2010基电——第六章动态电路复频域分析

r
§6.3 用拉氏变换求解网络响应
分析法 ℒ 两类约束 微积分方程 代数方程
频域响应
ℒ-1
时域响应
ℒ
两类约束的复频域形式
（运算法）
时域电路
复频域等效电路（运算电路）
在零状态情况下（即求电路零状态响应时），复频域中的公式 与直流电阻电路中的公式形式完全一样；直流电阻电路中的方 法定理等都能应用到复频域分析中。运算电路与同一电路的相 量模型相似（s→jω）。 复频域分析法可以用来求取电路的全响应。运用拉氏变换解题 可以很容易地解决包含电容电压或电感电流跳变的电路响应求 解问题。相量法只能确定电路的正弦稳态解。
（求极点）
K3 K1 K2 （展开成部分分式） s1 s 2 s 3
K 1 ( s 1)F ( s ) s 1 s2 3s 5 1.5 ( s 2)( s 3) s 1
K 2 ( s 2)F ( s ) s 2 3 K 3 ( s 3)F ( s ) s 3 2.5
sin( t )

( s a )2 2
1 sa
n! t n1 s
n
t e
n at
n! ( s a )n 1
拉氏变换的线性性质及其应用 ℒ[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1ℒ[f1(t)]+a2ℒ[f2(t)]= a1F1(s)+a2F2(s)
基尔霍夫定律
2
3 s
3Ω
+ 3 s_
3Ω
2 s
9 s _
12Βιβλιοθήκη s3Ω +2
3 s
+ 3Ω
+ 3 s_
Uc2(s) _
3Ω
节点电压方程
1 9 s 3 s 1 1 s s 3 3 2 2 U n1 ( s ) 3 U n 2 ( s ) 2 s 2 s 1 3 1 1 U n1 ( s ) U n 2 ( s ) 3 s 3 3

U C (s)

+ Us _
+ _
U m sin( t )
+
Us _s
Is
Is s
+
s sin cos Um _ s2 2
+
_
u2 u1
+
_
U 2 ( s ) U1 ( s )
卷积定理与零状态响应
(t ) f (t )
N
h(t )
h(t )* f (t ) f ( )h(t )d
f (t ) K j e
j 1 3 pjt
（求待定系数）
1.5e t 3e 2 t 2.5e 3 t （拉氏反变换）
③真分式有共轭复根情况
k1 k2 t Z ( s ) z ( t ) 2 k1 e cos( t k1 ) s j s j
常用的几个初等函数的拉氏变换
(t ) 1
1 (t ) s
( n) (t ) s n
A A s
s cos( t ) 2 s 2
e
at
sin( t ) 2 s 2
e
at
sa cos( t ) ( s a )2 2
e
at
若n m，则F(s)为假分式；若n<m，则F(s)为真分式 ①有理函数真分式化
P( s) ˆ A( s ) F ( s) P( s) B( s ) B( s )
②真分式的单极点情况 反变换是，’ ”等的线性组 合 n n ki A( s ) A( s ) Z ( s) z ( t ) ki e pi t
* K1 K1 K2 s2 3s 7 F ( s) 2 2 ( s 2) 3 ( s 1) s ( 2 j 3) s ( 2 j 3) s 1
系数
K 1 s ( 2 j 3) F ( s ) s 2 j 3 0.264e j 18.4
网络分析方法的运算形式
根据电路的时域模型建立相应的复频域模型，储能元件的 初始储能用附加电源反映。然后线性电阻电路的任一种分 析方法包括网络定理均可应用于复频域分析。
• 戴维南定理
线性含源 s) Zeq ( 初态 U0


oc ( s )
U (s U ( s ))
U C (s)

积分性质及其应用 ℒ [ 0
t
F ( s) f ( )d ] s
（ℒ [ f (t )] F ( s)）
电感器特性方程及其复频域形式与等效模型
1 t i L ( t ) uL ( t )dt i L (0 ) L 0 i L (0 ) 1 I L ( s) U L ( s) Ls s
解得 所以
12 s 3 3 3 U c 2 ( s ) U n1 ( s ) 2 2 s s s s 0.5
k2 ( s 1) F ( s ) s 1 0.5
s2 3s 7 的原函数为 F ( s) 2 ( s 4 s 13)( s 1)
f ( t ) 2 0.264e 2 t cos( 3t 18.4) 0.5e 1t
④真分式有重极点情况
ni r kij R( s ) Z ( s ) n1 nr ( s pi ) j ( s p1 ) ( s pr ) i 1 j 1

I (s) I (s)
N
L L

复频域阻抗Zeq(s)是双零条件下(独立源置零，初态置零)的等值 运算阻抗；Uoc(s)是独立源和初态共同作用下的端口开路电压 复频域中等效为附加电源
运算法求解电路的基本步骤 1、确定换路前电路的初始条件：uC(0-)、iL(0-) 2、作出换路后电路的运算模型：各电压电流方向 不变，注意反映储能元件初始值的附加电源的极性。 3、根据运算模型求待求量的象函数：可使用解直 流电路的各种分析方法，必要时也可用终值定理和 初值定理校验象函数是否正确。 4、拉氏反变换求待求量的原函数：包括象函数求 根，分解成部分因式，然后逐个求反变换。
I L (s)

L

Ls
LiL (0 )
U L (s)

电容器特性方程及其复频域形式与等效模型
duC ( t ) iC ( t ) C dt
iC (t )

运算容纳
IC ( s ) CsUC ( s ) CuC (0 )
CvC (0 )
=0
C
uC (t )

IC (s)

Cs
lim f ( t ) lim sF ( s )
t 0 s
在象函数反变换之前可用来校验是否正确
§6.2 拉普拉斯反变换
a0 s n a1 s n1 an1 s an P( s) 一般通过查表得到原函数，复杂的需要数学处理 F ( s) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm B( s )
iL (0 ) s
I L (s)

1 Ls
U L (s)

电感器特性方程及其复频域形式与等效模型
diL ( t ) uL ( t ) L dt
L iL (t ) uL (t )

U L ( s ) LsI L ( s ) LiL (0 )
I L (s)

Ls
LiL (0 )
1 d ni j ( s pi )ni Z ( s ) 其中 kij s pi ( ni j )! ds ni j
ni kij pi t j 1 Z ( s ) z(t ) t e i 1 j 1 ( j 1)!
第六章
动态电路的复频域分析
采用拉普拉斯变换求解动态电路响应的方法，又 称运算法。是研究线性时不变网络的非常重要和 有效的工具。 KCL、KVL、VCR 经典法 微分方程 解 动态电路 一阶 三要素 初值、终值、时间常数 拉 氏 求 氏 反 解 变 变 并 换 换 拉 代数方程 运算电路、t0-时刻的值 KCL、KVL、VCR


微分性质及其应用
d ℒ [ f (t )] sF ( s ) f (0 ) dt
（ℒ [ f (t )] F ( s)）
运算感抗 =0
电感器特性方程及其复频域形式与等效模型
diL ( t ) uL ( t ) L dt
iL (t ) uL (t )
U L ( s ) LsI L ( s ) LiL (0 )
iL (0 ) s
I L (s)

1 Ls
U L (s)

电容器特性方程及其复频域形式与等效模型
1 t uC ( t ) iC ( t )dt uC (0 ) C 0 uC (0 ) 1 UC ( s) IC ( s) Cs s
1 Cs
uC (0 ) s
IC (s)
则
k1 k2 ( s j ) Z ( s ) s j

s2 3s 7 例：求 F ( s ) ( s 2 4 s 13)( s 1) 的原函数
求极点
s2 3s 7 F ( s) 2 ( s 4 s 4 9)( s 1)
* K1 K1 K2 s2 3s 7 2 2 ( s 2) 3 ( s 1) s ( 2 j 3) s ( 2 j 3) s 1
求系数
K 1 s ( 2 j 3) F ( s ) s 2 j 3 0.264e j 18.4
0 t
一个线性电路对任意激励f(t)的零状态响应等于激励函数 f(t)和该电路的冲激响应h(t)的卷积。
1 F (s)
N ( s)
H ( s)
H (s) F (s)
ℒ [ f (t )* h(t )] F ( s) H ( s) 网络函数
网络函数取决于网络拓扑及元件参数，所以根据s域模型 可以求得指定响应对激励的网络函数，由
U L (s)

积分性质及其应用 ℒ [ 0
t
F ( s) f ( )d ] s
（ℒ [ f (t )] F ( s)）
电感器特性方程及其复频域形式与等效模型
1 t i L ( t ) uL ( t )dt i L (0 ) L 0 i L (0 ) 1 I L ( s) U L ( s) Ls s
B( s ) ( s p1 ) ( s pn )
i 1
s pi
i 1
其中
ki ( s pi ) Z ( s ) s p
i
s2 3s 5 的原函数 例：试求 F ( s ) 3 2 s 6 s 11s 6
s2 3s 5 解： F ( s ) ( s 1)( s 2)( s 3)
ℒ-1[F ( s) H ( s)] f (t )* h(t ) y(t ) 便可得到待求响应
终值定理与初值定理及其应用 则 设 ℒ [ f (t )] F ( s ) 且 lim f ( t ) 存在， t
lim f ( t ) lim sF ( s )
t s0
则 设 ℒ [ f (t )] F ( s ) 且 lim F ( s ) 存在， s
t<0时电路处于稳态，uc1(0_)=0，t=0时开关闭合，求t>0时的uc2
t=0
+ 9V _ 解
uc1_ + 0.5F 3Ω 0.5F
3Ω + u _ c2
3A 3Ω
3 uc 2 (0 ) 3 3 3 V 3 6
2 s
9 s _
t>0时运算电路 +
1
2 s
3Ω + Uc2(s) _
i
k 1
n
复频域形式
k
(t ) 0
I
k 1
n
k
( s) 0
u (t ) 0
k 1 k
m
U
k 1
m
k
( s) 0
电阻器特性方程
u(t ) Ri (t )
时域模型
i (t )
R u (t )
复频域形式
U ( s ) RI ( s )
s 域模型
R I (s) U (s)