河北邯郸2012届高三第一次模拟考试(数学文)答案及评分标准

2012年邯郸市高三第一次模拟考试数学（文）
参考答案及评分标准
一、选择题： BADCB DBDCA DD
二、填空题 13． 6 14．
.
15．. 5π 16．. 22(6)20x y -+= 三、解答题
17．（本小题共12分）
解：(Ⅰ) {}n a Q 是等差数列且215313a a a +=，233123
a a ∴=， 又306n a a >∴=Q ．…………………………………………………2分
177447()75682
a a S a a +===∴=Q ，……………………………4分 432d a a ∴=-=，3(3)2n a a n d n ∴=+-=． ………………6分
（Ⅱ）112n n n n b b a a n ++-==且Q ，12(1)n n b b n +∴-=+
当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L
22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ，……………………8分
当1n =时，12b =满足上式，(1)n b n n =+
1111(1)1
n b n n n n ∴==-++ ……………………………………………………10分 12111111111111(1)()()()22311
n n n T b b b b n n n n -∴=++++=-+-++-+--+L L 1111n n n =-
=++． ………………………………………………12分
18．（本小题共12分）
解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. …………2分
记未超标的4天为,,,a b c d ，超标的两天为,e f ．则从6天中抽取2天的所有情况为：ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本
事件数为15．…………4分
（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，
be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．
∴()815
P A =
；……………6分 （Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ， “2天都超标”为事件C ，其可能结果为ef ，…………………………8分
故()115
P C =
，…………………………………………………………10分 ∴()()114111515P B P C =-=-=. …………………………………12分
19．（本小题共12分）（I ）证明：连接CO
2
A E E
B A B ==Q AEB ∴
V 为等腰直角三角形 Q O 为AB 的中点
,1EO AB EO ∴⊥=……………………2分
又,60AB BC ABC =∠=o Q
A C
B ∴V 是等边三角形
CO ∴=4分
又2,EC =
222E C E O C O ∴=+，即EO CO ∴⊥
E O A B C D
∴⊥平面……………………6分
（II ）设点D 到面AEC 的距离为h
2AE AC EC ===Q
∴2
AEC S =V …………8分
Q ADC S =V E 到面ACB 的距离1EO =
D AEC
E ADC V V --=Q
∴A E C A D C S h S E O ⋅=⋅V V
………………………………10分
7
h ∴= ∴点D 到面AEC
的距离为
7……………………12分 20．（本小题共12分）(I)
由题可知：221
b c a c =⎧⎪⎨-=⎪⎩ …………2分
解得1a c ==，1b ∴=
∴椭圆C 的方程为2
2:12
x C y +=…………………………4分 （II ）设直线l ：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，
， 由22(2)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.…………6分 所以2122821k x x k +=+，21228221
k x x k -=+. ……………………8分 而
2222(1)(12)
FN x y x kx k =-=--，，uuu r ，
1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+uu r ，，，…………10分
1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+Q 1212[23()4]k x x x x =-++ 22221642442121k k k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭
0= //FN FP ∴u u u r u u r
∴N F P 、、三点共线 ……………………………………12分
21．（本小题共12分）（I ）当1a =时，1()x
x f x e -= 2()x
x f x e -+'∴= ………………………………………………………………2分 由()0f x '>得2,x <()0f x '<得2x >
()f x ∴的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.………………4分 （II ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()f t t >恒成立， 则1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x ax x e ->恒成立， 即1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x a e x >+恒成立………………………………6分 设1()x g x e x =+，1[,2]2x ∈，则 21()x g x e x '=-，1[,2]2
x ∈
设21()x
h x e x =-， Q 32()0x h x e x '=+>在1[,2]2
x ∈上恒成立 ∴()h x 在1[,2]2
x ∈上单调递增 即21()x g x e x '=-在1[,2]2x ∈上单调递增………………8分 121()402
g e '=-<Q ，21(2)04g e '=->Q ∴21()x g x e x '=-在1[,2]2
有零点m ∴21()x g x e x '=-在1[,]2m 上单调递减，在(,2]m 上单调递增……………10分 ∴1()2(2)a g a g ⎧>⎪⎨⎪>⎩
，即2212
a a e ⎧>⎪⎨>+⎪⎩，∴212a e >+……………………12分 22．（本小题共10分）
证明：（Ⅰ）连接OC ，因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠............................ 2分 又因为AD CE ⊥，所以0
90ACD CAD ∠+∠=，
又因为AC 平分BAD ∠，所以OAC CAD ∠=∠， ............................................... 4分
所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即OC CE ⊥，所以CE 是O e 的切线. ................ 6分 （Ⅱ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=，
因为OAC CAD ∠=∠， ............................................................................................ 8分 所以△ABC ∽△ACD ，所以
AC AD AB AC
=，即2AC AB AD =⋅. ..................... 10分 23．（本小题共10分）
解：（Ⅰ）4cos ρθ= ， 24cos ρρθ∴=，………………………………………………………………2分 由222,cos x y x ρρθ=+=得：22
4x y x +=
所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，…………………………4分 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. …………………………………………5分
（Ⅱ）
把112
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=
整理得250t -+=，……7分 设其两根分别为1t 、2t
，则12125t t t t +==，…………………………8分
12PQ t t ∴=-==10分 另解：
化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得PQ 的值．
24．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
⎩⎨⎧>++-≥7211x x x ，或⎩⎨⎧>+++-<<-72112x x x ，或⎩⎨⎧>--+--≤7
212x x x ………………3分 解得函数)(x f 的定义域为),3()4,(+∞⋃--∞； ………………………………5分 （Ⅱ）不等式3)(≥x f 即821+≥++-a x x ，
R x ∈ 时，恒有3)2()1(21=+--≥++-x x x x ，…………………………8分 不等式821+≥++-a x x 解集是R ，
83,a ∴+≤
a ∴的取值范围是]5-,(-∞． ……………………………10分。