浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考文科数学试卷

浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考数学试卷（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

第Ⅰ卷选择题部分（共50分）一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M N = （ ▲ ） （A ）{1}x x <（B ）{21}x x -<< （C ）{2}x x <- （D ）{21}x x -≤<2．已知⎩⎨⎧≤+>=0)1(02)(x x f x x f x ，则)1(-f =（ ▲ ）（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）43.袋中有4个形状大小一样的球，编号分别为1,2,3,4，从中任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率为（ ▲ ） (A)16 (B)13 (C)12 (D)234.已知实数x , y , 则“2xy ≥”是“224x y +≥”的 ( ▲) (A)充分不必要条件(C)函数)3cos(+=x y 的图像是关于点)0,6(成中心对称的图形 (D)函数)3tan(π+=x y 的图像是关于直线6π=x 成轴对称的图形8.已知函数，，当x=a 时，取得最小值b ，(第6题图)▲ ）9.已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ▲ ）（A ）12+ （B ）13+ （C ）215+ （D ）2122+10.函数1()ln 1f x x x =--在区间(),1k k +（*k N ∈）上存在零点，则k 的值为（ ▲ ） (A)0(B) 2(C) 0或2(D) 1或2第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卷上．11.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中不低于70分的学生数是 ▲ ． 12.若复数)(12R a iai∈-+是纯虚数(是虚数单位)，则a 的值为 ▲ ．13.若各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，则公比q = ▲ ．14.已知圆()22:()4-+-=P x m y n 与y 轴交于A 、B两点，且+=PA PB则=AB ▲ ．15. 已知一个三棱锥的三视图如右图所示，其中俯视图是顶角 为120的等腰三角形，则该三棱锥的体积为 ▲ ．16. 若实数,x y 满足不等式组4020x y x x y k -≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩(其中k 为常数),分数第（11）题俯视图左视图主视图1223E DC MA （第20题） B且3z x y =+的最大值为12,则k 的值等于 ▲ ． 17.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 ▲ ．三.解答题（本题共5小题，18题、19题、20题每题14分，21题、22题每题15分，共72分）18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ．（Ⅰ）若322==b a ,．求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．19. （本题满分14分）已知函数2()32f x x x =- ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S *()n N ∈均在函数()f x 的图象上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和， 求使得20n mT <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .20.(本题满分14分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （1）求证：CM EM ⊥；（2）求直线DE 与平面CEM 所成角的正切值.21.(本题满分15分)设函数2()(1),xf x x e ax a R =--∈，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）若12a =，求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.22. (本题满分15分)给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C 的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线与椭圆C 只有一个公共点，且截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（Ⅲ）过椭圆C 的“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，当直线12,l l 都有斜率时，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.2012学年第一学期十校联合体高三期末联考数学参考答案（文科）三.解答题（本题共5小题，18题、19题、20题每题14分，21题、22题每题15分，共72分）18．（1）23sin ,21cos =∴-=B B 由三角形正弦定理可得：21sin sin 32sin 2==A B A ,，6π=∴A ，6π=C ……5分 3sin 21==∆C ab S ABC ……7分（2）41)62sin(21sin )3sin(sin sin -+=⋅-=⋅ππC C C C A ……11分⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πC )65,6(62πππ∈+∴C]1,21()62sin(∈+∴πC ……12分 则]41,0(sin sin ∈⋅C A ……14分 19. 解：（1）由232n S n n =-，得65n a n =-. ………………6分 （2）13111()26561n n n b a a n n +==--+ 11111111[(1)()()](1)277136561261n T n n n ∴=-+-++-=--++ ……………10分要使11(1)26120m n -<+对*n N ∈成立，111(1)2612n -<+1,10202m m ∴≥∴≥，故符合条件的正整数10m =. ………………14分20.解：(1)证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ．……………………………………………………………………2分 又EA ⊥平面ABC ，所以CM ⊥EA……………………………………………………………………4分 因为AB EA=A所以CM⊥平面EAB.所以CM ⊥EM ． ……………………………………………………………………7分 (2)连结MD ，设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2 a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝a ，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM ，DM ，得△DEM 是直角三角形，其中DM ⊥EM ，…………10分EDCMA又因为DM ⊥CM, 因为EM CM=M,所以DM ⊥平面CEM所以∠DEM 是直线DE 和平面CEM 所成的角．……12分在Rt △DEM 中，tan ∠DEM ＝DM EM ==故直线DE 与平面CEM …………14分 说明：用向量法解可酌情给分。

21.解：（1）12a =时，21()(1)2x f x x e x =--， '()1(1)(1)x x x f x e xe x e x =-+-=-+. …………………………………3分令()0f x '>，得1x <-或0x >， …………………………………5分 所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，()0,+∞ …………………………………7分（2）()(1)xf x x e ax =--令()1xg x e ax =--，则'()xg x e a =-。

若1a ≤，则当()0,x ∈+∞时，'()g x >0，()g x 为增函数，而(0)0g =，从而当x ≥0时，()g x ≥0，即()f x ≥0. ………………………………11分若a >1，则当()0,ln x a ∈时，'()g x <0，()g x 为减函数， 而(0)0g =，从而当()0,ln x a ∈时()g x ＜0，即()f x ＜0.所以不合，舍去. …………………………………14分综合得a 的取值范围为(],1-∞ …………………………………15分22．解：（１）椭圆方程为：2213x y +=； …………2分椭圆C 的“伴椭圆”方程为：224x y += …………4分 （２）设直线方程为：y kx m =+因为截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为d ==222(1)m k =+…………7分又2233x y y kx m⎧+=⎨=+⎩得222(13)6330k x mkx m +++-= 22130k m ∆=+-=24m ∴=，2m =- …………10分 （３）设00(,)Q x y ，直线00()y y k x x -=-，由（２）可知2222001313()0k m k y kx +-=+--=即2220000(3)210x k y x k y -++-=2012213y k k x -∴=- 又22004x y += 121k k ∴=-为定值。

…………15分。