最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数》同步训练
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数及其性质》典型例题
拓展延伸应用点一 指数函数的识别【例1】下列函数中，哪些是指数函数？①y ＝10x ；②y ＝10x ＋1；③y ＝10x ＋1；④y ＝2·10x ；⑤y ＝(－10)x ；⑥y ＝(10＋a )x (a ＞－10，且a ≠－9)；⑦y ＝x 10.思路分析：根据指数函数的定义，必须是形如y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的函数才叫指数函数． 解：①y ＝10x 符合定义，是指数函数； ②y ＝10x＋1是由y ＝10x 和y ＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；③y ＝10x ＋1是由y ＝10x 和y ＝1这两个函数相加得到的复合函数；④y ＝2·10x 是由y ＝2和y ＝10x 这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数； ⑤y ＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a ＞0，且10＋a ≠1，即底数是符合要求的常数，故y ＝(10＋a )x (a ＞－10，且a ≠－9)是指数函数；⑦y ＝x 10的底数不是常数，故不是指数函数． 综上可知，①⑥是指数函数．若函数y ＝(a －3)·(2a －1)x 是指数函数，则a 的值为__________． 应用点二 求指数型函数的定义域和值域 【例2】求下列函数的定义域和值域． (1)13y 2x －＝；(2)221()2x x y －＝. 思路分析：(1)中先令t ＝1x －3，(2)中令t ＝2x －x 2，求出t 的范围．解：(1)函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠3}． 令t ＝1x －3，则t ≠0，∴y ＝2t ＞0且2t ≠1，故函数的值域为{y |y ＞0且y ≠1}．(2)函数的定义域为R ，令t ＝2x －x 2，则t ＝－(x －1)2＋1≤1， ∴y ＝(12)t ≥(12)1＝12.故函数的值域为[12，＋∞)．(1)求函数y ＝a x －1的定义域(其中a ＞0，且a ≠1)． (2)求函数y ＝a x －1a x ＋1的值域(其中a ＞0，且a ≠1)．应用点三 用指数函数的性质比较大小 【例3】比较下列各组数的大小：(1)1.9－π与1.9－3；(2)20.70.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.思路分析：(1)利用函数y ＝1.9x 的单调性；(2)利用函数y ＝0.7x 的单调性；(3)利用函数y ＝0.6x 和y ＝0.4x 的单调性及图象关系．解：(1)由于指数函数y ＝1.9x 在R 上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.(2)因为函数y ＝0.7x 在R 上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以20.70.70.3.(3)因为y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y 轴右侧，函数y ＝0.6x 的图象在y ＝0.4x 的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b 应用点四 求指数型函数的单调区间【例4】求指数函数y ＝(12)|x －1|的单调增区间和单调减区间．思路分析：先作出函数y ＝(12)|x |的图象，再将其图象沿x 轴正方向平移1个单位长度即可得到y ＝(12)|x －1|的图象，根据其图象即可求其单调区间．解：y ＝(12)|x |＝⎩⎨⎧(12)x，x ≥0，(12)－x，x <0，图2.1.2-2在坐标系中作出其函数图象，再将y ＝(12)|x |图象沿x 轴正方向平移1个单位长度即得y＝(12)|x －1|的图象，如图2.1.2-2所示． 故单调增区间为(－∞，1]，单调减区间为[1，＋∞)．求函数221()2x xy －＋＝的单调区间．应用点五 解指数方程或指数不等式【例5】(1)解方程4x ＋2x －6＝0；(2)解关于x 的不等式a－5x＞a x ＋7(a ＞0，且a ≠1)．思路分析：(1)可换元转化为一元二次方程；(2)可依据指数函数的单调性，对a 分类讨论求解．解：(1)原方程化为(2x )2＋2x －6＝0，令t ＝2x ，则t ＞0， ∴t 2＋t －6＝0，即(t ＋3)(t －2)＝0.∴t ＝2或t ＝－3. ∵t ＞0，∴取t ＝2，即2x ＝2.∴x ＝1. (2)①当a ＞1时，∵a－5x＞a x ＋7，∴－5x ＞x ＋7，解得x ＜－76.②当0＜a ＜1时，∵a－5x＞a x ＋7，∴－5x ＜x ＋7，解得x ＞－76.综上所述，当a ＞1时，原不等式的解为(－∞，－76)；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为(－76，＋∞)．设y 1＝a 3x －1，y 2＝a x －4(a ＞0，且a ≠1)，确定x 为何值时，有(1)y 1＝y 2；(2)y 1＞y 2.应用点六 指数型函数的图象问题【例6】(1)函数y ＝a x －5＋6(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点______．(2)利用函数f (x )＝(12)x 的图象，作出下列各函数的图象：①f (x －1)；②f (x ＋1)；③－f (x )；④f (－x )；⑤f (x )－1.思路分析：(1)可利用指数函数图象恒过定点来解决；(2)作图前应先分别探究每一个函数的定义域、值域、对称性、单调性，从而掌握图象的大致变化趋势，分析出与已知函数图象的关系，利用相应的函数图象的变换作出各自的图象．解：(1)∵函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点(0,1)，∴在函数y ＝a x －5＋6中，令x －5＝0，得x ＝5，y ＝7，即y ＝a x －5＋6的图象恒过定点(5,7)．(2)图象如图2.1.2-3所示．图2.1.2-3如图所示，是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()．A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c迁移1.4解析：函数为指数函数的条件是31210211aaa⎧⎪⎨⎪⎩－＝，－＞，－≠，解得a＝4.迁移2.解：(1)要使函数有意义，则a x－1≥0.由a x－1≥0，得a x≥1.当a≥1时，x≥0，当0＜a＜1时，x≤0.因此，当a＞1时，定义域为[0，＋∞)；当0＜a＜1时，定义域为(－∞，0]．(2)由y＝11xxaa－＋＝211ax－＋，又∵a x＞0，∴a x＋1＞1.∴0＜11xa＋＜1.∴0＜21xa＋＜2，即－2＜－21xa＋＜0.∴－1＜1－21xa＋＜1.∴y∈(－1,1)．迁移3.D解析：先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．迁移4.解：定义域是R，令u＝－x2＋2x，则y＝(12)u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，y＝(12)u是减函数，所以函数y＝(12)－x2＋2x在(－∞，1]上是减函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，y＝(12)u是减函数，所以函数y＝(12)－x2＋2x在[1，＋∞)上是增函数．综上，函数y＝(12)－x2＋2x的单调增区间是[1，＋∞)，单调减区间是(－∞，1]．迁移5.解：(1)由题意得a3x－1＝a x－4，则3x－1＝x－4，解得x＝－3 2 .(2)当a＞1时，a3x－1＞a x－4，则3x－1＞x－4，解得x＞－32；当0＜a＜1时，a3x－1＞a x－4，则3x－1＜x－4，解得x＜－3 2 .迁移6.B解析：解决本题的关键是在y轴右侧画一条与y轴平行的直线，让它与函数①②③④的图象都相交，由于在y轴右侧，图象越高，底数越大，则c＞d＞a＞b.又因为①②递减，③④递增，所以c＞d＞1＞a＞b.。
人教A版数学必修一§2.1指数与指数函数同步单元练习
人教A 版数学必修一§2.1指数与指数函数同步单元练习(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列等式36a 3＝2a ；3－2＝6(－2)2；－342＝4(－3)4×2中一定成立的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．把函数y ＝f (x )的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y ＝2x 的图象，则( )A ．f (x )＝2x ＋2＋2B ．f (x )＝2x ＋2－2C ．f (x )＝2x －2＋2D ．f (x )＝2x －2－23．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是( )4.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <05．设232555322(),(),()555a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0; ②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c; ④2a ＋2c <2.7．若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________. 8．函数f (x )＝223x x am +-+(a >1)恒过点(1,10)，则m ＝________.9．设函数f (x )＝a －|x |(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则f (－2)与f (1)的大小关系是__________．三、解答题(共41分)10．(13分)(1)计算：22110.5332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]89----+÷⨯÷0.062 50.25；(2)化简：41233322338(4a a b aa b a--÷-⨯+a ·3a 25a ·3a(式中字母都是正数)．11.(14分)已知对任意x ∈R ，不等式222411()22x mx m x x-+++>恒成立，求实数m 的取值 范围．12．(14分)已知函数f (x )＝21(0)21(1)x c cx x c c x -+<<⎧⎪⎨⎪+≤<⎩满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1.指数与指数函数答案1．A2．C 3．B 4．D 5．A6．④7.5±128．9 9．f(－2)>f(1)10．解(1)原式＝22113324 8491000625[()()()()27981010000-+÷＝⎝⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝⎛⎭⎫－179＋2×2＝29.(2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a ab a b a aaa ab b a a--⋅÷⨯+⋅+⋅＝51116333111336(2)2a aa a ba b a-⨯⨯-＝12233.a a a a⨯⨯=11．解由题知：不等式222411()()22x x x mx m+-++>对x∈R恒成立，∴x2＋x<2x2－mx＋m＋4对x∈R恒成立．∴x2－(m＋1)x＋m＋4>0对x∈R恒成立．∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋4)<0.∴m2－2m－15<0.∴－3<m<5.12．解(1)依题意0<c<1，∴c2<c，∵f(c2)＝98，∴c3＋1＝98，c＝12.(2)由(1)得f(x)＝⎩⎨⎧12x＋1(0<x<12)2－4x＋1(12≤x<1)，由f(x)>28＋1得当0<x <12时，12x ＋1>28＋1，∴24<x <12，当12≤x <1时，2－4x ＋1>28＋1，∴12≤x <58. 综上可知，24<x <58， ∴f (x )>28＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |24<x <58.。
高中数学必修一第二章2.1.2指数函数及其性质习题(含答案)
2.1.2 指数函数及其性质知识清单1．指数函数的概念一般地，______________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >1 0<a<1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性 质 过定点过点______，即x ＝____时，y ＝____函数值 的变化 当x >0时，______； 当x <0时，________ 当x >0时，________； 当x <0时，________单调性是R 上的________是R 上的________基础练习一、填空题1．下列以x 为自变量的函数中，是指数函数的是______．(填序号)①y ＝(－4)x ；②y ＝πx ；③y ＝－4x ；④y ＝a x ＋2(a >0且a ≠1)． 2．函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则a 的值为________． 3．函数y ＝a |x |(a >1)的图象是________．(填序号)4．已知f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝3x，那么f (2)＝________.5．如图是指数函数 ①y ＝a x ； ②y ＝b x ； ③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是________．6．函数y ＝(12)x －2的图象必过第________象限．7．函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值为____．8．若函数y ＝a x －(b －1)(a >0，a ≠1)的图象不经过第二象限，则a ，b 需满足的条件为________．9．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 二、解答题10．比较下列各组数中两个值的大小：(1)0.2－1.5和0.2－1.7； (2)1314⎛⎫⎪⎝⎭和2314⎛⎫⎪⎝⎭； (3)2－1.5和30.2.11．2000年10月18日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把3年作为垃圾体积加倍的周期，请你完成下面关于垃圾的体积V (m 3)与垃圾体积的加倍的周期.(1) (2)根据报纸所述的信息，你估计3年前垃圾的体积是多少？ (3)如果n ＝－2，这时的n ，V 表示什么信息？(4)写出n 与V 的函数关系式，并画出函数图象(横轴取n 轴)． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a >b )，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是________．(填序号)13．定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足对任意的实数x ，y 都有f (x y )＝yf (x )． (1)求f (1)的值；(2)若f (12)>0，解不等式f (ax )>0.(其中字母a 为常数)．能力提升一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.知识清单1．函数y ＝a x (a >0，且a ≠1) R 2.(0,1) 0 1 y >1 0<y <1 0<y <1 y >1 增函数 减函数 基础练习 1．②解析 ①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④中的函数可化为y ＝a 2·a x ，a x 的系数不是1，故也不是指数函数． 2．2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 3．②解析 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x <0时的函数图象．4．－19解析 当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝3－x ，即－f (x )＝(13)x ，∴f (x )＝－(13)x .因此有f (2)＝－(13)2＝－19.5．b <a <1<d <c解析 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a )、(1，b )、(1，c )、(1，d )，由图象可知纵坐标的大小关系． 6．二、三、四解析 函数y ＝(12)x 的图象上所有的点向下平移2个单位，就得到函数y ＝(12)x －2的图象，所以观察y ＝(12)x －2的图象可知．7.18解析 由题意a 2＝4，∴a ＝2.f (－3)＝2－3＝18.8．a >1，b ≥2解析 函数y ＝a x －(b －1)的图象可以看作由函数y ＝a x 的图象沿y 轴平移|b －1|个单位得到．若0<a <1，不管y ＝a x 的图象沿y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当a >1时，由于y ＝a x 的图象必过定点(0,1)，当y ＝a x 的图象沿y 轴向下平移1个单位后，得到的图象不经过第二象限．由b －1≥1，得b ≥2.因此，a ，b 必满足条件a >1，b ≥2. 9．[0,8)解析 y ＝8－23－x ＝8－23·2－x ＝8－8·(12)x＝8[1－(12)x ]．∵x ≥0，∴0<(12)x ≤1，∴－1≤－(12)x <0，从而有0≤1－(12)x <1，因此0≤y <8.10．解 (1)考察函数y ＝0.2x . 因为0<0.2<1，所以函数y ＝0.2x 在实数集R 上是单调减函数．又因为－1.5>－1.7，所以0.2－1.5<0.2－1.7.(2)考察函数y ＝(14)x .因为0<14<1，所以函数y ＝(14)x 在实数集R 上是单调减函数．又因为13<23，所以1314⎛⎫ ⎪⎝⎭>2314⎛⎫ ⎪⎝⎭1.(3)2－1.5<20，即2－1.5<1；30<30.2，即1<30.2，所以2－1.5<30.2.11．解 (1)由于垃圾的体积每3年增加1倍，24年后即8个周期后，该市垃圾的体积是50 000×28＝12 800 000(m 3)．(2)根据报纸所述的信息，估计3年前垃圾的体积是50 000×2－1＝25 000(m 3)．(3)如果n ＝－2，这时的n 表示6年前，V 表示6年前垃圾的体积． (4)n 与V 的函数关系式是V ＝50 000×2n ，图象如图所示．(5)因为对任意的整数n,2n >0，所以V ＝50 000×2n >0，因此曲线不可能与横轴相交． 12．①解析 由题意f (x )＝1⊕2x＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0；2x ， x <0.13．解 (1)令x ＝1，y ＝2，可知f (1)＝2f (1)，故f (1)＝0.(2)设0<x 1<x 2，∴存在s ，t 使得x 1＝(12)s ，x 2＝(12)t ，且s >t ，又f (12)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f [(12)s ]－f [(12)t ]＝sf (12)－tf (12)＝(s －t )f (12)>0，∴f (x 1)>f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 又∵f (ax )>0，x >0，f (1)＝0， ∴0<ax <1，当a ＝0时，x ∈∅，当a >0时，0<x <1a ，当a <0时，1a<x <0，不合题意．故x ∈∅.综上：a ≤0时，x ∈∅；a >0时，不等式解集为{x |0<x <1a}．能力提升 1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P . 2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2. 6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x<()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增，比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。
高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)1.1指数与指数幂的运算基础训练(含解析)新人教A版必修1
指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练题组一 根式的概念及其性质1.(2020福建三明第一中学高一月考)下列各式正确的是 ( )A.√(-3)2=3B.√a 44=a C.(√-23)3=2D.√(-2)33=22.若2<a <3,则√(2-a )2+√(3-a )44的化简结果是( )a a 53.已知xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,则有 ( )A .xy <0B .xy >0C .x >0,y >0D .x <0,y >04.若√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,则(x2019)y= .5.已知a <b <0,n >1,n ∈N *,化简√(a -a )aa+√(a +a )aa.题组二 分数指数幂及其运算6.(2020广东佛山一中高一月考)下列运算结果中,一定正确的是 ( )A.a 3·a 4=a 7B.(-a 2)3=a 6C.√a 88=aD.√(-π)55=π7.(2020广东佛山一中高一上第一次段考)√a ·√a 3的分数指数幂表示为 ( )A.a 12B.a 32C.a 34D.都不对8.(2020浙江高一月考)计算:π0+22×(94)12= ;化简:(√√a 963)4(√√a 936)4= .9.化简下列各式.(1)√23√56√34;(2)(a 23·a 14·z 1)·(x 1·a 34·z 3)-13; (3)(14)2+(6√6)-13+√3+√2√3-√2(1.03)0×(-√62). 题组三 条件求值问题10.已知x =1+2b ,y =1+2b,若用x 表示y ,则y = ( )A.a +1a -1B.a +1aC.a -1a +1D.a a -111.(2020山东师范大学附属中学高一月考)已知a ,b ∈R,若8a=223b,则a +b = . 12.已知x =27,y =64,化简并计算:5a -23a 12(-14a -1a 12)·(-56a 13a 16).13.(2020浙江塘栖中学高一期末)若a 12+a -12=3,求下列代数式的值. (1)x 2x 2; (2)a 32a -32.能力提升练一、选择题1.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)若a <14,则化简√(4a -1)24的结果是( )A.√4a -1B.√1-4a√4a -1 √1-4a2.(2020河北衡水安平中学高一月考,)设α,β是方程2x 2+3x +1=0的两根,则(14)a +a的值为 ( )B.18183.(2020河南鹤壁高中高三月考,)已知a +a 1=3,则下列各式中正确的个数是 ( )①a 2+a 2=7;②a 3+a 3=18; ③a 12+a -12=±√5;④a √a +a√a=2√5.4.(2020广东深圳中学高一月考,)若a +b =a 13,ab =16a 23(m >0),则a 3+b 3=( )B.a2a2D.3a 2二、填空题5.(2020湖南邵阳第十一中学高一期中,)设2x =8y +1,9y =3x 9,则x +y = .6.()已知a =3,则11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a 的值为 .7.()(√3+√2)2020×(√3√2)2021= .三、解答题8.(2020山西晋中平遥二中高一月考,)(1)(√8)-23×(√1023)92÷√105;(2)2×(√23×√3)6+(√2√2)434×(1649)-12√24×80.25+(2019)0.9.(2020甘肃兰州一中高一月考,)(1)计算:(0.0081)-143×7801×810.25+278-13-12;(2)已知a 12+a -12=3,求a 2+a 2的值.10.()已知x =12,y =23,求√a +√a √a -√a √a -√a√a +√a的值.11.(2020云南丽江高一月考,)已知方程x 28x +4=0的两根分别为x 1,x 2(x 1<x 2).(1)求a 1-2a 2-2的值;(2)求x 1-12x 2-12的值.答案全解全析 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算基础过关练1.C 对于A 选项,√(-3)2=3,故A 选项错误;对于B 选项,√a 44=|a |,故B 选项错误;对于C 选项,(√-23)3=2,故C 选项正确;对于D 选项,√(-2)33=2,故D 选项错误.故选C .2.C 原式=|2a |+|3a |, ∵2<a <3,∴原式=a 2+3a =1.3.A 因为xy ≠0且√4a 2a 2=2xy ,所以xy <0.4.答案 1解析 因为√a 2+2a +1+√a 2+6a +9=0,所以√(a +1)2+√(a +3)2=|x +1|+|y +3|=0,所以x =1,y =3.所以(x2019)y=[(1)2019]3=(1)3=1.5.解析 当n 是奇数时,原式=(ab )+(a +b )=2a ; 当n 是偶数时,因为a <b <0,所以ab <0,a +b <0, 所以原式=|ab |+|a +b | =(ba )+(ab )=2a.所以√(a -a )aa+√(a +a )aa={2a ,a 为奇数,-2a ,a 为偶数(n >1,n ∈N *). 6.A a 3a 4=a 3+4=a 7,故A 正确;(a 2)3=a 6,故B 不正确;√a 88=|a |,故C 不正确;√(-π)55=π,故D 不正确.故选A .7.A 原式=√a ·a 123=√a 323=(a 32)13=a 12,故选A . 8.答案118;a 4解析 根据指数幂的运算,化简可得 π0+22×(94)12=1+14×32=118. 由根式与指数幂的转化,可得(√√a 9634(√√a 9364=(√a 963)4(√a 36)4=(a96×3)4(a 36)4=a9×46×3·a3×46=a 2·a 2=a 4. 方法点拨 根指数分数指数的分母,被开方数(式)的指数分数指数的分子.9.解析 (1)原式=a 13a 23a 56a 34=a 13-56a 23-34=a -12a -112.(2)原式=(a 23a 14z 1)·(a 13a -14z 1)=a23+13a 14-14z 11=xz 2.(3)原式=116+√6+(√3+√2)21×(-√62)=116+√6+5+2√6+√62=81+56√616. 10.D 由x =1+2b,得2b=x 1, ∴y =1+2b=1+12a =1+1a -1=aa -1.11.答案 23解析 8a=223b⇒23a=223b⇒3a =23b ⇒a +b =23.12.解析 原式=5a -23a 12524a -23a 23=24a -16.将y =64代入,得原式=24×64-16=24×(26)-16=24×21=12.13.解析 (1)因为a 12+a -12=3,所以(a 12+a -12)2=9,整理得x +x 1=7,令t =a 12a -12,则t 2=(a 12-a -12)2=x +x 12=5,所以a 12a -12=±√5, 所以x 2x 2=(x +x 1)·(xx 1)=(x +x 1)·(a 12+a -12)(a 12a -12) =7×3×(±√5)=±21√5.(2)a 32a -32=(a 12a -12)·(x +x 1+1)=±8√5.能力提升练一、选择题1.B ∵a <14,∴4a 1<0, ∴√(4a -1)24=√1-4a .故选B . 2.A 由题意可知α+β=32,则(14)a +a=(14)-32=432=√43=8,故选A .3.C ①a 2+a 2=(a +a -1)22=92=7,正确; ②a 3+a 3=(a +a 1)(a 21+a 2)=3×(71)=18,正确;③因为a +a 1=3,所以a >0,所以a 12+a -12>0,又(a 12+a -12)2=a +2+a 1=5,所以a 12+a -12=√5,故错误; ④a √a +a √a=a 32+a -32=(a 12+a -12)(a 1+a 1)=√5×(31)=2√5,正确.故选C .4.B a 3+b 3=(a +b )(a 2ab +b 2) =(a +b )[(a +b )23ab ] =a 13·(a 23-12a 23)=a2.故选B .二、填空题 5.答案 27解析 由2x =8y +1得2x =23y +3,所以x =3y +3①. 由9y=3x 9得32y=3x 9, 所以2y =x 9②. 由①②,得x =21,y =6, 所以x +y =27.6.答案 1 解析11+a 14+11-a 14+21+a 12+41+a=2(1+a 14)(1-a 14)+21+a 12+41+a=21-a 12+21+a 12+41+a=4(1-a 12)(1+a 12)+41+a =41-a +41+a =8(1-a )(1+a )=81-a 2.因为a =3,所以原式=1. 7.答案 √3√2 解析 (√3+√2)2020×(√3√2)2021=[(√3+√2)(√3√2)]2020×(√3√2)=12020×(√3√2)=√3√2.三、解答题8.解析 (1)原式=(232)-23×(1023)92÷1052=21×103×10-52=21×1012=√102. (2)原式=2×(213×312)6+(212×214)434×74214×234+1=2×22×33+272+1=210. 9.解析 (1)原式=(34×104)-1431×[(34)-14+23]-12=31×1013×(13+23)-12=3.(2)由a 12+a -12=3,得(a 12+a -12)2=9,即a +a 1+2=9,∴a +a 1=7,∴(a +a 1)2=49,即a 2+a 2+2=49,∴a 2+a 2=47. 10.解析√a +√a √a -√a √a -√a √a +√a=(√a +√a )2a -a (√a -√a )2a -a =4√aaa -a.将x =12,y =23代入上式,则原式=4√12×2312-23=4√13-16=24√13=8√3.11.解析 ∵x 1,x 2是方程x 28x +4=0的 两根,∴x 1+x 2=8,x 1·x 2=4.(1)a 1-2a 2-2=(a 1+a 2)(a 2-a 1)(a 1a 2)2=a 2-a 12=√(a 1+a 2)2-4a 1a 22=√64-4×42=2√3. (2)x 1 -12x 2-12=√a +a -2√a a √a a=√8-2×22=1.。
【数学】新人教A版高中数学必修121指数函数同步测试题3套
【关键字】数学限时作业14 指数与指数函数一、选择题1.设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1),则下列等式不正确的是( )A.f(x+y)＝f(x)·f(y)B.f((xy)n)＝fn(x)·fn(y)C.f(x-y)＝D.f(nx)＝fn(x)解析:f(x+y)＝a x+y＝ax·ay＝f(x)·f(y);f(x-y)＝a x-y＝;f(nx)＝a nx＝(ax)n＝fn(x);而f［(xy)n］＝a(xy)n≠fn(x)·fn(y)＝(ax)n·(ay)n＝a nx+ny.答案:B2.若a＜0,则( )A＞()a＞(0.2)a B.(0.2)a＞()a＞C.()a＞(0.2)a＞ D＞(0.2)a＞()a解析:∵a＜0,∴＜0,()a＞1,＞1.而＝()a∈(0,1),∴()a＜.答案:B3.若函数y＝4x-3·2x+3的定义域为集合A,值域为［1,7］,集合B＝(-∞,0］∪［1,2］,则集合A与集合B的关系为( )A.ABB.A＝BC.BAD.AB解析:1≤4x-3×2x+3≤7,-1≤2x≤1或2≤2x≤4,∴x≤0或1≤x≤2.∴A＝(-∞,0］∪［1,2］.答案:B4.设函数f(x)＝a-|x|(a＞0且a≠1),f(2)＝4,则( )A.f(-2)＞f(-1)B.f(-1)＞f(-2)C.f(1)＞f(2)D.f(-2)＞f(2)解析:∵f(2)＝a-2＝4,∴.∴f(x)＝()-|x|＝2|x|.又f(x)在R上是偶函数,在(0,+∞)上递增,∴f(-2)＝f(2),f(-1)＝f(1),f(2)＞f(1).∴f(-2)＞f(-1).答案:A5.已知a＞0且a≠1,f(x)＝x2-ax.当x∈(-1,1),均有f(x)＜,则实数a的取值范围是( )A.(0,］∪［2,+∞)B.［,1)∪(1,4］C.［,1)∪(1,2］D.(0,)∪［4,+∞)解析:f(x)＜x2-ax＜ax＞,x∈(-1,1).考察y＝ax和的图象,当a＞1时,y＝ax单调递增,∴a-1≥.∴1＜a≤2.当0＜a＜1时,y＝ax单调递减,∴a≥.∴≤a＜1.综上,≤a＜1或1＜a≤2.答案:C6.定义运算:如1*2＝1,则函数f(x)＝2x*2-x-x的值域为( )A.RB.(0,+∞)C.(0,1］D.［1,+∞) 解析:作出f(x)的图象(实线部分)如下: 由图可知,f(x)的值域为(0,1］. 答案:C7.设函数若f(x)是奇函数,则g(2)的值是( ) A. B.. D.4 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-2)＝2-2＝＝-f(2)＝-g(2). ∴g(2)＝. 答案:A 二、填空题 8.9x -6·3x -7＝0的解是___________. 解析:方程化为32x -6·3x -7＝0, 即(3x -7)(3x +1)＝0.∴3x ＝7或3x ＝-1(舍去). ∴x ＝log 37. 答案:x ＝log 379.函数y ＝(41)-|x|的值域为___________. 解析:-|x|≤0,∴(41)-|x|≥1,即y ≥1.∴值域为［1,+∞). 答案:［1,+∞)10.已知f(x)＝a x +a-x (a ＞0且a≠1),且f(1)＝3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是___________. 解析:f(1)＝a+a -1＝3,∴f(0)+f(1)+f(2)＝a 0+a 0+a+a -1+a 2+a -2＝2+3+(a+a -1)2-2＝12. 答案:12 三、解答题 11.已知函数3)21121()(x x f x+-=. (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)证明f(x)＞0.解:(1)由2x -1≠0,得2x ≠1,∴x≠0.∴f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)∵3)12(212)(x x f xx •-+=, ∴)()12(212)()21(221)()12(212)(333x f x x x x f xx x x x x =•-+=-•-+=-•-+=---. ∴f(x)是偶函数.(3)证明:当x ＞0时,2x ＞1,2x -1＞0,x 3＞0,∴)21121+-(x ·x 3＞0. ∴f(x)＞0.∵f(x)是偶函数,∴当x ＜0时,f(x)＝f(-x)＞0. 综上可得f(x)＞0.12.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+4)＝f(x),当2≤x ≤6时,f(x)＝(21)|x-m|+n,f(4)＝31. (1)求m,n 的值;(2)比较f(log 2m)与f(log 2n)的大小. 解:(1)由题意,知f(2)＝f(6), ∴(21)|2-m|+n ＝(21)|6-m|+n. ∴|2-m|＝|6-m|. ∴m ＝4.∴f(x)＝(21)|x-4|+n. ∴f(4)＝(21)|4-4|+n ＝1+n ＝31.∴n ＝30.故m ＝4,n ＝30.(2)f(x)的图象关于x ＝4对称,且在(4,+∞)上递减. 又|log 2m-4|＝|log 24-4|＝2, |log 2n-4|＝|log 230-4|＝21630log 2<, ∴f(log 2m)＜f(log 2n).13.定义域为R 的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x-2k)(k ∈Z ),且当x ∈(0,1)时,142)(+=x xx f .(1)求f(x)在［-1,1］上的解析式; (2)证明f(x)在(0,1)上是减函数;(3)当m 取何值时,方程f(x)＝m 在(0,1)上有解. 解:(1)设-1＜x ＜0,则0＜-x ＜1,∴)(412142)(x f x f xxxx -=+=+=---. ∴142)(+-=x xx f ,x ∈(-1,0).∵f(x)为奇函数, ∴f(0)＝-f(0). ∴f(0)＝0.又f(x)＝f(x-2k),k ∈Z , ∴f(1)＝f(1-2)＝f(-1).又f(-1)＝-f(1), ∴f(1)＝-f(1).∴f(1)＝0,f(-1)＝0.综上,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈+-±=∈+=).0,1(,142,1,0,0),1,0(,142)(x x x x f x x xx(2)证明:设0＜x 1＜x 2＜1,则f(x 1)-f(x 2)＝)14)(14()122)(22(1421422121122211++-•-=+-+x x x x x x x x x x . ∵0＜x 1＜x 2＜1, ∴1222,22212121>=•<+x x x x x x .∴0122,0222112>-•>-x x x x .又014,01421>+>+x x,∴f(x 1)-f(x 2)＞0,f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0,1)上是减函数.(3)由(2)可知,f(x)在(0,1)上单调递减,∴当x ∈(0,1)时,有14211+＜f(x)＜14200+,即52＜f(x)＜21. ∴要使方程f(x)＝m 在(0,1)上有解,需52＜m ＜21. 故m ∈(52,21). 2.1 指数函数基础训练1、4 (-3)4的值是（ ）A 、3B 、-3C 、±3D 、81 2、(1681)-14的值是（）A 、23B 、32C 、481D 、-8143、设m,n ∈R,a,b>0,则下列各式中正确的有（ ）(1)a m .a n =a mn (2)(a m )n =a mn (3)(ab)n =a n b n(4)(a b )m =a m -b m (5) (a b)m =a m b -mA 、5B 、4C 、 3D 、2 4、a3a.5a4 (a>0)的值是（ ）A 、1B 、aC 、a 15D 、a 17105、在某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成（ ）A 、8B 、16C 、256D 、326、如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=a x, y=b x, y=c x,y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d 的大小顺序（ ）A 、a<b<c<dB 、a<b<d<cC 、b<a<d<cD 、b<a<c<d7、函数f(x)=(a-1)x在R 上是减函数，则a 的取值范围（ ） A 、0<a<1 B 、1<a<2 C 、a>1 D 、a>2 8、下列各不等式中正确的是（ ）A 、(12 )23 >(12 )13B 、223 >232C 、(12 )32 >223D 、(12)32 <2239、对于a>0,r,s ∈Q ，以下下运算中正确的是（ ） A 、a r a s=arsB 、(a r )s =ar+sC 、(a b)r =a r b -r D 、a r b s =(ab)r+s10、函数y=2x-1的值域是（ ）A 、RB 、（-∞，0）C 、（-∞，-1）D 、（-1，+∞） 能力提高11、（x 13 y -34）12=12、当8<a<10时，(a-8)2-(10-a)2=13、y=(2-a)x在定义域内是减函数，则a 的取值范围是 14、设a<a<1，使不等式a 12x -x2+>a53x -x2+成立的x 的集合是三、解答题15、已知x+x -1=3，求x 2+x -2的值。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数的图象及性质的应用》同步训练(第2课时)
第二课时指数函数的图象及性质的应用知识点一：指数函数的图象1．函数y＝a|x|(a＞1)的图象是2．下图是指数函数①y＝a x；②y＝b x；③y＝c x；④y＝d x的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c3．函数y＝a x－2＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2)4．函数y＝－2－x的图象一定过第__________象限．5．把函数y＝2x的图象经过怎样的平移可得到y＝2x－1＋2的图象？知识点二：指数函数的性质6．当x ∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x －2的值域是 A ．[1，53] B ．[－1,1]C ．[－53，1] D ．[0,1]7．函数y ＝(12)2x 2x－＋的单调递增区间是A ．(－∞，1]B ．[0,1]C ．[1，＋∞)D ．[1,2]8．函数y ＝(a －1)x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是A ．a ＞0且a ≠1B ．a ＞2C ．a ＜2D ．1＜a ＜29．已知(a 2＋a ＋2)x ＞(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是__________．10．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)＝1－2－x ，则不等式f(x)＜－12的解集是__________．能力点一：指数函数性质与图象综合问题11．若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0，且a ≠1)的图象经过一、三、四象限，则一定有 A ．a ＞1且b ＜1 B ．0＜a ＜1且b ＜0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．a ＞1且b ＜012．当a ≠0时，函数y ＝ax ＋b 和y ＝b ax 的图象只可能是13．下图是指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，已知a 的值取2，43，310，15，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 依次为A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43， 2 14．设f(x)是定义在R 上的函数，其图象关于原点对称，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝__________.15．方程3x －1＝19的解是__________．16．如果a －5x ＞a x ＋7(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围．能力点二：指数函数应用题17．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天18．世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口可相当于一个A ．新加坡(270万)B ．香港(560万)C ．瑞士(700万)D ．上海(1 200万)19．关于x 的方程(34)x ＝3a ＋25－a 有负根，求a 的取值范围．20．用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的34，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的1%，则至少要漂洗几次？21．已知f(x)＝10x －10－x10x ＋10－x，(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)在定义域内是增函数； (3)求f(x)的值域．答案与解析基础巩固1．B 该函数是偶函数．可先画出x ≥0时，y ＝a x 的图象，然后沿y 轴翻折过去，便得到x ＜0时的函数图象．2．B 作直线x ＝1与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1，a)、(1，b)、(1，c)、(1，d)，由图象可知纵坐标的大小关系．3．D 由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x －2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x－2＋1经过定点(2,2)．4．三、四 y ＝－(12)x ，它可以看作是指数函数y ＝(12)x 的图象作关于x 轴对称的图象，因此一定过第三象限和第四象限．5．解：先把函数y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到y ＝2x －1的图象，再把y ＝2x －1的图象向上平移2个单位就得到y ＝2x －1＋2的图象．6．C 因为f(x)＝3x －2在x ∈[－1,1]上是增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，即－53≤f(x)≤1.7．C 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则由y ＝(12)u 在u ∈R上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．8．D 由于y ＝a x 在a ∈(0,1)时在R 上为减函数， ∴0＜a －1＜1.∴1＜a ＜2.9．{x|x ＞12} a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74＞1.∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x ＞1－x ，解得x ＞12.∴x 的取值范围是{x|x ＞12}．10．(－∞，－1) ∵f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.当x ＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x )＝2x －1. 当x ＞0时，由1－2－x ＜－12，(12)x ＞32，得x ∈Ø；当x ＝0时，f(0)＝0＜－12不成立；因此当x ＜0时，由2x －1＜－12，2x ＜2－1，得x ＜－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 能力提升11．D 函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过一、三、四象限，则必有a ＞1；进而可知⎩⎨⎧a>1f (0)<0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a>11＋b －1<0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a>1，b<0.12．A13．B14．－1 ∵f(x)的图象关于原点对称， ∴f(－x)＝－f(x)．于是f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.15．－1 3x －1＝19＝3－2 ⇒x －1＝－2 ⇒x ＝－1.16．解：(1)当a ＞1时， ∵a －5x ＞a x ＋7，∴－5x ＞x ＋7，解得x ＜－76.(2)当0＜a ＜1时， ∵a －5x ＞a x ＋7，∴－5x ＜x ＋7，解得x ＞－76.综上所述，x 的取值范围是：当a ＞1时，x ∈(－∞，－76)；当0＜a ＜1时，x ∈(－76，＋∞)．17．C 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x ，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．18．D 两年增长的人口数为56(1＋0.001)2－56≈1 121(万)．19．解：∵y ＝(34)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴当x ＜0时，(34)x ＞(34)0＝1.∵(34)x ＝3a ＋25－a 有负根， ∴3a ＋25－a ＞1，即4a －35－a＞0. 该不等式与(4a －3)(5－a)＞0等价，解得34＜a ＜5.20．解：由题意可知，每次漂洗后，存留污垢为原来的14.于是，经过x 次漂洗后，存留污垢y ＝(14)x ，x ∈N .由(14)x ≤1100，得x ≥4，即至少要漂洗4次，才能使存留污垢不超过原来的1%. 拓展探究21．(1)解：f(x)＝10x －110x10x＋110x＝102x －1102x ＋1的定义域为R ，关于原点对称．又f(－x)＝10－2x －110－2x ＋1＝1－102x1＋102x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)证明：f(x)＝1－2102x ＋1，设x 1、x 2是R 上任意两实数且x 1＞x 2，则f(x 1)＝1－122101x +，f(x 2)＝1－222101x +.∴f(x 1)－f(x 2)＝222101x +－122101x +＝12121222210101010101101x x x x x x (-)(+)(+)(+)＞0. ∴f(x 1)＞f(x 2)． 故f(x)为增函数． (3)解：∵102x ＞0， ∴102x ＋1＞1.∴0＜2102x ＋1＜2.∴－1＜1－2102x ＋1＜1.∴f(x)的值域为(－1,1)．。
最新人教版高中数学必修1第二章《指数函数》课后训练
课后训练基础巩固1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则() A．A⊆B B．A BC．A＝B D．A∩B＝2．若12=0.5a，13=0.5b，14=0.5c，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．a＜b＜cC．a＜c＜b D．b＜c＜a3．函数y＝2x＋1的图象是()4．对任意实数a(a＞0，且a≠1)，函数f(x)＝a x－1＋3的图象必经过点()A．(5,2) B．(2,5)C．(4,1) D．(1,4)5．函数y＝2－|x|的单调递增区间是()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．不存在6．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()7．函数y＝a x－3＋5(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点______．8．函数y＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a＝________. 9．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．能力提升10．写出满足条件f(x1)·f(x2)＝f(x1＋x2)的一个函数f(x)＝________.11．设4 ()=42xxf x+.(1)若0＜a＜1，求f(a)＋f(1－a)的值；(2)求121000100110011001f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L.12．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；(3)求g(x)的值域．13．已知函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)，x∈R.若x1，x2∈R，且x1≠x2.(1)试判断12[f(x1)＋f(x2)]与122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系；(2)若已知函数f(x)＝3x，试判断12332x x+与122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系．参考答案1．A 点拨：∵A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}， B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B . 2．B 点拨：∵函数y ＝0.5x 是减函数， 又∵111>>234，∴a ＜b ＜c . 3．B 点拨：将函数y ＝2x 的图象向左平移1个单位长度即可得到y ＝2x ＋1的图象，结合图象知，选B.4．D 点拨： 令x －1＝0，得x ＝1，所以y ＝1＋3＝4，故函数f (x )的图象过定点(1,4)．5．B 点拨：画出函数y ＝2－|x |图象，如图．由图象可知其递增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：由f (x )的图象可知，0＜a ＜1，且b ＜－1，故当x ＝0时g (x )＜0，可排除B ，C.又∵0＜a ＜1时，函数g (x )为减函数，因此选A.7．(3,6) 点拨：∵函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，∴函数y ＝a x －3的图象过定点(3,1)，∴函数y ＝a x －3＋5的图象过定点(3,6)．8．2 点拨：由于函数y ＝a x 在[0,1]上为单调函数，故其最大、最小值在x ＝0，x ＝1处取得，所以a 1＋a 0＝3，即a ＝2.9．解：∵f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x ＝－(3x )2＋6×3x ＋3，令t ＝3x ，又x ∈[－1,2]，则t ∈1,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则y ＝－t 2＋6t ＋3＝－(t －3)2＋12，∴当t ＝3，即x ＝1时，y 有最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，y 有最小值－24. ∴函数f (x )的值域为[－24,12]．10．2x (答案不唯一) 点拨：本题答案不唯一，一般地，指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，都满足f (x 1)·f (x 2)＝f (x 1＋x 2)．11．解：(1)f (a )＋f (1－a )＝11444442===142424242442a a a a aa a aa --+++++++⋅+. (2)121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111000299910001=2100110011001100110011001f f f f f f ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭L＝12×1×1 000＝500.12．解：(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a＋2＝18.∴3a＝2.∴g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x.∴g(x)＝2x－4x.(2)令t＝2x.∵x∈[0,1]，且函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，∴t∈[1,2]．则y＝t－t2＝－(t2－t)＝21124t⎛⎫--+⎪⎝⎭，t∈[1,2]．∵函数t＝2x在区间[0,1]上单调递增，函数y＝t－t2在[1,2]上单调递减，∴函数g(x)的单调递减区间为[0,1]．下面给出证明：任取x1，x2∈[0,1]，且x1＜x2，则g(x2)－g(x1)＝22112424x x x x－－＋＝211212(22)(22)(22)x x x x x x－＋＋－＝2112(22)(122)x x x x－－－，∵0≤x1＜x2≤1，∴212>2x x，且1≤12x＜2,1＜22x≤2.∴2＜1222x x＋＜4.∴－3＜12122x x－－＜－1.∴2112(22)(122)<0x x x x－－－.∴g(x2)－g(x1)＜0.∴函数g(x)在区间[0,1]上是减函数．(3)∵g(x)在[0,1]上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(0)．∴g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0.∴－2≤g(x)≤0，∴函数g(x)的值域为[－2,0]．13．解：(1)12[f(x1)＋f(x2)]－121212()()22=22x xf x f x fx xf+⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭.由题意知1212()()22x xf x f x f+⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝12121222222=()x x x xx xa a a a a++--.因为x1≠x2，所以12220x xa a-≠.所以12222()>0x xa a-.所以f(x1)＋f(x2)－1222x xf+⎛⎫⎪⎝⎭＞0，即12[f(x1)＋f(x2)]＞122x xf+⎛⎫⎪⎝⎭.(2)由(1)易知121212331=[()()]>222x x x xf x f x f++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.。
【人教A版】高中数学必修1同步教学案必修1第二章《指数函数的图象及其性质》练习题(含答案)
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及其性质A级基础巩固一、选择题1．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为()A．y＝(e－1)x B．y＝(1－e)xC．y＝3x＋1D．y＝x22．函数y＝2x－8的定义域为()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)3．函数y＝a x＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1) B．(1，0) C．(2，1) D．(0，2)4．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)5．函数y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()二、填空题6．已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B ＝________．7．已知函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x <0，2x ，x ≥0，则f (－7.5)的值为________．8．函数y ＝a x (－2≤x ≤3)的最大值为2，则a ＝________．三、解答题9．求不等式a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)中x 的取值范围．10．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．B 级 能力提升1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[0，1] D ．(0，1]2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．3．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)试求a 的值；(2)写出f (x )在[0，1]上的解析式；(3)求f (x )在[0，1]上的最大值．参考答案第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及其性质A级基础巩固一、选择题1．以x为自变量的四个函数中，是指数函数的为()A．y＝(e－1)x B．y＝(1－e)xC．y＝3x＋1D．y＝x2解析：由指数函数的定义可知选A.答案：A2．函数y＝2x－8的定义域为()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3，所以函数y ＝2x－8的定义域为[3，＋∞)．答案：D3．函数y＝a x＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1) B．(1，0) C．(2，1) D．(0，2)解析：因为y＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y＝a x＋1的图象，所以，函数y＝a x＋1的图象经过点(0，2)．答案：D4．函数y＝16－4x的值域是()A．[0，＋∞) B．[0，4]C．[0，4) D．(0，4)解析：由题意知0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.所以函数y＝16－4x的值域为[0，4)．答案：C5．函数y＝a x，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是()解析：函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y＝a x单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；当a>1时，y＝a x单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.答案：D二、填空题6．已知集合A＝{x|1≤2x<16}，B＝{x|0≤x<3，x∈N}，则A∩B ＝________．解析：由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N}，所以A ∩B ＝{0，1，2}．答案：{0，1，2}7．已知函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2），x <0，2x ，x ≥0，则f (－7.5)的值为________．解析：由题意，得f (－7.5)＝f (－5.5)＝f (－3.5)＝f (－1.5)＝f (0.5)＝20.5＝ 2. 答案：28．函数y ＝a x (－2≤x ≤3)的最大值为2，则a ＝________． 解析：当0<a <1时，y ＝a x 在[－2，3]上是减函数，所以y max ＝a －2＝2，得a ＝22； 当a >1时，y ＝a x 在[－2，3]上是增函数，所以y max ＝a 3＝2，解得a ＝32.综上知a ＝22或32. 答案：22或32 三、解答题9．求不等式a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)中x 的取值范围． 解：对于a 4x ＋5>a 2x －1(a >0，且a ≠1)，当a >1时，有4x ＋5>2x －1，解得x >－3；当0<a <1时，有4x ＋5<2x －1， 解得x <－3.故当a >1时，x 的取值范围为{x |x >－3}；当0<a <1时，x 的取值范围为{x |x <－3}．10．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值． 解：y ＝4x －12－3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5. 令2x＝t ，则1≤t ≤4，y ＝12(t －3)2＋12， 所以当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝52. 故该函数的最大值为y max ＝52，最小值为y min ＝12. B 级 能力提升1．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[0，1] D ．(0，1]解析：依题意－2a 2×（－1）≤1且a ＋1>1， 解得0<a ≤1.答案：D2．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________．解析：因为f (x )的图象过(0，－2)，(2，0)且a >1，所以⎩⎨⎧－2＝a 0＋b ，0＝a 2＋b ，所以a ＝3，b ＝－3，所以f (x )＝(3)x －3，f (3)＝(3)3－3＝33－3.答案：33－33．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数的解析式为f (x )＝14x －a 2x (a ∈R)． (1)试求a 的值；(2)写出f (x )在[0，1]上的解析式；(3)求f (x )在[0，1]上的最大值．解：(1)因为f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f (0)＝1－a ＝0，所以a ＝1.(2)设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]，所以f (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－x －12－x ＝2x －4x . 即当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x －4x .(3)f (x )＝2x －4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122＋14， 其中2x ∈[1，2]，所以当2x ＝1时，f (x )max ＝0.。
(整理)人教版A必修高一数学同步测试—第二单元指数函数
新课标高一数学同步测试（6）—第二单元（指数函数）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177)(m n mn =B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f nnn4．函数210)2()5(--+-=x x y（ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或 5．若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215±6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 （ ）7．函数||2)(x x f -=的值域是（ ）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(xf 的定义域是 . 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 .13．计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-33433233421428a b a ab a aba = . 14．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分). 15．（12分）求函数y x x =--1511的定义域.16．（12分）若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .17．（12分）已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.18．（12分）（1）已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=xy 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？19．（14分）有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量. 现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合.用)0(])0([)(≥-+=-p e rp g r p t g tv r，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），)0(g 表示湖水污染初始质量分数. （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； （2）分析rpg <)0(时，湖水的污染程度如何.20．（14分）已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性； （2）求f (x )的值域；（3）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.参考答案（6）一、DCDDD AAD D A二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．32a ； 14．a a a 3331<< ；三、15． 解：要使函数有意义必须：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010 ∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,16． 解：rr r rr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r；当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r . 17．解：)1(122>-+=a a a y x x ， 换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略解得 a =3 (a = －5舍去)18．解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
人教A版高中数学必修1第二章2.1.2《指数函数及其性质》同步测试(一)
《指数函数及其性质》同步测试题（一）---主要涉及概念、定义域、值域一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若函数()()21xf x a a a =--是指数函数，则（ ）A ．1a =B ．2a =C ．1a =或2a =D ．0a >且1a ≠2．下列函数中指数函数的个数是（ ）①23x y =⋅ ①13x y += ①3x y = ①()21xy a =-（a 为常数，12a >，1a ≠）①3y x = ①4x y =- ①()4xy =- A ．1B ．2C ．3D ．43．已知指数函数y =(a +2)x ,则实数a 的取值范围是( ). A ．(-2,+∞) B ．[-2,+∞)C ．(-2，-1)（-1，+∞）D ．(1,2)∪(2,+∞)4．函数y = ）A ．()0,+∞B ．(),0-∞C ．[)0,+∞D ．(],0-∞5．函数()f x = ） A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞C ．(0,)+∞D ．[0,)+∞6．已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ） A ．(0，1) B ．(2，4) C ．(12，1) D ．(1，2)7．若221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的解集是函数2xy =的定义域，则函数2xy =的值域是（ ）A ．1,28⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．128⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．1,8⎛⎤-∞ ⎥⎦⎝D ．)2,⎡+∞⎣8．函数[]12,0,1xy x =-∈的值域是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,0-C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．函数()1423xx y x R -=++∈的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．()3,+∞C ．13,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[)9,+∞10．设函数()()121xf x x R =∈+,则它的值域为( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,+∞)D ．(2,+∞)11．函数()1212xxf x -=+的值域为（ ） A ．()1,1- B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,112．函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二．填空题13．函数()1f x x =-的定义域为__________. 14．已知f （x ）R ，则实数a 的取值范围是______．15．函数211()3x y -=的值域是___16．函数1()41(0)2xx f x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________. 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数2()(0,1,0)x f x a a a x -=>≠≥且的图像经过点(3,0.5)， （1）求a 值； （2）求函数2()(0)x f x a x -=≥的值域；18．求下列函数的定义域： （1）y =（2）y =19．已知a R ∈，函数1()21x f x a =-+. （1）用函数单调性定义证明：()f x 在(),-∞+∞上单调递增； （2）若()f x 为奇函数，求： ①a 的值； ②()f x 的值域.20．已知()16245x x f x =-⨯+，[]1,2x ∈-． （1）设4x t =，[]1,2x ∈-，求t 的最大值与最小值； （2）求()f x 的最大值与最小值．21．已知函数2()221=+-+x x f x a a a ,其中0a >且1a ≠，满足(1)5f =. （1）求实数a 的值；（2）当[0,3]x ∈，求()f x 的值域；（3）若关于x 的方程()f x m =在区间[0,3]上无解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()x f x a b =+（a ＞0，a ≠1）的图象过点（0，﹣2），（2，0） （1）求a 与b 的值；（2）求x ∈[﹣1，2]时，求f （x ）的最大值与最小值． （3）求使()0f x >成立的x 范围．参考答案一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二．填空题 13．(2,1)- 14．[-1，0]15．(]03，16．(1,3]三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.【解析】（1）函数()2x f x a-=的图像经过点()3,0.5320.5a -∴=，12a ∴=（2）由（1）可知()()2102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1012<< ()f x ∴在[0,+∞）上单调递减，则()f x 在0x =时有最大值 ()()21042maxf x f f -⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭，又()0f x >∴函数()f x 的值域为0,4]（18.【解析】（1）由题意可得210x -≥，即022x ≥， 又指数函数()2xf x =单调递增，得0x ≥.所以函数y =[)0,+∞；（2）由题意，得31903120x x +⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≠⎩，得230113322x x -+⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎪≠⎩，又指数函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，2x ∴≤-且3x ≠-.所以函数y =()(],33,2-∞-⋃--. 19.【解析】（1）设12x x <，则()()()()12121212112*********x x x x x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 1212210,210,220x x x x +>+>-<，()()120f x f x ∴-<，()()12f x f x ∴<.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增（2）①若()f x 为奇函数，则()1002f a =-=， 解得：12a =.经检验成立 ②11()221x f x =-+， 211x+>，10121x∴<<+，故()1122f x -<<， 故函数的值域为：11,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 20.【解析】(1) 因为4x t =在[]1,2-上是增函数，故有1164t ≤≤， 即t 的最小值为14，t 的最大值为16； (2) 设4x t =，[]1,2x ∈-，则22()25(1)4f t t t t =-+=-+，1[,16]4t ∈，max min ()(16)229,()(1)4f t f f t f ====；21.【解析】（1）由2(1)2215f a a a =+-+=，解得2a =±，因为0a >，所以2a =. （2）由（1）知2()2223,x x f x =+⋅-[0,3]x ∈令2x t =，则223,18y t t t =+-≤≤，由223y tt =+-在[1,8]上单调递增，所以当1t =时，min 0y =，此时0x =， 当8t =时，max 77y =，此时3x =，所以()f x 的值域为[0,77].（3）因为()f x m =在区间[0,3]上无解，所以77>m 或0m <； 实数m 的取值范围为(,0)(77,)-∞⋃+∞.22.【解析】（1）因为函数图象过点()0,2-和点()2,0，所以将点()0,2-和点()2,0代入()f x ，得022a b a b ⎧+=-⎨+=⎩，解得3a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩a ，故ab ＝﹣3；（2）因为()3xf x =-1，所以，该函数在定义域内单调递增，即当[]1,2x ∈-时，()f x 单调递增，所以，()()min 133f x f =-=-，()()max 20f x f ==（3）由()0f x >可得30x->，即23x>=，因为xy =是单调递增函数，所以解得2x >。
高中数学新人教B版必修一《2.1指数函数》同步练习.docx
例1 求下列各式的值⑴ 33)2(-= ⑵ 44)2(-= ⑶ 66)3(π-= ⑷222y xy x ++= 例2 ⑴ 把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式（a ＞0）；① a 5=256 ② a 4-=28 ③ a 7-=56 ④ a n 3-=3m 5(m ，n ∈N *) ⑵ 计算：① 923 ② 1623-例3 化简32132b aba •-÷3211---⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b b a 例 4 化简（式中字母都是正数） ⑴ （x 2y3）6⑵ (2x2+ 3y3-)(2x 2- 3y 3-) ⑶ 4x21·3x21-(- y3)·y33-例 化简下列各式 ⑴323222----++yxy x -323222------yxy x⑵323323134428bab a b a a ++-÷（1 – 23ab）×3a例2 计算：⑴ 625625++- ⑵ 335252-++ 题型二、分数指数幂及运算性质1. 计算问题：例3 计算：313373329a a a a--÷2. 化简问题：例4 化简下列各式：⑴ 313315383327----÷÷a a a a a a⑵ （x 01x x ++-）（x2121x --）3. 带附加条件的求值问题 例5 已知a 21+ a 21-= 3，求下列各式的值：⑴ a + a 1- ⑵ a 2+ a 2-⑶21212323----aa a a数学思想方法一、化归与转化思想例6 化简：332b aab ba （a ＞0，b ＞0）. 二、整体代换思想 例7 ⑴ 已知2a xx=+-2（常数），求8xx -+8的值。
创新、拓展、实践1. 数学与科技例8 已知某两星球间的距离d 1= 3.12×1034千米，某两分子间的距离d 2= 3.12×1032-米，请问两星球间距离是两分子间距离的多少倍？2. 创新应用题例9 已知a 、b 是方程x 2- 6x + 4 = 0的两根，且a ＞b ＞0，求ba b a +-的值。
高一数学必修1(人教版)同步练习第二章第一节指数函数
2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第二章第一节指数函数一、学习目标：1. 了解基本初等函数（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数）的实际背景。
了解实数指数幂的意义及对数的作用、了解指数函数与对数函数互为反函数的性质。
2. 理解指数、对数的概念及其运算性质，理解指数函数、对数函数，一次函数、二次函数、幂函数的图象与性质。
3. 掌握幂的运算、对数运算及指数函数、对数函数、一次函数、二次函数性质的应用二、重点、难点：重点：（1）指数幂、对数的运算（2）对一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的理解。
难点：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质的应用三、考点分析：函数这部分内容是高考中的重点与难点，基本的初等函数是高考函数基础知识考查的重点，因此第一轮的复习重点是把握基本函数的基础知识及其简单的应用，这部分知识点是高考命题的“黄金”知识点，命题的题型有选择题、填空题、中等类型的大题等。
知识梳理注：（1）二次函数的解析式的确定方法有三种形式①一般式：若已知二次函数经过A ，B ，C 三点，可设解析式为c bx ax x f ++=2)(，把三点坐标代入求出a ，b ，c 的值。
②零点式：若已知二次函数图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x B x A ，可设解析式为：))(()(21x x x x a x f --=，再根据其余的条件确定a 的值。
③顶点式：若已知二次函数的顶点坐标（h ，k ），则可设函数解析式为：k h x a x f +-=2)()(的形式，再根据另外的条件确定a 的值。
（2）二次函数的最值的确定（i ）若R x ∈，a ＞0，当a b x 2-=时，函数取得最小值a b ac x f 44)(2min -=；若R x ∈，a<0，当a bx 2-=时，函数取得最大值a b ac x f 44)(2m ax -=。
人教版数学高一 2.1.2指数函数及其性质 同步练习(新人教A版必修一)
指数与指数函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．化简［32)5(-］43的结果为（ ）A ．5B ．5C ．－5D ．－5 2．化简46394369)()(a a ⋅的结果为（ ）A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 23．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-（ ）A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞4．设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1＞y 3＞y 2 5．当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是（ ）A ．［－98，8］ B ．［－98，8］ C ．(91，9) D ．［91，9］ 6．在下列图象中，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 与函数y =(ab)x 的图象可能是 （ ）7．已知函数f (x )的定义域是(0，1)，那么f (2x)的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(21，1) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)8．若122-=xa，则xx xx aa a a --++33等于（ ）A ．22－1B ．2－22C ．22＋1D ． 2＋19．设f (x )满足f (x )＝f (4－x )，且当x ＞2 时f (x )是增函数，则a ＝f (1.10.9)，b = f (0.91.1)，c ＝)4(log 21f 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a 10．若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P=（ ）A ．}1|{>y yB ．}1|{≥y yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y11．若集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R}，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，则S ∩T 是 （ ）A ．SB ．TC ．∅D ．有限集 12．下列说法中，正确的是（ ）①任取x ∈R 都有3x ＞2x②当a ＞1时，任取x ∈R 都有a x ＞a －x ③y =(3)－x 是增函数④y =2|x |的最小值为1⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴 A ．①②④B ．④⑤C ．②③④D ．①⑤二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上）13．计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝ ．14．函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值的和为3，则=a ．15．函数y =121+x的值域是_ _______． 16．不等式1622<-+x x 的解集是 ．三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －1(x )的图象过(2，0)点，试确定f (x )的解析式．18．已知,32121=+-xx 求3212323++++--x x x x 的值．19．求函数y =3322++-x x 的定义域、值域和单调区间．20．若函数y =a 2x ＋b ＋1(a ＞0且a ≠1，b 为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b 的值．21．设0≤x ≤2，求函数y =1224221++⋅--a a xx 的最大值和最小值．22．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数．参考答案一、选择题： BCDDA ACADC AB 二、填空题：13.619，14.2，15. (0，1) ，16.}12|{<<-x x ． 三、解答题：17.解析： 由已知f (1)=3，即a ＋b =3 ①又反函数f －1(x )的图象过(2，0)点即f (x )的图象过(0，2)点． 即f (0)=2 ∴1＋b =2 ∴b =1代入①可得a =2 因此f (x )=2x ＋1 18.解析：由,9)(22121=+-xx 可得x ＋x －1=7∵27)(32121=+-xx∴23121212333---++⋅+xx x x x x =27∴2323-+xx =18，故原式=219.解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．(2)uy x x x x f u 3.4)1(423)(22=∴≤--=-+== 是u 的增函数， 当x =1时，y max =f (1)=81，而y =3223++-x x ＞0．∴]81,0(,3304即值域为≤<u．(3) 当x ≤1 时，u =f (x )为增函数， uy 3=是u 的增函数， 由x ↑→u ↑→y ↑∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；当x ＞1时，u =f (x )为减函数，uy 3=是u 的增函数， 由x ↑→u ↓→y ↓∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).20.解析：∵x =－2b时，y =a 0＋1=2 ∴y =a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(－2b，2) ∴－2b=1，即b =－2 21.解析：设2x =t ，∵０≤x ≤2，∴1≤t ≤4原式化为：y =21(t －a )2＋1 当a ≤1时，y min =942,2322max 2+-=+-a a y a a ； 当1＜a ≤25时，y min =1，y max =2322+-a a ； 当a ≥4时，y min =232,9422max 2+-=+-a a y a a ． 22.证明：设1212,,x x R x x ∈<，则12()()f x f x -1222()()2121x x a a =---++21222121x x =-++12122(22)(21)(21)x x x x -=++， 由于指数函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <，所以1222x x <即12220xx -<，又由20x>，得1120x +>，2120x +>，∴12()()0f x f x -<即12()()f x f x <，所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数．。
人教A版高中数学必修一指数函数同步练习新(2)
2.1《指数函数》测试2一、选择题1．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、1>aB 、2<aC 、a<2D 、1<2<a2.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) A 、21(x+1) B 、x+41 C 、2x D 、2-x 3.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数4．函数y=1212+-x x 是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数5．函数y=121-x 的值域是（ ） A 、（-1,∞） B 、（-,∞0）⋃（0，+∞）C 、（-1，+∞）D 、（-∞，-1）⋃（0，+∞）6．下列函数中，值域为R +的是（ ）A 、y=5x -21B 、y=(31)1-x C 、y=1)21(-xD 、y=x 21-7．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x+b 的图像必定不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限二、填空题8．函数y=1151--x x 的定义域是 9．函数y=(31)1822+--x x (-31≤≤x )的值域是 10．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是11．函数y=3232x -的单调递减区间是12．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=三、解答题13、已知关于x 的方程2a22-x －7a 1-x +3=0有一个根是2, 求a 的值和方程其余的根14、设a 是实数，)(122)(R x a x f x ∈+-=试证明对于任意a,)(x f 为增函数15、已知函数f(x)=9|1|2--a a (a x －a x -)(a>0且a ≠1)在(－∞, +∞)上是增函数, 求实数a 的取值范围参考答案一、选择题1、D ；2、D ；3、B ；4、A ；5、D ；6、B ；7、A二、填空题8.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞)9．[（31）9，39]10．D 、C 、B 、A 。
高中数学必修1单元配套练习试题2.1.2 指数函数及其性质及参考答案
2.1.2 指数函数及其性质姓名:___________班级:______________________1.下列以x为自变量的函数中,是指数函数的是( )A.y＝(－4)xB.C.y＝－4xD. (a＞0且a≠1)2.函数f(x)＝(a2－3a＋3)a x是指数函数,则有( )A.a＝1或a＝2B.a＝1C.a＝2D.a＞0且a≠13.函数f(x)＝＋1(a＞0,a≠1)的图象恒过点( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(3,2)4.若,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(,＋∞)C.(－∞,1)D.(－∞,)5.函数y＝的值域是( )A.[0,＋∞)B.[0, ]C.[0, )D.(0, )6.已知a＝0.80.8,b＝0.80.9,c＝1.20.8,则a、b、c的大小关系是( )A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.c＞b＞a7.函数y＝a|x|(0＜a＜1)的图象是( )8.若函数是R上的增函数,则实数a的取值范围为( )A.(1,4)B.(1,4]C.(1,＋∞)D.(4,＋∞)9.函数y＝1－2x(x∈[－2,2])的值域是________.10.若函数y＝(a2－1)x在R上为增函数,则实数a的取值范围是__________.11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝1－,则不等式f(x)＜－的解集是________________.12.比较下列各题中两个值的大小.(1)1.82.2,1.83;(2)0.7－0.3,0.7－0.4;(3)1.90.4,0.92.4.13.已知函数f(x)＝ (a＞0,且a≠1).(1)求该函数的图象恒过的定点坐标;(2)指出该函数的单调性.14.设y1＝,y2＝,其中a＞0,且a≠1,试确定x为何值时,有: (1)y1＝y2;(2)y1＞y2.参考答案1.B【解析】选项A:－4＜0,不满足指数函数底数的要求,选项C:因有负号,也不是指数函数,选项D:函数可化为y＝a2·a x,a x的系数不是1,故也不是指数函数,故选B.考点:指数函数的定义2.C【解析】由指数函数的定义得:解得a＝2.考点:指数函数的定义3.D【解析】当x－3＝0,即x＝3时,＝1;f(3)＝1＋1＝2,故选D.考点:函数图象过定点4.A【解析】∵函数y＝在R上为减函数,∴3a−2＞3－2a,∴a＞1,故选A.考点:利用指数函数的单调性比较大小5.C【解析】∵＞0,由题意知定义域为[−1,＋∞)∴0≤3－＜3,∴∈[0, ),故选C.考点:指数函数的值域及定义域.6.C【解析】∵0＜0.8＜1,∴函数y＝0.8x在R上是减函数.又∵0＜0.8＜0.9,∴0.80.9＜0.80.8＜1.∵1.2＞1,∴函数y＝1.2x在R上是增函数.∵0.8＞0,∴1.20.8＞1.20＝1.综上可知,0.80.9＜0.80.8＜1.20.8,故选C.考点:利用指数函数的性质比较大小7.C【解析】该函数是偶函数.可先画出x≥0时,y＝a x的图象,然后沿y轴翻折过去,便得到x＜0时的函数图象.考点:指数型函数的图象.8.A【解析】因为f(x)在R上是增函数,故结合图象(图略)知解得1＜a＜4.考点:指数函数性质及分段函数的单调性9.[－3,]【解析】因为y＝2x是R上的单调增函数,所以当x∈[－2,2]时,2x∈[,4],所以－2x∈[－4,－],所以y＝1－2x∈[－3,].考点:指数型函数的值域10.(－∞,－)∪(,＋∞)【解析】由y＝(a2－1)x在R上为增函数,得a2－1＞1,∴a2＞2,即a＜−或a＞.考点:指数函数的单调性11.(－∞,－1)【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)＝0.当x＜0时,－x＞0,f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x＞0时,由1－＜－,()x＞,得x∈;当x＝0时,f(0)＝0＜－不成立;当x＜0时,由2x－1＜－,2x＜,得x＜－1.综上可知x∈(－∞,－1).考点:与指数函数有关的不等式12.(1)1.82.2＜1.83.(2)0.7－0.3＜0.7－0.4.(3)1.90.4＞0.92.4.【解析】(1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值,∵1.8＞1,∴y＝1.8x在R上为增函数,∴1.82.2＜1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数,又∵－0.3＞－0.4,∴0.7－0.3＜0.7－0.4.(3)∵1.90.4＞1.90＝1;0.92.4＜0.90＝1,∴1.90.4＞0.92.4.考点:比较大小13.(1) (2)见解析【解析】(1)当2－3x＝0,即x＝时,a2－3x＝a0＝1.所以,该函数的图象恒过的定点坐标为.(2)令u＝2－3x,∵u＝2－3x是减函数,∴当0＜a＜1时,f(x)在R上是增函数;当a＞1时,f(x)在R上是减函数.考点:指数型函数的图象和性质14.见解析【解析】(1)由a3x+1＝,得3x＋1＝－2x.解得x＝－,所以当x＝－时,y1＝y2.(2)当a＞1时,y＝a x(a＞0,且a≠1)为增函数.由a3x+1＞a－2x,得3x＋1＞－2x,解得x＞－.当0＜a＜1时,y＝a x(a＞0,且a≠1)为减函数,由a3x+1＞a－2x,得3x＋1＜－2x,解得x＜－.所以,若a＞1,则当x＞－时,y1＞y2;若0＜a＜1,则当x＜－时,y1＞y2.考点:指数函数的性质。
人教版数学高一必修一同步训练 指数函数(二)
3.1.2 指数函数(二)一、基础过关1．⎝⎛⎭⎫1323，34，⎝⎛⎭⎫13－2的大小关系为( )A.⎝⎛⎭⎫1323<⎝⎛⎭⎫13－2<34B.⎝⎛⎭⎫1323<34<⎝⎛⎭⎫13－2C.⎝⎛⎭⎫13－2<⎝⎛⎭⎫1323<34D.⎝⎛⎭⎫13－2<34<⎝⎛⎭⎫1323 2．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)3．函数y ＝a x 在上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D.324．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如右图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．6．函数y ＝1－3x (x ∈)的值域是________．7．比较下列各组中两个数的大小： (1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)(32)13和(32)23； (4)π－2和(13)－1.3.8．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间上的最大值比最小值大a2，求a 的值．二、能力提升9．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若 g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2B.154C.174 D ．a 2 10．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________．12．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)，讨论f (x )的单调性．三、探究与拓展13．已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)若对于任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的范围．答案1．A 2．B 3．C 4．A 5．19 6．7．解 (1)考察函数y ＝0.6x . 因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调递减函数． 又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7. (2)考察函数y ＝(2)x . 因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调递增函数． 又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调递增函数．又因为13<23，所以(32)13<(32)23.(4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.8．解 (1)若a >1，则f (x )在上递增，∴a 2－a ＝a2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.9．B 10．C 11．(－∞，－1)12．解 ∵f (x )＝a a 2－1(a x －1a x )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(ax 1－1ax 1－ax 2＋1ax 2)＝a a 2－1(ax 1－ax 2＋1ax 2－1ax 1) ＝aa 2－1(ax 1－ax 2＋ax 1－ax 2ax 1ax 2)＝a a 2－1(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1ax 2)．∵1＋1ax 1ax 2>0，∴当a >1时，ax 1<ax 2，aa 2－1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数， 当0<a <1时，ax 1>ax 2，aa 2－1<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )为增函数，综上，f (x )在R 上为增函数． 13．解 (1)∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，b ＝1.又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. (2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)， ∵x 1<x 2，∴2x 2－2x 1>0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，f (x 1)－f (x 2)>0. ∴f (x )为R 上的减函数．(3)∵t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立， ∴f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )<f (k －2t 2)，由于f (x )为减函数， ∴t 2－2t >k －2t 2.即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3(t －13)2－13≥－13，∴k <－13.。
人教版A高中必修1数学试题第2章2.1.2第1课时同步训练及详解
高中数学必修一同步训练及解析1．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1解析：选C.由图象知，函数y ＝a x 单调递减，故0<a <1；函数y ＝b x 单调递增，故b >1.2．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0，且a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)－xD ．y ＝(a －2)a x解析：选C.∵y ＝(|a |＋2)-x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1|a |＋2x ，|a |＋2≥2， ∴0<1|a |＋2≤12，符合指数函数定义． 3．函数f (x )＝ 1－2x 的定义域是________．解析：要使函数有意义，则1－2x ≥0，即2x ≤1，∴x ≤0.答案：(－∞，0]4．已知指数函数y ＝f (x )的图象过点M (3,8)，则f (4)＝________，f (－4)＝________. 解析：设指数函数是y ＝a x (a >0，a ≠1)，则有8＝a 3，∴a ＝2，∴y ＝2x .从而f (4)＝24＝16，f (－4)＝2－4＝116. 答案：16 116[A 级 基础达标]1．已知0<a <1，b <－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由0<a <1可得函数为减函数．又b <－1，则可得函数图象不过第一象限．2．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2的图象恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3)解析：选A.f (－1)＝－1，所以，函数f (x )＝a x ＋1－2的图象一定过点(－1，－1)．3．函数y ＝ a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a ＞0B ．a ＜1C ．0＜a ＜1D ．a ≠1解析：选C.由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a ＜1.4．函数y ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12x 的定义域是________．解析：要使函数有意义，则有1－⎝⎛⎭⎫12x ≥0，即⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120.解得x ≥0. 故函数的定义域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．函数y ＝－2-x 的图象一定过第________象限．解析：y ＝－2－x ＝－(12)x 与y ＝(12)x 关于x 轴对称，一定过三、四象限． 答案：三、四 6．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝31－x ；(2)y ＝5-x －1.解：(1)要使函数y ＝31－x 有意义，只要1－x ≥0，即x ≤1，所以函数的定义域为{x |x ≤1}．设y ＝3u ，u ＝1－x ，则u ≥0，由函数y ＝3u 在[0，＋∞)上是增函数，得y ≥30＝1，所以函数的值域为{y |y ≥1}．(2)函数y ＝5－x －1对任意的x ∈R 都成立，所以函数的定义域为R.因为5－x >0，所以5－x －1>－1，所以函数的值域为(－1，＋∞)．[B 级 能力提升]7．函数f (x )＝3x -3(1<x ≤5)的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,9)C.⎝⎛⎦⎤19，9D.⎝⎛⎭⎫13，27解析：选C.因为1<x ≤5，所以－2<x －3≤2.而函数f (x )＝3x 是单调递增的，于是有19<f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为⎝⎛⎦⎤19，9.8．指数函数y ＝a x ⎝⎛⎭⎫a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，2，3的图象如图，则分别对应于图象①②③④的a 的值为( )A.13，12，2,3 B.12，13，3,2 C ．3,2，12，13D ．2,3，13，12解析：选B.设图象①，②，③，④对应的函数分别为y ＝m x ，y ＝n x ，y ＝c x ，y ＝d x ，当x ＝1时，如图易知：c 1>d 1>m 1>n 1. 又∵m ，n ，c ，d ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，2，3. ∴c ＝3，d ＝2，m ＝12，n ＝13. 9．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b ＝________.解析：把点(1,2)代入，得2＝a 2+b ＋1，∴a 2+b ＝1恒成立．∴2＋b ＝0，∴b ＝－2. 答案：－210．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，12， 所以a 2－1＝12，则a ＝12. (2)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x -1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．11．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解：(1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m ＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。
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3.1.2 指数函数5分钟训练1.下列关于自变量x 的函数中,是指数函数的是( )A.y=(a+1)x (a ＞-1且a≠0)B.y=(-3)xC.y=-(-3)xD.y=3x+1答案：A解析：∵a ＞-1且a≠0,∴a+1＞0且a+1≠1,∴y=(a+1)x (a ＞-1且a≠0)为指数函数.2.函数y=a |x|(a ＞1)的图象是( )答案：B解析：函数f(|x|)是偶函数,应先画出x ≥0时f(x)的图象,然后沿y 轴翻折过去,得到x ＜0时函数的图象.当x≥0时,y=a |x|=a x 的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数,故选B.3.已知f （x ）=3-a x+1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为( )A.（0，3）B.（-1，2）C.（-1，3）D.（3，-1）答案：B解析：由y=a x 的图象恒过(0，1)点，可知当本题中的x+1=0即x=-1时，y=2,与a 的取值无关.由x=-1时，y=3-a 0=2得定点P(-1，2)，故选B.4.函数y=2x 的图象与函数y=0.5x 的图象关于____________对称;函数y=2x 的图象与函数y=-2x 的图象关于____________对称.答案：y 轴 x 轴10分钟训练1.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩余量为y ，则x 、y 之间的函数关系式是( )A.y=0.957 6xB.y=0.957 6x-1C.y=1009576.0xD.y=x 1009576.0答案：C解析：依题意有:100年后质量为1的镭剩余量y 1=1×95.76%，200年后质量为1的镭剩余量为y 2=1×95.76%×95.76%，…，∴x 年后，y=1009576.0x，故选C.2.函数f(x)=a x-b 的图象如图所示,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是( )A.a ＞1,b ＜0B.a ＞1,b ＞0C.0＜a ＜1,b ＞0D.0＜a ＜1,b ＜0答案：D解析：由题图可知,函数f(x)=a x-b 是单调递减的,∴0＜a ＜1.又由于函数图象与y 轴的交点在点(0,1)的下方,即函数f(x)=a x-b 的图象是由函数f(x)=a x 的图象向左平移得到的,∴-b ＞0,即b ＜0.3.函数y=x 31-的定义域是( )A.［0,+∞)B.(-∞,0］C.［1,+∞)D.(-∞,+∞)答案：B解析：要使函数有意义,必须1-3x ≥0,即3x ≤1,3x ≤30,∴x≤0,∴函数的定义域是(-∞,0］.4.（2007山东日照实验高中《函数》过关测试,12）下列说法不正确的是( )A.函数y=2xx a a --(a ＞0,a≠1)是奇函数 B.函数f(x)=1)1(-+x x a x a (a ＞0,a≠1)是偶函数 C.若f(x)=3x ,则f(x+y)=f(x)f(y)D.若f(x)=a x (a ＞0,a≠1),且x 1≠x 2,则21［f(x 1)+f(x 2)］＜f(221x x +) 答案：D解析：由函数的凹凸性可知D 不成立.5.已知函数y=a 2x +2a x -1(a ＞0,a≠1)在区间［-1,1］上的最大值是14,则a 的值为____________. 答案：3或31 解析：y=a 2x +2a x -1=(a x +1)2-2,∵函数y=a 2x +2a x -1在［-1,1］上的最大值是14,∴(a x +1)2的最大值为16.当a ＞1,x=1时,(a+1)2=16,得a=3;当0＜a ＜1,x=-1时,(a 1+1)2=16,得a=31. 6.求下列函数的单调区间和值域.(1)y=x x --23;(2)y=a 2x -2a x -1(a ＞0,a≠1).解：(1)设y=3u ,u=-x 2-x.则y 随u 的增大而增大,随u 的减小而减小,u 的增区间即是y 的增区间,u 的减区间即为y 的减区间.u=-x 2-x=-(x+21)2+41在(-∞,21-］上递增,在(21-,+∞)上递减. ∴y=x x --23的增区间为(-∞,21-］,减区间为(21-,+∞). ∵u=-x 2-x≤41, ∴0＜y=x x --23≤413,即函数y=xx --23的值域为(0,43］. (2)y=(a x -1)2-2(a ＞0,a≠1),设u=a x .∵y=(u-1)2-2在u ∈［1,+∞)时是关于u 的增函数,在u ∈(-∞,1)时是关于u 的减函数,∴当a x ≥1时,原函数的单调性与u=a x 的单调性相同;当a x ＜1时,原函数的单调性与u=a x 的单调性相反.若a ＞1,a x ≥1⇔x≥0,a x ＜1⇔x ＜0,∴在［0,+∞)上,函数y=a 2x -2a x -1是增函数;在(-∞,0)上,函数y=a 2x -2a x -1是减函数.∵a x ＞0,∴函数值域是［-2,+∞).30分钟训练1.已知21＜（21）b ＜（21）a ＜1，则( ) A.a ＞b ＞1 B.0＜b ＜a ＜1C.b ＞a ＞1D.0＜a ＜b ＜1答案：D解析：不等式21＜(21)b ＜(21)a ＜1即为21＜(21)b ＜(21)a ＜(21)0，根据指数函数的单调性即可得指数a 、b 、0、1的大小关系.根据指数函数y=(21)x 在R 上是减函数，得0＜a ＜b ＜1.选D.2.若函数y=a x -（b+1）（a ＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有( )A.a ＞1且b ＜1B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＞0D.0＜a ＜1且b ＜0答案：B解析：指数函数y=a x 的图象如图所示.由图象可以看出a ＞1，-(b+1)＜-1(向下平移一个单位)，即b ＞0.故选B.3.（2007广东韶关高三摸底,3）函数y=||x xa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是()答案：D解析：y=⎪⎩⎪⎨⎧<->.0,,0,x a x a x x 4.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,同样充满容器时间是( )A.27分钟B.30分钟C.45分钟D.57分钟 答案：D解析：设要经过时间为x,由2×32x =220,得x=57.5.（2007江苏第二次大联考,11）若函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤+->1,2)24(,1,x x a x a x 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.［4,8)答案：D解析：由f(x)在R 上是单调递增函数知a ＞1,4-2a ＞0,a 1≥4-2a +2同时成立,解不等式组得a ∈［4,8).6.(探究题)指数函数①f(x)=m x ,②g(x)=n x 满足不等式0＜m ＜n ＜1,则它们的图象是( )答案：C解析：令x=1,①②对应的函数值分别为m 和n,由0＜m ＜n ＜1,可知应选C.7.（2007上海春招,9）若x 1、x 2为方程2x =11)21(+-x 的两个实数解,则x 1+x 2=_______________. 答案：-1解析：由题意得2x =112-x ,即x=11-x,化简得x 2+x-1=0. 由韦达定理可知x 1+x 2=-1.8.（2007山东日照实验高中一轮测试,15）已知集合A n ={x|2n ＜x ＜2n+1,且x=7m+1,m 、n ∈N *},则A 6中各元素之和为_______________.答案：891解析：当n=6时,64＜x ＜128,A 6中的各元素为:71,78,85,92,99,106,113,120,127,其和为891.9.(创新题)已知f(x)=x(121-x +21). (1)求函数的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)求证:f(x)>0.答案：(1)解：由2x -1≠0,得x≠0,∴函数定义域为{x|x ∈R ,且x≠0}.(2)解：在定义域内任取x,则-x 在定义域内,则有 f(-x)=x x x x x )21212())(21121(+--=-+-- =x x x x x x ∙-+=∙-+-)12(212)21(221, 而f(x)=x x x x x ∙-+=+-)12(212)21121(, ∴f(-x)=f(x).∴函数f(x)为偶函数.(3)证明：当x ＜0时,由指数函数的性质知0＜2x ＜1,-1＜2x -1＜0.∴121-x ＜-1.∴2121121-<+-x . 又x ＜0,∴f(x)=(121-x +21)x ＞0. 由f(x)为偶函数,当x ＞0时,f(x)＞0.总之,x ∈R 且x≠0时,函数f(x)＞0.10.设函数f （x ）是定义在R 上的增函数，且f （x ）≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）.（1）求证：f （x 1-x 2）=)()(21x f x f ； （2）若f （1）=2，解不等式f （3x ）>4f （x ）.答案：(1)证明：∵f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)·f(x 2)，又f(x)≠0，∴f(x 1-x 2)=)()(21x f x f . (2)解：∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)，4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x).那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x)，又因为函数f(x)是定义在R 上的增函数，由f(3x)>f(2+x)得3x>2+x ，即x>1.故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.。