非线性算子方程组解的存在唯一性及其应用

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Banach空间一类非线性算子方程解的存在唯一性

Ａｎｈｔｒｔｎｓｑｎｅｉｈｃｎｖｒｅｔｏｕｉｎｏｐｅａｏｑａｉｎｎｈｒｏｓｉｔｓａｅａｓｉｅｄｔｅｉａｉｅｕｅｃｓｗｈｃｏｅｇｏｓｌｔｏｆｏｒｔｒｅｕｔｏｓａｄｔｅｅｒｒｅｔｍａｅｒｌｏｇｖｎ．ｅｏＴｈｅｕｔｒｓｎｅｅｅｉｅｒｓｌｓｐｅｅｔｄｈｒｍｐｒｖｎｄｇｎｅａｉｅｓｍｅｃｒｅｐｎｄｎｅｕｔ．ｏｅａｅｒｌｚｏｏｓｏｉｇｒｓｌｓＫｅｙｗｏｒ：ｏｅａｒｉｌｏｄｒｎｇ；ｘｅｎｔｎｐｒｔｒｆｅｏｎｄｓｃｎｎｄｐａｔａｒｅｉｍｉｄｍｏｏｏｅｏｅａｏ；ｘｄｐｉｔｉ
ｓｌｔｎｆｏｏｌｅｒｏｅａｒｅｕｔｎ，ｏｕｏｓｏｍｅｎｎｉａｐｒｔｑａｏｓｉｓｎｏｉＡ（）＋Ｕ＝Ｂｉｏｔｏｔｕｙａｄｃｍａｔｅｓｃｎｉｏｓ０ｗｔｕｎｉｉｎｏｐｃｓｏｄｔｎ．ｈｃｎｔｎｉ
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第２卷第６４期２０年６月０８ＬＯＨＮＱＵＴＡＨＲＯＬＧＯＲＡＦＳＡＧＩＥＣＥＳＣＬＥＥ
Ｖ０．４１２Ｎｏ６．
混合单调算子是一类重要的算子，广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中．关于算子方程ａ（，可解性研ｘ）＝究已有许多好的结果，但对ａｘ（，）＋‰ ＝Ｂｘ这类算子方程的可解性却不多见，文对算子的连续性和紧性不作任何限本制，利用Ｍｎ迭代技巧，了一类算子方程ａｘ）Ｕ＝ｘ的存在唯一性，给出了迭代序列收敛于解的误差估计，ａｎ讨论（，＋ＯＢ解并改

σ-完备向量格中算子方程组解的存在唯一性定理

中图分类号：Ｏ１７９７．１文献标识码：Ａ
ＥｘｓｅｃｎｄＵｎｑｅｅｓＴｈｏｅｓｏｏｕｉｎｏｙｔｍｓｉｔｎｅａｉｕｎｓｅｒｍｆＳｌｔｏｓｆｒＳｓｅｏｅａｏｕｔｏｓｉｆＯｐｒｔｒＥｑａｉｎｎＣｏｐｅｅＶｅｔｒＬａｔｃ・ｍｌｔｃｏｔｉｅ
摘要：用半序的方法在不具有连续性和紧性的条件下，论了一备向量格中一类非线性算子方程组的解利讨完的存在唯一性及迭代收敛性，给出了此迭代的误差估计．并关键词：子方程组；序方法；一备向量格；迭代序列算半完
ｆ（）一ＵＡ “，
．
（）１
Ｉ，）一 “ Ｂ（ “
得到了其解的存在唯一性，但这些研究基本上都是在Ｂｎｃａａｈ空间中进行的．本文将在ｄ一ｒ完备向量格中
研究算子方程组（）由于此空间只有半序结构没有拓扑结构，１，并且不用对锥加正规的条件，没有用到也
通常的范数，是引入了一个新的范数一范数，此不同于以往的研究．而格因首先给出一些相关的概念．
定义ＩＥ为序向量空间，ｃＥ称为向量格（又称Ｒｅｚｉｓ空间或半序线性空间）若对任意的ｚ，，Ｙ∈Ｅ，
Ｄｅ．２０ｃＯ１

非线性方程组解的存在唯一性定理,解的迭代方法和某些应用

非线性方程组解的存在唯一性定理,
解的迭代方法和某些应用
非线性方程组解的存在唯一性定理是世界著名数学家克里斯多福·康威发表于1951年的一项学术成果，它给出了非线性方程组的解的存在唯一性的定理，并被
认为是非线性数学的里程碑。

非线性方程组的解的存在唯一性定理给出了一种把非线性子问题转化为线性子
问题的解法，它将复杂的非线性方程组拆分成多个子问题，逐步对每个子问题求解，并把它们综合起来得到最终结果的方法，是现代非线性数学的重要研究内容。

它的应用被广泛应用在多个学科中，比如金融学，物理学，生物学等。

在这里，我们只讨论它在互联网中的使用场景。

它可以用来解决各种复杂的非线性优化问题，如多轮次排序问题，ID3决策树建模。

它可以有效地帮助我们提高网页排序质量、
构建更智能的搜索引擎等。

有了非线性方程组解的存在唯一性定理，我们也可以使用迭代方法来解决复杂
的非线性问题，比如梯度下降法，牛顿迭代以及二次原型算法。

这些迭代方法可以在互联网中用于实现网页排序，搜索推荐以及机器学习的自主优化等功能，让我们的搜索既“智能”又“高效”。

非线性方程组解的存在唯一性定理至今仍然在发挥重要作用，不仅在数学方面，也在各个行业，特别是在互联网中发挥出了重要的作用，可以大大提高搜索效率和精度，改变人们的网络体验。

非单调算子方程解的存在唯一性

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２００２年第２卷第３期３
华
北
工
学
院
学
报
ＶｏＩ２３Ｎｏ．３２０．０２
（总第８期）３
ＪＲＬＯＦＮＴＨＩＡＩ！！！ＯＵＮＡＯＲＨＣＮ！望Ｑ！！兰
作任何连续性、单调性或紧性方面的要求，得结果改进并推广了文献［］２所１，［］中的有关结论．设Ｐ
是实Ｂｎｃａａｈ空间Ｅ中的锥，≤ 表示由锥导出的半序，ｙｚ，ＥＥ， ≤ ｚ ∞ —ｚ∈Ｐ．锥Ｐ称为正规的，若
ｔ≤ “≤ … ≤ “ Ａ０１ ≤ … ≤ ≤ … ≤ １０ ≤ （）６
利用数学归纳法，由式（）５４，（）及ｚ的表达式易证
“ ≤ ｚ ≤ ，０≤ 一 “ ≤ Ｈ（０一 “ ）０，ｌ一１２，， … （）７
下面证｛ｚ）为Ｃｕｈａｃｙ列．因为ＢＬ＝Ｌ从而有（＋Ｂ）Ｌ＋Ｂ一（Ｂ，，（）Ｌ＋Ｂ），（＋Ｂ）进而知（＋，，
存在常数Ｎ＞０使对任意ｚ，，ｙＥＰ， ≤ 有Ｉ ≤Ⅳ ｌ，中 Ⅳ 称为正规常数．锥Ｐ正规的充要ｚＩＩＩｚＩｌ其ＩＹ
条件是任何序区间，］｛口一ｘＥＥＩ ≤ｚ ≤口｝数有界．有界线性算子Ｔ称为正算子，ｚ范若 ≥ Ｔｚ． ≥
一
性．结论
改进和推广了有关的理论．
关键词：正算子；Ｂａａｈ空同；谱半径；正规锥ｎｃ

压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用

压缩映射原理在各种方程的解的存在唯一性上的应用林芳数学科学学院数学与应用数学专业 2010级汉（1）班指导教师官厅摘要本文介绍了不动点原理即压缩映射原理及其在代数方程、微分方程、积分方程解的存在性和惟一性方面的重要应用. 关键词不动点;压缩映射原理;方程.不动点理论是20世纪数学中的一支奇葩.半个多世纪以来,其影响可以说遍及整个数学.函数的不动点,在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点,即函数()f x 的取值过程中,如果有0x 使00(),f x x =就称0x 为()f x 的一个不动点.对此定义,有两方面的理解:1）代数意义:若方程()f x x =有实数根0x ,则()y f x =有不动点0x . 2）几何意义:若函数()y f x =与y x =有交点00(,)x y ,则0x 为()y f x =的不动点.压缩映射原理是最简单的不动点定理,它不但证明了不动点的存在性与唯一性,同时还提供了求不动点的方法-迭代法.就是说,在完备度量空间中,T 是一个压缩映射,从任意选取的一个"初始值"0x 出发,逐次作点列1(1,2,),n n x Tx n -==这个点列必然收敛到方程Tx x =的解.因此这种方法叫做逐次逼近法.压缩映射原理在线性代数方程组,微分方程,积分方程等方面都有广泛的应用.1相关定义及定理 1.1不动点的定义[1]设X 为一非空集,:T X X →是一个映射,如果有*,x X ∈使得**,Tx x =则称*x 为映射T 的一个不动点.1.2压缩映射的定义[2]设X 是度量空间,:T X X →是一个映射,如果存在一个数α,01,α<<使得对所有的,,(,)(,),x y X d Tx Ty d x y α∈≤则称T 是压缩映射,α称为压缩常数.注压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后,它们像的距离缩短了,不超过(,)d x y 的α倍(1).α<1.3压缩映射原理[2]设X 是完备度量空间,T 是X 上的压缩映射,那么T 有且只有一个不动点(就是说,方程Tx x =有且只有一个解).证明设0x 是X 中任意一点.21021010,,,,.n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -=====我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列.事实上,21111212(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x ααα+------=≤=≤ 10(,).m d x x α≤≤由三点不等式,当n m >时,1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101011()(,)(,).1n mm m n md x x d x x αααααα-+--≤+++=⋅-因01,α<<所以11,n mα--<于是得到01(,)(,)().1mm n d x x d x x n m αα≤>-所以当,m n →∞→∞时,(,)0,m n d x x →即点列{}n x 是X 中柯西点列,由X 完备,存在,x X ∈使(),m x x m →→∞又由三点不等式和条件(,)(,),d Tx Ty d x y α≤我们有1(,)(,)(,)(,)(,).m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+这个不等式右端当m →∞时趋于0,所以(,)0,d x Tx =即.x Tx =下面证唯一性.如果又有~,x X ∈使得~~,T x x =则由条件得~~~(,)(,)(,).d x x d Tx T x d x x α=≤因01,α<<所以必有~(,)0,d x x =即~.x x =2压缩映射原理在代数方程方面的应用 2.1压缩映射原理在线性代数方程组方面的应用例1[1] 在n 维实向量空间n R 中,n R 是一个完备度量空间,我们定义距离1(,)max ,i i i nd x y ξη≤≤=-其中1212(,,,),(,,,).n n x y ξξξηηη==我们在n R 中讨论下列线性代数方程组1ni ij j i j a b ξξ=-=∑ 1,2,,.i n = (1)在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解首先将(1)式写成下列向量形式:.X AX B =+其中12(,,,);T n X ξξξ=();ij n n A a ⨯=12(,,,).T n B b b b =令,TX AX B =+则(1)式可以写成.TX X =于是求方程组(1)的唯一解的问题就化为T 是否有唯一的不动点的问题.显然T 是n n R R →的一个映射.下面来讨论当()ij a 满足什么条件时,T 是一个压缩映射.任取12112212,,(,,,),(,,,).n T T n n X X R X X ξξξηηη∈==于是121212(,)(,)(,)d TX TX d AX B AX B d AX AX =++=1111max()max nnij jj ij j j i ni nj j a a ξηξη≤≤≤≤===-≤-∑∑1211111max max (max )(,).n nij j j ij i nj ni nj j a a d X X ξη≤≤≤≤≤≤==≤-=∑∑由此可见,当11,nij j a α=≤<∑对一切i 成立时,T 是n R 上的一个压缩映射.于是T 满足压缩映射原理的条件,从而T 有唯一的不动点****12(,,,),n X ξξξ=而*X 就是方程组(1)的唯一解.2.2压缩映射原理在非线性代数方程方面的应用例2 证明Kepler 方程sin x x a ε=+存在唯一解,其中,a ε为已知常数,0 1.ε<<证明 1R 空间是完备度量空间,在其上定义距离(,).d x y x y =- 作映射sin ,Tx x a ε=+则有.Tx x =显然T 是11R R →的映射,且1,,x y R ∀∈有(,)sin sin sin sin cos ,d Tx Ty Tx Ty x y x y x y x y εεεεξε=-=-=-≤-≤-ξ在,x y 之间,令.αε=则0 1.α<<有(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知T 存在唯一不动点,即Kepler 方程存在唯一的解.3压缩映射原理在积分方程方面的应用例3[1] 设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,且存在常数,M 使得(,).baK s t dt M ≤<+∞⎰则当1Mλ<时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2)存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记.M αλ=则 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()a s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰max ()()a s bM s s λϕψ≤≤≤-(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈例3'[3]设()f s 为a s b ≤≤上的连续函数,(,)K s t 为形,a s b a t b ≤≤≤≤上的连续函数,令(,)[,][,]max(,),s t a b a b M k s t ∈⨯=<+∞则在1()M b a λ<-时,弗雷德霍姆()Fredholm 方程 ()()(,)()b as f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰ (2) 存在唯一的解[,].C a b ϕ∈证明在完备度量空间[,]C a b 上定义距离[,]((),())max ()().s a b d x s y s x s y s ∈=-定义映射()()(,)().baT s f s K s t t dt ϕλϕ=+⎰记().M b a αλ=- 1.,[,],C a b αϕψ<∀∈有 (,)max (,)()(,)()b baaa s bd T T K s t t dt K s t t dt ϕψλϕλψ≤≤=-⎰⎰max (,)()()baa s bK s t t t dt λϕψ≤≤≤-⎰()max ()()a s bM b a s s λϕψ≤≤≤--(,)d αϕψ=因此:[,][,]T C a b C a b →是一个压缩映射,根据压缩映射原理,T 有唯一的不动点即方程(2)有唯一的解[,].C a b ϕ∈4压缩映射原理在微分方程方面的应用4.1压缩映射原理证明一阶线性微分方程的解的存在唯一性例4[2]设(,)f t x 是矩形00{(,)|,}D t x t t a x x b =-≤-≤上的二元函数,设(,),(,),f t x M t x D ≤∈又(,)f t x 在D 上关于x 满足利普希茨()Lipschitz 条件,即存在常数L ,使得对任意的(,),(,),t x t y D ∈有(,)(,)f t x f t y L x y -≤- (3)那么方程(,)dxf t x dt=在区间00[,]J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =得连续函数解,其中1min{,,}.b a M L β<证明设00[,]C t t ββ-+表示区间00[,]J t t ββ=-+上的连续函数全体按距离(,)max ()()t Jd x y x t y t ∈=-所成的完备度量空间.又令C 表示00[,]C t t ββ-+中满足条件0()()x t x M t J β-≤∈得连续函数全体所成的子空间,且C 是闭子空间.则C 也是完备度量空间.令00()()(,())tt Tx t x f t x t dt =+⎰ (4)则T 是C 到C 中的映射.因为,M b β<所以若,x C ∈那么当00[,]t t t ββ∈-+时,(,()).t x t D ∈又因为(,)f t x 是D 上的二元连续函数,所以(4)式右端积分有意义.又对一切000,()()(,()),tt t J Tx t x f t x t dt M t t M β∈-=≤-≤⎰所以有当,x C ∈.Tx C ∈下面证T 是压缩映射.由条件(3),对C 中任意两点x 和y ,有 0(,)max ()()()()max[(,)(,)]tt t Jt Jd Tx Ty Tx t Ty t f t x f t y dt ∈∈=--⎰0max ()()(,).a t bt t L x t y t L d x y β≤≤≤-⋅-≤令,L αβ=则01,α<<且(,)(,).d Tx Ty d x y α≤所以T 是C 上的压缩映射.由压缩映射原理可知,存在唯一的,x C ∈使得.Tx x =即00()(,()).tt x t x f t x t dt =+⎰且00().x t x =两边对t 求导,即得()(,()).dx t f t x t dt =这说明()x t 是方程(,)dxf t x dt=满足初值条件 00()x t x =的解.4.2压缩映射原理证明n 阶线性微分方程的解的存在唯一性一般的n 阶线性微分方程可以写成如下形式:111()()()n n n n n d y d y a x a x y F x dx dx--+++= (5)方程的初值条件记为:(1)000101(),(),,()n n y x c y x c y x c --'=== (6)有如下结论:例5[4] （n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性）设()(1,2,,)i a x i n =和()F x 均于区间I 上连续,则对任一0x I ∈和任意n 个常数011,,,,n c c c -方程(5)恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件(6)的解.注有时,映射T 不满足压缩映射原理的条件,但T 的某次幂却满足这些条件,于是,可把压缩映射原理推广到下面的情形:推论设(,)X d 是完备度量空间,:,T X X →如果存在自然数,,n 使得对所有,,(,)(,).n n x y X d T x T y d x y α∈≤其中01,α≤<则T 有唯一的不动点.下面对定理进行证明:证明对n 阶线性微分方程(5)(6)作如下变化:设(),n n d yx dxϕ=则0111()n x n n x d y t dt c dxϕ---=+⎰0002121022[()]()()n x u x x n n n n n x x x t d yt dt c du c dt t du c x x c dx ϕϕ------=++=+-+⎰⎰⎰⎰102()()()xn n x x t t dt c x x c ϕ--=-+-+⎰00310233[()()()]n x u n n n n x x d yx t t dt c x x c du c dx ϕ-----=-+-++⎰⎰ 0221020311()()()()2!2!x n n n x x t t dt c x x c x x c ϕ---=-+-+-+⎰01121020100111()()()()()(1)!(1)!(2)!x n n n n n x y x t t dt c x x c x x c x x c n n n ϕ-----=-+-+-++-+---⎰代入原方程得:121212()()n n n n n d y d yx F x a a a y dx dxϕ----=----整理后得到积分方程:()(,)()()xx x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ (7)其中2112311(,)[()()()]2!(1)!n n k x t a a x t a x t a x t n -=-+-+-++--21121023102031()()[()][()()]2!n n n n n n f x F x a c a c x x c a c x x c x x c ------=---+--+-+ 1101001[()()](1)!n n n a c x x c x x c n -----++-+-此方程为第二类Volterra 积分方程,显然(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续.并且方程(7)与方程(5)(6)等价. 下面考虑积分方程 ()(,)()()xax k x t t dt f x ϕϕ=+⎰[,]t a b ∈(,)k x t 在区域{(,)|,}x t a x b a t b ≤≤≤≤上连续,()[,].f x C a b ∈设,sup (,),a x t bk x t M ≤≤=<+∞考虑映射:[,][,]T C a b C a b →()(,)()()xaT x k x t t dt f x ϕϕ=+⎰ [,]C a b ϕ∀∈则 1221()()(,)(()())xaT x T x k x t x x dt ϕϕϕϕ-=-⎰21sup ()()()a x bM x x x a ϕϕ≤≤≤-- 12()((),())M x a d x x ϕϕ≤- 归纳的,若11111212()()()(,)(1)!n n n n x a T x T x M d n ϕϕϕϕ------≤-则 1212()()(,)(()())xn n n n aT x T x k x t T t T t dt ϕϕϕϕ-=-⎰1121()(,)!x nn a M t a dt d n ϕϕ-≤-⎰ 12()(,)!nnx a Md n ϕϕ-≤ 由此得到对于任何自然数n 有:121212()(,)sup (,)!nnnnnna x bb a d T T T T M d n ϕϕϕϕϕϕ≤≤-=-≤由于()0(),!n nb a Mn n -→→∞于是对于充分大的,n 总可使()0 1.!nn b a M n -≤< 因此对于充分大的,n nT 满足推论中压缩映射原理的条件,所以方程(7)有唯一解.由方程的等价性可知,n 阶线性微分方程(5)(6)有唯一解.5压缩映射原理证明隐函数存在定理例6[2]设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞中处处连续,且处处有关于y 的偏导数'(,).y f x y 如果还存在常数m 和M 满足'0(,),,y m f x y M m M <≤≤< 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ= 作为解:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈证明在完备度量空间[,]C a b 中作映射T ,使对任意的函数[,],C a b ϕ∈有1()()()(,()).T x x f x x Mϕϕϕ=-按照题中条件,(,)f x y 是连续的,故()()T x ϕ也连续,即[,].T C a b ϕ∈所以T 是[,]C a b 到自身的映射.下面证T 是压缩映射. 任取12,[,],C a b ϕϕ∈根据微分中值定理,存在01,θ<<满足21212111()()()()()()((,())(,()))T x T x x x f x x f x x M Mϕϕϕϕϕϕ-=---'21121211()()[,()(()())](()())y x x f x x x x x x Mϕϕϕθϕϕϕϕ=--+-⋅-21()()(1).m x x Mϕϕ≤--由于01,m M <<所以令1,mMα=-则有01,α<<且 2121()()()()(()().T x T x x x ϕϕαϕϕ-≤-按[,]C a b 中距离的定义可知2121(,)(,).d T T d ϕϕαϕϕ≤因此T 是压缩映射. 由压缩映射原理可知,存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足,T ϕϕ=即1()()(,()),x x f x x Mϕϕϕ≡-这就是说:(,())0,[,].f x x x a b ϕ≡∈ 根据压缩映射原理,若取00(x)=y ϕ作为初始函数,通过迭代111()()(,()),1,2,n n n x x f x x n Mϕϕϕ--=-=得到的函数列{()}n x ϕ将一致收敛于隐函数()y x ϕ=.参考文献:]1[大华.应用泛函简明教程.华中科技大学.2003.]2[程其襄,奠宙,国强,善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础.高等教育,2010. [3]秀芹.非线性分析中的几类不动点定理及其应用.东北大学.2008. [4]汪斌.n 阶线性微分方程解的存在与唯一性.华中师大学.2007.。

Banach空间一类非线性算子方程解的存在唯一性

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有误差估计：
ｌ一Ｈ（ｌ或）ｌｌ ≤Ｎ（ｎ＋６ｌ一。ｌ）ｌＨｌ
证明运用归纳法易证Ｈ ≤Ｈ ≤Ｈ ≤… ≤Ｈ ≤… ≤ ≤… ≤ ２ ≤ ００１２ ≤ １
（）３
（）４
事实上，ｎ＝１，当时由式（）（）１、２及是混合单调算子，ｕ＝Ａ（。）＋ｕＩ０＋。＝Ａ（ｏｕ）＋有ｕ，。。＞ｕ，Ｖ，。
≤Ａ “ ，０，（０ｕ）１）一ｕ）（ｏ）Ａ，０ ≤（一ｂ（０ｏ（）１
２对任意的ｕ≤ｕ，Ａｕ＋ｕ ≤Ｂ ≤ ≤Ａ，）＋ｕ，方程Ａ，）０ ≤ ≤ ０有（，）０ｕ（ｕ０则（）＋ｕ＝Ｂ０ｘ在［０ｕ，
个固定的ＥＤ关于Ｙ减的；是
２设Ａ：Ｄ）Ｄ× — 是二元算子，若存在常数 ∈（，）得对任意的， ∈Ｄ，，有ＡＹ）一（Ｙ０１使Ｙ ≤），（，Ａ，）
≤ Ｙ— ，称Ａ为序压缩算子；（）则
３称Ａ在Ｄ上对称压缩，存在常数 ∈（，））若０１使得对任意的，∈Ｄ，，有Ｉ（，）－，）Ｉ≤ Ｙ ≤），Ｉ）Ａ（ＹＩ，Ａ
ＩＩＩＹ— Ｉ。
２主要结果
定理１设Ｐ是实Ｂｎｃ间Ｅ中正规锥，Ｄ× ＋ａａｈ空Ａ：Ｄ＿Ｅ是混合单调算子，Ａ是序压缩的，Ｂ：＿Ｅ且而Ｅ＋
是连续的非线性算子，且满足下列条件：
１若存在ｂ∈［，］且０＜＋ｂ，足初始条件）０１，＜１满

算子理论中的谱理论及其应用

算子理论中的谱理论及其应用谱理论是算子理论中的重要概念和工具，广泛应用于数学、物理学等领域。

本文旨在对谱理论的基本概念进行介绍，并探讨其在不同领域中的应用。

一、谱理论的基本概念谱理论是研究算子谱结构和性质的数学理论。

在介绍谱理论之前，我们首先需要了解算子的基本概念。

1. 算子在数学中，算子是将一个集合映射到另一个集合的运算。

算子可以是线性的也可以是非线性的，常见的算子有线性算子、紧算子、自伴算子等。

2. 谱在算子理论中，对于给定的算子A，其谱是指使得A-lambdaI（其中I为单位算子）不可逆的所有复数lambda的集合。

谱可以被分为点谱、连续谱和剩余谱等不同的类型。

3. 谱半径对于给定的算子A，其谱半径是指其谱中绝对值最大的那个复数，用来衡量算子的稳定性和收敛性。

二、谱理论在不同领域中的应用谱理论是一门广泛应用于数学、物理学等领域的数学理论，下面我们将具体介绍其在一些领域中的应用。

1. 量子力学在量子力学中，谱理论被广泛应用于研究量子系统的能谱和态的演化等问题。

通过谱理论可以得到算子的谱结构和特征值，进而推导出量子系统的能量值和波函数等重要结果。

2. 图论在图论中，谱理论可以用来研究图的谱性质和结构特征。

例如，通过计算图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量，可以得到图的连通性、图的划分等信息。

3. 偏微分方程在偏微分方程中，谱理论提供了一种分析算子特征和系统行为的工具。

通过谱理论可以研究偏微分方程的解的稳定性、存在性和唯一性等性质。

4. 图像处理在图像处理中，谱理论可以用来分析和处理图像的频谱特征。

通过对图像算子的谱进行分析，可以实现图像去噪、图像增强等处理操作。

5. 数据挖掘在数据挖掘领域，谱理论可以用来分析数据的特征和结构。

例如，通过对数据矩阵做谱分解，可以实现数据降维和特征提取等操作。

三、结语谱理论作为算子理论中的重要内容，具有广泛的应用价值。

本文简要介绍了谱理论的基本概念，并讨论了其在量子力学、图论、偏微分方程、图像处理和数据挖掘等领域中的应用。

Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性和唯一性

Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性和唯一
性
王国灿
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】1997(017)003
【摘要】本文利用上下解方法得到了带Ｖｏｌｔｅｒｒａ型积分算子的非线性边
值问题，ｕ＾ｎ＝ｆ（ｔ，ｕ，ｕ′，Ｔｕ），ａ１ｕ（０）－ａ２ｕ′（０）＝Ａ，ｂ１ｕ（１）＋ｂ２ｕ′（１）＝Ｂ解的存在性和唯一性。

【总页数】4页(P389-392)
【作者】王国灿
【作者单位】大连铁道学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.一类中立型积分微分方程概周期解的存在性和唯一性 [J], 林远华;冯春华
2.中立型Volterra积分微分方程概周期解的存在唯一性 [J], 方聪娜
3.二阶Volterra型积分微分方程非线性边值问题解的存在性与惟一性 [J], 金丽
4.分数阶Volterra型积分微分方程解的存在唯一性 [J], 周志强
5.Volterra型脉冲积分微分方程解的存在性和稳定性 [J], 杨志春
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高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性

第55卷第1期2021年2月华中师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF CENTRAL CHINA NORMAL UNIVERSITY (Nat Sci.)Vol55 No1Feb&2021DOI ：10. 19603/j. cnki. 1000-1190. 2021 01 002 文章编号：1000-1190(2021)01-0007-08高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性韩伟!，原战琴(中北大学理学院，太原030051)摘要：研究了一类高阶非线性分数阶三点边值问题非平凡解的存在性和唯一性，主要是通过有序的实Banach 空间上的非线性算子方程# = A (,#) +E(##)十e 来研究的.其中@,B 为混合单调算子，利用锥上的不动点定理,得到了非平凡解的存在性和唯一性，又构造了两个迭代序列来近似的逼近解.此外，作为主要的结果应用，给出了一个例子来说明.关键词：算子方程；不动点原理；非平凡解；三点边值问题中图分类号：O175.25 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标志码(OSID )：众所周知，分数阶微分方程已经广泛应用到微分方程的各个领域：物理，化学，工程，生物学'T.本文主要实Banach E 中关于方程u = A(u,u ) + B(u,u ) + e 解的存在性和唯一性.其中A 'A 是单，e #P 且P 是E 中的一个正规锥.事实上，文献[R-5]中解的存在性和唯一性都是局部的，考虑的算子方程是在P j,e 中研究的.接下来得到D 0+G(,s )的取值范围应的 , 到问题(1)非平凡解的存在性和唯一性.本文研究的问题是—D "+ u () = ftt , u(t ) , D 0+u(t ) )+g(t , utt ) , utt ) )—2, t # (0,1);u (e >(0) = 0 , i = 0 , 1, 2 , 3 ,■•• ,0 ― 2 ；(1)[[D 0+u(t )(=1 =BD 0+u(**), 0 — 2收稿日期：2019-09-01.基金项目：山西省高等学校科技创新项目(201802085);山西省自然科学基金项目(201901D211276);中北大学科研创新团队支持计划(TD201901)；山西省高等学校优秀青年学术带头人支持计划项目.* 通信联系人.E-mail ： sh _hanweiweil @126. com.其中，D 0+是的 - 尔分数a 阶导数,0—1<a %0(" # N , 0 7 2). D 0+ 是标准的黎曼-刘维尔分数)阶导数且0 — 2 <)% 0 —1 ,D 0+是标准的 -刘维尔分数0阶导数且)>0> 0,且0% b *—— <1,0%B %1,0<*<1,a —)—170,是#的第i 阶导数.满足如下条件：① f : [0 ,叮 + '一 e * , + S ) X [0,+ S "&(—S , + S ) ；e * = max{e(t ) :t # [0 , 1(;② g ： [0 ,「X [一e * , + S ) X [一e * , + S ) &(—S , + S );且f , g 都是连续函数.当 2 < a < 3,0= 3, f (t,u(t) ,D 0+u(t ))=0, b = 0 , i = 3时，问题(1)归结为如下的带有正半线性的非线性分数阶微分方程问题(2),文献 [6(得到了问题(2)正解的存在性.|D 0+u(t )+ ftt , u(t))= 0,0 < t < 1,()[u (0) = u '(0) = u "(0) = 0,其中，2<a <3,D 0+是标准的黎曼-刘维尔分数a% ) % 0 一 1 ,阶导数，并且 f [0,叮X [0,+ S ) &(—S , + S ),他们使用Krasnosel'skill 不动点定理来证明正解的存在性•更多相关文献可见[7-10].1预备知识设(E , , • || )是一个实Banach 空间■是E 的零元素，锥P 5E , # % 5当且仅当5一# # P 和# -5,则可得#<5或者# >5.锥P 满足两个条件①## P , # 7 08# # P ；② # # P , ― # # P 8# =+.若存在正常数N >0 ,使得对于# , 5# E , +%#% 5，都有% N|5II ,则称P 为正规锥.定义1[11] 设A ：P j , e +P j ” & E 是一个混合算子,A# ,5)关于#单，关于5单调递减.其中 u , :, # P j , e (i = 1 , 2) , "1 % u z , ：1 7 可彳寻 A ("1 , ：1 ) % A ("2 , ：2 ).右兀素 # # P h ,是 A的一个不动点，则有A #, #)= #.8华中师范大学学报(自然科学版)第55卷引理1'12( 设P 是E 中的一个正规锥，算子 A , B :P k = X P j = & E 是两个混合算子.满足以下条件：1) 对于 V $ # (0, 1), V x , 5 # P h =,9,($$# !, 1)使得A (x + $$ 一 1) = , $—15+($—1 一 1) = )7,$$)A. (x , 5)+(.，(.$)_ 1)=.2) 对于 V $ # (0, 1)V x , 5 # P j ,有B ($x + ( $ 一 1), $—15+( $—1 一 1) = )7B (x , 5)+ ( $ 一 1)=3) A ( J, J )# P j ,且B( J, J )# P j ,.R )存在常数-3 0,V x , 5 # P j ,，有A ( x , 5 ) 7 -B ( x , 5)+ ( -_1)=.则算子方程x = A ( xx) +B (x,x ) +=在P j ,上有唯一解x *，对于任给的初值x 0, 50 # P h ,有以下的d r (a 一 0)2)当 0%*%s %$% 1 时,0<d = 1 — *十% 1,1+ (1 — s ) *、071,0%d (1+ (1 —s )*、0(%x n = A x n —1 , 5n —1 ) +B x n —1 , 5n —1 ) +=,5n= A 5n—1 , x n—1 ) +B 5n—1 , x n—1 ) +=,n = 1,2, 3 …则在空间E 中有x n &x * , 5n &x * ( n &s )成立.引理2'(设(是一个连续函数-#C[0,叮是分数阶微分方程边值问题(3)的一个解，(—D +u ( $ ) = (( $) ,0 < $ < 1, n _ 1 < a %n )'u -E (0)=0,E = 0,1，…,一2；)D ^+ u ( $ ) = bD 0+ ( *), n 一 2<)%n — 1.3)这里，n 72, 0%b <1, 0 < *< 1, a _)_ 17 0,0 %b *_i < 1当且仅当u 满足积分方程u( $ )=[g ( $, s ) ( s )ds .其中G !$,s )1d r !a)t —1 (1 -s )a —*—1 —-bt"-1!*—s )$_ (1 -s )a —*—1 —d !$—s )a —1'$_ (1 -s )a —*—1 —-ba !$—s )t —1 (1 -s )a —*—1,—d $—s ) —10 % s % min{$, *} < 1, 0 <* % s % $ % 1,0 % $ % s % * < 1,0 % max{$, *} % s % 1,d = 1_ b *0—1—1〉0,G ( $, s )作为(3)的格林函数在 [0, 1(X [0, 1(上连续.引理3[( 函数G ( $, s )是如上引理2中所定义，则其满足如下性质：① G ( $, s )3 0, V ( $ , s )# (0, 1)X (0,1).② 对于 V ( $ , s )# [0, 1(X [0, 1]有$i (1 — s)1 (1 _ (1 _ s ))才r a%G $,s ) %d r )引理4 在引理3中所定义的G ( $ ,)有以下性质:0 %$ —1 1 —s ) —)—1 1 — 1 —s )) ) %r (a )G ( $ ,s )% $(1-s) 1$, s # [0, 1],(R )0 % $_ (1 — s ) e 1 (1 —d (1 + (1 _ s )*、0 ))%d r (a _ 0) D 0+G ( $, s)% $1—°-1 (1 _ s)L *、1,$, s # [0, 1]. (5)证明首先不等式(R)已证，现在需要用(R)来证不等式(5).有$cif —1 (1 — s )1 —bt L 0-1 ( *_ s )1— d $ $_ s)1—1—1 ,0 % s % min &, *}< 1；D 0+G !$, s )1 1—01 (1 — s )1 — dt$ — s) 01 ,0 < * % s % $% 1;d r ( a — p )"、0-1 (1 — s )1_bt 1—1—1 (*_ s ) LT ,0 % $% s % * < 1;$1—1—1 (1 — s )1 , % max &, *}% s % 1,其中，d = 1 _ b *、、1 3 0.1)当 0 % s % min & , s }< 1 时，* < 1, s * <s 8 十 3 s 8 (1 _ s 厂1 < (1 —s )1、、1,则有D 0+Gt $，"d r O —T yL 1(―一t 1、、1 (*_ s )"、、1 _ dt$_ s)a —!—1)= d rSi )((1 — s )^ _b <*_s )-1 _d (1_s 厂「「((1-s )—d$a —^((1—s )^1 _d (1-s)i 1-d (1 _ s )"、、】)=$■_、1 (1 — s )"、、1d r (a 一 0)t "0 (1 — S )"、、1(1 一 d 一 d (1 一 s ) l 0 )(1 _ d (1 + (1_s )*、0 )).第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性91,则有d "a —0)(0—1(1—s )$a —0—1D 0+G !$ s "d(t — s"c —0—1"> (1 —sd"(a — 0)(<：1-s )a—0—1$a —0—1d "(a —0)((1 —s )d (1 — s )c —0—1)=a —0—1 ( ( — )a —t —1;————(1 — d (1 —s )L 0 )7r>"(a 一 0"严0一1 ( ( 一 e"0—t 」—氓—(1—>(1+ (1 —s )r )).% 1,1+ (1 — s ) —71,0%d (1+ (1 —s ) — )%1,则有D 0+G (，s )=d "101(1-s )—1-八!-s)^1) = d t —5((1-s)^1 -b *—-1(1-s 厂L J 7严—0—1( ( 一 e ) a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1-s )0)7a—0—1 ! )a —)—1t d "1-s 0) (1-d (1+(1-s ))-0)).R )当 0 % max{t ,}% s % 1 时，0<d = 1 一*一旷1%1,1+(1 —s )1-0710%d (1+ (1 —s )心)% 1,则有1D 0+G (t ,s "t L/—1d " (a 一 0)(1 —s "________1_______t0——1d " (a —0 "从而D 0+G (t , # "7(1-s )"—'—1 (1 —d (1+ (1 —s )*-0 )).-7-—^― t" (1 — s )"-l —1 (1 — d (1 + (1 — H.d " a —0显然可得D 0+Gts )% d "b >—综上所述，0 % t l ——1 (1 — s )"-l 1 (1 — d (1 + (1 — s )'—0)) %d "(a —0) G(t , s ) % 厂尸1 (1 一 s )--1 ,t , s # [0, 1(.引理 5[13(令 a >—1,) > 0, t > 0,则D 0+t"(a )厂1"(a —)—1)'有关于分数微积分的更多细节请参考文献［13(.2主要结论这部分主要利用引理1〜5,来证明问题(1) 解的存在性与唯一性.设E = # I # # C[0, 1(,D 0+# # C[0,叮}是实Banach 空间，范数为#(t ) II = max { max #()〔 , D 0+ max I #()t #(0,1) t # (0,1)I }.P 是一个正规锥，设P # E,P = # # E ：#(t )7 0, D 0+#t t )7 0, 2 t # [0,1(}且 P h 5E .其中空间E 赋予一种新的半序关系u V:；u ( t )% : ( t ) , D 0+ u ( t )% D 0+ : ( t ).定理1 假设① f ： ', 1( X [一 e * , + s ) X [0, + s ) &(—S , + S ))*= max{e ( t ) : t # [0,1(}；g ：[0 , 1 ( X [一 e * , + s ) X [一 e * , + s ) &(—S , + S ).它们都是连续函数.② 当t # (0, 1)时,f(t , # 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5单调减.g (, #, 5)关于第二变元#单调递增，关于第三变元5 单减③ 对于 2t # (0, 1)9,() # (, 1)有f (t $## + (#— 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7 ,(#)f (, #, 5)；g (t $## + (# — 1 )e $#—15+ (#—1 — 1 )e ) 7#g (t , # , 5 )④存在-> 0,g (s, H , 0) — 0,H 71 + b *a ~v + (1 一 ~ )d 洋 /曰(/ 、、c ______________( 仅丿 •使得 f(t , #, 5) 7)d " (a ) )a —))-g (, #, 5),且 t # (0 , 1)#, 5 # [0,+ s ).则有以下结论.1)存在u ° , ：0 # P h ,和一个足够小的L #(0, 1)使得：：0 V u V ：0.有L ：0 ( t )% u ( t ) % ：0 ( t ),rD 0+：0 ( t ) % D 0+ u ( t ) % D 0+：0 ( t ).u ( t ) %* G ( t , s)f ( s , u ( s ) , D 0+：0 ( s))ds +* G ( t , s)g ( s , u 0 ( s ) , ：0 ( s))ds +c (1 十一 2(1 — *)-)) 1 + U 仅)c 严d " ( a )( a — ：)d " ( a )( a — ：)'""D 0+u 0 t ) %* D 0+G ( t , s')f ( s , u °( s ) , D 0+ ：0 ( s))ds +* D 0+G ( t , s) g ( s , u ( s s , ：0 ( s ))ds +c (1+*L “一2(1 —*)「")叶1 +d " ( ) — 0)( a — ：)10华中师范大学学报（自然科学版）第55卷_________________________________"~0d r ( _ 0) )a _ ：)1 — *ad r(a ) (a _%:0!$) %*0G !$$s )f !s $:0!s )$ D 0+u 0!s ))d s +c (1+ b *"—))Gtt , s')g (s $ ：0 (s) $ u ° (s))ds +0$"一1d r !a )!a —:)1 — *ad r(a ) )a _ v')$c (1+ * — 2(1—*)"、*)$c (1 + b *°^v)+ (1 一 * \dc$d r (a ) (a _ ：)$d r (a )(a —:)D 0+:0 ($) %d r(a) (a _ :)c (1+*+(1—* )d )_t iD 0+ G($ $ s ) f (s $ ：0(s), D 0+u 0(s))ds + 0D 0+G !$ $ s )g !s $ :0 !s )$ u 0 !s ))d s +c (1 + — 2(1 — g )0-*)$—— + \ a ) $—!d r * _0) (a _ ：) d r ( * _ 0) (a _：) *其中，J ( $) = H " ,$ # [0 $ 1(.2) 算子方程 x = A ( x ,x ) + B(x,x ) + e 有一个非平凡解u *，-* # P j $.3) 对任意初始值K 0$ /0 #P j $$构造迭代序列{K n } $ {/n } $ 其极限值为 x * K n & x * $ /n &x * ( n & s )，有K n $ ) =d r a ) a —:)$a —1 =J $ ) .因此0 %=( $ )% J ( $ )使得P j $ = {u # C[0$ 叮 $ 由引理2和问题(1)积分可得u + = # P j }.u ($"=*0G ($ $ s "(f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""+g (s $ u (s "$ u (s ""—c d s =G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+u (s ""d s +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ 02*0G !$ $ s )d s u !) ) ds 一G ($ s)f (s $ K n —1 (s ) $ D 0+—1 (s ) )ds +0G ($ $ s "f (s $ u (s "0D 0+u (s ))d s +J q G ( $ $ s)g ( s $ K n —1 ( s ) $ /n —1 ( s ))ds +c (1+ * _2(1 —*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ :)G !$ $ s )g !s $ u !s )$0c (1+ * _ 2(1 —*)"、*)$、] +u !) ) ds 一d r(a) (a _ :)1 — *a .$" $ Gd r(a ) (a _ ：)'1( $ n = 1 $ 2, •…d r(a) (a _ :)/n ( $ ) =G ( $ $ s)f ( s $ /—1 ( s s $ D 0+K —1 ( s s )ds + 0G($0s )f !s $ u !s )D 0+u (s ))d s +G $$ s )g s $ /n —1 s )$ K n —1 s ))d s +c (1+ * 一2(1—*)"、* )1 +d r ( a ) (a _ ：)G($0G($0s )g !s $ u !s )$s )f !s $ u !s )u (s))ds — =()D 0+ uO ) ds —1_ *a1$ 2,…,r(、( )，$ # '$ 1(，"d r ( a ) ( a _ ：)V $ # (0$ 1)有c (1+ b *「一 _2(1—*)"、* )1 +d r (a )(a _:)证明e($')1—a八() 7 0$ # '$ 1(.d r a ) a —:)因为e # P $ $ # [0$ 1(,所以有e ( $ )=(】+ 打一21、*)"、* $—1 +d r (a )(a —:)=!$ ) +G !$ $ s )g !s $ u !s )$ u !s ))d s —0=!$) +=!$) .对V u $ : # P j $$ $ # '$ 1(需考虑以下算子,$ ,A (u $ :"($"=G ($ $ s "f (s $ u (s "$ D 0+:(s "d s —=($"$B !u $ :)!$) =*0G !$$ s )g !s $ u !s )$ :!s ))d s —=!$)D 0+A !u $ :)!$) =D 0+G ($$s )f (s $ u (s )$ D 00+:(s ))d s —D 0+=($)$第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性11D0+B(u,:)!)=*D0+Gt$$s)g(s$u(s)$:(s))ds_D0+e().所以ut$)是问题(1)的解当且仅当u=A(_u$u)+ B(u,u)+e.首先，需要证明算子A,B：P h,e X P h,&E是一个混合单调算子，取u,:#P j,e(=1,2),u] %u2,：17：2.由条件②及G($,s)30可得A u1,:1)$)=*G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—e$)7 1G$,s)f s,u2s),D0)+:2s))d s—e$)=J0A u2,:2)$),D0)+A u1,:1)$)=1D0)+G$,s)f s,u1s),D0)+:1s))d s—D0)+e$)7 1D0)+G$,s)f s,u2s),:2s))d s—D0)+e$)= J0D0)+A u2,:2)$),因此A(u1,：1))$)>A(u2,：2))$),同理B(u1,：1)($)>B(u2,：2)($).其次，由条件③，V##(0,1)和$#(0,1) 9,(t)#($,1)使得u,:#P je就可得A(+(#一1)e,厂1:+(#一1一1)e)($)= *G($,s)f(s,#u(s)+(#一1)e,A_1D0+:(s)+(厂1一1)e)ds—e($)7,$*)G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)=,$*)1G$,s)f s,u s),D0)+:s))d s—e$)+,$)e$)—,$)e$)=G$,s)f s u s),D0)+:s))d s—e$))+ ,$)—1)e$)接下来证明A(u,u)#P j,,B(u,u)# P j,e.只需证A(u,u)+e#P j,B(u,u)+e#Pj.即可根据引理3和条件①，③得A J,J)$)+e$)=*1G$,s)f s,J s),D0)+J s))d s=「G($,ssf(s,Hs a—1,HD0+s—)ds%J01$a—11—1)a—*—1L$d—s f(s,?5=越：(1—s)-1f(s?,0)d"=丿口1(、)(1_s)"—T f(s,H,0)ds・H"= dH r a0丿口1(、)(1—s)"—1—1f(s,H,0)ds・J($).dH r a)0A J,J)$)+e$)=[G($,s')f(s,J(s),D0+J(s))ds7茁0(1-—)・f(s,0,H)ds・$i=h"*?1-—)・f s,0,H)d s・H$a—""—s)a—*—""—"—s)*)f(s,0,H)ds・J($).根据条件②，④和a30,"(a)〉0可得f(s,H,0)7f(s,0,H)7-g(s,0,H),s#',1(.设L1=H W0(_s)"i—1f(s,H,0)s,L=?1())0(1-s)"、、1(1-(1-s)*)X$)A u,:)$)+,$)—1)e$),B(#u+(#一1)e,#1:+(#1一1)e)($) [G($,ssg(s,#u(s)+(#_1)e,#t：(s)+ J0(#—1一1)e)ds—e($)7#G($s')g(s，-(s)(s))ds_e($)=J o#G($,)g(s，-(s)(s))ds_e($)+J0f(s,0,H)ds.又因为0<(1_s)*<1,那么0<1_(1—s)*< 1,0<b<1则显然1dH r(a)1Hr(a)f s,0,e($)_#e($)=#G$,s)g s,u s),:s))d s/H)%f(s?0、可推出L17L230,所以LJ($)%A(J,J)($)+e($)%L1J($),$#',1(.B J,J)$)+e$)="G$,s)g s,J s),J s))d s%e($))+(#_1)($)=\B(u：($)+(#_1)($).$i(1—s)"、、1d r a)g s,Hs a—"Hs a—")d s12华中师范大学学报（自然科学版）第55卷d"*—$0)s ・t "-1 =萌"*(1—s )-"H ，0)d ・H a>h"( )) ( — s)c —l —1g(s$ H $ 0)ds ・h ().A (h $ h )(t ) +e (t ) =* G(t $ s)g (s $ h (s), h(s))ds 7 ~1)1(1 — s )"-'—1(1 — (1 —s )"). "a)g(s$ 0 $ H )ds . t -1 =——1——[(1 一 s )"-厂1 (1 — (1 — s)v )・ H "(a )0k 丿''八g(s $ 0 $ H )ds ・ h(t).设L 「萌"*—$0)d sL Rg (s $ )$ H )d s ,同理可得7 L r > 0 ,则 L r J () % B(h$ h ) () +ett) % Lh C) $ t # [0 $ 1(.另一方面由条件①，②和引理3可推出D 0)+ (A (h $ h "(t "+e (t ""=1D 0)+G (t $ s "f (s $ h (s "$ D 0)+h (s "d s %J o------------1-------------「t ——1 (1 一 s )d "(a —0)hf (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s %1d "(a —0)扎(-s )f ・ f($ ?，严八讥宀11E°) (,1 — s )-1f(s$ H , 0)ds ・ t 0-d " "—0 )D 0)+ (A (h $ h )(t ) +e (t )) =)D 0)+G (t $ s )f (s $ h (s )$ D 0)+h (s ))d s 7d "1—1+(-…. f (s $ Hs "—1 $ HD 0)+s "—1 d s ・t "—0—1 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-…. f (s $ )$ H d s ・ t a —0—1 ,D 0)+B (h $ h (t +e (t =1D 0)+G (t $ s g (s $ h (s $ h (s d s %1d "(a 一 0)t a —0—1(1 —s a —)—11g (s $ h (s $ h (s d s %d "1—*(-s )Eg (s $ H w 1D 0+B (h $ h "(t "+e (t "=*1D 0+G (t $ s "g (s $ h (s "$ h (s ""F s 7d W —>" s )a —T 1-d ( + (-….g (s $ Hs a —1 $ Hs a —1 "F s ・t a —0—1 7-7—1_「(1 — S )ll d (1 + (1— S )—))・ d " a —! 0g (s $ 0 $ H "F s ・ t a —!—1 ,其中$b 1 = d "a —0)\1(1 — s )^1f (s $ H $ 0)s $ b = d "(1—0)!1(1 —s )0—)-1(1—d (1 +(1 —s )—))f (s, 0$ H )ds,b = d r (—0)!1(1 —s )0—)-1g (s $ H $ 0)s $b = d "a — *(-1 — sS ^1(-1 — d(-1 +(1 —s ))—!))g (s $ 0 $ H ) s ,由条件②，④可得b 7 b 7 B r > 0 $ b 7 b 4 > 0, 因此 A(u$ u) +e # P h B (u $ u) +e # P j ,对任意u $ : # P j $ $ t # [0 $ 1( $根据条件④可得A(u $ ：)()=* G ($ sS f(s$ u(s') $ D 0+：(s))ds —e () 7-* G(t $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e ()+e () — e ()=-((Gtt $ s)g (s $ u(sS $ :(s))ds —e(t ) +(-一 1)() = -B (u $ ：)() + (- — 1)().则满足引理1的条件，从而定理1得证.3举例论证作为应用，给出以下例子来说明主要结论.1)考虑以下分数阶微分方程711—D 03+#(i) = 2#())R + #())一5 +(#'())-1 —1 $R#(o) = O (o) = P (o) = 0 $D R +#() =■2-Dj +#(R ).设 a = 7 $ ) = R $ b = 2 $ * =R ,0= y 满足 a第1期韩伟等：高阶非线性分数阶微分方程解的存在性和唯一性"39_*_170,0<0<*$b*、、1=3，令'f!$x$,5$"=(x!))"+(5($)一3$v g(t$x!),5($)=(x!)))+(5(.$))—5$1c=R.则有f($$x!)+!—1)!)$#_15!)+一1)!))=!x!)+(#——1)!))r+(#_15(^)+一1)!))一37(#x!))R+(#、5!))-3=#R(x!))R+#3(5!))一37#3((x!))R+(5!))一3)7,!#f!$x!)$5!)).其中,,(#)=#3.g!$#兄！)+(#—1)!)$#一5!)+(#、一1)!))=!x!)+!一1)!))R+!一5!)+!—1—1)!))—57(丄！))+!-S!))-5=#R(x($))+#5(5!))—57#5!x!))R+(5!))-5)7#((x!))R+(5!))—5)=#g!$$x!$$5!$满足条件③，将上述边界条件代入可得e!$c!+*"、*-2!-*)"、*)$"―1+d r(a))a_：)191"!1!+3+3x343唔)1Q1Q则----7<----.从而0%e($)%J($)$满56r(y)1R r(3)足条件①$e*=e!)=—%56r!则满足定理1的条件①，②，其中_13f$g：'$1(X|_56"(|)$+s X$+sS>$+)_13)56r(7是连续函数，并且关于第二变量单调递增，关于第三变量单调递减.显然g(s$0$H)=0R+H-5—0$f!$$x!$)$5!$))=11(x($))R+(5($))一37-((x($))R+(5($))一3)7-((x($))R+(5($))—5)=g!$$x!$$5!$取-=3时结论仍然成立.综上所述，就证明了定理1的所有条件,从而可以找到一个非平凡解x*4#P j$J!)=$$$#'$1(.!一*)dcd r(a)(a_：)可得e!$=因为1+b*_*+(1—*)dd"(a)(a一*)参考文献：'(KILBAS A A$SRIVASTAVA H M.Theoryandapplicationsoffractionaldi f erentialequations'M(.Amsterdam#Elsevier$2006. '2(BALEANU D$MACHADOJ L.Fractionaldynamicsand control'M(.Berlin#Springer$20"2.'3(WEITZNER H$ZASLAVSKY.Someapplicationsoffractionalequations]〕].Communications in Nonlinear Science&Numerical Simulation$2003$8!3-R"#273-281&[4(ZHAI C$WANG F.Properties of positive solutions for the operator equation Ax=#x and applications to fractional differential equations with integral boundary conditions H J].Advances in Difference Equations，2015$2015(1):1-10.'(ZHAI C B$YANG C$ZHANG X Q.Positive solutions for nonlinear operator equations and several classes of applications'].Mathematische Zeitschrift,2010,266(1)：R3-63&[6(BAI Z$LU H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation'].Journal of Mathematical Analysis and Applicati$ns.2005$311：1R华中师范大学学报（自然科学版）第55卷495-505.[7(LIANG S,ZHANG J.Existence and uniqueness of strictly nondecreasing and positive solution for a fractional three-point boundary value problem'].Computers&Mathematics wth Applications,2011,62(3):1333-1340.'(EL-SHAHED M,SHAMMAKH W M.Existence ofp$sitive s$luti$ns$f the b$undary value pr$blem f$r nonlinear fractional differential equations'].Abstract and Applied Analysis,2011,2011(25) ：1363-1375.ZHANG L,TIAN H.Existence and uniqueness of positive solutions for a class of nonlinear fractional di f erentialequations'].Advances in Difference Equations,2017(1)：11R-132&[10]WANG H,ZHANG L L,WANG X Q.New uniqueexistence criteria for higher-order nonlinear singularfractional differential equations[J].Nonlinear Analysis:Mode l ingandControl$2019$24：95-120&[11]GUO D.Method of partial ordering in nonlinear analysis'].JournalofNingxiaUniversity(NaturalScienceEdition)$1999$20(1).'12]SANG Y$REN Y.Nonlinearsum operatorequationsand applications to elastic beam equation and fractionaldifferential equation'].Boundary Value Problems,2019,2019(1)：49.'13]PODLUBNY I.Fractional differential equations[M].New York：Academic Press,1999.Higher order nonlinear fractional differential equationexistence and uniqueness of solutionsHAN Wei,YUAN Zhanqin(SchoolofScience$North UniversityofChina$Taiyuan030051$China)Abstract:The existence and uniqueness of nontrivial solutions for a class of higher-order nonlinear fractional order three-point boundary value problems are studied,mainly through nonlinear operator equations#=A##)+B##)+e in ordered real Banach spaces A B aWe mixed ingthefixedpointtheoWem onconesthe existence and uniqueness of nontWivial solutions aWe obtained and two iteWative sequencesaWeconstWuctedtoappWoximatetheappWoximatesolutions.Inaddition asouW mainWesultapplication anexampleisgiventoi l ustWate.Key words：operator equation；fixed point principle；nontrivial solution；three point boundaryvalueproblem(上接第6页)where D a is the Caputo fractional derivative of order a,F：[0,1]O X&P(X)is a mult<valued map$#<saconstant.By meansofsomestandardfxed po<nttheorems$ su f c<ent cond<t<ons for the ex<stence of solut<ons for the fract<onal d<f erent<al inclusions are presented.Our results generalize the single known results to the multi-valuedones.Key words:Langevin differential inclusions；fractional order；anti-periodic boundary value problem；fixed-point theorem。

复系数非线性常微分方程组解存在唯一性

２１０１年ｌ２月
Ｄｅ．０１ｃ２ｌ
复系数非线性常微分方程组解存在唯一性
张ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
摘
凤，陈璐诗
１１１）２０３
（渤海大学数理学院，辽宁锦州
要：利用Ｂａａｈ空间中的压缩映射原理，证明了一个复系数非线性常微分方程组解存在唯一性。第一ｎｃ
部分介绍了一些基本的预备知识，第二部分对于一个具体的复系数微分方程组的解的存在唯一性给出证明，第三
第３卷第６期ｌ
辽宁工业大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｉｎｎｎｖｒｉｆｅｈｏｏｙＮａｒｌｃｎｅｄｔｎｏｒａｏＬａｉｇＵｉｅｓｙｏＴｃｎｌｇ（ｔａＳｉｃｉｏ）ｏｔｕｅＥｉ
Ｖｏ１．ＮＯ．３１。６
（）若存在Ｘ ∈Ｘ使得ｒｏｏ３ｏＸ＝Ｘ，则称是Ｔ的不动点。
上世纪以来，人们对于压缩映射定理的研究已经有了非常丰富的成果，它在很多科研问题中都有应用，８Ｏ年代初，Ｗ．ｌｒＷａｔ利用压缩映射原理给出了著名的Ｃｕｈ．ｗａｖｋｅａｃｙＫｏｌｓｙ定理的一个初等证明方法Ｉ。人ｅＩＪ们对于一类带有奇异点的解析偏微分方程的形式级数解的可和性的研究，通常要借助于一些常微分方程组，而这些常微分方程组的解的存在性也是其中的关键步骤之一。ａａｈＢｎｃ空问的压缩映射原理是完备度量空间概念的应用，它有助于证明微分方程、代数方程、积分方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。在国内，熊庆来，杨乐，何玉赞等数学家对复微分方程方面进行了研究，并且得到一些显著的成果。

证明压缩映射原理

证明压缩映射原理压缩映射原理是现代分析数学中一个重要的定理，关于非线性算子意义下连续映射存在性和唯一性问题的关键性原理。

该原理的应用范围很广，特别是在微分方程和变分问题中占有重要的地位。

下面将系统阐述压缩映射原理的定义，证明和应用。

一、定义设$X$是一个完备的度量空间，$T:X\rightarrow X$是一个映射。

如果存在一个常数$0\leq k <1$，使得对于$X$中任意两个元素$x,y$，都满足：$$d(T(x),T(y))\leq kd(x,y)$$其中$d(x,y)$是度量空间$X$的距离。

那么$T$是$X$ 上的一种压缩映射，或者简称压缩映射。

二、证明在距离度量与完备性的基础下，压缩映射原理是比较容易证明的，可以分成两个部分来证明。

1. 映射$T$存在唯一不动点$x^*$首先需要证明映射$T$存在唯一不动点$x^*$，即$Tx^*=x^*$ 。

假设$Tx=x$，则从$Tx=T(x^*+x-x^*)$可得：$$d(Tx, Tx^*)\leq kd(x,x^*) \Rightarrow kd(x,x^*)\geqd(Tx,Tx^*)=d(T(x^*+x-x^*),T(x^*))$$根据三角不等式，上式可进一步变形：其中$n$为正整数。

因为$k<1$且$d(x_0,x^*)$为常数，所以当$n\rightarrow\infty$时，$(k+1)^n\rightarrow 0$。

$$d(x,x^*)=0\Rightarrow x=x^*$$证毕。

2. $T$ 的每个序列$x_n$都收敛于不动点$x^*$$$d(x_{n+p},x_n)\leq k^nd(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+k^{n+p-1}d(x_{n+1},x_n)$$$$=k^n(p+1)d(x_{n+1},x_n)$$因为$k<1$且$p$为固定的正整数，有$(kp+1)\rightarrow 1$。

一类非线性算子方程解的存在唯一性及其应用

在唯一性问题，并应用到一类积分方程中．关键词：ａａｈ空间；规锥；迭代；不动点Ｂｎｃ正
中图分类号：Ｏ７．１１７９
文献标识码：Ａ
文章编号：６１６７（０８０ — ８—４１７—８６２０）２０７００
Ｏ引言和预备知识
即
一。ｌ≤ Ⅳ ｝１一１Ｉ（一 ∞）ｌＩ，１ — ０ｎ，。Ｉ，
ｌ“ 一Ａｌ一０ｌ “ Ｉ，
（）２ Leabharlann 基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１７１６１６）作者简介：谢志林（９０）男．１８，江苏沐阳人，硕士研究生．主要从事非线性泛函分析研究
８８
淮阴师范学院学报（自然科学版）
第７卷
其中 Ⅳ为正规常数．而｛是Ｄ中Ｃｕｈ序列．｛｝从ｕ｝ａｅｙ设一。｛｝Ｄ，有 ≥ “ ，ｎ一。时，， ∈ 则。当。有。≥ 。即ＥＤ，，从而Ｄ为Ｅ中闭集．由于完备空间的闭子集是完备的子空间，而Ｄ是完备的．从故存在／ ∈ Ｄ使ｕ一ｕｎ一 ∞）２，（．
本文在对紧性和连续性不作任何假定的情况下，正线性有界算子，结合利用迭代技巧给出了几个新结论
（理ｌ～３，定）并应用到一类积分方程中，广了某些已有结果．推
设是实Ｂｎｃ空间，ａａｈＰ是Ｅ中的非空闭凸集，如果（） ∈ Ｐ，＞０则２ｉ，ｘ∈ Ｐ；ｉ（ｉ）若 ∈ Ｐ，
在（）中令Ｐ一。，２。有

关于非线性常微分方程组的存在唯一性定理的证明

８（一。ｂ，Ｙ）
证明：（归纳法）
当＝时（＝。ｆ（。）１，，ｙ＋；（））ｇ
显然在ｒ，ｆ＋ｈ上有定义．连续且有【０】
ｙｙ＋Ｊ（ｙｒ，，，（＝。＝ｆ）。ｏｊ；ｄ十）ｇ
性常微分方程组— ：ｇｔ）性常微分方程组｝：（ｙ．Ｙ∈Ｒ；． ∈
，
（）１
理．为简单起见，只就ｆ，ｒ＋ｈ进行讨论，对于０ｏ
ｆ —ｈ≤ｆｒ的讨论完全一样．Ｄ０
的解的存在唯一性定理的证明方法．
设给定方程组（）１的初值条件为ｙｔ）ｙ２（０＝＿０（）考虑包含点（Ｙ），；Ｙｏ… ｏ的某个ｔ０＝（０Ｙ２．）
１
ｉ也是连续向量函数．ｔ）如果（羞（．，，那么连））
续向量函数（就是积分方程的解．则．我们把，１否
ｉ
兹系数．
，ＹＩ１
’
。
（）入上面的积分方程中。就得到向量函数ｆ代
对于所有的（，，，ｙ ∈Ｒ都成立．成为利普希，Ｙ）（，）
｛）仍ｔ＝Ｙｆ
分方程的解，如果始终不发生这种情况。我们可以证明上面的向量函数序列有一个极限向量函数ｆ，即）
（ｙｆｆｌｇ，）（－＋（
ｆ，ｏ＋ｈ
ｌｐ（＝ｆ存在．进一步说明（是积分方程的ｉ））ｍ￣，ｆ）
ｑ（＝。ｆ（．）显（是续Ｌ，ｙ＋ｆ（．然１也连，）ｇ；ｆ），）

高中数学方程组解的存在性和唯一性

高中数学方程组解的存在性和唯一性方程组是数学中的重要概念，它是由多个方程组成的一组等式。

解方程组是数学学习中的基本内容，它涉及到方程组解的存在性和唯一性。

在本文中，我将重点讨论高中数学中方程组解的存在性和唯一性，并通过具体的题目举例，说明解题的关键。

一、方程组解的存在性方程组的解存在性指的是方程组是否有解。

对于一个方程组而言，它可能有唯一解、无解或无穷多解三种情况。

1. 唯一解的情况当方程组的方程个数等于未知数的个数，并且方程组的系数矩阵满秩时，方程组有唯一解。

例如，考虑下面的方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x + 5y = 11 \\\end{cases}$$通过高斯消元法，我们可以得到增广矩阵：$$\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\4 &5 & 11 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\0 & -1 & -3 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_1+\frac{3}{2}R_2} \begin{bmatrix}2 & 0 & \frac{1}{2} \\0 & -1 & -3 \\\end{bmatrix}$$最终得到方程组的解：$$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = 3 \\\end{cases}$$由此可见，该方程组有唯一解。

2. 无解的情况当方程组的方程个数大于未知数的个数，并且方程组的系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

例如，考虑下面的方程组：$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x + 6y = 11 \\\end{cases}$$通过高斯消元法，我们可以得到增广矩阵：$$\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\4 & 6 & 11 \\\end{bmatrix}\xrightarrow{R_2-2R_1}\begin{bmatrix}2 &3 & 7 \\0 & 0 & -3 \\\end{bmatrix}$$由此可见，该方程组无解。

常微分方程组解的存在唯一性定理及其应用

常微分方程组解的存在唯一性定理及其应用
近代微分动力学和数学物理学中一个重要且基础性的研究课题是非常重要的。

它不仅涉及到普通微分方程（ODE）的解析或近似解，而且解决微分方程组解的存
在唯一性和存在性也是非常关键的，这也是定义研究这个问题的理论基础。

关于微分方程组解的存在唯一性定理，基本可以归纳为三个部分：定义，定理
以及应用。

从定义来说，微分方程组解的存在唯一性定理指出，一组非线性微分方程的解必须满足它们的一般积分函数的某一唯一的定义拓展，其中，积分函数是原微分方程本身的某种泛函解。

定理上，这个定理被称为Lipschitz不变定理，即：给定一组带有参数的非线
性微分方程组，当该参数在一定范围内发生变化时，其解仍然是唯一的，这一变化度由所谓的Lipschitz条件来度量，即参数改变后该系统的近似的解仍然保持近似关系。

应用上，它主要是用于研究微分动力学系统，而这类系统中出现了新的重要运
动学理论，比如黎曼系统。

使用Lipschitz定理可以搭建一层非常重要的理论框架，帮助我们构建出若干关于微分动力学系统解的重要性质。

此外，该定理也被广泛用于数学物理学中，比如热力学，电磁学，量子力学等。

因此可见，微分方程组解的存在唯一性定理是近代微分动力学和数学物理学中
的一个重要的定理，它的实质和应用也受到广泛的关注，值得引申到包括互联网在内的其它领域深入研究，以期赋予其新的意义及功能。

一类非线性系统周期解的存在唯一性

０００
ＫｅｗｏｄＮ。ｌｅｒｓｓｅｙｒｓｎｉａｙｔｍＬｉＰｎｖｆｎｔｏＰｒｏｉｓｌｔｎｎａｕｏｕｃｉｎｅｉｄｃｏｕｉｏ
文献［］１研究了下面的四阶非线性系统解的渐近稳定性：
Ｄｅ
ｐ
ａ
ｎ
Ⅱ
ｅ
刘俊
ｎ
Ｏ
（曲靖师范学院数学系，曲靖，５００６５０）
Ｍａ
摘要运用Ｌａｕ。ｉｎｖ函数方法，究了一类四阶非线性系统，到了该非Ⅱ 性系统存在唯一渐近稳定的周ｐ研得线
运用Ｌａｕｏｉｎｖ函数方法，Ｐ得到了系统（）存在唯一渐近稳定的周期解的充分条件・１
（）１
１预备知识
在证明结果之前，有必要介绍一下定理证明过程中引用的结论．为叙述方便，虑微分方考
（．）（．）ｆ口一 ∞ ∞
ｌ ÷Ｊｆｌ）ｓｆｆｐ２ｓｄ＜＋ ∞．ｉｍＩ ‘（ｄ＜和ｓＩ。（）ｓｓｕＪｆ ≥ｏ
那么方程（）的解是一致最终有界的．２引理２３如果系统（）［３２的解是最终有界的，界是Ｍ，系统（）在以为周期的周期且则２存
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第２第２期７卷
２００７年６月
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬＴＨＥＯＲＹＮＤＡＡＰＰＬＩＣＡＴ１ＮＳ０

一类非紧减算子方程解的存在唯一性及其应用

Ｕｕ，ｎｖ，ｎ ∞）ｎＶ（，且ｕｖ＜ｎｎｕ＜Ｖ．
（）４
再由０ｇ－，．（ＩＬｏｏ￣＊ＶＵ０＋）（－）Ｕ【ｖＵ与锥Ｐ的正规性，易知ｕ＝ｖ＝ｘ ∈Ｄ．
作者简介：赵巧玲（７．女，１１，商丘师范学院数学系讲师．９）
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第２期
赵巧玲等：一类非紧减算子方程解的存在唯一性及其应用
２７５
０，一Ａ－ｖ．０Ｖ．Ｕ．０＋）一） …５Ｒ＋）Ｖ一０：Ｕ＜ｕ．Ａ＋【一）（ＩＬ（．Ｕ．（ＩＬ０）Ｖ１１（１１【Ｖ１１（ｕ．
则增算子Ａ在［，０ｕＶ上有唯一的不动点ｘ，ｏ］构造迭代序列
Ｕ＋Ａｎ（ｎｎｎｌＡｕ，ｎ１ｖ－ｖ－）＋＝ａＵＶｎｎ０１２３＝，，， … 都收敛于ｘ，且误差估计ＩｎＶ．ＩＮ “ＩＯ０Ｊ其中０ｒ）或）＿ｌＵＩＩ（ｎｘＩｉＩ．，ｕ＜Ｖｃ（＋Ｌ证明考察迭代序列（，由条件（）１）Ｉ知ｕ＿ｖ．（ｏｏ＝ｌＡｏＡｏｌｖ，即Ｕ＜ｌＶ＜０ｏＡｏｖ．）ｕ＿ｖ＿ｕ＝ｖ＿ｏ＜ａｕ＜＜０Ｕ＜ｌＶ
其中ｌ为恒等电子，ＨＭ＋，对任意自记＝Ｌ然数ｎＰ，有
（）３
０ｕ＋—ｎＶ＋—ｎＶ—ｎ（ＩＬｖ—０，ｎＵ￣ｎＵｎ５ａ＋）ｏ）Ｐｐ，Ｕ（Ｕ０，ｎＶ＋￣ｎｎＳｎｎ（ＩＬｏ０．： — ｎｐＶ— ＋Ｖ— ０＋）ｖ — ）ＶｕｐＵ【（Ｕ

三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性的开题报告

三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性的开题报告开题报告：三类非线性偏微分系统解的存在性和唯一性摘要：本篇开题报告旨在探究三类常见的非线性偏微分系统解的存在性和唯一性问题。

首先介绍了非线性偏微分方程的定义、基础理论以及经典的线性偏微分方程的求解方法。

其次，详细介绍了三类非线性偏微分系统及其相关的研究成果。

针对每一类系统，分别给出了存在性和唯一性的定理证明及其相关的方法和技巧。

最后，简要讨论了该研究方向的意义和应用前景。

关键词：非线性偏微分方程、存在性、唯一性、定理证明、应用前景一、研究背景和意义非线性偏微分方程是数学中一类重要的研究方向，涉及到多个实际领域的问题，如物理、化学、工程等。

与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解法具有很高的难度和复杂性，尤其是解的存在性和唯一性问题更是难度极大。

然而，研究其解的存在性和唯一性，可以为实际领域问题的预测和控制提供重要的理论和方法支持，具有重要的科学价值和社会意义。

在非线性偏微分方程中，存在着多类不同的方程类型和解的性质，近年来，针对研究非线性偏微分方程解的存在性和唯一性问题，涌现了很多理论方法和技巧。

本论文主要聚焦于三类较为常见的非线性偏微分系统，分别是可压缩流动方程、Navier-Stokes方程和Klein-Gordon方程，探究其解的存在性和唯一性问题，为实际应用提供有力的理论支持。

二、常见的非线性偏微分系统1. 可压缩流动方程可压缩流动方程是一类描述气体动力学运动过程的非线性偏微分系统。

其基本方程包括连续性方程、动量方程、热力学方程和状态方程等多个方程。

在常见的理论模型中，可压缩流动方程是描述空气动力学和燃烧过程等重要的方程系统。

该方程组解的存在性和唯一性一直是研究领域中的难点问题。

2. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是一类描述流体运动和流体物理现象的非线性偏微分系统。

该方程系统包括连续性方程、动量方程、质量守恒方程等多个方程。

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耦合不动点．（ｉ）如果面∈Ｄ满足＝面）则称是Ａ的不动点．ｉｉＡ（，，
１主要结果
定理２１设存在。 ∈Ｅ使Ｉ ≤ 。算子Ａ，［。］×［。］．，ｔ，０Ｂ．Ｍ，ＸＩ，一Ｅ满足下列条件：
（ｖｉ）（）Ａ，，ｏ＝；ｚ，）（）ＶｕｓＭ三三０ ≤
％；
（ Ⅱ ＋Ｑ（一“）（，）Ａ，。。（）ｕ）其中Ｑ，Ｖ）ｏ。 ≤ 。，（。）。一Ｇｔ。，。一Ｇ为正有界线性算子．
：
’
（＋［（，，）Ａ “ ）一Ｂｕ，）＋ｒｖ一ｕ）＋Ｑ一ｕ）＋Ｇ一１）．（（（（２］，
＋Ｑ（一ｕ）一Ｂ一，１（ｌ一）一Ｔｌ＋Ｑ（Ｉ一一）ｕ一一１］
类似上面的证明易证得＋＋０一．Ｍ＋１一Ｍ：（）１曰ｕ，）＋，＋Ｉ［（
一
（）１Ａ（ｌ一）＋一＋Ｇ一一）一Ｂ（ｌ１，＋＿［（一，１ｌ（１一１ｕ一，）一Ｔｌ＋ｑ（ｌ—ｕ一）一ｕ一ｖ一１］［，＋）＋Ｑ＋Ｇ＋）（０一ｕ）（一（］０．（．）２３
一“ ，
第３６卷
第４期
２１００年ｌ０月
曲阜师范大学ＪｕａｏＱｆＮｒａｏｒｌｆｕｕｏｍｌｎ
Ｖｏ．６Ｎｏ．１３４Ｏｃ．２０ｔ０１
非线性算子方程组解的存在唯一性及其应用
邱忠华
（齐鲁师范学院数学系，５０３山东省济南市）２０１，
因为
又因为Ｑ为正有界线性算子，ｕ＋一－０故。＞．类似的可证
一
＋ｌ：（）［一，一）＋一，＋（ＩＩｌ＋Ｇ一一）一Ａ（，）一Ｔ＋Ｇ一）兰（Ｉ一Ｉｖ（］三＝
＝
所以（．）得证．２２式
定义１１．设ＤｃＥ，Ｄ×ＤｃＥＸ设二元算子：Ｄ—Ｅ，Ｘ，Ｄ×
（ｉ）Ａ称为是混合单调的，果ａ（，）于非减，于Ｙ非增，如ｘＹ关关即对任何，Ｙ ∈Ｄ，＝１２若。ｉ，
２Ｙ三ｙ，０（，２ ≤Ａ，１．，１三２贝１Ｙ）（２Ｙ）＝Ａ（ｉ如果ａ（，）ａ（，） ∈Ｄ×Ｄ，足＝（，）ＹａｘＹ，称，ｉ）ｘＹ，ｘＹ满ＡＹ，＝（，）则Ｙ是的
ｌ１＝１２３ …．，，１，，，当ｎ＝１时，（．）由２１式及条件（）（ｉ知１ｕ，。，由（．）可知ｖ、ｖ）１．。再２１式
“
一
！可推出（＋Ｐ，，
１＝三！
一Leabharlann （．）２２１１：（＋［（，０一Ｉ）Ａ（０）＋Ｔｏ＋Ｇ１）一Ｂ，）一７０＋Ｑ１一Ｕ）ｖ（０—１．０（０Ｉ）ｏ（００］）＝（＋一［（ｏ１）一Ｂ，）＋ｒｖ０，）Ａ，ｏ，（０ｏ（０一）＋Ｑ０（０一）＋Ｇ（０一ｕ）．０］再由条件（ｉ）（ｉ、ｉ）得、ｉ）（ｉ可ｉ
０引言及预备知识
１８年，９７郭大钧和ＬｋｈｉｎａａｓｍｋｔｍＶ教授提出了混合单调算子的的概念Ｈ，ａｈ一些学者对混合单调算子Ｊ
做了许多工作，并且把所得结果应用到非线性方程中，文献［＿］２４研究了算子方程组
２１００生
（ｉＴＬ，Ｇ＝Ｇ，Ｉ＝Ｑ（＋ｒｘｖ）Ｌ＝ＴＴＴｚＱ，，）
∈ ０＜ｒＩ）。ｒＰ，（＋一［（）＋（＋ｒＧ）（］；ｒＱ）（＋ｒ）＜１
则方程组（．）Ｉ，］１１在［。＂中有唯一解，Ｚｔ３。并且迭代序列
摘要：用半序的方法和锥理论，在不具有连续性和紧性的条件下讨论了Ｂｎｃ空间一类非单调算子方ａａｈ
程组的解的存在唯一性及迭代收敛性，出了此迭代的误差估计，给并且应用到Ｈｍｅｅａｍ￣ｔｎ型积分方程中．ｉ
关键词：算子方程组；半序方法；锥理论；迭代序列中图分类号：１７９０７．１文献标识码：文章编号：０１３７２１）４０６－Ａ１０－３（０００－５５５００
设ｒ满足ｒ１）［（）＋（）＋ｒＧ）＋（］＜ｒ．（＋ｒＬｒＱ（ｒ）＜１根据文献［０中谱半径的性质，１］有ｌｆＩ＝ｒ）≤ ，，＋）ｒＬｉａｒ｝ｆ（（一［（）＋ｒＱ）＋ｒＧ（（）＋ｒ］＜，＜１（）．，
ｊ＋＝，）［（￣）Ｔ一ｎＭ］．・（＋一１＂＋ｕ（ —ｎ，ｎ１０，ｎ．（ｎ）
【
＝
（１２）
．
＋（ｌ＝Ｉ＋Ｔ一［ｖ，）＋）。Ａ（
＋（一）］
（１２ …）０，，，都收敛到（一 ∞）并有误差估计Ｊｎ．｝
（）Ｂ（，）一，）一Ｔ瓦一ｕ），，瓦日（＇３／（，（，，，Ｍ）（）一（瓦一Ｔ一瓦，Ａ，）（）
＝
（）Ｂ（）一Ｂ（１１，＋一［ Ⅱ， “一，）＋Ｔ “ 一）＋Ｑ一一口一一）．一（一Ｉ（ｌ＋１］
Ｂ（） “ ， ≥Ｂ（，一，ｕ，一）一Ｂ “ 一，一 ≥ 一Ｔ一ｕ一）】Ｂ（１（ｌ１（１，
第４期可知存在Ｎ，Ｎ使得ｏＶｎｏ
邱忠华：线性算子方程组解的存在唯一性及其应用非
６７
ｌ＿
ＩＩ
ｒ，Ｎ，Ｖｎｏ
对任意自然数Ｐ由（．）２５两式及Ｐ的正规性可得，２４（．）ｌ＋ｌＮｌ［，＋ＴＩ（ｌ一ｌ：（ｌ）１Ｌ＋Ｑ＋Ｇ＋）ｌＩ０一ｕ］ｌ＿０ｌｌＩ＋ｌｌ一ＩＮｌ［，＋Ｔ（（ｌ）Ｌ＋Ｑ＋Ｇ＋）ｌｌ。一＿］ｌ。ｌｌＮ＿ｒＩ０一“ ，０ｌｌ Ⅳｒｌ。一ｕ１ｌ。Ｉ．
０
Ａ（，）一Ａ（ｌ）≥ 一Ｔ２Ｍ，（２一Ｉ）Ｂ２）一Ｂｌｔ，（，１（，三（）三一Ｔ２一）＝１；
（ｉ存在正有界线性算子ＬＥＥ，ｖ“ Ｂ（）￡一１， ≤ ｉ）ｉ：Ａ（，）一，（ｌＶＭ，）。
女收稿日期：０００－０２１－３６
基金项目：山东省高等学校科技计划项目（０Ｌ５．Ｊ９Ａ５）作者简介：邱忠华，，９８，男１６一副教授；研究方向：非线性泛函分析；ｍｉ：ｉｚ＠ｙｈｏＯＥ－ａｌｑｕｈａｏ．ｉｌ
６６
曲阜师范大学学报（自然科学版）
一（或）ｌｓＭＪ一。ｌＪｌｎＪ。．其中
ｒ，）１ｒ（＋－［（）＋ｒＱ（）＋ｒＧ（）＋ｒ（）＜ｒ＜１．证明因为的谱半径ｒＴ＜，（）１由文献［０可知，可逆，１］＋又由条件（＋），Ｔ）为正算子．下面用归纳法证明
Ａ（，ｕ
，
ｕ；
・
得到了解的存在唯一性，都要求算子为混合单调算子．文在Ｂｎｃ间中不假定算子具有混合单调性、但本ａａｈ空连续性和紧性条件的情况下讨论了抽象算子方程组（）１的迭代唯一性定理，并把它运用到了Ｈｍｒｅｎ型ａｍｅｓｉｔ积分方程中儿改进了文献［＿］．２４中的相应结果．本文始终假设Ｅ为半序Ｂａｃ间，ｎｎｈ空Ｐ为中的正规锥， ” Ｐ导出的半序：一 “ 为 ≤ｙ ∈Ｐ．
（ｉ）Ａ Ⅱ ）（Ｃ（ＶＩ ≤ （，，，）Ｘ。
］】２则有，，
。关于ｚ非增；）７是
．
（）存在正有界线性算子：—Ｅ的谱半径ｒＴ＜，ｉＥ，（）１使得对任一固定的 ∈［。。，１ ∈［。ｕ，］１，ｌ１ “，，，：
（）Ｌ＋Ｑ＋Ｇ＋）：（＋Ｑ＋Ｇ＋Ｔ（），＋（），＋，
进而可得（＋（Ｑ＋Ｔ＝（ｐ＋），）根据文献［］，）＋Ｇ＋）Ｌ＋Ｇ＋（＋～，９中的命题１２４知．．ｒＨ＝［，）＋Ｑ＋） ≤ ［，）ｒＬＱ＋）（）ｒ（＋一（Ｇ＋］ｒ（＋一］（＋Ｇ＋，（＋Ｉ］ｒ）＋（［，）１［（ｒＱ）＋ｒＧ（）＋ｒ）。（］
一．
＝（）（＋Ｑ＋Ｇ＋）（一一“一）！三，＋三［］１１三三… 对任意自然数ｎＰ有，
０≤ Ｍ＋一Ｍ。
０一＋。
（．）２４