三 正比例和反比例
正比例和反比例的公式
正比例和反比例的公式
公式不同：正比例是（x/y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。
规律不同：
正比例是一个数缩小几倍，另一个数也缩小几倍，一个数扩大几倍，另一个数也扩大几倍；反比例是一个数缩小几倍，另一个数就扩大几倍，一个数扩大另一个数就缩小几倍。
相关例子：
时间一定，距离与速度成正比例
速度一定，距离与时间成正比例
距离一定，时间与速度成反比例
工作效率一定，工作总量与时间成正比例
时间一定，工作总量与工作效率成正比例
工作总量一定，时间与工作效率成反比例
应力一定，压力与受力面积成正比例
密度一定，质量与体积成正比例
电压一定，功率与电流强度成正比例
质量一定，合外力与加速度成正比例
质量一定，动能与速度的二次方成正比例
一、成正比
a就是b的数值除以一个常数，那么a与b成正比。
并不是a和b同时增大或减小才称为正比。
比如，a=kb(k\uc0)，b增大，a反而减小。
二、成反比
a与b的倒数成正比（就是倒数乘以一个常数），那么a与b成反比。
如果物理量y与物理量x的关系式可以译成：
y=kx，其中，k是定量，那么y与x成正比。
（有时还写成y/x=k）
y=k/x，其中，k就是定量，那么y与x成反比。
（有时还译成xy=k）。
正比例和反比例总结
6、当 a × b ＝ c（ a、b、c 为三种量， 且均不为0）。
( )一定，（ ）与（ ）成（ ）比例； （ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
（ ）一定，（ ）与（ ）成（ ）比例；
7、判断。
（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（ ）
（2）、图上距离和实际距离成正比例。（ ）
= 4 …… 因为 = 单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。 表格2 单价/元1.523456……总价/元6812162024…… = 4， = 4， =
4 …… 因为 = 数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。 表格3 用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数 量如下表： 单价/元1.523456……数量/本403020151210……1.5 × 40 = 60 ，2 × 30 = 60 ，4 × 15 = 60 …… 因为单价 × 数量 = 总价（一定），所以总价一定时，单价和
（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应 的点，再把它们连起来。吨数/吨
6 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6 7 时间/时
（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ （4）根据图像判断， 5小时造纸多少吨？
【试题答案】 1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有 什么关系？为什么？ 表格1 数量/本13681020……总价/元41224324080…… = 4， = 4，
（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。 ( )
（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。 ( )
（10）正方体的棱长和体积成正比例。
()
（11）被除数一定，除数和商成反比例。
代数初步 (三)正比例、反比例
课题：代数初步（三）正比例、反比例课时：24 主备教师：刘丽审核教师：张艳秋袁志超检查领导：苏文伟学习目标：1、通过具体问题认识成正比例、反比例的量。
2、能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，
并根据其中一个量的值估计另一个量的值。
3、能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。
学习重点：通过具体问题认识成正比例、反比例的量。
学习难点：体会两个变量之间相互依赖的关系，加深对正、反比例关系的认识。
学习方法：合作交流
时间预设：导学2分钟，组学8分钟，展示27分钟，总结3分钟
学习过程：
【一】自主学习
1、比例的意义、性质及应用。
2、正比例和反比例的意义
3、正比例、反比例关系的判断。
4、看图找关系的要点。
5、用正比例、反比例知识解答应用题。
（1）解题关键
（2）基本步骤
【二】巩固检测
P63 1、2、3、（2题在书上完成）1题
3题
P64 1、2、3、（3题在书上完成）
1题
（1）
（2）
（3）
2题
（1）
（2）
（3）
（4）
P65 4、5（在书上完成）
【三】疑难反馈：
1、你有哪些收获？
2、你还有哪些疑惑？
自我评价：
教师评价：
家长意见：。
正比例和反比例ppt课件
正反比例的性质对照
相同点
两者都涉及到两个量的变化关系，其中一个量变化时，另一个量也相应变化。
不同点
正比例中，比值是一定的；反比例中，比值是不定的。正比例关系是一条直线，而反比例 关系是一个双曲线。
应用场景
正比例关系在物理、化学、工程等领域都有广泛应用，如速度、密度等；反比例关系在电 力、运输、通讯等领域常见，如电流与电阻、运输成本与运输距离等。
02 正比例和反比例的应用
正比例的应用
01
02
03
计算增长率
在统计学中，正比例常用 于计算某一变量的增长率 ，如GDP增长率、人口增 长率等。
猜测模型
在猜测模型中，正比例关 系可用于猜测未来趋势， 例如猜测产品销售量与广 告投入的关系。
线性回归分析
在回归分析中，正比例关 系可用于描写两个变量之 间的线性关系，例如身高 与体重的关系。
在坐标系中，反比例关系表现为一条 双曲线。
当一个量y随着另一个量x的增大而减 小，或者随着x的减小而增大时，我们 说y与x成反比。
正反比例数学表达的异同点
相同点
正比例和反比例都涉及到两个量之间的变化关系，且都存在 一个常数k来描写这种关系。
不同点
正比例是y与x之间的直接关系，而反比例是xy之间的乘积关 系；正比例关系中y随x增大而增大，而反比例关系中y随x增 大而减小或随x减小而增大；正比例在坐标系中表现为直线， 而反比例表现为双曲线。
则它们成反比例。
反比例关系在现实生活中也广泛 存在，如一定质量的物体下，压 力与面积成反比；一定速度下，
距离与时间成反比等。
正反比例的异同点
相同点
正比例和反比例都是描写两个量之间关系的比例关系，都涉及到两个变量的变 化趋势。
数学中的正比例与反比例
数学中的正比例与反比例数学中的比例关系在许多实际问题中具有重要意义，可以用于描述两个或多个变量之间的关系。
其中，正比例与反比例是比例关系的两种常见形式。
本文将从定义、特点和实际应用等方面介绍数学中的正比例与反比例。
一、正比例关系正比例关系指的是两个变量之间的比例关系为正比。
如果两个变量x 和 y 满足 y = kx（其中 k 为常量），那么称两个变量 x 和 y 之间存在正比例关系。
其中，k 为比例常数，表示变量 y 在 x 增加一个单位时的增量。
在正比例关系中，随着 x 的增加，y 也相应地以相同的比例增加。
可以通过绘制散点图或直线图来表示正比例关系，直线呈现出从原点开始并经过所有散点的规律。
正比例关系具有以下特点：1. 常量比例因子：正比例关系中的比例常数 k 是固定的，不随 x 或y 的变化而变化。
2. 原点经过性：正比例关系通过原点，即当 x=0 时，必有 y=0。
3. 相对增长性：随着 x 的增大，y 也相应地增大；随着 x 的减小，y 也相应地减小。
正比例关系在许多实际问题中得到广泛应用。
例如，速度与时间的关系、人口增长与时间的关系等都可以表示为正比例关系。
使用正比例关系可以方便地计算和预测变量之间的关系。
二、反比例关系反比例关系指的是两个变量之间的比例关系为反比。
如果两个变量x 和 y 满足 y = k/x（其中 k 为常量），那么称两个变量 x 和 y 之间存在反比例关系。
其中，k 为比例常数，表示变量 y 在 x 增加一个单位时的相应减少量。
在反比例关系中，一个变量的增大导致另一个变量的减小，并且它们的乘积始终保持不变。
可以通过绘制散点图或曲线图来表示反比例关系，曲线呈现出一个平移的双曲线形状。
反比例关系具有以下特点：1. 常量比例因子：反比例关系中的比例常数 k 是固定的，不随 x 或y 的变化而变化。
2. 原点非经过性：反比例关系不经过原点，即当 x=0 时，并不一定有 y=0。
正比例和反比例公式
正比例和反比例公式
正比例和反比例是高中数学中的重要概念，了解这些概念对于解
决各类实际问题十分必要。
首先，我们来看正比例。
在数学中，如果两个变量之间的比是一
个常数，那么这两个变量就构成一个正比例关系。
也就是说，当其中
一个变量增加时，另一个变量会以相同的比例增加。
例如，一个人每
小时可以走5公里，那么他走10公里需要2个小时。
我们可以用以下
公式表示正比例关系：
y = kx
其中，y和x分别代表两个变量，k为常数，表示两个变量之间的比。
例如，如果x增加了2倍，那么y也会增加2倍。
接下来，让我们了解反比例。
在数学中，如果两个变量之间的乘
积是一个常数，那么这两个变量就构成一个反比例关系。
也就是说，
当其中一个变量增加时，另一个变量会以相同的比例减少。
例如，一
个工厂的生产能力与工人数量呈反比例关系，如果工人数量增加了一倍，那么每个工人的产能就会减少一半。
我们可以用以下公式表示反
比例关系：
y = k/x
其中，y和x分别代表两个变量，k为常数，表示两个变量的乘积。
例如，如果x增加了2倍，那么y就会减少2倍。
正比例和反比例关系在现实生活中广泛应用。
例如，工资与工作时间的关系就是正比例关系，一天工作8小时赚100元，那么工作16小时就可以赚200元。
而电路的电阻与电流的关系就是反比例关系，如果电阻变大，那么电流就会减小。
总之，正比例和反比例是数学中的重要概念，我们要了解它们的定义、公式和应用。
只有深入理解这些概念，才能在现实生活中更好地应用它们解决问题。
正比例与反比例关系
正比例与反比例关系正比例与反比例关系是数学中常见且重要的概念。
在实际生活和应用中，正比例与反比例关系都有广泛的应用。
本文将从理论和实际两个方面对正比例与反比例关系进行探讨，以及它们在实际生活中的应用。
正比例关系是指两个变量之间的增减变化成正比的情况。
具体来说，当两个变量之间的比值保持不变时，它们之间的关系就是正比例关系。
数学上，可以表达为y=kx，其中k为比例常数。
这意味着当x增加时，y也以相同的比例增加；反之，当x减少时，y也以相同的比例减少。
以数学直线为例，当通过原点且斜率为正的直线表示正比例关系。
反比例关系是指两个变量之间的增减变化成反比的情况。
具体来说，当一个变量的增加导致另一个变量的减少，它们之间的关系就是反比例关系。
数学上，可以表达为y=k/x，其中k为比例常数。
这意味着当x增加时，y以相同的比例减少；反之，当x减少时，y以相同的比例增加。
以数学曲线的形式表示反比例关系，通常是双曲线或者抛物线。
正比例与反比例关系在实际生活中都有广泛的应用。
首先，正比例关系可以用来描述一些物理规律。
例如，牛顿第二定律中的力与加速度的关系就是正比例关系，即F=ma，其中m为物体的质量，a为物体的加速度，F为作用在物体上的力。
当质量不变时，力和加速度成正比。
其次，反比例关系也有许多实际应用。
例如，电阻与电流之间的关系就是反比例关系，即R=V/I，其中R为电阻，V为电压，I为电流。
当电压不变时，电阻和电流成反比关系。
此外，速度与时间之间的关系也是反比例关系。
当速度增加时，到达目的地所需的时间减少。
除了在物理规律中的应用，正比例与反比例关系也在经济、金融等领域有重要的应用。
例如，供给与需求之间的关系可以用正比例关系来描述。
当需求增加时，供给也会相应增加，两者成正比。
另外，在金融领域，贷款利率与还款金额之间的关系可用反比例关系来表示。
利率越高，还款金额就越低。
总结起来，正比例与反比例关系是数学中的重要概念，也是实际生活中广泛应用的数学模型。
反比例函数三种解析式
反比例函数三种解析式
反比例函数是一种特殊的函数，其自变量和因变量之间的关系是反比例关系，即当自变量增大时，因变量减小，反之亦然。
反比例函数的解析式可以表示为y=k/x，其中k为比例常数。
根据不同的条件，我们可以得到反比例函数的三种不同的解析式，分别为正比例函数、倒数函数和指数函数。
正比例函数的解析式为y=kx，其中k为比例常数。
该函数的图像为一条经过原点的直线，斜率为k。
当x=0时，y=0；当x增大时，y也随之增大。
倒数函数的解析式为y=1/x。
该函数的图像为一个经过第一象限和第三象限的双曲线。
随着x的增大，y的值趋近于0，但不会等于0；随着x的减小，y的值趋近于无穷大或负无穷大。
指数函数的解析式为y=k^x，其中k为常数。
该函数的图像为一个经过点(0,1)的递增曲线。
随着x的增大，y的值也逐渐增大；随着x的减小，y的值逐渐趋近于0，但不会等于0。
这三种反比例函数的解析式在实际问题中都有应用，例如正比例函数可以用于描述质量和重力之间的关系，倒数函数可以用于描述电阻和电流之间的关系，指数函数可以用于描述物种数量和时间之间的关系。
- 1 -。
六年级数学下册三正比例和反比例比例的意义和基本性质教案西师大版
比例的意义和基本性质教学内容：比例的意义和基本性质教学目标：1．理解比例的意义，认识比例各部分的名称.2．让学生经历探讨“两内项之积等于两外项之积”的过程，使之更好理解并掌握比例的基本性质。
并能运用比例的意义和比例的基本性质，判断两个比能否组成比例，会组比例。
3．培养学生自主参与的意识、主动探究的精神；培养学生进行初步的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生思维.教学重点：1、掌握理解比例的意义和基本性质.2、应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确地组成比例.教学过程：一、复习(1) 什么叫比？怎样表示比?一辆汽车1小时行60千米,2小时行120千米,3小时行180千米,分别说出所行路程与所用时间的比，这些比能说明什么?（2）怎样求比值求下面各比的比值，你发现了什么？20∶25 2.7∶4。
5 6∶10二、探究新知1．提出问题这节课我们在比的知识基础上，进一步学习新知识。
揭示课题-—比例的意义和基本性质。
板书：比例的意义和基本性质2．探究比例的意义课件出示例1：两组同学同时在操场探讨竹竿长与影子长之间的规律。
列表如下：（表见书上）你能写出多少个有意义的比?并求出它们的比值。
组织学生讨论，然后写出比，完成后板书出几个学生的作业进行展示。
观察这些比,把能用等号连接的比用等号连接起来。
教师板书：3∶2＝9∶6 2∶6＝3∶9 强调:这些都是比例。
引导学生用自己的语言说一说什么是比例。
3。
板书：比例的意义）比例就表示两个比的比值相等。
2∶9和3∶6能组成比例吗?你是怎么知道的？指导学生说出“判断两个比能不能组成比例，要看他们的比值是否相等。
" 4、组织并指导学生完成书上第50页的课堂活动。
5．认识比例的各部分课件出示:在一个比例中两端的两项叫外项，中间的两项叫内项。
依据定义，分别找出3∶2＝9∶6和2：6＝3：9的内项和外项。
6．教学比例的基本性质A、前面我们已经探究发现了比例的一个秘密,就是组成比例的两个比的比值相等。
初中数学知识归纳正比例和反比例
初中数学知识归纳正比例和反比例正比例和反比例是初中数学中的重要知识点之一。
了解和运用正比例和反比例可以帮助我们更好地理解数学问题，并在实际生活中应用数学知识。
下面将对初中数学中的正比例和反比例进行归纳和总结。
一、正比例正比例是指两个变量之间的关系满足一个常数的倍数关系。
如果两个变量x和y满足y与x成正比，可以用以下公式表示：y = kx其中，k是常数，表示比例因子或比例常数。
在实际问题中，我们经常会遇到正比例的例子。
比如，“苹果的价格和购买的重量成正比”，可以用数学表达式表示为“价格 = 比例因子 ×重量”。
这意味着购买的重量越多，价格也会相应增加。
在解决正比例问题时，我们可以通过给定的已知条件，通过比例关系得到未知数的值。
比如已知购买2kg苹果的价格是5元，那么购买4kg苹果的价格可以通过比例关系计算得出为10元。
二、反比例反比例是指两个变量之间的关系满足一个常数的倒数关系。
如果两个变量x和y满足y与x成反比，可以用以下公式表示：y = k/x其中，k是常数，表示比例因子或比例常数。
在实际问题中，反比例也是常见的。
比如，“行驶的时间和速度成反比”，可以用数学表达式表示为“时间 = 比例因子 ÷速度”。
这意味着速度越快，所需行驶的时间越短。
解决反比例问题时，我们也可以根据已知条件，利用比例关系计算未知数的值。
例如已知行驶6小时能够到达目的地，而速度为60km/h，那么距离可以通过比例关系计算得出为360km。
三、正比例和反比例的图像特征正比例和反比例的关系可以通过图像来表示。
正比例的图像呈直线，通过原点，并且斜率为正数。
反比例的图像则呈现出一条曲线，通过第一象限。
例如，令x表示苹果的重量（kg），y表示价格（元）。
如果价格与重量成正比，那么绘制的图像会是一条通过原点的直线，斜率为正数。
而如果价格与重量成反比，那么绘制的图像会是一条通过第一象限的曲线。
四、实际生活中的应用正比例和反比例在日常生活中有着广泛的应用。
六年级数学知识点：正比例与反比例
六年级数学知识点：正比例与反比例六年级数学知识点：正比例与反比例什么叫正比例?两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值(也就是商k)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。
如：y/x=k(k一定)或kx=y正比例的意义满足关系式y/x=k(k为常量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成正比例。
显然，若y与x成正比例，则y/x=k(k为常量);反之亦然。
例如：在行程问题中，若速度一定时，则路程与时间成正比例;在工程问题中，若工作效率一定时，则工作总量与工作时间成正比例。
注意:k不能等于0.正比例的例子：正方形的周长与边长(比值4)。
圆的周长与直径(比值π)。
购买的总价与购买的数量(比值单价)。
路程的例子：1.速度一定，路程和时间成正比例。
2.时间一定，路程和速度成正比例。
长方形面积：面积一定，长和宽成反比例。
都是定一个，变一个。
例如aX=Y中，a不变，则X与Y成正比例。
正比例和反比例相同与联系相同之处1.事物关系中都有两个变量，一个常量。
2.在两个变量中，当一个变量发生变化时，则另一个变量也随之发生变化。
3.相对应的两个变数的积或商都是一定的。
相互转化当反比例中的x值(自变量的值)也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例;当正比例中的x值(自变量的值)转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例。
2019年小升初数学反比例的定义及考点什么叫反比例?两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。
这两种量叫做成反比例的量。
它们的关系叫做反比例关系。
用k=y*x(一定)x不等于0，k不等于0来表示。
简单点来说，就是如果一样事物增加了，另一样事物减少，他减少了，另一样事物增加，这两个事物的关系就叫做反比例。
反比例的意义满足关系式xy=k(k为常量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成反比例;显然，若y与x成反比例，则xy=k(k为常量);反之亦然。
三正比例和反比例
1.正确理解比例的意义和基本性质，会运用比例的基本性质解比例。
2.正确理解正比例和反比例的意义，能正确判断成正比例的量和成反比例的量。
3.初步认识正比例图像，能在方格纸上画出正比例图像。
4.能运用正、反比例知识解决生活中的简单实际问题，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。
5.经历探索比例的意义和基本性质、正比例和反比例的意义及其应用的学习过程，了解正、反比例知识的形成过程，体会正、反比例知识与生活的联系。
6.在学习中体会具有正比例关系和反比例关系的两种量之间的联系，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。
本单元教科书内容包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例的意义及其应用，这是本册教科书的重点内容之一。
本单元教科书除主题图外，安排了比例、正比例、反比例、整理与复习4个小节。
第1节根据主题图所引出的内容，集中介绍比例的意义和比例的基本性质，并运用基本性质解比例；第2节主要介绍正比例，其内容包括正比例的意义、成正比例量的判断、正比例图像和应用正比例知识解决问题等；第3节主要介绍反比例，内容包括反比例的意义、成反比例量的判断、应用反比例知识解决生活中的问题等；第4节是对全单元知识的系统整理和复习。
【单元教学重点】比例的意义和基本性质、正比例和反比例的意义、正比例和反比例的应用。
【单元教学难点】比例意义的抽象概括、成正比例和成反比例量的判断。
（三）单元教学建议1.创设问题情境，激起学生学习比例的心理需要。
根据教科书的安排，在比例教学中要充分利用主题图所创设的活动情境，通过测量旗杆、竹竿影子长度探究旗杆实际高度的问题情境引出比例的问题，激发学生学习比例知识的心理需要。
教学时可用不同的方式去再现主题图上的活动情境：一是可以通过多媒体动态地呈现主题图中的内容，并引导学生观察图中的旗杆，引出“旗杆有多高”的思考。
在此基础上让学生阅读教科书关于“可以通过测量影子的长度来计算旗杆的长度”的提示，并根据提示观察图中小朋友测量旗杆、竹竿影子长的画面，引导学生联想旗杆、竹竿的长分别与它们各自影长的比的问题。
数学中的正比例与反比例关系
数学中的正比例与反比例关系在数学中，比例关系是一种重要的数学概念。
它描述了两个量之间的关系，即当一个量改变时，另一个量如何相应地改变。
其中，正比例和反比例关系是比例关系的两种基本形式。
本文将详细介绍正比例和反比例关系的定义、特点和应用，并通过实际例子进行解释。
一、正比例关系1. 定义正比例关系指的是当一个量的增加（或减少），另一个量也相应地按照同样的比例增加（或减少）的关系。
通常可以用以下公式表示：\[y=kx\]其中，y和x分别表示两个相关的量，k表示比例系数，表示两个量之间的比例关系。
2. 特点正比例关系具有以下几个特点：（1）当x为0时，y也为0；（2）当x增加（或减少）时，y也按照同样的比例增加（或减少）；（3）x和y之间的比值始终保持恒定。
3. 应用举例正比例关系在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个常见的实例：（1）速度与时间：根据路程公式s=vt，速度v与时间t呈正比例关系。
当时间增加时，速度也相应地增加。
（2）人员成本与工时：在某工厂中，工人的工资与工作时间成正比。
当工作时间增加时，工资也相应地增加。
（3）商品价格与数量：某商品的价格与购买数量成正比。
当购买数量增加时，价格也相应地增加。
二、反比例关系1. 定义反比例关系指的是当一个量的增加（或减少），另一个量相应地按照相反的比例减少（或增加）的关系。
通常可以用以下公式表示：\[y=\frac{k}{x}\]其中，y和x分别表示两个相关的量，k表示比例系数，表示两个量之间的反比例关系。
2. 特点反比例关系具有以下几个特点：（1）当x为0时，y不存在；（2）当x增加（或减少）时，y按照相反的比例减少（或增加）；（3）x和y之间的乘积始终保持恒定。
3. 应用举例反比例关系在现实生活中也有许多应用。
以下是几个常见的实例：（1）时间与速度：根据圆周公式s=2πr，圆的周长s与半径r呈反比例关系。
当半径增加时，周长相应地减少。
（2）工作人员与完成时间：在某项工程中，完成工作所需的时间与工作人员的数量呈反比例关系。
正比例和反比例课件
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：两个量之间的比值是常数时，它们成正比例 性质：当两个量成正比例时，它们的比值是常数，它们的图象是一条直线 实例：路程和时间成正比例，它们的比值是速度 应用：在现实生活中，很多事物之间都存在正比例关系，如速度、时间、路程等
比值一定：当两个量的比值一定时，它们成正比例关系 乘积是常数：当两个量的乘积是常数时，它们成反比例关系 图像：正比例关系的图像是一条经过原点的直线 实际应用：在现实生活中，正比例关系可以用来描述许多事物的变化规律
验证解的正确性：在得到解后，需要进行验证，确保解的正确性和合理性。
物理学中的应用： 解释物理现象和规 律，如速度、加速 度与时间的关系
经济学中的应用： 分析成本、收益与 数量的关系，预测 市场趋势
生物学中的应用： 研究生物体生长、 繁殖与环境因素的 关系
地理学中的应用：探 索地理现象之间的相 互关系，如气候、地 形与人口分布
参加数学竞赛：参 加数学竞赛可以锻 炼自己的数学思维 和解题能力，同时 也可以增强对正比 例和反比例知识的 理解和掌握。
添加标题
反比例的数学表达：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数），则称x和y成反比例关系。
反比例在生活中的应用
反比例在生产中的应用
反比例在科学实验中的应用
反比例在数学中的应用
定义不同：正比例是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；反比例是两种相 关联的量中，一种量变化，另一种量也随着变化，但积一定
数学建模：通过建立正比例模型，可以表示两个量之间的比例关系
求解方法：通过代入法或消元法等方法求解正比例方程
应用：正比例关系在生活和生产中广泛存在，如速度与时间的关系、路程与速度的关系 等
正比例和反比例的意义
05
正比例和反比例在日常生 活中的应用
购物时花费与商品数量的关系（Fra bibliotek比例）总结词
购物时，花费的金额与购买的商品数量成正 比关系，即商品数量增加，所需支付的总金 额也相应增加。
详细描述
在购买商品时，通常需要支付商品的总价， 这个总价是由商品的单价和购买数量共同决 定的。例如，购买一本书需要支付一定的金 额，如果购买更多的书，则需要支付更多的 总金额。这是因为每增加一本书，都需要支 付相应的单价，因此花费与商品数量之间存 在正比关系。
在生活中，反比例关系也广泛存在，如时间与速度之间的关系等。
03
正比例和反比例的区别与 联系
定义上的区别
总结词
正比例和反比例在定义上存在显著差异。
详细描述
正比例是指两个量之间的比值保持恒定，即当一个量增加时，另一个量也相应增 加，反之亦然。反比例则是指两个量之间的乘积保持恒定，即当一个量增加时， 另一个量相应减少，反之亦然。
总结词
当边长增加时，面积增加，但边长的增 加幅度大于面积的增加幅度，呈反比关 系。
VS
详细描述
当一个形状的边长增加时，它的面积也会 增加，但随着边长的增加，面积的增长速 度会逐渐减慢。例如，一个正方形的面积 是边长的平方，如果边长增加一倍，面积 会增加四倍，但如果边长再增加一倍，面 积只会增加八倍。
正比例的性质
当两个量成正比例时，它们的比值是 恒定的，即它们的相对大小不会改变。
正比例关系只适用于线性关系，不适 用于非线性关系。
如果两个量成正比例，那么它们的变 化方向相同，即当一个量增加时，另 一个量也增加；当一个量减少时，另 一个量也减少。
正比例的应用
三、正比例和反比例
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三 、正 比 例 和 反 比 例
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比 例
第１课时 比例的意义和基本性质 【教 学 内 容 】
２．认 识 比 例 的 各 部 分
(１)让学生看书自 学 教 科 书 第 ４０ 页 例 １ 的 内 容,然 后 在 小 组 内 交流收获.
(２)全 班 交 流 ,从 以 下 几 个 方 面 进 行 汇 报 . ①比例的各部分名称. ②比例的分数写法. ③ 比 例 同 除 法 、分 数 的 关 系 . (３)学 生 汇 报 时 ,教 师 相 机 板 书 或 展 示 课 件 . 教 师 根 据 学 生 的 汇 报 并 板 书 “内 项 ”“外 项 ”的 概 念 .
３．探 究 比 例 的 基 本 性 质 教 师 :前 面 我 们 已 经 探 究 发 现 了 比 例 的 一 个 秘 密 ,就 是 组 成 比 例 的 两 个 比 的 比 值 相 等 . 比 例 还 有 一 个 秘 密 ,你 们 愿 意 去 寻 找 吗 ? 小组合作学习要求: (１)任 意 写 一 个 比 例 ,把 它 的 内 项 和 外 项 分 别 乘 起 来 . 在 小 组 内 做 好 分 工 ,哪 个 成 员 用 哪 种 方 法 来 计 算 . (２)小 组 内 交 流 :通 过 计 算 有 什 么 发 现 ? (３)全 班 交 流 反 馈 . 学生初步发现两 个 内 项 的 积 等 于 两 个 外 项 的 积 后,教 师 提 醒 学 生 :是 不 是 每 个 比 例 都 有 这 个 规 律 ,多 找 几 个 比 例 试 一 试 . 如 果 把 这 个 比 例 写 成 分 数 形 式 ,它 是 不 是 也 有 这 样 的 规 律 呢 ? 教 师 :同 学 们 通 过 多 个 比 例 的 探 究 ,发 现 它 们 都 有 这 个 规 律 . 你 能用自己的语言归纳这个规律吗? 指导学生归纳后,教 师 板 书:在 比 例 里,两 个 内 项 的 积 等 于 两 个 外 项 的 积 . 并 且 告 诉 学 生 ,这 就 是 比 例 的 基 本 性 质 . 教师:利用比 例 的 基 本 性 质,也 可 以 判 断 两 个 比 能 不 能 组 成 比 例. 请同学们用比例的基本性质判断一下,０．４∶２５和１．２∶７５能否 组 成 比 例? 为什么? ������ １１２ ������
正比例和反比例
正比例和反比例在数学中，正比例和反比例是两种常见的数学关系，用于描述两个变量之间的关系。
这两种关系在实际生活中经常出现，对于理解和解决实际问题非常有帮助。
正比例当两个变量之间的关系是正比例关系时，一个变量的变化量与另一个变量的变化量成正比。
如果一个变量的值增加，另一个变量的值也相应地增加；如果一个变量的值减少，另一个变量的值也相应地减少。
我们可以用一个简单的数学表达式来表示正比例关系：如果一个变量的值为x，另一个变量的值为y，那么它们之间的正比例关系可以写作 y = kx，其中k是一个常数。
举个例子，假设你每天跑步的时间增加，那么你的消耗的卡路里也会相应地增加。
这种关系就是正比例关系。
如果你每天跑步的时间为x小时，消耗的卡路里为y千卡，那么它们之间的正比例关系可以表示为 y = 5x，其中5是一个常数。
正比例的关系可以用图表来表示。
图表中的数据点会落在一条直线上，而且直线的斜率就是常数k。
反比例当两个变量之间的关系是反比例关系时，一个变量的变化量与另一个变量的变化量成反比。
如果一个变量的值增加，另一个变量的值相应地减少；如果一个变量的值减少，另一个变量的值相应地增加。
我们可以用一个简单的数学表达式来表示反比例关系：如果一个变量的值为x，另一个变量的值为y，那么它们之间的反比例关系可以写作 y = k/x，其中k是一个常数。
举个例子，假设你开车的速度增加，那么你到达目的地所花费的时间会减少。
这种关系就是反比例关系。
如果你的开车速度为x公里/小时，到达目的地的时间为y小时，那么它们之间的反比例关系可以表示为y = 10/x，其中10是一个常数。
反比例的关系也可以用图表来表示。
图表中的数据点不会落在一条直线上，而是会呈现一个曲线。
这个曲线有一个“飞起来”的形状，与x轴和y轴的交点对应着各自的最大值。
应用正比例和反比例的关系在实际生活中有很多应用。
下面列举几个常见的例子：正比例•距离与时间：当你以恒定的速度行进时，在给定时间内所行进的距离是固定的。
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总结： 1.根据比例的基本性质列出两个外项 根据比例的基本性质列出两个外项 乘积等于两个内项乘积的等式。 乘积等于两个内项乘积的等式。 2.根据等式的性质解方程 根据等式的性质解方程 3.检验 检验
4.正比例和反比例
（1）正比例的意义：
两种相关联的量， 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变 如果这两种量相对应的两个数的比值一定， 化。如果这两种量相对应的两个数的比值一定， 这两种量就叫做成正比例的量。 这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做 正比例关系。 正比例关系。 （2）反比例的意义： 两种相关联的量， 两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变 如果这两种量相对应的两个数的乘积一定， 化。如果这两种量相对应的两个数的乘积一定， 这两种量就叫做成反比例的量。它们的关系叫做 这两种量就叫做成反比例的量。 反比例关系。 反比例关系。
有三种量， 有三种量， 其中一种 量是一定 的，另外 两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量， 两种量， 一种量变 化另一种 量也随着 变化。 变化。
典例分析： 典例分析：
填空： 根据 a÷b=c填空： ÷ 填空 一定时， 和 成 （1）当a一定时，b和c成（ 反 ）比例 ） 一定时 一定时， 和 成 （2）当b一定时，a和c成（正 ）比例 ） 一定时 一定时， 和 成 （3）当c一定时，a和b成（正 ）比例 ） 一定时
正、反比例的异同点
不同点 一种量扩大（缩小），另一 一种量扩大（缩小），另一 ）， 种量也随着扩大（缩小）， 正比例 种量也随着扩大（缩小）， 相对应的两个数的比值一定。 相对应的两个数的比值一定。 反比例 一种量扩大（缩小），另一 一种量扩大（缩小），另一 ）， 种量也随着缩小（扩大）， 种量也随着缩小（扩大）， 相对应的两个数的积一定。 相对应的两个数的积一定。 相同点
题组训练：
一、填一填： （1）2：3=1.2:( 1.8 ) ） ： (2) 已知一个比例的两个内项的积是 ，一个 已知一个比例的两个内项的积是12， 外项是0.5，另一个项是（ 外项是 ，另一个项是（24 ） （3）如果 ×2=b×5， ）如果a× × ， 那么a:b=（5）：（2 ） 那么 （ （4）（ ，36），（ ，18），（ ，12）， ）（1， ），（2， ），（3， ）， ）（ ），（ ），（ （4， ），（ ， ） ， ），（5， 9 7.2 1/3 （5）81，27，（ ）， ，1，（ ） ） ， ，（ ），3， ，（ 9
(2)修路队修一条长 修路队修一条长120千米的公路，前 千米的公路， 修路队修一条长 千米的公路 4天修了 千米；照这样的速度，修完 天修了20千米 天修了 千米；照这样的速度， 全路共需要多少天？（ ？（用比例方法解 全路共需要多少天？（用比例方法解 答）
这节课我们复习到了什么？
用正、反比例的意义解决实际问题的方法和 步骤： 1认真审题，分析数量关系，判断哪两种量 成什么比例。 2设未知数 3根据正、反比例的意义列出等式，并解答 4检验。
三 正比例和反比例 （复习课）
2010年4月6日
复习目标：
1.加深对比例的意义和比例的基本性质的理 解。 2.能够正确的判断两种相关联的量是不是正 比例或反比例。 3.能用正、反比例的有关知识解决一些简单 的实际问题。
本单元的主要内容：
1.比例的意义和比例的基本性质 比例的意义和比例的基本性质 2.解比例 解比例 3.正比例的意义和正比例图像 正比例的意义和正比例图像 4.反比例的意义 反比例的意义 5.利用正、反比例关系解决问题 利用正、 利用正
判断两种量成正、反比例的步骤和方法： 判断两种量成正、反比例的步骤和方法： 一想：哪两种量是相关联的量?那种量是不变的量 那种量是不变的量？ 一想：哪两种量是相关联的量 那种量是不变的量？ 二找：两种相关联的量与不变的量有什么关系？ 二找：两种相关联的量与不变的量有什么关系？列出关系 式 三判断：不变的量是积还是比值？ 三判断：不变的量是积还是比值？判断成正比例还是反比 例。
知识点回顾：
1.什么是比例？ 什么是比例？ 什么是比例 表示两个比相等的式子叫做比例 2.比例的基本性质 两个外项的积等于两个 比例的基本性质:两个外项的积等于两个 比例的基本性质 内项的积。 内项的积。
3解比例
3 1 ： 4 2
解：
1 χ 2
=
=
4 χ ： 9
9 χ = 6 4
χ
3 4 × 4 9 2 = 3
• 2. 判断下列各题中相关联的量成比例吗？ 如果成比例，成什么比例？
（1）报纸的单价一定，订阅的分数与 ）报纸的单价一定， 总价。 总价。 （2）比的前项一定，后项和比值。 ）比的前项一定，后项和比值。 （3）和一定，一个加数和另一个加数。 ）和一定，一个加数和另一个加数。 （4）长方行的周长一定，长和宽。 ）长方行的周长一定，长和宽。 （5）正方形的边长和它的周长。 ）正方形的边长和它的周长。
萌萌和同学在操场上测量出旗杆的影子长是 4米，同时测量的直立1米的尺子影长40cm。 学校的旗杆多高？ 解：设学校的旗杆高为χ米。 4m=400cm χ：400=1：40 40χ=400×1 χ=10 答：学校的旗杆高10米。
学校准备用边长5dm的正方形地砖铺会议室， 需要400块，现在改用边长为8dm的正方形 地砖，需要多少块呢？ 解：设边长为8dm的地砖需要χ块。 8×8 ×χ=5×5×400 64χ=10000 χ =156.25 答：边长为8dm的地砖需要156.25块。
解比例：
（1）χ：21=6：14 ） ： ： （2）2 χ：0.8=1.5：4 ） ： ： （3）1.8：2= χ：5 ） ： ：
(1)印刷厂装订一批图书，原计划每天 印刷厂装订一批图书， 印刷厂装订一批图书 装订500本，30天完成；实际只用了 天完成； 装订 本 天完成 25天就完成了任务，实际每天装订 天就完成了任务， 天就完成了任务 多少本？（用比例方法解答） ？（用比例方法解答 多少本？（用比例方法解答）
下面是某种汽车所行路程和耗油量的对应数值表：
所行路程（km） 耗油量（L）
耗油量 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
15 2
30 4
45 6
75 10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6570 75 路程
1.表中的耗油量与所行路程成正比例吗？ 2.汽车所行路程与相关耗油量关系的图像有 什么特点。 3.利用图像估计一下，汽车行驶55km的耗油 量是多少？
• 二、解比例
（1）4：0.3= χ：1.8 ） ： ：
（2）1.8/ 2= χ/5 ） 一个晒盐场用500千克海水可以晒 千克盐； 千克海水可以晒15千克盐 一个晒盐场用 千克海水可以晒 千克盐； 照这样的计算， 照这样的计算，用100吨海水可以晒多少吨 吨海水可以晒多少吨 盐？（用比例方法解答） ？（用比例方法解答） 用比例方法解答
堂清测试：
• 一、判断题： 判断题： • 1、圆的面积和圆的半径成正比例。（ ） 、圆的面积和圆的半径成正比例。（ • 2、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（ ） 、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（ • 3、圆的周长和圆的半径成正比例。（ ） 、圆的周长和圆的半径成正比例。（ • 4、 、 （1）如果a+b=20,那么 和b成反比例。（） ）如果 那么a和 成反比例。（） 那么 成反比例 (2) 如果 如果a/b=1,那么 和b成正比例。 （） 那么a和 成正比例 成正比例。 那么 成反比例。（） （3）如果 ）如果xy=10，那么 和y成反比例。（） ，那么x和 成反比例 （4）如果 ）如果ab=cd，那么 ：b=c：d。 ，那么a： ： 。 （）
4. 在植物中竹笋生长得很快，据观察记录， 在植物中竹笋生长得很快，据观察记录， 一棵竹笋3天长高了 天长高了8.7cm。如果按照这样 一棵竹笋 天长高了 。 的速度生长，再长高23.2cm，还需要几天？ 的速度生长，再长高 ，还需要几天？ 5. 两个铁环滚过同一段距离，大铁环的周 两个铁环滚过同一段距离， 长是12dm，转了 圈;小铁环的周长是 长是 ，转了40圈 小铁环的周长是 9.6dm，转了多少圈？ ，转了多少圈？