15.2 乘法公式教案1

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八年级数学上册乘法公式教案

15.2 乘法公式【学习目标】1.理解平方差公式和完全平方公式及其应用.2.能用几何拼图的方式验证乘法公式.3.熟练掌握添括号法则.课时安排：共4课时第一课时15.2．1 平方差公式【学习目标】1、会推导平方差公式.2、理解平方差公式的结构特征.3、能灵活运用公式进行运算.[学习过程]一、板书课题，揭示目标同学们，今天我们来学习15.2.1平方差公式（板书课题），本节课的学习目标是：二、指导自学为了使大家能顺利地达到学习目标，请大家按照自学指导认真看书自学。

自学指导认真看课本P151—P153练习前的内容.注意：①通过解答“探究”和“思考”中的问题，理解平方差公式的推导过程 .②例1、例2的解题格式和步骤，并思考是如何运用这个公式的.6分钟后，比谁能正确地做出与例题类似的检测题.三、学生自学，教师巡视1、学生看书，教师巡视，督促每个学生认真、紧张地自学。

2、学生练习：a. 出示检测题：P153练习： 2.（让2位学生板演.）b.教师巡视，收集错误，进行第二次备课.四、更正、讨论、归纳、总结1、自由更正请同学们认真看堂上板演的内容，如果有错误或不同解法的请上来更正或补充。

2、讨论、归纳（1）（2）一起评，看第（1）、（2）题: 第一步对不对？为什么？引导学生回答：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.数学表达式是什么呢？引导学生回答： (a+b)( a-b) =a²-b².第2步对不对？（估计问题不大）看第3、4题：对不对？为什么？引导学生回答：相同的平方减去相反项的平方.总结：要符合什么样的结构特征，才能用平方差公式呢？五、课堂作业必做题：P156 1选做题：P157 3 (1)、(2)六、教后记第二课时15.2.2 完全平方公式（1）【学习目标】1、会完全平方公式的推导并能当堂识记.2、会正确运用完全平方公式进行计算.[学习过程]一、板书课题，揭示目标同学们，今天我们来学习15.2.2 完全平方公式（板书课题），本节课的学习目标是（出示目标）.二、指导自学为了使大家顺利达到学习目标，请大家按照自学指导认真看书自学。

《乘法公式》教案

探究(a+b)2的几何意义
问题2：请计算下列多项式的积：
(1)(x+1)(x—1) =；
(2)(m+2)(m—2)=；
(3)(2x+1)( 2x—1) =.
(全部结果正确后)追问1:你们的计算结果有什么规律吗？
追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？
学生总结：(1)计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项
(3)第三天这(a+b)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们块糖；
(4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理解(a+b)2与a2+b2的关系.可激发
学生学习的欲望，体现循序渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课题.
是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.
活动三
例题分析、指导应用、巩固理解
例1运用平方差公式计算：
(1)(a+3)(a—3)
(2)(2a+3b)(2a—3b)
(3)( 1+2c)( 1—2c)
(4)(—2x—y)( 2x—y)
分析：
(1)在(1)中，可以把3看成b,即:
2 2
(a+3)(a—3)=a—3
乘法公式》教案
教学目标
1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；
2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；

乘法公式教学设计教案

乘法公式（1）------两数和乘以这两数的差
（一）教学目标
1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。

3．认识平方差及其几何背景。

4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。

（二）教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

（三）教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义。

（四）教学过程：
（五）、错解：
（1）（2a+1）(2a-1)=2 a2-1,原因是“积的乘方”运算错误。

（2）（3a+1）(3a-1)=6a2-1，原因是“数的乘方”运算错误。

（3）（2a+1）(-2a-1)=4a2-1，原因是没有掌握平方差公式的特征。

（4）（-2a+1）(-2a-1)= - 4a2-1，原因是常见的符号错误。

（5）-（2a+1）(2a-1)= - 4a2-1，原因也是常见的符号错误。

策略：针对上述错误，进行题组训练，教师精讲学生多练，还可以每天五分钟小测验提高解题速度和准确率。

人教新课标八年级数学上册15.2乘法公式教案

第二单元乘法公式一、教法建议抛砖引玉本单元学习乘法公式，它是在学习整式乘法的基础上进行的，所以在教学中可先安排如下一些题目让学生计算：(a+b)(a-b),(x-y)(x+y),(a+b)2,(a-b)2,(x+y)(x2-xy+y2),….在学生计算的基础上，引导学生导出公式，并进一步揭示这些公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式的特征，要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式特征.尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可发现它的特征不变，仍符合公式特征.根据公式，仍然可直接写出结果.在对比中学，在对比中用，在对比中进行再比较，从基本类型的题目到变化多端的，从单一的题型到复杂的.从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能把公式应用自如.指点迷津从多项式的乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的典范.对它的学习与研究，丰富了学生知识，又开阔了视野.乘法公式应用广泛，涉及数学各个分支，是学习的重点.为了更好地学习它，应用它，在学习中，必须认真进行观察，分析，反复与例题进行对比.掌握每一个公式的结构特征，理解每一个公式的意义，认清公式中的字母可以表示任意的一个代数式（数，字母或单项式，多项式）.在应用公式时，首先观察是否符合使用公式的条件，这是应用公式的关键.重要的是确定“两数”，只有确定两数，然后再看符合哪个公式特征，才能确定使用哪个公式.总之在学习乘法公式中，掌握公式特征，把握关键，抓住“两数”，辨别符号，决定公式，一举获胜.二、学海导航思维基础五个乘法公式是本章也是本单元的核心，重中之重，只有熟练地掌握它，才能学好本单元知识. 1.平方差公式：(a+b)(a-b)= ,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于 .2.完全平方公式：(a+b)2= ,(a-b)2= ,这就是说，两数和（或）差的平方等于两个数的平方之和，加上（或） .请你分别用面积图表示，并用字母及符号标出：3.(a+b+c)2=4.立方和与立方差公式：(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2-ab+b2)=这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于 . 学法指要【例1】计算：1.(3x+2y)(3x-2y)2.( -5a-3b)(5a-3b)3.(-a2-b3)(b3-a2)4.32322323 23233232x y x y y x y x 骣骣骣骣鼢鼢珑珑+--+-鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑桫桫桫桫思考：1.(a+b)(a-b)= ;2.-x-y=-( );3.3x-4y+5z=3x-( ).思路分析：本例必须抓住平方差公式的特征，紧扣公式特征找出“a”，“b”两数.如1.“a”为“3x”,“b”为“2y”;2.“a”为“5a”,“b”为“3b”,……，由此应用平方差公式，直接写出结果. 解：1.原式=(3x)2-(2y)2=9x2-4y22.原式=-(5a+3b)(5a-3b)=-=-(25a2-9b2)=9b2-25a23.原式=-(b3+a2)(b3-a2)=-=-(b6-a4)=a4-b64.原式轾轾骣骣骣骣犏犏鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑犏犏鼢鼢珑珑桫桫桫桫犏犏臌臌2222 3223=x-y-y-x 2332骣骣鼢珑鼢珑鼢珑桫桫22222222229449=x -y -y -x 49949449=x -y -y +x 499498=x -y 29【例2】计算：1.(4a-1)22.(-2x+3y)23.(-3x-y)24.(2x+5)2-(2x-5)2思考：1.(a+b)2= ;2.(a-b)2= ;3.(-2x+3y)2=(3y- )2;4.(-a-b)2=( )2;5.你会用文字叙述完全平方公式吗？思路分析：根据完全平方公式的特征，找出上式中的1～4的两数“a ”与“b ”，再根据符号来确定用第1个公式或第2个公式，根据公式即可写出结果.如(-2x+3y)2可看成“-2x ”与“3y ”两数，也可看成(3y-2x)2中的“3y ”与“2x ”两数，这样便可选用两种不同公式，但结果一致，殊途同归.解：1.(4a-1)2=(4a)2-2·4a ·1+12=16a2-8a+12.(-2x+3y)2=(-2x)2+2·(-2x)·3y+(3y)2=4x2-12xy+9y2亦可这样求解：(-2x+3y)2=(3y-2x)2=(3y)2-2·3y ·2x+(2x)2=9y2-12xy+4x23.(-3x-y)2=(-3x)2-2·(-3x)·y+y2=9x2+6xy+y2亦可这样求解：(-3x-y)2=2=(3x+y)2=(3x)2+2·3x ·y+y2=9x2+6xy+y24.(2x+5)2-(2x-5)2=-=4x2+20x+25-4x2+20x-25=40x亦可利用平方差公式解之：(2x+5)2-(2x-5)2==(2x+5+2x-5)(2x+5-2x+5)=4x ·10=40x第二种解法逆用了平方差公式，运算简单些.对公式的逆向应用，有一定难度，在这方面要加强训练，以提高逆向思维能力.【例3】计算：1.1999×20012.31143215 3.1022思考：1.(a-b)(a+b)= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ;4.1999=2000-;2001=1+ .思路分析：这是三道数字计算题，直接计算，很麻烦，略加变形，便可转化为符合平方差公式或完全平方式形式，既简捷又新颖.解：1.1999×2001=(2000-1)(2000+1)=20002-12=4000000-1=39999993.1022=(100+2)2=1002+2·100·2+22=10000+400+4=10404或1022=1022-22+22=(102+2)(102-2)+4=104×100+4=10404【例4】计算：1.(a-5)(a2+5a+25)2.(2x+3)(4x2-6x+9)3.(-a-b)(a2-ab+b2)4.(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)思考：1.(a+b)(a2-ab+b2)= ;2.(a-b)(a2+ab+b2) = ;3.用文字语言叙述立方和及立方差公式你会吗？思路分析：立方和及立方差公式的特征必须了如指掌.将习题与公式特征相对比，可发现1～4题都符合立方和与立方差公式的特征，应用公式可旗开得胜.解：1.原式=(a-5)(a2+a ·5+52)=a3-1252.原式=(2x+3)=(2x)3+33=8x3+273.原式=-(a+b)(a2-ab+b2)=-(a3+b3)=-a3-b34.原式==(x3+y3)(x3-y3)=(x3)2-(y3)2=x6-y6或原式=(x-y)(x+y)=(x2-y2)=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)=(x2)3-(y2)3=x6-y6思维体操【例1】已知a+b=3,ab=-4，求1.a2+b2;2.a3+b3,3.a4+b4思考：1.已知a+b=3,ab=-4，根据现有知识你能求出a,b的值吗？ 2.a、b的值无法求出，你又如何将以上1～3的问题转化为“a+b”与“ab”的形式？ 3.你能知道完全平方公式有何特点？借助完全平方公式是否可将上述问题转化？思路分析：由a2+b2这一特征，使我们联想完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”由此变形为“a2+b2=(a+b)2-2ab”，显然可将1解决，由此进行探索，便可打开思路.解：1.a2+b2=a2+2ab+b2-2ab=(a+b)2-2ab∵ a+b=3,ab=-4∴ a2+b2=32-2·(-4)=172.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=(a+b)=(a+b)3-3ab(a+b)∵ a+b=3,ab=-4∴ a3+b3=33-3·3·(-4)3.a4+b4=a4+2a2b2+b4-2a2b2=(a2+b2)2-2(ab)2=2-2(ab)2=2-2(ab)2∵ a+b=3,ab=-4∴ a4+b4=2-2·(-4)2=(9+8)2-2×16=289-32=257由上可知，在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，向已知转化，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.【例2】计算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)思考：1.本例可利用平方差公式计算吗？ 2.-2x-3y+5=2-3y-( );3.2x-3y-1=2-3y+( );4.通过2，3两个步骤的变形是否符合平方差公式的特征？可直接利用平方差公式写出结果吗？思路分析：从本例的结构特征与平方差公式特征有相近之处，但直接应用公式又行不通，这时必须创造条件，如：5=2+3，-1=2-3这样重新组合，改变原来面貌，向公式靠拢，便出现了符合平方差公式的特征，从而利用公式写出运算结果.解：原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)==(2-3y)2-(2x-3)2=(4-12y+9y2)-(4x2-12x+9)=4-12y+9y2-4x2+12x-9=9y2-4x2-12y+12x-5【例3】已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求征：a=b=c.思考：1.(a+b+c)2= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ; 4.(a+b+c)2可转化为2吗？思路分析：从试题的结构形式来看，它与完全平方公式有着千丝万缕联系.必须确定应用完全平方公式作为“侦察兵”，摸清“线索”，便可胸有成竹.现探索如下.证明：∵ 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2∴ 3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0∴ (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0∴ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0由非负数的性质可知：(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0∴ a-b=0,b-c=0,c-a=0∴ a=b,b=c,c=a∴ a=b=c又证：欲证a=b=c即证：a=b,b=c,c=ab=0,b-c=0,c-a=0(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=02a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=03a2+3b2+3c2-2ab-2bc-2ca=a2+b2+c23a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca3·(a2+b2+c2)=(a+b+c)2以上每步可逆.(证毕)三、智能显示心中有数乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式及其相乘的结果写成公式形式并加以应用的.为此，必须理解五个乘法公式，并掌握这五个公式的结构特征，才能因题而异，更好地应用，灵活并简捷地计算某些数的积，快速选取公式，提高运算能力，提高数学素养.动脑动手计算：1.(a+b)2+(a-b)2+(-2a-b)(2a-b)2.5(m-n)(m+n)-2(m+n)2-3(m-n)23.(x-y)+(x+y)4.2222214121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-aaa5.先化简，再求值：()()148814882323-+-+++x x x x x x ,其中21=x创新园地 1.试确定数3·(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1的末位数字.2.已知a-b=4,b-c=6.求a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值.3.计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-41214121212122x x x x x x 4.若a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值.5.已知3,321,121+=+=+=m c m b m a ，求bc c ac b ab a 222222-+-++的值.四、同步题库填空题1.(8x2-5y3)(8x2+5y3)= .2.(a-b)(-a+b)(a+b)(-a-b)= .3.22619⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ab = . 4.(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= . 5.⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-22252541521y xy x y x = . 6.x2+x+ =(x+ )27.边长为a 厘米的正方形，若边长增加5厘米，则它的面积增加了 .8.若一三角形的底为2142+a ，高为4121624+-a a ，则此三角形的面积为 . 9.19992-2000×1998= .10.若x2+8x+18-2k 是完全平方式，则k= .选择题11.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 .（A ）(x-y)(y-x) （B ）(2ab-3d)( 2ab-3c)（C ）(a+bx)(bx-a) （D ）(mx+ny)(nx-my)12.下列运算中，正确的是 .（A ）(x-y)(-x+y)=x2-y2 （B ）(-x+y)(-x-y)=-x2-y2（C ）(2x+y)(2x-y)=2x2-y2 （D ）(-2x-y)(y-2x)=4x2-y213.要使代数式4a2-12a 成为一个完全平方式，则应加上 .（A ）3 （B ）9 （C ）225 （D ）3614.要使(a-b)2变成为(a+b)2，需加上 .（A ）2ab （B ）3ab （C ）4ab （D ）015.已知x+y=1,-x2+xy-y2=1，则x3+y3= .（A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）016.下列代数式结果为a2+ab+b2的式子为 .（A ）(a+b)2 （B ）(a-b)2 （C ）(a+b)2-ab （D ）(a-b)2+2ab17.已知x+y=3,x ·y=2,则x2+y2等于 .（A ）5 （B ）6 （C ）13（D ）25 18.已知a-b=m,ab=n,则(a+b)2等于 .（A ）m2-n （B ）m2+n （C ）m2+4n（D ）m2-4n 19.a4+a2b2+b4+M=(a2-b2)2，则M 为 .（A ）-3a2b2 （B ）-2a2b2 （C ）-a2b2（D ）a2b2 20.当x 取任意实数时，代数式x2-2x+2的值为 .（A ）大于0 （B ）小于0 （C ）等于0（D ）不能确定计算题21.0.98×1.0222.501223.(xn+2)(xn-2)24.(3x+2)2(3x-2)225.(2x-y)2226．3333130719936861993++27.(x+y)2(x-y)2(x4+x2y2+y4)2 28.⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+22222101191141131121129.(3a-2b)2-(3a+2b)230.(x-2y+1)(x+2y-1)-(x+2y)(x-2y)解答题31.已知31=+x x ,求44221,1x x x x ++的值.32.已知x+y=3,x3+y3=9.求xy,(x+y)2(x-y)2的值.33.若a+b=1，求a3+b3+3ab 的值.34.证明四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.35.代数式2x2+3y2-8x+6y+1的最小值是多少？此时x，y各是什么数？36.已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，求n.37.x(x2+x)-(x-1)(x+3)-(x+1)(x2-x+1),其中x=-2(先化简,再求值)38.(x2-4x+16)(x+4)-x(x2-4x)=4(x+1)2(解方程)39.两个正方形的边长之和为36厘米，面积之差为72平方厘米，求这两个正方形的边长.40.已知a=-2000,b=1999,c=-1998.求a2+b2+c2+ab+bc-ac的值.参考答案动脑动手1.原式=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2-(2a+b)(2a-b)=2a2+2b2-(4a2-b2)=2a2+2b2-4a2+b2=3b2-2a22.原式=5(m2-n2)-2(m2+2mn+n2)-3(m2-2mn+n2)=5m2-5n2-2m2-4mn-2n2-3m2+6mn-3n2=-10n2+2mn3.原式=(x-y)(x2+2xy+y2-xy)+(x+y)(x2-2xy+y2+xy)=(x-y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2)=x3-y3+x3+y3=2x34.原式2222412121⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=aaa2561811614141414141212148242222222222+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-=aaaaaaaaaa5.原式==(8x3+4x)2-(8x2+1)2=(64x6+64x4+16x2)-(64x4+16x2+1)=64x6+64x4+16x2-64x4-16x2-1=64x6-1 当21=x 时上原式121646-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯= 0164164=-⨯=创新园地1.∵ 1=2-1,3=2+1.∴ 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1=…=(264-1)+1=264∵ 21,22,23,24,25,26,27,28的末位数是2,4,8,6,2,4,8,6,由此发现,2,4,8,6四个数以4为周期重复出现，而64÷4=16∴ 264的末位数字为6. 2.)222222(21222222ca bc ab c b a ca bc ab c b a ---++=---++ ()()()[]22221a c c b b a -+-+-=∵ a-b=4,b-c=6a-c=(a-b)+(b-c)=4+6=10∴ c-a=-10代入上式，得 ()[]222222106421-++=---++ca bc ab c b a 7615221)1003616(21=⨯=++=又解：()()()222222222222c bc b c ac a b ab a c b c a b a +-++-++-=-+-+- ac bc ab c b a 222222222---++=∴ ()()()[]()ac bc ab c b a c b c a b a 2222222121222222---++=-+-+- ∴ ()()()[]22222221c a c b b a ac bc ab c b a -+-+-=---++ ∵ a-b=4,b-c=6∴ a-c=a-b+b-c=10∴ ()222222106421++=---++ca bc ab c b a 7615221)1003616(21=⨯=++=3.原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=41212141212122x x x x x x 6418181633-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x 又解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x 2141214141222 ()641411614141411612141214141633224222422222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x x x x x 4.原式=ab+ac+bc+ab+ac+bc=2ab+2bc+2ac∵ a+b+c=0,a2+b2+c2=1∴ (a+b+c)2=0∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0∴ 2ab+2ac+2bc=-(a2+b2+c2)=-1即a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=-1又解：a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=ab+ac+bc+ab+ac+bc=2ab+2bc+2ca+a2+b2+c2-1(由于a2+b2+c2=1) =(a+b+c)2-1 (由于a+b+c=0) =-15.原式ac bc ab c b a 222222--+++=()113321121)3(3211212222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=m m m m m m c b a又解：()[]22)(c b a c b a -+=-+()bcc ac b ab a c c b a b a 222)(222222-+-++=++-+= ∵ )3(321121+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+m m m c b a 13321121=--+++=m m m∴ (a+b-c)2=12=1∴ a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc=1同步题库填空题 1.64x4-25y6 2.a4-2a2b2+b4 3.361381242+-ab b a 4.x6-1 5.3312581y x - 6.21,41 7.(10a+25)cm2 8.⎪⎭⎫⎝⎛+161326a 平方单位 9.1 10.1选择题11.C 12.D 13.B 14.C 15.B 16.C 17.A 18.C 19.A 20.A 计算题21.0.98×1.02解：0.98×1.02=(1-0.02)(1+0.02)=1-0.0004=0.999622.5012解：5012=(500+1)2=250000+1000+1=25100123.(xn+2)(xn-2)解：(xn+2)(xn-2)=x2n-424.(3x+2)2(3x-2)2解：(3x+2)2(3x-2)2=2=2=(9x2-4)2=81x4-72x2+1625.(2x-y)2·2解：原式=2=(8x3-y3)2=64x6-16x3y3+y6 26.3333130719936861993++ 解：设a=1993,b=686，则a-b=1993-686=1307∴ 原式3333)(b a a b a -++= ()()()11008936861993268619932)2()(])()()][([)(22222222=-⨯+=-+=+--+-+=-+---++-+=b a b a b ab a b a b ab a b a b a b a a a b a a b ab a b a27.2422422)()()(y y x x y x y x ++-+解：242242422422)])()([()()()(y y x x y x y x y y x x y x y x ++-+=++-+12661226624224222)()])([(y y x x y x y y x x y x +-=-=++-= 28.⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-222221011911411311211 解：原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10111011911911311311211211 2011101110991098454334322321=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=29.22)23()23(b a b a +--解法一：原式)]23()23)][(23()23[(b a b a b a b a +--++-=abb a b a b a b a b a 24)4(6)2323)(2323(-=-=---++-=解法二：原式)4129()4129(2222b ab a b ab a ++-+-=abb ab a b ab a 24412941292222-=---+-= 30.)2)(2()12)(12(y x y x y x y x -+--++-解：原式)2)(2()]12()][12([y x y x y x y x -+--+--=144144)4()12(22222222-=+--+-=----=y y x y y x y x y x解答题31.解：（1）211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ∵ 31=+xx ∴ 7232112222=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x （2）21122244-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x ∵ 7122=+x x∴ 4727211222244=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x 32.解逆向运用两数立方和公式 xy y x xy y x xy y x y x y xy x y x y x 939)(3)(]3))[(())((3322233-=+-+=-++=+-+=+∴ xy=2∴ (x-y)2=(x+y)2-4xy=32-4×2=1∴ (x+y)2(x-y)2=32·1=933.解：a3+b3+3ab=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab=a2-ab+b2+3ab=(a+b)2∵ a+b=1∴ a3+b3+3ab=(a+b)2=134.证明：设这四个连续整数分别是：a 、a+1、a+2、a+3根据题意，得2222222)13(1)3(2)3(1)23)(3(1)]2)(1)][(3([1)3)(2)(1(++=++++=++++=++++=++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a∵ a 为整数 ∴ a2+3a+1也是整数.∴ 连续四个整数的积与1的和是一个整数的平方.35.解：10)12(3)44(2168322222-++++-=++-+y y x x y x y x 10)1(3)2(222-++-=y x ∵ 2(x-2)2≥0;3(y+1)2≥0∴ 当x=2且y=-1时原式可取得最小值，最小值为-10.36.解：∵ 47+4n+41998是一个完全平方数即：(27)2+2·27·22n-8+ (21998)2是一个完全平方数.∴ 22n-8=21998∴ 2n-8=1998∴ n=100337.解：)1)(1()3)(1()(22+-+-+--+x x x x x x x x221333223+-=--++--+=x x x x x x x ∵ x=-2时∴原式=-2x+2=-2·(-2)+2=638.解：222)1(4)4()4)(164(+=--++-x x x x x x x 215608484464)12(4464222233==++=+++=+-+x x x x x x x x x x39.解：设大正方形边长为x小正方形边长为36-x ，则.173619236272)362(3672)36)(36(72)36(22=-==-=-=+--+=--x x x x x x x x x x ∴ 大正方形边长为19，小正方形边长为17.40.ac bc ab c b a -++++222 解：原式)222222(21222ac bc ab c b a -++++= ])()()[(21)222(21222222222a c c b b a a ac c c bc b b ab a -++++=+-++++++=当a=-2000,b=1999,c=-1998∴ ])()()[(21222a c c b b a -++++ 3)411(21])20001998()19981999()19992000[(21222=++=+-+-++-=。

人教版-数学-八年级上册-15.2乘法公式完全平方式课时2 教案 -

人教版八年级第十五章整式的乘法与因式分解第二节因式分解完全平方公式（1）教学目标：1、知识与技能：探索完全平方公式，理解并会灵活应用。

2、过程与方法：由某些特殊形式的多项式相乘出发，按照多项式乘以多项式的法则运算，观察结果，并总结规律得出完全平方公式，从而会灵活应用。

3、情感态度与价值观：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，并且让学生了解到很多事物都是有规律的，我们要善于观察，善于发现，善于总结。

教学重点：完全平方公式的灵活运用。

教学难点：完全平方公式的探索及其应用。

教学过程：一、探索发现;1、探索：计算下列各式，你能发现什么规律？（1）=++=+)1)(1()1(2p p p 121222++=+++p p p p p ；（2）=+2)2(m 4442222++=+++=m m m m m ；（3）=--=-)1)(1()1(2p p p 121222+-=+--p p p p p ；（4）=-2)2(m 44222222+-=+--m m m m m ；（5）=+2)(b a 22222))((b ab a b ab ab a b a b a ++=+++=++；（6）=-2)(b a 22222))((b ab a b ab ab a b a b a +-=+--=--。

由上面各式的结果发现：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

2、归纳：一般地，2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-，把这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

它表示：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。

注：完全平方公式也可以这样理解：一个二项式的平方，等于每一项的平方和加上两项乘积的2倍。

二、应用：例1、运用完全平方公式计算：（1）2)4(n m +；（2）2)21(-y ；(3)2)5(y x +-；(4)2)2(n m --。

乘法公式教案

1．教学设计学科名称乘法公式（人教版八年级数学上册第15章）2．所在班级情况，学生特点分析学情分析：学生已有七年级上册所学习数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，通过类比他们会产生“式是否也有相应的运算，如果有的话该怎样进行”等问题.为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，让学生经历“特例→归纳→猜想→符号表示”的知识发生过程，并有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

3．教学内容分析本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，为今后的学习打下坚实的基础.4．教学目标⑴．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。

⑵．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单计算。

⑶．认识平方差及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。

⑷．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。

⑸．培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。

5．教学重、难点分析教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。

教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

6．教学课时：1课时7．教学过程一、创设问题情境，引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15cm），并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。

师：在一块45cm的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15cm的正方形（如图），请问剩下部分的面积有多少平方厘米？师：计算剩下部分的面积可以有哪些方法？小组讨论：1．可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2．可以把剩下的部分切割成几个矩形来计算。

师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。

八年级数学上：15.2 乘法公式教案新人教版

乘法公式（第1课时）——平方差公式一、教学目标1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.2.培养概括能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：运用平方差公式进行计算.2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：(1)(x+3)(x-3)=(2)(m+2)(m-2)=(3)(2x+1)(2x-1)=（二）创设情境，导入新课师：我们知道，整式的乘法有三种，哪三种？单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，哪一种计算起来比较麻烦？生：（齐答）多项式乘多项式.师：为什么多项式乘多项式比较麻烦？（稍停）因为多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项.师：既然多项式乘多项式比较麻烦，我们自然会想到一个问题，什么问题？多项式乘多项式有没有简单一点的方法？或者说，有没有不需要一项一项乘的方法？（稍停）老师要告诉大家，对普通的两个多项式来说，没有简单的乘的方法，你只有老老实实地乘，一项一项地乘，但对某些特殊形式的多项式相乘，倒是有简单的方法，不需要一项一项乘.什么样的多项式相乘不需要一项一项乘？用简单方法又怎么相乘呢？这就是本节课我们要学习的内容.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的板书）(x+3)(x-3)=x2-9(m+2)(m-2)=m2-4(2x+1)(2x-1)=4x2-1师：（指板书的式子）刚才大家做了这三个题目，从这三个题目，你能发现什么规律？（生思考，要给学生充足的思考时间）师：（指板书的式子）如果你发现了其中的规律，那么做这种形式的多项式乘多项式，就不需要一项一项乘了.譬如，（板书：(y+4)(y-4)）不用一项一项乘，你能直接说出(y+4)(y-4)等于什么吗？生：y2-16.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-16）师：（板书：(a+b)(a-b)）又譬如，(a+b)(a-b)等于什么？生：a2-b2.（多让几名同学回答，然后师板书：=a2-b2）师：看来大家是真的发现了规律，那谁又能用自己的话来说一说这个规律？生……（多让几名同学说）师：（指板书的式子）从这些等式我们发现了一个规律，什么规律？（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.（师出示下面的板书）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.师：（指板书）请大家把这个结论读两遍.（生读）师：（指准板书）显然这个结论与这个公式（在(a+b)(a-b)=a2-b2的外面加框）的意思是一样的，只是表达形式不一样，一个文字用表达，一个用式子表达.师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）这个公式还有一个专门的名字，因为公式的右边是两个数的平方差，所以我们把这个公式叫做平方差公式（板书：平方差公式）.师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.师：下面我们就来做几道用平方差公式计算的题目.（师出示例题）例运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x-2y)(-x+2y)；(3)(b+2a)(2a-b)；(4)(x-4)(-x-4).师：（板书：解：(1)(3x+2)(3x-2)，并指准）怎么运用平方差公式计算这个式子呢？（师出示下图）(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a +b)( a-b)= a2 -b2师：（指准上图）我们可以把3x看成a，把2看成b，（指(3x+2)(3x-2)）这样这个式子可以看成是(a+b)(a-b).因为(a+b)(a-b)=a2-b2，所以(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22（板书：=(3x)2-22）.师：（指准式子）(3x)2-22等于什么？（稍停）等于9x2-4（板书：=9x2-4）.师：下面我们来看第(2)小题（板书：(2)(-x-2y)(-x+2y)）.师：（指准(-x-2y)(-x+2y)）用平方差公式，这个式子应该把什么看成a，把什么看成b？（稍停片刻）（师出示下图）(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2( a- b)( a+ b)= a2 - b2师：（指准上图）我们可以把-x看成a，把2y看成b，（指(-x-2y)(-x+2y)）这样这个式子可以看成是(a-b)(a+b).因为(a-b)(a+b)与(a+b)(a-b)相等，所以(a-b)(a+b)也等于a2-b2，所以(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2（板书：=(-x)2-(2y)2）.师：（指准式子）(-x)2-(2y)2等于什么？（稍停）等于x2-4y2（板书：=x2-4y2）.师：下面我们来看第(3)小题（板书：(3)(b+2a)(2a-b)）.师：（指式子）这个式子怎么用平方差公式计算？（让生思考一会儿）师：（指准式子）这个式子好像不好直接用平方差公式，怎么办？（稍停）根据加法交换律，可以交换b与2a的位置，所以这个式子等于(2a+b)(2a-b)（板书：=(2a+b)(2a-b)）. 师：（指准(2a+b)(2a-b)）利用平方差公式，这个式子等于什么？（稍停）等于(2a)2-b2（板书：=(2a)2-b2）.师：结果是4a2-b2（板书：=4a2-b2）.师：下面我们再看第(4)小题（板书：(4)(x-4)(-x-4)）.师：（指式子）第(4)小题也与第(3)小题一样，不能直接用平方差公式，需要交换两项的位置.怎么交换两项的位置使式子成为(a+b)(a-b)的样子呢？大家先自己试一试.（生尝试，师巡视）师：（指准(x-4)(-x-4)）我们把x与-4这两项交换位置，得到-4+x（板书：(-4+x)）,我们又把-x与-4这两项交换位置，得到-4-x（板书：(-4-x)）.根据加法交换律，x-4=-4+x，-x-4=-4-x，所以这两个式子相等（板书：=）.师：（指准(-4+x)(-4-x)）利用平方差公式，这个式子等于(-4)2-x2（板书：=(-4)2-x2），结果为16-x2（板书：=16-x2）.（四）试探练习，回授调节2.用平方差公式计算：(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y)= == =(3) (4x-5)(4x+5) (4) (12-+2m)(12--2m)= == =3.用平方差公式计算：(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m) = == == =(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a)= == == =4.计算：(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)====（4题订正时需要指出，(y+2)(y-2)可以用多项式乘多项式法则计算，也可以用平方差公式计算，因为用公式计算比较简单，所以我们选择用公式计算，而(y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算）（五）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了平方差公式，对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法，我们可以利用平方差公式进行计算.比起用多项式乘多项式的法则进行计算，用平方差公式进行计算有什么好处？生：（齐答）简单.（作业：P156习题1(1)(2)(3)(4),P153练习1.2(4)）四、板书设计乘法公式（第2课时）——完全平方公式一、教学目标1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算.2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：运用完全平方公式进行计算.2.难点：完全平方公式的运用.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的，即(a+b)(a-b)=，这个公式叫做公式.(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)= == =(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)= == == =3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；（）(2)(b+a)(a-b)=a2-b2；（）(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2；（）(4)(b-a)(a+b)=a2-b2；（）(5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （）（二）创设情境，导入新课师：（板书：(a+b)(a-b)=a2-b2，并指准）上节课我们学习了平方差公式，对两个数的和乘以这两个数的差这种形式的式子，利用平方差公式计算，不需要一项一项地乘，比起用多项式乘多项式法则计算，要简单一些.现在，我们要进一步问：除了平方差公式，还有别的多项式乘多项式的公式吗？答案是肯定的.本节课我们就来学习一种新的公式，叫完全平方公式（板书课题：完全平方公式，并擦掉平方差公式）.（三）尝试指导，讲授新课师：什么是完全平方公式？先请大家利用多项式乘多项式的法则计算下面两个式子.4.用多项式乘多项式法则计算：(1) (a+b)2 (2) (a-b)2=(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b)= == =（生计算，师巡视，要给学生充足的计算时间）师：（板书：(a+b)2）利用多项式乘多项式法则计算这个式子，得到的结果是什么？生：a2+2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2+2ab+b2）师：（板书：(a-b)2）这个式子的计算结果又是什么？生：a2-2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2-2ab+b2）师：（指两个等式）这两个等式就是完全平方公式（在两个公式外加框）.师：与平方差公式一样，完全平方公式也可以用语言来说，怎么说呢？（指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.师：下面同学们一起跟着老师说，（指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.（生跟着说，如有必要可以再跟着说一遍）师：（指(a-b)2=a2-2ab+b2）哪位同学来说说这个式子？生：……（多让几名同学说）师：（指准(a-b)2=a2-2ab+b2）两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍. （师出示下面的板书）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍. 师：大家把这个结论读一遍.（生读）师：下面我们就用完全平方公式来计算几道题目.（师出示例题）例运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)2； (2)(y-12)2.师：（板书：解：(1)(4m+n)2，并指准）利用多项式乘多项式法则可以计算(4m+n)2，现在有了完全平方公式，就不需要一项一项乘了，可以运用完全平方公式来计算.怎么计算？（师出示下图）(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2(a +b)2= a2 + 2 a b+b2师：（指准上图）我们可以把4m看成a，把n看成b，因为(a+b)2=a2+2ab+b2，所以(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2（板书：=(4m)2+2·4m·n+n2）.师：（指(4m)2+2·4m·n+n2）这个式子又等于什么？（稍停）等于16m2+8mn+n2（边讲边板书：=16m2+8mn+n2）师：（板书：(2)(y-12)2）下面我们来看第(2)小题.师：完全平方公式有两个，（指(y-12)2）计算这个式子，应该用哪一个公式？生：……师：（指(y-12)2）计算这个式子，（指(a-b)2=a2-2ab+b2）显然应该用这个公式.运用这个公式，(y-12)2等于什么？生：y2-2·y·12+212⎛⎫⎪⎝⎭.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-2·y·12+212⎛⎫⎪⎝⎭）师：（指y2-2·y·12+212⎛⎫⎪⎝⎭）这个式子又等于什么？生：y2-y+14.（师板书：=y2-y+14）（四）试探练习，回授调节5.运用完全平方公式计算：(1) (x+6)2 (2) (y-5)2 = == =(3) (-2x+5)2 (4) (34x-23y)2= == =6.计算：(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)===7.选做题：如图，利用图形你能得到公式(a+b)2=a2+2ab+b2吗？（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了完全平方公式，完全平方公式有两个，（指准公式）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.（作业：P156习题2(1)(2)(3)(4)4）四、板书设计乘法公式（第3课时）——完全平方公式一、教学目标1.知道添括号法则，会添括号.2.会先添括号再运用乘法公式.3.培养学生的运算能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：先添括号再运用乘法公式.2.难点：先添括号再运用乘法公式.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)平方差公式(a+b)(a-b)=；(2)完全平方公式(a+b)2=，(a-b)2=.2.运用公式计算：(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)= == =(3) (12m-3)(12m+3) (4) (13x+6y)2= == =3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a+b)2=a2+b2；（）(2)(a-b)2=a2-b2；（）(3)(a+b)2=(-a-b)2；（）(4)(a-b)2=(b-a)2. （）4.去括号：(1)(a+b)-c=(2)-(a-b)+c=(3)a+(b-c)=(4)a-(b+c)=（二）创设情境，导入新课师：（板书：(x+2y-3)(x-2y+3)，并指准）怎么计算这个式子？（稍停）利用多项式乘多项式的法则，用x+2y-3的每一项去乘x-2y+3的每一项，这样计算当然是可以的.但是，假如老师要求利用平方差公式和完全平方公式来计算，哪又怎么做呢？（让生思考一会儿）师：（指式子）要用平方差公式和完全平方公式计算这个式子，会涉及添括号问题（板书：添括号）.本节课我们先学习怎么添括号，然后再回过头来计算这个式子.（三）尝试指导，讲授新课师：在初一的时候我们学过去括号（板书：去括号），添括号与去括号是相反的问题，一个是加上括号，一个是去掉括号.师：譬如，a+(b+c)=a+b+c（边讲边板书：a+(b+c)=a+b+c）这是去括号；反过来a+b+c=a+(b+c)（边讲边板书：a+b+c=a+(b+c)）这是添括号.师：又譬如，a-(b+c)=a-b-c（边讲边板书：a-(b+c)=a-b-c）这是去括号；反过来a-b-c=a-(b+c)（边讲边板书：a-b-c=a-(b+c)）这是添括号.师：那么，怎么添括号呢？添括号的方法与去括号的方法是一样的.师：我们知道怎么去括号，（指准去括号式子）怎么去括号？如果括号前面是正号，去括号后括号内各项都不变符号；如果括号前面是负号，去括号后括号内各项都改变符号. 师：添括号也是这样的，（指准添括号式子）如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.（四）试探练习，回授调节5.填空：(1)a+b+c=( )+c；(2)a-b+c=( )+c；(3)-a+b-c=-( )-c；(4)-a-b+c=-( )+c；(5)a+b-c=a+( )；(6)a-b+c=a-( )；(7)a-b-c=a-( )；(8)a+b+c=a-( ).（订正时，让生用去括号检查添括号是否正确）（五）尝试指导，讲授新课师：知道了怎么添括号，（指(x+2y-3)(x-2y+3)）现在我们回过头来看这道题.（在(x+2y-3)(x-2y+3)前板书：例1 运用乘法公式计算）师：（指准例1）运用乘法公式计算，这里所说的乘法公式就是平方差公式和完全平方公式.怎么用乘法公式计算这个式子呢？（以下师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）师：下面我们再来看一道例题.（师出示例2）例2 运用乘法公式计算(a+b+c)2.（先让生尝试，然后师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）（六）试探练习，回授调节6.运用乘法公式计算：(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)= == == == =（七）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了用公式计算的一种技巧.（指准例1）这个式子，初一看好像不能用公式计算，但是，如果能对式子进行适当的变形，就可以用公式计算了.在这个题目中，我们是怎么对式子进行变形的？我们通过添括号使式子成为(a+b)(a-b)的样子，这样就可以用公式计算了.例2的道理也是一样.（作业：P156习题3）四、板书设计。

冀教版-数学-八年级上册- 15.2二次根式的乘除运算教案

15.2二次根式的乘除运算1.学习目标：了解二次根式的乘除运算，会进行二次根式的乘除运算2.学习重点：掌握二次根式的乘除运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘除运算。

3.学习难点：经历知识产生的过程，探索二次根式的乘除运算。

学习过程：一、情境导入二、自主探究1、知识回顾二次根式的性质1、积的算术平方根等于，即：2、商的算术平方根等于即： 2、探究新知一般情况下，a ≥0，b ≥0时，b a ⨯与ab 有什么关系？二次根式乘法公式：三、例题讲解（套用所学公式，每一步都要有公式可循，步骤要详细）1326)3(316)2(36)1(1⨯⨯-⨯ 、　例　拓展练习少？，那么长方形的宽是多长是、长方形的面积是多少？，这个长方形的面积是，宽为、一个长方形的长为cm cm cm cm 3,622312)0,0(≥≥•=•b a b a b a ）0＞b ， 0≥ （)(a b a b a ba b a ÷=÷=⎩⎨⎧、、条21件最简简二次根式满足的326)1(⨯⨯ 2465)2(⨯总结分析：（1）)0,,(≥••=••c b a c b a c b a （2）ab mn b n a m =⨯ 类比二次根式乘法公式的形成过程：二次根式除法运算公式）反过来，就可以得到（我们把0,0b ＞a b a b a ≥=例2、（套用所学公式，每一步都要有公式可循，步骤要详细）856735854)2(36)1(÷÷）（分母有理化：在二次根式的运算中，一般要求最后结果的分母中不含根式。

将下列式子分母有理化(1) 21 81)3( 四、巩固练习计算下列各式，将所得的结果化简63)1(⨯ 108)2(⨯ 8132)3(÷55)2(。

八年级数学上学期《152 乘法公式》学案

八年级数学上学期《152 乘法公式》学案15、2 乘法公式课题：添括号法则学习重点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用、学习难点：在多项式与多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的、学习过程：一、基本训练，巩固旧知：1、回顾平方差公式和完全平方公式：(a+b)(a-b)= ;(a+b)2= ; (a-b)2= 、2、计算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2、探究添括号法则:1、去括号：a+(b+c)= ; a+(b-c)= ; a-(b+c)= ; a-(b-c)= ;2、添括号：a+b+c=a+( ); a+b-c=a+( ); a-b-c=a-( ); a-b+c=a-( );3、归纳添括号法则：添括号时，如果括号前面是，括到括号里的各项；如果括号前面是，括到括号里的各项。

三、应用提高例１判断下列运算是否正确、（1）2a-b-=2a）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（3）2y-3y+2=-(2y+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）例２、运用法则：填空题（1）x+y-z=x+（）（2）x-y+z=x-（）（3）x-y-z=x-（）（4）x+y+z=x-（）例３、运用乘法公式计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）归纳公式：＝（3）（4）（5）（6）4、当堂训练：1、运用乘法公式计算：（1）（2）（３）（４）2、计算（１）(2)3、拓展训练：（1）计算：（a+b)2(a2-2ab+b2）（2）如果，求的值。

（3）若a2+b2+2a-6b+10=0，试求ab的值、五、总结反思：1、添括号法则；2、添括号后运用平方差公式或完全平方公式计算两多项式的乘积的方法。

六、作业：P156 T3 T7 T9。

乘法公式教学设计

平方差公式教学设计一本课数学内容的地位、作用分析本节课的内容是人教版八年级上册第15章第2节乘法公式的第一课时，是学生已经学过一般形式的多项式的乘法后，自然过渡到具有特殊特征的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知过程的范例，对它的学习和研究，既为符合公式特征的整式乘法运算带来简便，又为后面学习因式分解与二次根式中的分母有理化奠定基础。

同时，平方差公式在“正与逆”两方面的灵活运用有助于学生数学解题技能的提高和发展学生数学思维。

因此，平方差公式在初中阶段的教学中有重要地位。

所以，我将教学重点定为：平方差公式的推导和应用。

二教学问题诊断分析学生已熟练掌握了幂的运算和一般的整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会出现符号错误及漏项等问题；另外，数学公式中字母具有高度概括性、广泛应用性，鉴于八年级学生的认知水平，学生对于字母的广泛意义不易掌握，在运用平方差公式时经常发生多种错误。

因此，我把教学难点定为：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．三教法、学法分析在教学设计时，精心设计问题情境，引导学生自主学习、主动探索、积极参与、大胆猜想、合作交流、自主总结。

四教学目标分析1.知识与技能目标通过本节课的教学,理解平方差公式及其结构特征,会利用平方差公式进行简便运算。

2.过程与方法目标经历平方差公式产生的探究过程，培养观察、猜想、归纳、概括、推理的能力和符号感，感受利用转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题的策略.3.情感态度目标让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。

五教学过程设计【活动一】：创设情境，引入新知问题：你想做“运算小达人”吗？你能快速的计算出下列各式的结果吗？（不能使用计算器）(1)1001×999 （2）492-482学生尝试解决。

师：老师很快就能算出结果，你想知道我是怎么算出的吗?这节我们就来共同探讨这一问题。

公开课教案集《乘法公式》精品教学设计(1)

本课在整个单元中，属于比较重要的环节。

除了起到承接上个课时、转接下课时的作用之外，还有一些重点的计算知识和转化相应的课时。

本单元在学科核心素养中，具体体现出非常重要的一环，就是在高效课堂的设计和转化过程中，注意学生主体意识的培养和学生学习兴趣的提高。

学习兴趣之于学生，是非常重要而且更加有意义的教学活动。

对于不同层次的学生来讲，环节上的应用更加大了不同学生之间互相弥合的意义。

3.4乘法公式教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，会通过图形的拼接得到平方差公式，用代数方法验证平方差公式，并会运用所学的知识，进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，通过观察，归纳出利用平方差公式的条件，解决数字运算问题的方法，培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能．教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆，我以动手操作为线索，让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识，让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主，为学生创造一个良好的学习情境，指导学生深刻思考，细心观察，在解题时，一切从习题特点出发，根据习题特点寻找最佳解题方法，具体在运用公式计算时，要认清结构，找准a、b．课前准备：多媒体课件，一张正方形纸板，剪刀．教学过程:一、剪一剪，拼一拼（1）将边长为a的大正方形一角剪去一个边长为b的小正方形，得到的新图形面积为_______________________________（2）将新图形剪一刀拼成一个熟悉的几何图形，你有几种方案？请小组合作画出图形草图，写出面积（保留乘积形式）（3）由此我们可以得到的乘法公式为______________________________________ 设计意图：通过面积不变性，直观的得到乘法公式，锻炼学生动手能力，顺利引入新课。

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15.2.1 平方差公式
教学任务分析
教学过程设计
一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；
（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．
再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．
得出平方差公式
（a+b）（a－b）= a2－b2．
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．
活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
图1 图2
学生活动设计
学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为
（a2－b2）．
在图2中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积为
（a+b）（a－b）．
这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）= a2－b2．
教师活动设计
引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式．
在本活动中教师主要关注：
（1）学生能否自己主动参与探索过程；
（2）学生在交流中所投入的情感和态度．
例题计算：
（1）（3x＋2）（3 x－2）；（2）（b+2a）（2a－b）；
（3）（－x+2y）（－x－2y）．
学生活动设计
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳．
学生板演，然后进行分析：
上述算式都是两个数的和与差的积，根据结果发现平方差公式．
两个数的和与差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a－b）=a2－b2．
教师活动设计
在活动3的基础上，进一步验证两数差与两数和的积的规律，充分发挥学生主体性，
让学生自主探索、发现归纳结论．
二、知识应用，加深对平方差公式的理解
活动4 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）
（1）（x +1）（1+x ）；（2）（21a +b ）（b －21
a ）；（3）（－a +
b ）（a －b ）；（4）（x 2－y ）（x +y 2）；
（5）（－a －b ）（a －b ）；（6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）．
学生活动设计
学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式．
只有（2）、（5）、（6）能用平方差公式．因为（2）（
21a +b ）（b －21a ）利用加法交换律可得（21a +b ）（b －21a ）=（b +21a ）（b －21a ），表示b 与2
1a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；（5）（－a －b ）（a －b ），同样可利用加法交换律得（－a －b ）（a －b ）=（－b －a ）（－b +a ），表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；（6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）利用加法和乘法交换律得（c 2－d 2）（d 2+c 2）=（c 2+d 2）（c 2－d 2），表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点．
（1）、（3）、（4）不能用平方差公式，因为表示的不是两个数的和与差的积的形式．教师活动设计
在交流中让学生归纳平方差公式的特征：
（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．
利用平方差公式计算：
（1）（5+6x ）（5－6x ）；
（2）（x －2y ）（x +2y ）；
（3）（－m +n ）（－m －n ）．
师生活动设计
首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．（5+6x ）（5－6x ）是5与6x 这两个数的和与差的积的形式；（x －2y ）（x +2y ）是x 与2y 这两个数的和与差的积的形式；（－m +n ）（－m －n ）是－m 与n 这两个数的和与差的形式，于是可以运用平方差公式．
答案：（1）25－36x 2；（2）x 2－4y 2；（3）m 2－n 2．
三、应用提高、拓展创新
活动5 科学探究
给出下列算式：32－12 = 8 = 8×1；
52－32= 16 = 8×2；
72－52= 24 = 8×3；
92－72= 32 = 8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
连续两个奇数的平方差是8的倍数．
（2）用含n的式子表示，即
（2n+1）2－（2n－1）2= 8n（n为正整数）．
（3）计算20052－20032= 8016 , 此时n=1002．
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．通过本节课的学习我有哪些收获？
2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？
3．通过本节课的学习我有哪些感受？作业：1．第153页练习习题15．2 第1题．。