高二数学《平面向量》复习课(学案) (2)
高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4
第二章平面向量复习课（2课时）[第一部分：知识归纳]1.知识结构中的应用中的应用何中的应用何中的应用平面向量2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.②. 向量共线的两种判定方法：a∥b(0≠b)01221=-=⇔yxyxbaλ③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =22yx+④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-⑤.cos =||||baba∙∙222221212121yxyxyyxx+++=⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）3.学习本章应注意的问题及高考展望①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。
③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P125—126第1、2、3题[第三部分：应用举例]（供选用）例1.如图△ABC 中，−→−AB = c ，−→−BC = a ，−→−CA = b ，则下列推导不正确的是……………（ ）A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
平面向量复习二导学案
我的课堂我做主, 我的命运我把握2011—2012学年度第一学期高二年级 _数学_学科导学课题：平面向量复习二主编：陈会媛审核：李晓霞审批：_______ 使用时间：_______【学习目标】（1实数与向量的积（2平面向量的数量积（3平面向量坐标表示和运算（4平面向量的综合应用【自主学习】（所用时间：）】一知识梳理：在合作中提升学习的兴趣在探索中追求知识的真谛【课内探究】（所用时间：30分钟）【规律总结】二、基础题目：1．已知点A （3，4-）与点B （1-，2），点P 在直线AB 上，并且PB PA 2=，则P 点的坐标是2．已知(21)(13)=-=，，，a b ，则23-+a b 等于（ ） Ａ．(111)--， Ｂ．(111)-， Ｃ．(111)-， Ｄ．(111)，3．已知i 、j 分别为x 轴、y 轴方向上的单位向量，若28=-a +b i j ，816--a b =i +j 那么a b 等于（ ）Ａ．63 Ｂ．63- Ｃ．33 Ｄ．33-4．已知a ·b =12，且|b |=5，则向量a 在向量b 方向上的射影为 ．5．已知点A （2，-4）、点B （-2，y ），若5AB =，则y = ．6．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为（ ）A ．)5,1312(B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(-- D ．)135,1312(±±7．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 .8．已知向量），（ααsin 2cos 2=CA ，OC =（2，2），则向量|OA |的取值范围是（ ） A ．[1，3] B ．[1，23] C ．[2，3] D ．（2，23）你说我讲，快乐课堂；你争我抢，放飞梦想班级 编号：sx2-01【随堂检测】（所用时间：5分钟）9，已知向量,,a b c 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥，则a b 与的夹角等于 （ ） A ．0120 B 060 C 030 D 90o10，已知两向量),1,1(,),31,,31(--=-+=b a 求a 与b 所成角的大小11．已知(2)(35)x b ==-，，，a ，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是12。
高中数学 第二章平面向量复习教案 新人教A版必修4
第二章平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:3. 向量运算及平行与垂直的判定:则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅4. 两点间的距离:5. 夹角公式:6. 求模：（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b（四）基础练习：《习案》P178面6题、P180面3题。
高二数学《平面向量》复习课(学案)
《平面向量》复习课（学案）【复习要求】1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；【知识提要】1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )= ，22b (x ,y )= 。
（1）a b = ⇔1212x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥ ⇔a b 0⋅= ⇔1212x x y y 0+=；（3）∥b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ 确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2=+ ；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+ 。
【超级链接】相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】1．下列命题中：①若a b ⊥ ，则|a b||a b|+=- ；②若∥，则a b |a ||b|⋅=⋅ ；③若与反向，则|a b ||a ||b |-=+ ；④若与不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+= ，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心3．已知OA (1,2)=- ，OB (3,m)= ，且OA AB ⊥ ，则m ＝ 。
高二数学 第2章(第12课时)平面向量小结与复习(2)教案 新人教A版必修4
课 题：平面向量小结与复习（2）教学目的：认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识教学重点：向量的坐标表示的应用；构造向量法的应用教学难点：构造向量法的适用题型特点的把握授课类型：复习课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法:启发引导式针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识教学过程：一、讲解范例： 例1利用向量知识证明下列各式(1)x 2＋y 2≥2xy (2)｜x ｜2＋｜y ｜2≥2x ·y 分析：(1)题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系 (2)题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证证明：(1)设a ＝（x ，y ），b ＝（y ，x ）则a ·b ＝xy＋yx ＝2xy｜a ｜·｜b ｜＝222222y x y x y x +=+⋅+ 又a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos θ(其中θ为a ，b 夹角)≤｜a｜·｜b ｜∴x 2＋y 2≥2xy(2)设x ，y 的夹角为θ， 则x ·y ＝｜x ｜·｜y ｜cos θ≤｜x ｜·｜y ｜≤222y x ⋅ ∴｜x ｜2＋｜y ｜2≥2x ·y例2利用向量知识证明(a 1b 1＋a 2b 2)2≤（a 12＋a 22）·（b 12＋b 22）分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量证明：设a ＝（a 1，a 2），b ＝（b 1，b 2）则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2，｜a ｜2＝a 12＋a 22，｜b ｜2＝b 12＋b 22∵a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos θ≤｜a ｜·｜b ｜(其中θ为a，b 夹角)∴（a ·b ）2≤｜a ｜2·｜b ｜2∴（a 1b 1＋a 2b 2）2≤（a 12＋a 22）·（b 12＋b 22）评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论这一技巧应要求学生注意体会例3已知：如图所示，ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线求证AC ⊥BD 分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件 证法一：∵AC ＝AB ＋AD ，BD ＝AD －AB ，∴AC ·BD ＝（AB ＋AD ）·（AD －AB ）＝｜AD ｜2－｜AB ｜2＝O∴AC ⊥BD证法二：以OC 所在直线为x 轴，以B 为原点建立直角坐标系，设B (O ，O)，A (a ，b)，C （c ，O ）则由｜AB ｜＝｜BC ｜得a 2＋b 2＝c 2∵AC ＝BC －BA ＝（c ，O ）－（a ，b ）＝（c －a ，－b ）， BD ＝BA ＋BC ＝（a ，b ）＋（c ，O ）＝（c ＋a ，b ）∴AC ·BD ＝c 2－a 2－b 2＝O∴AC ⊥BD 即 AC ⊥BD评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握例4 若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法 证法一： (根据平面图形的几何性质)设OA ＝a ，OB ＝b ，由已知可得a 与b 不平行，由｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜得以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 的对角线OC 和BA相等所以平行四边形OACB 是矩形，∴OA ⊥OB ，∴a ⊥b证法二：∵｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜ ∴（a ＋b ）2＝（a －b ）2∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2∴a ·b ＝O ，∴a ⊥b证法三：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），｜a ＋b ｜＝221221)()(y y x x +++，｜a －b ｜＝221221)()(y y x x -+-， ∴221221)()(y y x x +++＝221221)()(y y x x -+-，化简得：x 1x 2＋y 1y 2＝O ，∴a ·b ＝O ，∴a ⊥b例5 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标 分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a 的终点坐标，然后表示a 的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程 解：设a 的终点坐标为（ｍ，ｎ）,则a ＝（ｍ－3，ｎ＋1）由题意⎩⎨⎧=++-=++--1)1()3(0)1(4)3(322n m n m 由①得：ｎ＝41（3ｍ－13）代入②得25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.58,511.52,5192211n m n m 或 ∴a 的终点坐标是（)58,511()52,519--或 评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来二、课堂练习：三、小结 通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法四、课后作业： 五、板书设计（略）六、课后记① ②。
高考数学 专题二 第3讲 平面向量(2)复习教学案-人教版高三全册数学教学案
教学内容：平面向量（2）教学目标：1平面向量的概念及线性运算 2.平面向量的数量积3.平面向量与三角函数综合应用 教学重点：平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用 教学难点：平面向量与三角函数综合应用 教学过程： 一、基础训练1、(2014·宁波模拟)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则n m＝________.解析：∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm＝－4.答案：－42．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.解析：∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )，∴|AB →|·|BC →|cos B ＝－1.在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－2×(－1)．∴BC ＝ 3.答案： 33．(2014·武汉质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为__________． 解析：由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.答案：124．(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为 ________.解析：∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，∴(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.复备栏二、例题精析例1、(2013·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.变式训练：(2014·太原模拟)已知向量a ＝(3cos α，1)，b ＝(－2，3sin α)，且a ⊥b ，其中α∈(0，π2)．(1)求sin α和cos α的值．(2)若5sin(α＋β)＝35cos β，β∈(0，π)，求角β的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－6cos α＋3sin α＝0，即sin α＝2cos α，又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15，sin 2α＝45，又α∈(0，π2)，∴sin α＝255 ，cos α＝55.(2) ∵5sin(α＋β)＝5(sin αcos β＋cos αsin β) ＝25cos β＋5sin β＝35cos β， ∴cos β＝sin β，即tan β＝1，∵β∈(0，π)，∴β＝π4.例2、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解：(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π， 则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.课后反思：则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 变式训练：已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求： (1)a ·b 和|a ＋b |的值； (2)a 与b 夹角θ的余弦值．解：由已知，a ＝(3，－2)，b ＝(4,1)， (1)a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2. (2)|a |＝13，|b |＝17，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝10221221.巩固练习：完成专题强化训练的练习。
高三数学二轮复习 专题7 平面向量导学案
专题7：平面向量(两课时)班级 姓名一、前测训练1． (1)已知向量a ＝(0，2)，|b |＝2，则|a －b |的取值范围是 ．(2)若a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则b 的取值范围是 ． 答案：(1)[0,4]．(2)[－1,1]．2．(1)在△ABC 中，∠BAC ＝120，AB ＝2，AC ＝1，点D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，E 为BC 边上的点，且−→AE ·−→BC ＝0．则−→AD ·−→BC ＝ ；−→AD ·−→AE ＝ ． (2)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60︒，E 为CD 中点， 则−→AE ⋅−→BD ＝ ．(3)已知OA ＝OB ＝2，−→OA ·−→OB ＝0，点C 在线段AB 上，且∠AOC ＝60，则−→AB ·−→OC ＝________________． 答案：(1)－83,37．(2)1．(3)8－43．二、方法联想 1．向量的运算方法1 用向量的代数运算．方法2 结合向量表示的几何图形． 2．向量的应用方法1 基底法，即合理选择一组基底(一般选取模和夹角均已知的两个不共线向量)，将所求向量均用这组基底表示，从而转化为这两个基向量的运算．方法2 坐标法，即合理建立坐标系，求出向量所涉及点的坐标，利用向量的坐标运算解决三、例题分析 [第一层次]例1 （1）若向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－6)，且a ∥b ，则实数x ＝ ． （2）已知a ，b 都是单位向量，a ·b ＝－12，则|a －b |＝ ．（3）已知向量a ＝（－3，2），b ＝（－1，0），且向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值是 ． （4）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ 答案：（1）－4；（2）3；（3）－17；（4）（－2，2）或（－2，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．两个非零向量共线的充要条件（坐标形式和非坐标形式）．BCDE2．单位向量与数量积的概念，求模长的基本方法． 3．向量垂直的充要条件（坐标形式和非坐标形式）． 4．坐标形式下向量模长的计算公式． 二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：将所求模长平方，转化为向量的数量积；方法2可以画图，通过解三角形求解；本题给出了两个向量的模长及数量积，因此方法1求解较为简单．2．第（4）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．例2 （1）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →•AD →＝ ．（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0，2)．若OC →·AB →＝0，AC →＝λOB →，则实数λ的值为 ．（3）已知A （－3，0），B （0，3），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝60°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值是 ．（4）在△ABC 中，已知BC ＝2，AB ·AC ＝1，则△ABC 面积的最大值是 ． 答案：（1）152；（2）2；（3）13；（4）2．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．解（1）小题可以是基底法（以AB →和BD →为基底），也可以建立直角坐标系用坐标法．2．解（2）小题可以设未知数解方程，也可以画出图形，利用直线方程求解．理解向量共线的意义． 3．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解． 4．平面向量数量积的概念，建立目标函数利用基本不等式求最值．5．解（4）小题还可以用坐标法，得出点A 的轨迹方程，利用图形的直观性求解． 二、方法选择与优化建议：1．解（1）小题显然是基底法简单，因为两个基底向量的模长和夹角都已知． 2．解（4）小题由于建立目标函数有些难度，所以用坐标法求解来得简单易懂．例3 （1） 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb （λ，μ∈R ），则λμ＝ ．（2）如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点．设AP →＝αAB →＋βAF →（α、β∈R ），则α＋β的取值范围是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．问题的本质都是用两个不共线的向量来表示第三个向量．平面向量基本定理，利用图形进行分解，通过解三角形求解．2．解决这一类问题的基本方法为：（1）基底法；（2）坐标法． 二、方法选择与优化建议：1．解决这两题用坐标法优于基底法．2．选用哪一种方法，关键是看其中一个向量用基底来表示是否容易．[第二层次]例1 （1）已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝ ．（2）已知向量a ＝(2，1)，a·b ＝10，︱a ＋b ︱＝52，则︱b ︱＝ ． 变式：平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝ ．（3）若平面向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝1，a ＋b 平行于y 轴，a ＝(2，－1)，则b ＝ ． （4）在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →•AB →＝ ．答案：（1）（－79 ，－73）；（2）5；变式：23．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．坐标形式下，向量共线、向量垂直的充要条件．2．向量已知了坐标求模长，解决模长问题的基本方法将模长平方转化为数量积．3．第（4）小题的求解，可以是基底法还可以坐标法，基底法的难点选择基底；坐标法的难点是建立合适的直角坐标系．二、方法选择与优化建议：1．第（2）小题，方法1：设向量b 的坐标，通过解方程组求解；方法2：直接对向量(a ＋b )的模长平方求出答案．相对而言，方法2比较简单．2．第（3）小题，常规方法是设出向量b 的坐标，通过解方程组求解．本题可以抓住向量a ＋b 的两要素，先求出向量a ＋b 的坐标，再求向量b 的坐标，这个解法来得方便，突出了向量的本质．3．第（4）小题解法1：基底法，选择CA →和与CA →垂直的12BD →为基底；解法2：以AC 、BD 为；两坐标轴建立直角坐标系．例2 （1）已知正△ABC 的边长为1，→CP ＝7→CA ＋3→CB ，则→CP ·→AB ＝ ．（2）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →（λ1，λ2∈R ），则λ1＋λ2的值为__________。
《平面向量》复习案
课题：《平面向量》复习案教 学 内 容个 性 笔 记【学习目标】1、熟记平面向量相关的知识点、定理和重要结论；2、学会应用“数形结合”、函数等思想方法，探索并总结本章相关解题方法、步骤；3、体会数学解题方法的多样性，感受数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性.【学习重点】平面向量的相关概念、线性运算、数量积运算、定理和重要结论【学习难点】夹角、模的计算；平行、垂直条件的应用【学习过程】（一） 相关知识点梳理1.相关概念 (1)向量定义： (2)向量的三种表示方法：① ，② ，③ (3)零向量：(4)单位向量： .(5)共线向量： 特别规定：(6)相等向量：(7)相反向量：2.向量的运算（结果仍为向量） （1）线性运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言加法 与 减法OA +OB =OB OA -=记OA =(x 1,y 1), OB =(x 1,y 2) 则OB OA +=OB OA -=OA --→+AB --→=数乘AB --→=λa →（λ∈R ）记a →=(x ,y )则λa →=注：（ 0>λ时，AB 与a ； 0<λ时，AB 与a ； 0=λ时，AB = 向量线性运算的运算律与实数的运算律相同.（2）数量积运算（结果为数量）①定义：②坐标运算：若 ),(11y x a =，),(22y x b =，且a 与 b 的夹角为θ，则=⋅b a=θcos = （坐标表示） =a③已知点 ),(11y x A 和),(22y x B ，则=AB =AB(二)相关定理及重要结论（1）平面向量基本定理: 基底：平面内 的两个向量. （2）若 ),(11y x a =，),(22y x b =，则⇔b a // ；⇔⊥b a .（3）中点坐标公式:已知点 ),(11y x A 和),(22y x B则线段AB 的中点P 的坐标为 （二）预习检测1．已知),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（ ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 2.已知a (3,4)=，)8,6(--=b ，则a 与b （ ）A.互相平行B. 夹角为60oC.夹角为30oD.互相垂直 3.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则))((b a b a +⋅等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)- 4.已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝ .5.已知a>0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，求a 的值.。
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案
平面向量复习教学目标：1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点积。
3. 能够应用向量的知识解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的运算规则。
教学难点：1. 向量的运算规则的理解和应用。
教学准备：1. 教案和课件。
2. 黑板和粉笔。
教学过程：第一章：平面向量概念及表示方法1.1 向量的定义1. 引入向量的概念，引导学生理解向量的定义。
2. 通过示例说明向量的表示方法，包括箭头表示法和坐标表示法。
1.2 向量的性质1. 引导学生学习向量的性质，如方向、长度、相等性、相反性等。
2. 通过示例讲解向量的性质，并让学生进行练习。
第二章：平面向量的运算规则2.1 向量加法1. 引导学生理解向量加法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量加法的运算方法，并让学生进行练习。
2.2 向量减法1. 引导学生理解向量减法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量减法的运算方法，并让学生进行练习。
第三章：平面向量的数乘3.1 数乘向量1. 引导学生理解数乘向量的定义和规则。
2. 通过示例讲解数乘向量的运算方法，并让学生进行练习。
3.2 数乘向量的应用1. 引导学生学习数乘向量的应用，如向量的大小、方向等。
2. 通过示例讲解数乘向量的应用，并让学生进行练习。
第四章：平面向量的点积4.1 点积的定义和性质1. 引导学生理解点积的定义和性质。
2. 通过示例讲解点积的运算方法，并让学生进行练习。
4.2 点积的应用1. 引导学生学习点积的应用，如向量的垂直性、夹角等。
2. 通过示例讲解点积的应用，并让学生进行练习。
第五章：平面向量的应用5.1 向量在几何中的应用1. 引导学生学习向量在几何中的应用，如向量的加法、减法、数乘和点积。
2. 通过示例讲解向量在几何中的应用，并让学生进行练习。
5.2 向量在物理中的应用1. 引导学生学习向量在物理中的应用，如速度、加速度等。
高中数学 平面向量复习课教案
【教学内容及解析】本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第二章《平面向量》的复习课。
它是对本章内容的总结与升华；这节课既要展示平面向量的形的特性，又要具备数的特性，因此向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的。
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起。
【教学目标】1.复习向量的有关概念;2.会向量的线性运算,会向量数乘的运算，并体会其几何意义.3.学会平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.会求平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.领会向量作为工具性的魅力。
【教学重难点】1.重点是让学生学会向量的相关概念和向量的运算2.难点是如何用向量的方法解决一些问题.【教辅工具】教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（三）教学过程【教学反思】本节复习课在设计中主要体现对本章知识的回顾和梳理，在教学过程中，力求做到以下几点：（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
[推荐学习]高考数学二轮复习 平面向量2学案 理
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二轮复习专题：平面向量 §2平面向量的数量积及应用【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量数量积与向量投影的关系2.理解平面向量数量积的性质，掌握数量积的坐标表达和坐标运算3.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐 【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：向量数量积的含义、几何意义和性质。
【高考方向】 1. 向量的数量积运算 2. 向量的垂直问题。
【课前预习】： 一、知识网络构建1.平面向量数量积的定义和几何意义2.平面向量数量积的性质有哪些？指出其中常用的重要性质3.平面向量数量积的坐标表示和坐标运算二、高考真题再现[2014·安徽卷] 已知两个不相等的非零向量,a b 两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,b a ∥则min S 无关.>，则0min >S . ⑤若2m in||2||,8||b a S a ==，则a 与b 的夹角为4π三、基本概念检测1.如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2B F F O =，则F D F E 等于( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－492．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .3. 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则c o s β= .【课中研讨】：例1. 已知4,3a b ==，()()23261a b a b -+= （1） 求a b 与的夹角θ（2） 求a b +（3） 若A B a =，B C b =，求△ABC 的面积例2. 若向量,ab 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b =（ ） A ．2 BC ．1D ．2例3．在平面上，12A B A B ⊥，121O B O B ==，12A P A B A B =+。
2020高中数学 第六章 平面向量及其应用 .1 平面向量的概念学案 第二册
6．1 平面向量的概念考点学习目标核心素养平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理问题导学预习教材P2－P4的内容，思考以下问题:1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模)能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量错误!与向量错误!是相等向量吗?1．向量的概念及表示（1)概念：既有大小又有方向的量．(2)有向线段①定义:具有方向的线段．②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作错误!．④长度：线段AB的长度也叫做有向线段错误!的长度，记作|错误!｜。
（3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量,就要看它是否具备大小和方向两个因素．(2)用有向线段表示向量时，要注意错误!的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点,点B是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模（长度）:向量错误!的大小,称为向量错误!的长度（或称模)，记作|错误!|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0。
（3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量．3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a,b是平行向量，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．(2）相等向量：长度相等且方向相同的向量,若a，b是相等向量,记作a＝b。
■名师点拨(1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．判断（正确的打“√”，错误的打“×”)(1）两个向量，长度大的向量较大．（）（2)如果两个向量共线,那么其方向相同．（)(3）向量的模是一个正实数．( )(4）向量就是有向线段．( )（5)向量AB，→与向量错误!是相等向量．（）（6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( ）(7)零向量是最小的向量．（)答案：(1)×（2)×(3）×(4）×(5)×（6)×(7）×已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( ）A．也可以用错误!表示B．方向是由M指向NC．起点是M D．终点是M答案：D已知点O固定,且｜错误!|＝2，则A点构成的图形是( )A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定答案：C如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与错误!相等的向量有________．答案:错误!，错误!向量的相关概念给出下列命题：①若错误!＝错误!,则A，B，C,D四点是平行四边形的四个顶点;②在▱ABCD中，一定有错误!＝错误!；③若a＝b,b＝c，则a＝c。
20170625第二章 平面向量复习学案
第二章 平面向量复习学案20170625【本章整合】【要点梳理】 一、向量的概念1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量．2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．3．向量的长度（模）：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB ．4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a 、b 是两个平行向量，那么通常记作a ∥b ．平行向量也叫做共线向量．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a ，都有0∥a ．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 、b 是两个相等向量，那么通常记作a =b ．【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）． A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身） C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍 D ．CB →与DA →不共线 二、向量的加、减法1．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB=a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b AB BC AC =+=．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法．这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则．2．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a +0=0+a =a3．公式及运算定律： ①12231++...+n A A A A A A=0②|a +b |≤|a |+|b |③a +b =b +a ④（a +b ）+c = a +（b +c ）4．相反向量：①我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a ．a 和－a 互为相反向量．②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋（－a ）=（－a ）＋a =0． ④如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =－b ，b =－a ，a ＋b =0．⑤我们定义a －b = a ＋（－b ），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）． A ．BC → B ．AB → C ．AC → D ．AM →【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．三、数乘向量1．向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a|，②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，的方向与a 的方向相反；λ=0时，λa =0．2．运算定律：①λ（ua ）=（λu ）a ②（λ＋u ）a =λa ＋u a ③λ（a ＋b ） =λa ＋λb ④（－λ）a =－（λa ） =λ（－a ） ⑤λ（a －b ） =λa －λb3．定理：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么a 与b 共线．相反，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即| b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b = u a ；当a 与b 反方向时，有b =－u a ．则得如下定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0 ．求证：G 是△ABC 的重心．四、平面向量基本定理1．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．向量a 与b 的夹角：已知两个非零向量a 和b ．作OA =a ，OB=b ，则A O B θ∠=（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角．当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．3．补充结论：已知向量a 、b 是不共线的两个向量，且m 、n ∈R ，若m a ＋n b =0，则m =n =0． 【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b表示向量OP →．五、正交分解与坐标表示1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．即若a =11(,)x y ，b =22(,)x y ， 则a ＋b =1212(,)x x y y ++，a －b =1212(,)x x y y --．3．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．即若a =11(,)x y ，则λa =11(,)x y λλ．4．当且仅当x 1y 2－x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线． 5．从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则OC OA OB λμ=+，其中λ+μ=1．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标．【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标．六．数量积（内积）1．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a •b 即a •b =|a ||b |cos θ．其中θ是a 与b 的夹角，|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．数量积的运算定律：①a •b = b •a ②（λa ）•b =λ（a •b ）=a •（λb ） ③（a + b ）•c =a •c + b •c ④（a +b ）² = a ²+2a •b +b ² ⑤（a －b ）² = a ²－2a •b +b ² ⑥（a +b ）•（a －b ）= a ²－b ²． 4．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a •b =1212x x y y +．则： ①若a =(,)x y ，则|a |²=22x y +，或|a|=．如果表示向量a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为11x y （，）、22x y （，），那么a =2121x x y y --（，），|a． ②设a =11x y （，），b =22x y （，），则a ⊥b 12120x x y y ⇔+=⇔a •b =0． 5．设a 、b 都是非零向量，a =11x y （，），b =22x y （，），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos ||||a ba b θ⋅==．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角．第二章 平面向量复习学案20170625答案解析【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤答案：D 解析：|a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0， ∴|a |＞0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确． 【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线答案：C 解析：当菱形ABCD 与其他两个菱形不共面时，BD 与EH 异面，故选C ． 【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）．A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身）C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线答案：D 解析：易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →；对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|；对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的．【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）．A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →答案：C 解析：原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →． 【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0 答案：D【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）．A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b答案：B 解析：解法一：BC →＝BA →＋AC →＝OA →－OB →＋（－2OA →）＝－OA →－OB →＝－a －b ．解法二：∵b ＋BC →＝OC →＝－a ，∴BC →＝－a －b ．【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．解：如图所示， AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ，CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2（a －b ）＝2b －2a ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C 解析：∵AC →＝25AB →＝25（AC →＋CB →），∴AC →＝23CB →＝－23BC →，∴λ＝－23，故选C ．【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23答案：A 解析：解法一：∵A 、D 、B 三点共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．解法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23（CB →－CA →）＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23，故选A ．【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0．求证：G 是△ABC 的重心．解：如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－（GB →＋GC →）()以GB →，GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →， 又∵在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →， ∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案：C 解析：由623x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得33x x =⎧⎨=-⎩，∴x －y ＝6，故选C ．【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b 表示向量OP →．解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23（OB →－OA →）＝a ＋23（b －a ）＝13a ＋23b ．∵OP →与OM →共线，令OP →＝tOM →，则OP →＝t ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ． 又设OP →＝（1－m ）ON →＋mOB →＝34a •（1－m ）＋mb∴⎩⎨⎧ t 3＝34(1－m )23t ＝m，∴⎩⎨⎧m ＝35t ＝910．∴OP →＝310a ＋35b ．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标． 解：（1）a ＋b ＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；a －b ＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；2a ＋3b ＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）．（2）3a －b ＋c ＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）． 【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．解：（1）∵a ＝mb ＋nc ，∴（3，2）＝m （－1，2）＋n （4，1）＝（－m ＋4n ，2m ＋n ）．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59n ＝89．（2）∵（a ＋kc ）∥（2b －a ），又a ＋kc ＝（3＋4k ，2＋k ），2b －a ＝（－5，2）， ∴2×（3＋4k ）－（－5）×（2＋k ）＝0．∴k ＝－1613．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．解：设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），依题意有：AC →＝（2，2）、BC →＝（－2，3）、AB →＝（4，－1）．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23．因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1．因为（x 1＋1，y 1）＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23． 因为（x 2－3，y 2＋1）＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0．∴EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23． 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×（－1）＝0，所以EF →∥AB →． 【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标． 解：设a ＝（m ，n ），b ＝（p ，q ），则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1p 2＋q 2＝1m ＋p ＝1n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12q ＝－32n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12q ＝32n ＝－32．故a ＝（12，32）、b ＝（12，－32）或a ＝（12，－32）、b ＝（12，32）．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°答案：B 解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°． 【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4答案：C 解析：a 在b 方向上的投影为|a |cos ＜a ，b ＞＝4×cos30°＝23．【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．解：a •b ＝|a ||b |cos60°＝1．因为c ⊥d ，所以c •d ＝0，即（2a －3b ）•（ma ＋b ） ＝2ma 2＋（2－3m ）a •b －3b 2＝2m －12＋2－3m ＝0，解得m ＝－10． 【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角． 解：设＜a ，b ＞＝θ，（1）由a ⊥b 得λ＝－12．（2）cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ＜0且cos θ≠－1得λ＜－12．（3）由cos θ＞0且cos θ≠1，得λ＞－12，且λ≠2．。
高中数学 第二章 平面向量复习课完美正规版
四、典型题归纳： （一）向量的基本概念和运算律
（二）向量的坐标运算
（三）向量与函数的交汇
平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角
平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角
（四）平面向量与三角的交汇 （四）平面向量与三角的交汇
[作业精选，巩固提高] 平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量
平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 （四）平面向量与三角的交汇 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 [作业精选，巩固提高] 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 平面向量与三角、物理等知识的融合
（三）向量与函数的交汇 [作业精选，巩固提高]
平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角 （一）向量的基本概念和运算律
平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量
（一）向量的基本概念和运算律
（四）平面向量与三角的交汇
（五）平面向量的判断题
平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量 平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 （一）向量的基本概念和运算律 （一）向量的基本概念和运算律 平面向量的应用：平行 垂直 模 夹角
[作业精选，巩固提高]
• 复习参考题：A组2，3,5
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第四章 平面向量复习
(二) 要点概述
1.平面向量的有关概念：相等向量 相反向量 平行向量 共线向量
2.平面向量的运算：加法 减法 数乘 数量积 3.平面向量基本定理与共线向量定理
高中数学平面向量系列复习教案2
第二教时教材：向量的加法目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算。
过程：一、复习：向量的定义以及有关概念强调：1︒向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2︒正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
二、 提出课题：向量是否能进行运算？1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 4． 船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：AC BC AB =+提出课题：向量的加法三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调：1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则A B CA BCABCAA AB B BC C a a ab b a a3．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b 作法：在平面内取一点， 作a OA = b AB = 则b a OB +=4．加法的交换律和平行四边形法则上题中b +a 的结果与a +b 是否相同 验证结果相同 从而得到：1︒向量加法的平行四边形法则 2︒向量加法的交换律：a +b =b +a 5． 向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =, b BC =, c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+ a + (b +c ) =AD BD AB =+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
高中数学解题技巧复习教案(2)：平面向量
第二讲 平面向量【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．3．两非零向量平行、垂直的充要条件．4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念.(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式.例1已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD =命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,故选A ．例2．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.例3．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( )（A ）BA BC 21+- （B ） BA BC 21--（C ） BA BC 21- （D ）BABC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.例4．与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( )(A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解:()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得23cos ,33a b a b a b⋅⨯===⋅+例6.已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+=（C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8．设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合.解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，例9． 设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例10．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π的最大解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例11． 已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>==sin ∠A ；（2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例12．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例13.设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(2k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例14．已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力. 解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例15．如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足 （I ）求动直线DE 斜率的变化范围；（II ）求动点M 的轨迹方程。
宿迁市高中数学第30课时平面向量复习课(2)导学案(无答案)4
15。已知A（a,1),B(3,5),C(7，3），D(b，-1)是菱形ABCD的四个顶点,求实数a,b的值。
16。已知平面上三点A,B,C满足 , , ,求 的值。
17。已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4）、B（0,0)、C(c,0)．
3.设 是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若 ,
则 的坐标是_______________。
4。设 则 表示为__________________.
5.已知 则 =________________。
6。若向量 且 =7,那么 =_____________。
7。已知A（6,1),B（0，—7)， C(-2,-3），则△ABC的面积是_____________。
（1)若ΔABC是直角三角形，求 的值；（2）若 ,求sin∠A的值。
18。已知点O是ΔABC内一点,∠AOB=1500, ∠BOC=900，设 ，且试用 Nhomakorabea表示 。
19。已知向量 且 满足关系 .
(1）求 的数量积用k表示的解析式f(k)；
(2） 能否和 垂直? 能否和 平行?若不能,则说明理由;若能,则求出相应的k值；
(1)求 与 的数量积用k表示的解析式f（k）。
(2) 能否和 垂直？ 能否和 平行？若不能，请说明理由；若能,则求出相应的k值
(3)求 与 夹角的最大值
【同步训练】
一、填空题（每小题5分，共70分）
1.设 的长度分别为4和3，夹角为1200，则 =_____________。
2.若 三点共线，则x=___________。
5。向量的应用
高中数学 第二章 向量 复习教案2教案 苏教版必修4
高中数学 第二章 向量 复习教案2教案 苏教版必修4 科目数学 主备 孙猛生 时间 课题 平面向量的基本定理与坐标运算课时 教学目标 1．了解平面向量的基本定理及其意义；2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3．会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件教学重难点 平面向量的基本定理教学过程设计（教法、学法、课练、作业） 个人主页一、 知识回顾1．设O 为坐标原点，向量)2,5(-=→OA ，将向量→OA 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到向量→CD ,则向量→CD 的坐标为（ ）A.(5,-2)B.(8,-3)C.(8,-5)D.(2,-5)2．若向量)2,1(),1,,1(),1,1(-=-==→→→c b a ，则→c =（ ） A.→→+-b a 2321; B.→→-b a 2321 C.→→-b a 2123; D.→→+-b a 2123 3．已知A （2，3）B （-4，5），则与→AB 共线的单位的单位为4．已知平面四边形ABCD 中，点A （-1，2），点B （3，0），点C （5，1），则点D 的坐标是二、 例题讲解例1设坐标平面上有三点A,B,C,→→j i ,分别是坐标平面上X 轴,Y 轴正方向的单位向量,若向量→→→→→→+=-=j m i BC j i AB ,2,那么是否存在实数m,使A,B,C 三点共线,例2已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),)(R t AB t OA OP ∈+=→→→(1) 要使P 点在X 轴上、Y 轴上、第二象限内，则t 分别应取什么值？(2) 四边形OAB P 是否可能是平行四边形？如可能，求出相应的t 的值，如不可能说明理由。
例3在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使3:1:=→→OA OM ，4:1:=→→OB ON 设线段AN 与BM 交于点P ，记→→→→==b OB a OA ,，用→→ba ,表示向量→OP 。
高三理科数学二轮复习平面向量学案_2
二轮复习专题：平面向量§3平面向量的综合应用【学习目标】1会用向量方法解决简单的三角函数、解析几何知识2.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：平面向量的应用。
【高考方向】向量与其它知识的结合。
【课前预习】：一、知识网络构建平面向量可以应用于哪些方面？二、高考真题再现[2014·安徽卷]在平面直角坐标系xOy中，已知向量,,1,0,a b a b a b==⋅=r r r r r r点Q 满足2()OQ a b=+u u u r r r.曲线{cos sin,02}C P OP a bθθθπ==+≤≤u u u r r r，区域{0,}P r PQ R r RΩ=<≤≤<u u u r.若CΩI为两段分离的曲线，则( )A. 13r R<<< B.13r R<<≤ C.13r R≤<< D.13r R<<<三、基本概念检测1.设,,a b cr r r是非零向量，已知命题P：若0a b•=r r，0b c•=r r，则0a c•=r r；命题q：若//,//a b b cr r r r，则//a cr r，则下列命题中真命题是（）A．p q∨B．p q∧C．()()p q⌝∧⌝D．()p q∨⌝导学案装订线2．在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r =1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.3. 已知向量(sin ,cos )m x x =u r ，3(,22n =r ，x ∈R ，函数()f x m n =u r r g (1)求()f x 的最大值；(2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且2()6b af A π=-，求角C 的大小．【课中研讨】： 例1.已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b x x =r ，(sin 2sin ,cos 2cos )c x x αα=++r ，其中0x απ<<<(1)若4πα=，求函数()f x b c =r r g 的最小值及相应x 的值；(2)若a r 与b r 的夹角为3π，且a c ⊥r r ，求tan 2α的值．例2. 已知向量3(sinx,)4a =r ，(cos ,1)b x =-r ． (1)当a b r r P 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+r r r g，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，b ＝2，6sin 3B =，求()4cos(2)0,63f x A x ππ⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的取值范围． 例3． 设动点M 的坐标为(x,y)(x,y ∈R)，向量(x 2,)a y =-r ，(x 2,)b y =+r ，且8a b +=r r （1） 求动点M (x,y)的轨迹C 的方程 （2） 过点N(0,2)作直线L 与曲线C 交于A,B 两点，若OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点)，是否存在直线L ，使得四边形OAPB 为矩形；若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由 【课后巩固】 1．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为90°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧»AB 上运动．若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________． 2． 已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x,y ）满足()2MA MB OM OA OB +=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r g .求曲线C 的方程. 3. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量2(cos ,2cos 1)2C M B =-u u r 与向量(2,)n a b c =-r 共线．(1)求角C 的大小；(2) 23c =，23ABC S ∆=，求a ，b 的值．导学案 装订线【反思与疑惑】：请同学们将其集中在典型题集中。
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《平面向量》复习课（学案）
【复习要求】
1、理解和掌握平面向量有关的概念；
2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；
3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；
4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；
【知识提要】
1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )= ，22b (x ,y )= 。
（1）a b = ⇔121
2x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥ ⇔a b 0⋅= ⇔1212x x y y 0+=；（3）∥⇔存在0λ≠，使得a b =λ ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ 确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2
=+ ；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+ 。
【超级链接】
相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】
1．下列命题中：①若a b ⊥ ，则|a b||a b|+=- ；②若∥，则a b |a ||b|⋅=⋅ ；③若与反向，则|a b ||a ||b |-=+ ；④若
与b 不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+= ，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）
3 （D ）4
2． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ）
外心 （C ） 重心 （D ） 垂心
3．已知OA (1,2)=- ，OB (3,m)= ，且OA AB ⊥ ，则m ＝ 。
4．非零向量、满足|b a ||b ||a |-==，则、+夹角大小是 。
5．已知A(1,0)
，，AB 绕点A 逆时针旋转60 ，得到AC ，则C 点的坐标为 。
【例题精讲】
例题1 填空（或选择）题：
（1）已知a (cos ,sin )=αα ，b (sin ,cos )=ββ
，若|a b |+= ，则sin()α+β= 。
（2）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p (a c,b)=+ ，q (b a,c a)=-- ，若p ∥q ，则角C 的大小为 。
（3）向量a (1,1)=- ，且a 与a 2b + 方向相同，则a b ⋅ 的取值范围是 。
（4）已知集合M {a |a (1,2)(3,4),R}==+λλ∈ ，N {b |b (2,2)(4,5),R}==--+λλ∈ ，则M N = （ ）（A ）{(1,1)}- （B ）
{(1,1),(2,2)}-- （C ）{(2,2)}-- （D ）∅
（5）已知向量a e ≠ ，|e |1= ，对任意t R ∈，恒有|a te ||a e |-≥- ，则（ ） （A ） a e ⊥ （B ）a (a e)⊥- （C ）c (a e)⊥- （D ）(a e)(a e)+⊥-
例题2 平面内有向量OA (1,7)= ，OB (5,1)= ，OP (2,1)= ，点M 为直线OP 上的一个动 点。
（1）当MA MB ⋅ 取最小值时，
求OM 的坐标；（2）在点M 满足（1）的条件下，求
∠AMB 的余弦值。
例题3 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，求证：（1）AC BD BC AD +=+ ；（2）AC BF FC AB -=+ ；
（3）FB DC EA 0++= 。
例题4 已知1F (1,0)-，2F (1,0)，1A(,0)2
，动点P(x,y)满足123PF PA PF PA 0⋅+⋅= 。
（1）求|OP| （其中O 为原点）；（2）是否存在点P ，使PA 成为∠F 1PF 2的平分线？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例题5 ABC ∆中，AC 21AQ =，AB 3
1AR =,BQ 与CR 交于点D ，AD 的延长线交BC 于P 。
（1）用AB ，AC 表示BQ 和CR ；（2）若λ+==μ+，求实数λ和μ的值。
【追踪练习】
1、在△ABC 中，有下列四个命题：①若(AB AC)(AB AC)0+⋅-= ，则△ABC 为等腰
三角形；②若AB (AC AB)0
⋅-= ，则△ABC 为直角三角形；③若AB AC 0⋅> ，则△ABC 为锐角三角形；④若AB AC BC CA CB BA ⋅=⋅=⋅ ，则△ABC 为等边三角形。
其中真命题的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2、已知a (3,2)=- ，b (2,1)=- ，且3c a -=⋅，6c b =⋅，则=c 。
3、非零向量、满足|b a ||b ||a |-==，则、+夹角大小是 。
4、ABC ∆中，），（21A -，），（13B -，），（35C -，D 是线段BC 上的点，若ABC ABD S 4
1S ∆∆=，则= 。
5、平行四边形ABCD 中，），（21A ，）（3,5B --，），（67C -,O 为原点，求：（1） 的坐标；（2）BAC ∠大小。
6、是否存在正整数k ，使得向量j i k a +=，k +=的夹角大小等于53arccos
？若存在，求出正整数k ；若不存在，请说明理由。
7、已知a (2,4)= ，b (1,6)= ，点A )1,2(-，AB ∥（-）。
且54|AB |=，求的坐标。
8、已知3|a |=， 2|b |=，a 与的夹角大小为600，b 5a 3c +=，b 3a m d -=，当m 为何值时，⊥。
9、已知2|a |=， 1|b |=，a 与的夹角大小为
4π，又3+-=，2-=， 求|CD |。