归一化；Rp和As分别 为通带最大衰减和阻带最小衰减，单位dB；wc为3 dB边缘频率矢量；b和a即为IIR公式中的系数矢量。
2 e e j j1T / 2 j1T / 2 T e e
j1T / 2
j1T / 2
将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s， jΩ1=s1，则得
2 e s1T / 2 e s1T / 2 2 s1T 2 1 e s1T s s1T / 2 s1T / 2 tanh s1T T e e T 2 T 1 e
H (e ) Ha j T T
但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是 严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱 交叠，即产生频率响应的混叠失真，如图所示。这 时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响， 而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折 叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应 混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计 的数字滤波器才能得到良好的效果。
自行根据以上IIR数字滤波器设计方法，基于 MATLAB设计一个IIR带通滤波器，其中带通的 中心频率为ωp0=0.5π，;通带截止频率 ωp1=0.4π,ωp2=0.6π;通带最大衰减 αp=3dB;阻带最小衰减αs=15dB;阻带截止频 率ωs2=0.3π,ωs2=0.7π
(FDA Tool 或者直接命令输入)
(1-1) 则可看出，脉冲响应不变法将模拟滤波器的S平面变 换成数字滤波器的Z平面，这个从s到z的变换 z=esT是从S平面变换到Z平面的标准变换关系式。
X ( z)
z e
sT
1 T
1 X a ( s jk s ) T k

2 Xas j k T k
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面 z=es1T 从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
2 1 z 1 s T 1 z 1
（1-6）
T 2 1 s s 2 T z T 2 （1-7） 1 s s 2 T 式（1-6）与式（1-7）是S平面与Z平面之间的单 值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比， 因此称为双线性变换
IIR数字滤波器的结构
任意阶的IIR滤波器可通过数学分解,表示为：
其中为如下的二阶形式：
一般有N≥M，称N为滤波器的阶数
这样就可以将任意阶的IIR滤波器通过若干二阶 网络(也称为滤波器的二阶基本节)级联起来构成, 其结构如图1所示。其中,代表第i级的二阶网络。
对于每一个二阶基本节,可以转置直接II型结构加 以实现,如图2所示。
其线性常系数差分方程为：
采用这种级联结构实现IIR滤波器的优点是每一 个基本节只是关系到滤波器的某一对极点和一对 零点,调整系数a0i、a1i、a2i,只单独地调整了 滤波器第i对零点而不影响其他任何零、极点。同 样,调整b1i、b2i系数、也只单独调整了第i对极 点。因此,这种结构便于准确地实现滤波器的零、 极点,也便于调整滤波器的频率响应性能。这种结 构的另一个优点是存储单元需要较少,在硬件实现 时,可以用一个二阶节进行时分复用,从而降低对 FPGA硬件资源的要求。
注意：如果要输入的是归一化频率（2π f/fs），则选择 Units为Normalized(0 to 1)
6)输入Apass(通带增益): -3 , Astop(阻带增益)：30 7)设计好各参数后，点击最下面的按钮Design Filter，生 成滤波器及系数 8)查看系数：菜单Analysis->Filter Coefficitions 得到 的滤波器系数为 Numerator: (分子多项式系数) 0.3346 0.3346 Denominator: (分母多项式系数) 1.0 （注意:该项为a0,实际运算时用不着） -0.3308

这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器 频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的， 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限 于折叠频率以内时，即 s (1-3)
H a ( j) 0 | |
T

2
才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现 模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即 |ω|<π (1-4) 1 j
脉冲响应不变法优缺点：
从以上讨论可以看出，脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位 脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼 近良好，而且模拟频率Ω和数字频率ω之间呈线性关系ω=ΩT。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过 脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。 脉冲响应不变法的最大缺点是有频率响应的混叠效应。所以， 脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性 很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，混叠效应越 小。至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因 此将完全混淆在低频响应中。如果要对高通和带阻滤波器采用 脉冲响应不变法，就必须先对高通和带阻滤波器加一保护滤波 器，滤掉高于折叠频率以上的频率，然后再使用脉冲响应不变 法转换为数字滤波器。当然这样会进一步增加设计复杂性和滤 波器的阶数。
脉冲相应不变法设计和双线性变换法
求解滤波器的系数和 ，它是数学上的一种逼近问 题，即在规定意义上（通常采用最小均方误差准 则）去逼近系统的特性。如果在S平面上去逼近， 就得到模拟滤波器；如果在z平面上去逼近，就 得到数字滤波器。
1.用脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器
利用模拟滤波器来设计数字滤波器，也就是使数 字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可 以从不同的角度出发。脉冲响应不变法是从滤波 器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响 应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)， 即将ha(t)进行等间隔采样，使h(n)正好等于 ha(t)的采样值，满足h(n)=ha(nT) 式中,T是采样周期。 如果令Ha(s)是ha(t)的拉普拉斯变换，H(z) 为h(n)的Z变换，利用采样序列的Z变换与模拟 信号的拉普拉斯变换的关系得
j
因此
| z |
2 2 T 2 2 T
2
2
由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时， |z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面 的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆 上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所 得的数字滤波器也一定是稳定的。