Copula联结函数在多变量水文频率分析中的应用
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copula函数及其应用陆伟丹2012214286信息与计算科学12-2班Copula函数及其应用Copula函数是一种〃相依函数"或者“连接函数"，它将多维变量的联合分布函数和一维变量的边际分布函数连接起来，在实际应用中有许多优点。
首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用Copula理论构造灵活的多元分布。
其次，运用Copula理论建立模型时，可将随机变量的边缘分布和它们之间的相关结构分开来研究,它们的相关结构可由一个C opu 1 a函数来描述。
另外,如果对变量作非线性的单调增变换，常用的相关性测度——线性相关系数的值会发生改变，而由Cop u1 a函数导出的一致性和相关性测度的值则不会改变。
此外，通过C o p u1 a函数，可以捕捉到变量间非线性、非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系。
正是这些性质与特点使得C opu 1 a为研究变量问的相关性提供了一种新方法，使得投资组合风险管理度量方法有了一个新的突破。
Copula函数是现代概率论研究的产物，在2 0世纪5 0年代由S k1 a r( 195 9 )首先提出，其特点在于能将联合分布的各边缘分布分离出来，从而简化建模过程,降低分析难度，这也是著名的S k 1 a r定理。
S c hwe i z e r Sklar( 1983) 对其进行了阶段性的总结，在概率测度空间理论的框架内，介绍了C opu1 a函数的定义及Copula函数的边缘分布等内容。
J oe ( 1 9 9 7 )又从相关性分析和多元建模的角度进行了论述，展示了Copula 函数的性质，并详尽介绍了Copula函数的参数族。
Ne 1 s e n(1999 )在其专著中比较系统地介绍了C o pula的定义、构建方法、Archimedean Copula及相依性，成为这一研究领域的集大成者。
D a v i d s i on R A, Res nick S 1.( 1984)介绍了C o p u 1 a的极大似然估计和矩估计。
利用AMH Copula函数分析磨刀门水道潮洪组合风险
利用AMH Copula函数分析磨刀门水道潮洪组合风险邵檀【摘要】为探讨磨刀门水道潮洪组合风险,借助AMH Copule函数,利用竹银水文站及马口水文站的实测资料,构建年高潮位与西江洪水量的联合分布,分析该水道潮洪遭遇组合风险率.结果表明:磨刀门水道的年最高潮位与上游洪水呈现正相关性;高潮位遭遇上游洪水的风险率为洪水量愈大,风险率愈小;重现期大于30 a一遇的潮位,遭遇上游洪水的风险率随潮位的增高而有所上升,遭遇上游多年平均洪水量的风险率接近20%,遭遇上游10年一遇洪水量的风险率约为5%.【期刊名称】《广西水利水电》【年(卷),期】2017(000)004【总页数】4页(P79-81,89)【关键词】联合分布;AMHCopule函数;磨刀门水道;潮洪遭遇;组合风险【作者】邵檀【作者单位】广东省水文局佛山水文分局,广东佛山 528000【正文语种】中文【中图分类】TV122.5磨刀门水道位于珠江三角洲西部，北接西海水道，流经江门市与珠海市，南至珠海市石栏洲附近入海，常年受海潮和上游径流影响：自上而下，磨刀门水道水位受上游洪水的影响作用逐渐减弱，而受河口潮波的影响作用逐渐增强[1]，为典型的感潮河段。
感潮河段由于受潮汐和上游径流等多因素影响，水文情势较复杂，因此其设计水面线的计算分析需要同时考虑潮位与洪水两个因素[2]。
马口水文站位于西江干流水道左岸，是西北江三角洲河网区起点控制站之一，其流量监测断面是西江上游洪水进入河网区的必经之地，也是磨刀门水道上游距离较近的流量控制站之一。
竹银站位于磨刀门水道右岸，距离磨刀门约30 km，该站监测断面是西江来水主要的出海途径。
本文利用马口站和竹银站的实测资料和目前较流行的联合分布Copula函数，分析磨刀门水道潮洪组合风险。
Copula联合函数能够用于描述变量之间的各种相关关系，是当前多变量分析中比较流行的一种模型构建方法[3-4]。
研究表明Copula函数的计算过程是可逆的，推求的结果相对可靠，无偏性和有效性等统计性能也较适用于多变量水文计算领域[5]。
基于Copula函数的多变量暴雨频率计算研究
基于Copula函数的多变量暴雨频率计算研究丁波;谭圣林;关帅;吴润;陈记臣;刘祖发【摘要】运用Copula函数对东江流域河源站年最大暴雨事件中的特征变量(最大暴雨强度、暴雨历时和暴雨量)建立联合分布，分析不同组合下的概率，主要结论如下：任意两暴雨特征变量的联合重现期约为单变量重现期的一半，同现重现期相对较大；在各单变量同频率的假设条件下，暴雨特征变量的单变量重现期设计值相比联合重现期设计值较低，河源站平均相差为12.54%~15.08%；利用暴雨特征变量的联合分布，可以获得变量间不同设计值条件下的组合概率，以及特定联合重现期和同现重现期条件下变量的可能组合。
%Using copula functions, multivariate joint distributions of annual maximum storm ( including feature variables of annual maxi-mum storm peak, volume and duration) is developed at Heyuan Station, which is located in Dongjiang River Basin, and the probability of different joint storm variables and the corresponding return periods are analyzed. The main conclusions acquired are as follows:the joint return periods of any combinations of the three storm feature variables are about half of the single variable return periods, but the current return periods are relatively high;under the same frequency assumption of single features, the design values of joint return peri-ods are smaller than those of single variable return periods, and the difference of Heyuan Station is about 12. 54% ~15. 08%;based on the joint distributions constructed above, we can get the probabilities of any combinations of the three storm feature variables, as well as diverse combinations under certain joint return periods and current return periods.【期刊名称】《人民珠江》【年(卷),期】2016(037)007【总页数】7页(P20-26)【关键词】多变量水文分析;Copula函数;暴雨频率;东江流域【作者】丁波;谭圣林;关帅;吴润;陈记臣;刘祖发【作者单位】中山大学水资源与环境研究中心华南地区水循环与水安全广东省普通高校重点实验室，广东广州510275;北京大学城市人居环境科学与技术实验室，广东深圳 518055;中山大学水资源与环境研究中心华南地区水循环与水安全广东省普通高校重点实验室，广东广州 510275;中山大学水资源与环境研究中心华南地区水循环与水安全广东省普通高校重点实验室，广东广州 510275;中山大学水资源与环境研究中心华南地区水循环与水安全广东省普通高校重点实验室，广东广州 510275;中山大学水资源与环境研究中心华南地区水循环与水安全广东省普通高校重点实验室，广东广州 510275【正文语种】中文【中图分类】P333.9雨洪灾害是我国发生频率最高的灾害性极端气象事件[1]，其发生会造成严重的生命和财产损失[2]。
基于Copula函数的组合变量联合概率分布研究及应用
中图分类 号 ： Ｐ ３ ３ ３
文 献标 识码 ：Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ０ — ０ ８ ５ ２ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ ０ ０ １ — ０ ７
运用 Ｃ ｏ ｐ ｕ ｌ ａ函数法 构 建 洪 水 特 征 量 的组 合 变 量
１ 引言
传 统水 文事 件频 率分 析多 集 中在单 变量水 文频 率
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 项 目 （ ５ １ ２ １ ０ ０ １ ３ ， ５ １ ４ ７ ９ ２ １ ６ ） ； 国家科技支撑项 目（ ２ ０ １ ２ Ｂ ＡＣ ２ ｌ Ｂ Ｏ １ Ｏ ３ ） ； 水利 部 公 益 项 目（ ２ ０ １ ２ ０ １ ０ ９ ４ ， ２ ０ １ ３ ０ １ ０ ０ ２ — ０ ２ ） ； 院 士 科 技 咨 询 项 目（ ２ ０ １ ５ 一 Ｚ Ｄ 一 ０ ７ — ０ ４ — ０ ３ ） ； 广 东省 水 利 科 技 创 新 项 目 （ ２ ０ １ １ － １ １ ） 作者简介 ： 林娴 （ １ ９ ８ １ － ） ， 女， 福建长乐人 ， 硕士研究生 ， 主 要 从事 水 文与 水 环 境 研 究 。Ｅ － ｍａ ｉ ｌ ： ｇ ｑ ｔ ｇ ｄ ｓ ｌ ＠１ ６ ３ ． １ ２ ０ １ １ ３ 通讯作者 ： 欧阳吴 （ １ ９ ８ ２ － ） ， 男， 湖南株洲人 ， 高级工程师， 主 要从 事 水 文 与 水 环 境 研 究 。Ｅ － ｍ ａ ｉ ｌ ： ４ ４ ３ ０ １ ６ １ ７ １ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ
林 娴 ， 欧 阳 昊 ， 陈晓 宏 ， 李 深林
（ １ ．中 山大 学水 资源 与环境研 究 中心 ， 广东 广Ｊ ， ｉ 、 Ｉ ５ １ ０ ２ ７ ５ ； ２ ．广 东省水 利厅 ， 广东 广州 ５ １ ０ ０ ０ ０ ；
两变量联合分布在水文频率分析中的应用研究
两变量联合分布在水文频率分析中的应用研究作者：彭亚兰钟羽华来源：《国土资源导刊》2013年第10期摘要：本文以汀江流域上某站点的实测洪水资料为样本，利用Gumbel-Hougaard Copula 函数构建两个边缘分布为P-III型分布的年最大洪峰流量系列与年最大七日洪量之间的联合分布。
实测资料的率定结果表明，年最大洪峰流量和年最大七日洪量的联合观测值的理论概率分布与经验概率分布拟合得很好。
并基于此理论联合分布，进行了一些分析计算。
关键词：设计洪水；copula；联合分布；年最大洪峰流量；年最大七日洪量在以往的工程实践中，对于水文极值事件的描述，往往是选取能代表此极值事件的一个重要特性，再采用单变量极值分布来对其加以分析研究，却忽略了水文事件各个属性之间存在的相互联系。
例如在设计洪水的时候，我们往往是对其洪峰流量或时段洪量进行单独的分析研究，而没有考虑一定洪峰流量和时段洪量同时发生的情况。
事实上，同一水文事件的不同属性之间以及不同水文事件之间都或多或少地存在一定的相关性，采用单变量极值分布来进行频率分析显然不能较为全面的了解水文事件的某些统计特性且存在一定的局限性[1]。
为了较全面地了解认识某水文事件，就需要从多角度对水文事件进行分析研究。
目前已有很多的研究表明，采用两变量联合分布相比于单变量分布能更好地描述水文事件的统计特性，能更准确地分析各属性之间的相互关系。
本文以汀江流域某站点实测的洪量资料为基础资料[2]，利用P-III型分布作为边缘分布来构建联合分布，对此站的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之间的联合分布情况进行研究。
1 Copula函数近年来，Copula函数在多变量的水文频率分析中得到了广泛的应用，其优点是Copula联接函数的边缘分布函数不必属于同一分布族，数学表达上相对简洁，各个变量之间的相依结构和边缘分布可以独立考虑[3]。
Copula函数的构造方法比较多，常见的类型有椭圆型、阿基米德型和二次型[4]。
copulas函数
copulas函数Copulas函数是一种常见的概率统计学工具，用于描述两个或多个随机变量之间的依赖关系。
它们是建立在随机向量上的函数，可以用来模拟多元分布和条件分布。
Copulas函数在金融、保险、气象、环境等领域中得到广泛应用。
一、Copulas函数的基本概念1.1 Copula的定义Copula是一个从单位超立方体[0,1]^d到[0,1]的连续单调不降函数C(u_1,u_2,...,u_d)，其中u_i为第i个变量在其边缘分布下的累积分布函数。
Copula表示了多元随机变量之间依赖关系的结构，它将边缘分布与相关性结合起来。
1.2 Copula的性质Copula具有以下性质：（1）单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i≤u_j，则C(u_1,u_2,...,u_i,...,u_j,...,u_d)≤C(u_1,u_2,...,u_j,...,u_i,...,u_d)。
（2）正定性：对于任意n∈N和任意(u_1,u_2,...,u_n)∈[0,1]^n，有C(0,...,0,u_i,0,...,0)=0和C(1,...,1,u_i,1,...,1)=u_i。
（3）边缘分布一致性：对于任意i∈{1,2,...,d}，令F_i(x)表示第i个变量的边缘分布函数，则有C(F_1(x_1),F_2(x_2),...,F_d(x_d))=P(X_1≤x_1,X_2≤x_2,...,X_d≤x_d)，其中X=(X_1,X_2,...,X_d)是一个具有Copula C的随机向量。
（4）伪单调性：对于任意u_i,u_j∈[0,1]，若u_i=u_j，则有∂C(u)/∂u_k≥0，其中k∈{1,2,...,d}且k≠i,j。
二、Copulas函数的常见类型2.1 Gumbel CopulaGumbel Copula是一种常见的Copula类型，它基于极值理论和极值分布。
Gumbel Copula的密度函数为：c(u,v;θ)=exp[-( [-log u]^θ+[-log v]^θ )^(1/θ) ]，其中u,v∈[0,1]，θ>0为形状参数。
Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展
（． １武汉 大学 水 资 源 与水 电工程科 学 国家 重点 实验 室 ， 湖北 武 汉 ４ ０ ７ ； ３ ０ ２
２湖 南省 水利 厅 ， ． 湖南 长沙 ４ ０ ０ ） １ ０ ４
摘 要： 综述 了多变量 水文 分析计 算 方法及 存在 的 问题 。 系统 地介 绍 了 Ｃｏ ｕａ函数 的基 本理论 与方 法 ， ｐｌ 分 析探 讨 Ｃ ｐ ｌ ｏ ｕａ函数在 多变量水 文计 算领域 的适 用性 及优 越性 。总结 了 Ｃｏ ｕ ｐｌ ａ函数应 用 的关键 技术 ， 包括参 数估 计 、 合检验 及 类型 选择 等 ， 拟 并展 望 了 Ｃｏ ｕａ函数 的研 究应 用前景 。 ｐｌ
收 稿 日期 ：０ ７ １ — １ ２０ — ２ ２
基 金 项 目 ： 家 自然 科学 基 金 （ｏ ７ Ｏ ３ ； 国 ５ ６ ９ ６ ） 国际 科 技 合 作 项 目（０ ５ Ｆ ２ ５ ０ ， 利 部 科 研 专 项 （０ ７ １ １ ） ２ ０ Ｄ Ａ ０ ２ ）水 ２ ０ ０ ０ ５ 作 者 简 介 ： 生练 （９ ７ ） 男 ， 建 龙 岩 人 ， 汉 大 学 教 授 ， 士 生 导 师 ， 要从 事水 文 水 资 源 方 面 的研 究 。 郭 １５ 一 ， 福 武 博 主
关键 词 ： ｐ ｌ Ｃｏ ｕａ函数 ： 变量； 文分析计 算；联 合 分布 多 水
中图分 类号 ：３ ３９ Ｐ３．
文 献标 识码 ： Ａ
文 章编 号 ：０ ０ ０ ５ （０ ８０ － ０ １ ０ １０ — ８ ２２ ０ ）３ ０ ０ － ７
造成 较 大误 差 ， 来 一些 学 者【 ］ 正 态变 换 方法 将 后 采用 － ５ 原始 数据 转换 成正 态分 布 ，然后 再利用 反变 换进行 分
基于Copula函数的多变量水文不确定性处理器
基于Copula函数的多变量水文不确定性处理器刘章君;郭生练;何绍坤;巴欢欢;尹家波【摘要】传统的水文不确定性处理器(HUP)属于单变量结构类型,只能独立地给出各预见期实际流量的贝叶斯后验概率密度,没有考虑它们之间的内在相关性.本文利用Copula函数推导了贝叶斯转移预报(BTF)方法中后验转移密度的解析表达式,提出了基于Copula函数的贝叶斯转移预报(CBTF)方法和基于Copula函数的多变量水文不确定性处理器(CMHUP),进而发展了基于Copula函数的贝叶斯极值预报(CBEF)方法,并应用于三峡水库入库洪水预报中.结果表明:所提方法实用有效,CBTF 方法和CMHUP可以定量地评估三峡水库入库流量转移预报的不确定性,准确揭示了水文预报不确定性在时间上的演变特征,CBEF方法则提供了预见期时段内最大入库流量预报的不确定性信息.所提方法不需要进行线性-正态假设,能够很好地捕捉流量过程的非线性和非正态特征,适用范围更加广泛,对于支撑防洪减灾和水库运行调度具有重要的参考价值.%The traditional hydrologic uncertainty processor (HUP) belongs to the univariate structure type,which only independently provides a marginal Bayesian posterior probability density function of observed discharge for each lead time and does not consider and characterize the inherent dependence among these variables.In this paper,the analytical expression of Bayesian posterior transition density was derived by using Copula function,and therefore the Copula-based BTF (CBTF) method and Copula-based multivariate HUP (CMHUP) was proposed.Subsequently,the Copula-based BEF (CBEF) wasdeveloped.Application results of Three Gorges Reservoir (TGR) indicate that the proposed methods are practical and effective,of which the CBTFmethod and CMHUP not only can quantitatively evaluate the uncertainty of transition forecast for inflows of the TGR,but also reveal the evolution characteristic with time of uncertainty in hydrologicalforecasting.Moreover,the uncertain information about the maximum inflow forecast within specified lead time is provided by the CBEF method.The proposed methods relax the linear-normal assumption and capture the nonlinear and non-Gaussian characteristics of discharge process adequately,which lead to more extensive application scope and support the flood control and disaster mitigation,and reservoir operation better.【期刊名称】《水利学报》【年(卷),期】2018(049)003【总页数】11页(P332-342)【关键词】水文预报;贝叶斯理论;水文不确定性处理器;转移概率预报;极值概率预报;Copula函数【作者】刘章君;郭生练;何绍坤;巴欢欢;尹家波【作者单位】武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,水资源安全保障湖北省协同创新中心,湖北武汉 430072;江西省水利科学研究院,江西南昌 330029;武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,水资源安全保障湖北省协同创新中心,湖北武汉 430072;武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,水资源安全保障湖北省协同创新中心,湖北武汉 430072;武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,水资源安全保障湖北省协同创新中心,湖北武汉 430072;武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,水资源安全保障湖北省协同创新中心,湖北武汉 430072【正文语种】中文【中图分类】TV1241 研究背景水文不确定性处理器（Hydrologic Uncertainty Processor，HUP）作为贝叶斯预报系统（Bayesian Forecasting System，BFS）［1］的一个重要组件，用来量化除定量降水预报不确定性以外的其他所有不确定性，在实际中应用广泛［2-5］。
应用超阈值抽样及Copula函数推求水库设计洪水
洪 量 的 联 合 分 布 ，以 此 得 到 设 计 标 准 和 校 核 标 准 的 设 计 洪 水 ，并 通 过 同 频 率 放 大 法 得 到 了 设 计 洪 水 过
程 线 ，该 洪 水 过 程 线 更 符 合 水 文 现 象 的 内 在 规 律 ，展 现 了 超 阈 值 理 论 和 Copula函 数 在 水 文 洪 水 频 率 分
2
水文
第 38卷
1 超阈值抽样理论
i . i 超阈值样本独立性判别及阈值选择
渊i )样本独立性判别。对洪水进行超阈值频率分析，
Байду номын сангаас
必须保证超阈值洪水样本具有独立性。超阈值样本独
立性判别标准在业界尚未得到统一，也是超阈值抽样
没有得到广泛应用的重要原因，本文采用美国水资源
学会提出的洪峰独立条件标准进行样本独立性判别。
析计算领域的良好应用前景。
关 键 词 ：超 阈 值 ; 设 计 洪 水 ; Copula函 数
中图分类号:TV122
文献标识码： A
文 章 编 号 =1000-0852(2018)02-0001-07
设计洪水是水库防洪设计的依据，关系着工程的 安 全 与 经 济 效 益 ，也 是 协 调 兴 利 与 防 洪 矛 盾 、达到既经 济 合 理 又 安 全 可 靠 的 重 要 前 提 。一 直 以 来 ，设计洪水的 推求方法都倍受世界各国水文工作者的关注和重视。 目前，设计洪水常采用水文频率分析法进行推求，这种 方 法 一 般 都 米 用 年 最 大 值 系 列 （Annual Maximal Series，简 称 AMS)，即在每个年份选择其中最大洪水作 为 样 本 。而 实 际 上 一 般 每 年 中 发 生 的 洪 水 不 止 一 次 ，年 最大值抽样造成了洪水信息的缺失，极大地限制了设 计洪水推求的计算精度和洪水样本频率分析的发展。 为了充分利用现有的水文信息，国外有学者提出了超 阈值(Partial Duration Series，简称 PDS)理 论 ，其研究 对象是资料中所有观测到的超过事先选定的阈值的洪 水 ，并建立了相对完备的一套理论方法。Santiago[1]研究 了超阈值模型中阈值选择的不确定性;P.K. Bhunya[2] 研究了在超阈值理论中采用广义逻辑分布和负二项分 布及广义帕累托分布的不同条件。英国已开始采用超 阈 值 (PDS)抽 样 推 求 设 计 洪 水 。超 阈 值 理 论 通 过 将 洪 水 资 料 中 超 过 某 一 预 设 阈 值 的 所 有 洪 峰 选 为 样 本 ，将
Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究
Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究摘要：本文主要介绍Copula理论及其在多变量金融时间序列分析上的应用研究。
首先，我们概述了Copula理论的基本概念和特点，以及其在金融领域的应用优势。
接着，我们详细探讨了Copula函数的种类和选择方法，并介绍了Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例。
最后，我们总结了Copula理论在多变量金融时间序列分析中的重要作用，并展望了未来的研究方向。
一、引言随着金融市场的快速发展和全球化程度的提高，对金融风险的准确度量和管理变得越来越重要。
多变量金融时间序列分析是对金融市场中多个变量间关联性的研究，其中建立精确的统计模型是至关重要的。
传统的方法使用线性相关性进行分析，但很多金融变量之间并不存在线性相关性。
因此，Copula理论应运而生，为研究金融变量之间的非线性关系提供了一种强大工具。
二、Copula理论的基本概念和特点Copula理论是由斯克洛乌卡和杰戴（Sklar, 1959）于20世纪50年代末提出的。
它独立于单变量分布的边缘分布，将边缘分布和相关结构分离开来，能够更准确地描述多维随机变量的联合分布。
Copula函数是一种连接多个边缘分布的函数，它的主要特点是能够捕捉变量之间的非线性关系，并提供了更多灵活的模型选择。
三、Copula函数的种类和选择方法Copula函数的种类较多，常见的有Gumbel、Clayton和Frank等。
选择合适的Copula函数对于分析金融时间序列数据至关重要。
一般来说，选择Copula函数需要通过相关系数矩阵的分析，如Pearson相关系数、Spearman相关系数和Kendall相关系数。
此外，还可以使用拟合优度统计量和模型比较指标来评估不同Copula函数的拟合效果和模型选择。
四、Copula函数在金融时间序列分析中的应用案例Copula函数在金融时间序列分析中有广泛的应用。
基于Copula的汾河上游水文干旱频率分析
基于Copula的汾河上游水文干旱频率分析任璐;赵雪花【摘要】运用游程理论对汾河上游4个水文站的月径流资料进行干旱识别;选择4种分布函数拟合干旱特征变量,通过Kolmogorov-Smirnov检验法优选单变量边缘分布;利用Copula函数建立干旱特征变量的二维联合分布,计算重现期.结果表明,汾河上游干旱特征变量的最佳边缘分布是对数正态分布;汾河上游大多数干旱重现期小于5年,且干旱历时与烈度的单变量重现期与二维重现期较为接近;干旱历时与烈度峰值、烈度与烈度峰值的单变量重现期与二维重现期差距较大.【期刊名称】《水力发电》【年(卷),期】2016(042)002【总页数】6页(P11-16)【关键词】水文干旱;频率分析;Copula函数;月径流;汾河上游【作者】任璐;赵雪花【作者单位】太原理工大学水利科学与工程学院,山西太原030024;太原理工大学水利科学与工程学院,山西太原030024【正文语种】中文【中图分类】P333.3干旱是一种复杂、多因素并具有全球影响力的自然灾害［1］。
它经常发生却甚少为人了解。
我国属于东亚季风气候，年季间季风的不稳定性是造成我国干旱频发的一个主要原因［2］。
气候变化和人类活动的共同作用，导致干旱的发生频率不断上升、造成损失不断加大，严重制约了我国社会经济的发展。
缓解现今严峻的干旱形势迫在眉睫，因此对于干旱事件的频率分析是极其必要的。
最初的多变量干旱频率的研究建立在一系列假定的基础上。
即，各变量的边缘分布必须服从同种分布［3-6］或者联合分布必须采用正态分布和经过数学转换得到的正态分布［6-8］。
然而，实际情况往往不能满足以上假定，难以应用到干旱频率分析中。
随后出现的非参数研究方法［9-10］虽然可避免以上假定，但是其数学推导及参数计算都太过复杂，在实际应用中难以推广。
相比以上几种方法，Copula函数法既可以构建服从不同边缘分布的特征变量的联合分布函数［11］，又便于计算，更符合干旱频率分析的实际情况；因此可用于水文干旱频率分析中。
Copula熵方法及其在三变量洪水频率计算中的应用
Copula熵方法及其在三变量洪水频率计算中的应用李帆;郑骞;张磊【摘要】In order to avoid selection of the type of functions when using traditional copula methods to fit the joint probability distribution, the copula function and the maximum entropy principle were jointly used ( in a method also called the copula entropy method ) , and the two-dimensional joint distribution functions of flood variates were obtained by solving the copula function with the maximum entropy. With the solved copula function, the two-dimensional joint distribution functions of flood variates ( peak discharge, flood volume, and flood duration) were mutually constructed. The Gibbs sampling method and copula functions were used to stochastically simulate trivariate flood events. A case study was conducted using the observed flood data from the Lutaizi Hydrological Station on the Huaihe River. A goodness-of-fit analysis shows that the copula entropy method is effective in fitting multivariate probability distributions and the Gibbs sampling method is effective in simulating trivariate flood events.%为解决传统Copula方法在进行联合概率分布拟合过程中要先进行函数类型选择的问题，将Copula函数和最大熵原理进行耦合，通过求解具有最大熵的Copula方程，求得二维联合分布函数，即Copula熵方法。
3维Copula函数在降雨特征多变量频率分析中的应用
3维Copula函数在降雨特征多变量频率分析中的应用刘成林;周玉文;隋军;高琳【摘要】There is an underlying assumption that run⁃off and rainfall in a given urban catchment are equivalent and, further, to use design rainfall depth as a proxy for run⁃off in hydrological analyses and calculations. However, when employing this approach, it is difficult to accurately and fully reflect the variability in rainfall characteristics. To address this issue, a method for the copula⁃based multivariate frequency analysis of rainfall characteristics was proposed by using historical rainfall data (1961-2012) from Guangzhou city. First, continuous rainfall time series were divided into individual rainfall events using the rainfall intensity method. Then the characteristic variables of rainfall were calculated by sampling using the annual maximum method. Finally, a three⁃dimensional copula was introduced to build a multivariate joint probability distribution model of rainfall characteristics. The results show that the copula⁃based multivariate analysis is easy to implement and provides reliable results. This approach can be used to analyse the conditional probabilities of variables for different orders of magnitude. It can fully reflect rainfall characteristics, which serve an important reference for urban flood control and drainage planning.%鉴于径流数据缺乏且难以长期监测而降雨数据相对完整，通常假定降雨和径流同频率，采用设计降雨进行水文分析计算，但此方法很难真实全面地反映降雨变化特征。
基于Copula函数的水文随机变量和概率分布计算
基于Copula函数的水文随机变量和概率分布计算宋松柏;王小军【摘要】水文随机变量和分布计算是推求设计洪水地区组成、梯级水库下游设计洪水等的重要内容,对于水库下游水利水电工程规划设计与管理、城市防洪风险评估等至关重要.传统的水文随机变量和分布是根据二维变量函数分布推导而来,边际分布必须为同一类型分布,其应用受到限制.本文根据二维随机变量和概率分布定义,运用条件Copula函数和积分变换原理,严格地推导了二维相依随机变量和概率分布计算公式,以及Gamma分布、p-Ⅲ分布两类常用边际分布下变量和的分布概率计算公式,该计算公式仅为条件Copula函数的一维积分,避免了概率组合离散求和法数据转换的信息失真,克服了传统多变量分布要求边际分布为同一类型分布.以清江流域水布垭水库至隔河岩水库3h洪量组成为例,给出了水文随机变量和分布的计算方法.文中模型与计算方法以期为我国设计洪水地区组成和梯级水库下游设计洪水计算提供理论支撑.【期刊名称】《水利学报》【年(卷),期】2018(049)006【总页数】7页(P687-693)【关键词】相依性;随机变量和;概率分布;Copula函数;清江流域【作者】宋松柏;王小军【作者单位】西北农林科技大学水利与建筑工程学院,旱区农业水土工程教育部重点实验室,陕西杨凌712100;南京水利科学研究院水文水资源与水利工程科学国家重点实验室,江苏南京210029【正文语种】中文【中图分类】TV122+.31 研究背景二维相依水文随机变量和概率分布计算是流域设计洪水地区组成、梯级水库下游设计洪水等的重要内容和核心计算技术。
因此，如何提高水文变量和分布的计算精度，受到许多学者的高度关注。
《水利水电工程设计洪水计算手册》推荐使用地区组成法、频率组合法和随机模拟法进行设计洪水的地区组成计算［1］。
其中，频率组合法推荐使用1990年代王锐琛等提出的概率组合离散求和法。
张元禧［2］是我国最早开展二维水文随机变量和概率分布计算的学者之一，推导了具有形状参数为正整数的Gamma水文变量和、差分布解析计算公式。
不同Copula函数在洪水峰量联合分布中的应用比较
不同Copula函数在洪水峰量联合分布中的应用比较杜懿;麻荣永【摘要】为推求适合郁江南宁水文站洪水峰量联合分布的最优Copula连接函数,将二元正态Copula函数与t-Copula函数引入到水文多变量频率分析计算中,并与应用广泛的Archimedean Copula函数族进行比较.结果表明,所选用的5种Copula函数均适用于本次研究,其中经验频率与理论频率的拟合相关系数分别为1.016 2、1.016 2、1.034 9、0.968 5和1.014 1,平方欧式距离分别为0.011 7、0.010 9、0.018 6、0.017 9和0.020 3.比较发现,二元t-Copula函数表现最优,最能体现郁江南宁水文站洪水峰量联合分布的特性规律.【期刊名称】《水力发电》【年(卷),期】2018(044)012【总页数】4页(P24-26,58)【关键词】水文变量;频率分析;联合分布;Coupla函数【作者】杜懿;麻荣永【作者单位】广西大学土木建筑工程学院,广西南宁530004;广西防灾减灾与工程安全重点实验室,广西南宁530004;广西大学土木建筑工程学院,广西南宁530004;广西防灾减灾与工程安全重点实验室,广西南宁530004【正文语种】中文【中图分类】P3330 引言洪水、暴雨等水文极值事件一般都具有总量、强度和历时等多属性特点，且各属性之间均存在着一定的相依关系[1]。
传统的单变量分析法已无法满足应用要求，为了让水文事件得到全面描述，进行多变量分析就显得尤为必要。
关于多变量分析的计算，目前概括起来主要有多元正态分布、非参数法、将多维联合分布转换成一维分布等方法[2]。
但上述方法均存在一定问题。
Copula函数的引入，有效地解决了这一问题。
Copula函数是构建多变量联合分布的一种高效方法，能够构造出边缘分布为任意分布的多变量联合分布函数，具有极强的灵活性与适应性[3]。
但Copula函数类型的选择是个难题，不同的Copula函数具有不同的分布特性，对水文变量的描述也存在差异。
Copula函数在多变量水文分析计算中的应用及研究进展_郭生练
Ｈ（ ｘ１，ｘ２，…ｘｎ） ＝Ｃ（ Ｆ１（ ｘ１） ， Ｆ２， （ ｘ２） ， …， Ｆｎ（ ｘｎ） ） （ １） 如果 Ｆ１， Ｆ２， …， Ｆｎ 是连续的， 则 Ｃ 是唯一的， 相 反 地， 如果 Ｃ 是一个 ｎ－ Ｃｏｐｕｌａ， Ｆ１， Ｆ２， …， Ｆｎ 为分布函数， 则式（ １） 中所定义的函数 Ｈ 是一个 ｎ－ 维分布函数， 其 边缘分布为 Ｆ１， Ｆ２， …， Ｆｎ。 从 Ｓｋｌａｒ 定 理 可 以 看 出 ， Ｃｏｐｕｌａ 函 数 能 独 立 于 随 机变量的边缘分布反映随机变量的相关性结构， 从而 可将联合分布分为两个独立的部分来分别处理： 变量 间的相关性结构和变量的边缘分布， 其中相关性结构 用Ｃｏｐｕｌａ 函数来描述。Ｃｏｐｕｌａ 函数的优点在于不必要 求具有相同的边缘分布， 任意边缘分布经过 Ｃｏｐｕｌａ 函 数连接都可构造成联合分布， 由于变量的所有信息都包 含在边缘分布里， 在转换过程中不会产生信息失真。 目前常用于度量水文变量相关性的指标是皮尔逊 线性相关系数和 Ｋｅｎｄａｌｌ 秩相关系数［３３］。Ｋｅｎｄａｌｌ 秩相 关系数不仅可以描述变量之间的线性相关关系， 还适 用于描述变量之间非线性的相关关系， 其定义如下：
为了解决上述问题， 国内外学者将 Ｃｏｐｕｌａ 函数理 论与方法应用于多变量水文分析计算领域。Ｃｏｐｕｌａ 函 数能够通过边缘分布和相关性结构两部分来构造多维 联合分布， 形式灵活多样， 且求解比较简单。美国土木 工 程 协 会 出 版 的 《工 程 水 文 》杂 志 （ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｙｄｒｏ－ ｌｏｇｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ） ２００７ 年 第 ４ 期 对 Ｃｏｐｕｌａ 函 数 理 论 与方法及在水文中的应用作了专刊介绍。
基于Copula函数的3变量洪水频率研究
第38卷 第2期2010年2月西北农林科技大学学报(自然科学版)Journal of Northwest A&F University(Nat.Sci.Ed.)Vol.38No.2Feb.2010基于Copula函数的3变量洪水频率研究3侯芸芸,宋松柏,赵丽娜,王剑峰(西北农林科技大学水利与建筑工程学院,陕西杨凌712100)[摘 要] 【目的】考虑洪峰、洪量和历时之间的相依关系,应用Archimedean Copula函数,探讨洪水3变量的联合概率分布和条件概率分布,为水利工程规划设计和风险评估提供依据。
【方法】以陕北地区窟野河流域神木水文站48年的洪水资料为例,选择拟合效果好的Copula函数计算洪峰、洪量和历时的联合概率分布、条件概率分布,并绘制相应的条件重现期图。
【结果】Gumbel2Hougaard Copula函数拟合洪峰、洪量和历时的联合概率分布效果较好;得到不同条件组合下洪水事件的条件概率分布和相应的条件重现期,同时得到确定条件下的重现期均小于超过该条件时的重现期。
【结论】Copula函数全面考虑了洪水特征量之间的相依性,可用于洪峰、洪量和历时联合概率分布的计算。
[关键词] 洪水频率分析;Copula函数;联合概率分布;重现期[中图分类号] TV122+.5[文献标识码] A[文章编号] 167129387(2010)022*******Research of trivariate flood frequency based on Copula functionHOU Yun2yun,SON G Song2bai,ZHAO Li2na,WAN G Jian2feng (College of W ater Resource and A rchitect ural Engineering,N ort hwest A&F Universit y,Yangling,S haanx i712100,China)Abstract:【Objective】Considering dependent relationship among peak,volume and duration,we ana2 lyzed t he t hree variables joint probability dist ribution and t he condition p robability dist ribution by Archi2 medean Cop ula f unction,which can p rovide t he basis for t he design of hydraulic engineering program and risk assessment.【Met hod】Take48years’flood data in Shenmu in t he nort h of Shaanxi as an example.A good fitting Cop ula f unction was cho sen to calculate t he condition p robability dist ribution of flood peak, volume and duration and drawn figs of corresponding ret urn period.【Result】Gumbel2Hougaard Cop ula f unction can fit joint dist ribution of flood peak volume and duration better.The condition probability dist ri2 bution and t he corresponding ret urn period were obtained and t he ret urn period under fixed condition was less t han t he one when t he conditions were above t he value.【Conclusion】Cop ula f unction t hat considered t he dependecy of t he flood characteristics comp rehensively was used to calculate joint probability distribu2 tion among peak,volume and duration.K ey w ords:flood f requency analysis;Cop ula f unction;joint probability distribution;ret urn period 水文事件的频率分析是水利工程规划设计的重要依据,洪水作为研究最广泛的水文事件之一,是一种多变量随机事件,其特征变量(洪峰流量、洪水总量、峰现时间、洪水历时等)之间存在一定的相依关系。
基于Copula的区域水文干旱频率分析
基于Copula 的区域水文干旱频率分析周玉良1，袁潇晨1，金菊良1，郦建强2，宋松柏3（1.合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽合肥230009；2.水利部水利水电规划设计总院，北京100120；3.西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌712100）摘要：以径流量为水文干旱指标，通过径流量距平百分率和径流量累积频率两种方法识别水文干旱特征变量，并以适线法确定单个干旱特征变量的分布曲线，在此基础上利用Archimedean Copula 函数构建了干旱历时与干旱烈度间的联合分布，并计算干旱重现期。
应用研究结果表明：用Copula 函数，得以上两种识别法提取的干旱历时和干旱烈度的联合概率分布，其重现期计算结果与区域实际受旱状况相符，其中径流量距平百分率法相对更优、更直观；适线法避免了基于样本数据估计分布函数参数的不合理性，使基于Copula 函数的频率分析结果更可靠。
关键词：水文干旱；频率分析；Copula 函数；适线；干旱阈值；干旱灾害风险管理中图分类号:P33文章标识码：A文章编号：1000-0690（2011）11-1383-06区域干旱已成为全球气候变化背景下典型的自然现象，其发生过程具有渐进性，且影响范围广，给经济社会造成巨大损失[1~4]。
分析研究区域干旱频率，有助于加强对干旱的预防和应急管理，促进水资源系统的合理分配和科学建设，是干旱灾害风险管理研究的重要基础性工作之一[5~7]。
目前干旱频率研究的主要问题有：①需要具有能够客观反映区域整体干旱状况的指标；②需要具有能够准确判别干旱过程、全面描述干旱特性的途径；③需要具有能够准确计算干旱发生概率的方法。
现有的研究多着重于以降雨量为干旱指标的气象干旱，然而，供水水分在完成下垫面全部物理过程后最终主要以径流的形式体现，因此，以径流量为干旱指标的水文干旱被认为是最彻底的干旱[8]，更能全面反映整个区域内的干旱情况。
对于一次水文干旱过程，通常由干旱历时和干旱烈度两个特征变量来刻画，这便要求在干旱频率分析时综合考虑此干旱历时和干旱烈度之间的关系。
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熊立华 $郭生练 $肖 ! 义 $袁汉芳
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摘要 # 介绍了 Q 属性和构造方法 < 在应用实例中 $ 针对位于同一河流上下游的两个水文站 / 0 2 1联结函数的定义 % P
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’!Q / 0 2 1联结函数的定义与性质 P
首先 定 义 6 个 在 " 区间上均匀分布的随 %# ’$ )# 当假设这6 个随机变量 机变量 F’ # F$ # F6 # )# 那么它们之间的相 F’ # F$ # F6 是 相 互 关 联 的 # 关关系可以通过它们之间的联合分布函数来描述 # 定义如下 ! )# )# % & 4% G G F’ ( G F6 ( G ’ %! ’# 1% ’# 6& 6& 式中 # 函数 4 被称为 Q / 0 2 1 联结函数 ( P 由于任意一个 边 际 函 数 8 # # )# / 8$ % / ’% ’& $& 也都是在" 区间上均匀分布的随机变 86 % / %# ’$ 6& 量# 因此可以将 这 6 个 边 际 函 数 代 入 式 % # 得到 ’& 下面的表达式 !
点采用 Q 结果表明 $ / 0 2 1联结函数建立起两个站点的年最大洪水联合分布函数 < Q / 0 2 1联结函 数 能 够 比 较 好 的 P P 模拟这两个站点的年最大洪水联合分布概率 < 由于 Q / 0 2 1联 结 函 数 可 以 采 用 各 种 各 样 的 边 际 函 数 来 推 求 联 合 P 分布函数 $ 具有灵活性和应用范围广等特点 $ 因此在多变量水文频率分析中具有广泛的应用前景 <
$!Q / 0 2 1联结函数的构造方法与类型 P
比较常 Q / 0 2 1 联结函 数 的 构 造 方 法 比 较 多 # P 见的类型有三种 ! 椭圆型 ( 阿基米德型 ( 二次型 < 椭圆型的 Q / 0 2 1 联结函数具有一些和多 元正 P 态分布相同的 属 性 < 典型的椭圆型 Q / 0 2 1联 结 函 P
收稿日期 # $ % % @ A ’ ’ A ! % 作者简介 # 熊立华 ! " $ 男$ 汉族 $ 湖北荆门人 $ 博士 $ 副教授 $ 博士生导师 $ 从事水文学及水资源方向的研究 < ’ B C $ A 基金项目 # 国家自然科学基金 ! " $ 国家重大基础研究前期研究专项! 和湖北省青年杰出人才 & % @ % B % % " $ % % ! Q Q G % % $ % %" 万方数据 基金项目 ! " 资助 < $ % % ! G D D % ’ #
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关键词 # 联结函数 & 水文频率分析 & 多变量联合分布 & 年最大洪水 中图分类号 # \;’ $ $!!! 文献标识码 # G
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