第五章数值分析
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
(完整版)Mathematica数值分析和数值计算
第五章 数值分析和数值计算1． 如何求插值多项式给定n 个点( x i ,y i )，(i=1,2,…,n)，构造一个次数不超过n-1的多项式函数f(x)，使得f(x i )=y i ，则称f(x)为拉格朗日插值多项式。
可以证明该多项式函数由公式))...()(())...()((...))...()(())...()(())...()(())...()((1211212321231113121321--------++------+------=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y唯一给定。
Mathematica 提供了根据插值点数据计算拉格朗日插值多项式的函数InterpolatingPolynomial ，下面是其调用格式：InterpolatingPolynomial[data,var]作出以data 为插值点数据，以var 为变量名的插值多项式。
例：在多数情况下，我们构造插值函数的目的在于计算函数f(x)的值，而并不在意插值多项式的具体表示形式。
对于拉格朗日插值多项式，当n 较大时，得到的高次插值多项式由于截断误差和舍入误差的影响，往往误差较大。
此时在实际应用中，一般采用分段插值。
Mathematica 提供了分段插值函数Interpolation ，其使用格式为：Interpolation[data,InterpolationOrder->n]这里InterpolationOrder->n 指定插值多项式的次数，默认值为3。
此外数据data 中还可以包括插值点处的导数，格式为：{{x1,{y1,dy1}},{x2,{y2,dy2}},…}例：已知f(0)=0,f(1)=2,f’(0)=1,f’(1)=1,求3次插值多项式f(x)，并计算f(0.72)和画出函数f(x)在[0,1]区间上的图形。
数值分析第五章
输出：有根区间为（3.3，3. 4）且区间（3.6，3.7）内无实根 。
8
§2
设有非线性方程
二 分 法
其中，f (x)为 [a,b] 上连续函数且设 f (a) ⋅ f (b) < 0 （不妨设方程（2.1）于 （2.1）
f (x) = 0
（2.1） 2.1）
[a,b] 内仅有一个实根。
y
求方程（2.1）实根 x* 的二分法过程，就是将含根区间 [a,b] 逐步分 （2.1） 半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。
a ←x
k ≤ N0
否
输出
图5-3
分半 N0 次还没有到 达精度要求信息
15
§3 迭代法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组 的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了用迭代法求非线性方程 f (x) = 0的近似值，首先需要将此方 程转化为等价的方程 3.1） （3.1）
x >b
≤
f1 ← f2
＜ 输出有根区间
(x − ∆x, x)
L2
图 5-1
L 1
7
+ 若 f (x) 于 [a, ∞) 某点 xs 分为两支曲线且 x → xs 时 f (x) →+∞或 − ∞ ， − 当 x → xs 时 f (x) → −∞ 或
[注] 当 f (x) 于 [a,b] 连续时，输出区间 (x − ∆x, x) 内一定有实根， 注
f (xk ) < ε1 或 h < ε2则输出 xk , f (xk ), k;
ak+1 = xk ,bk+1 = bk
其中 N0 表示给定的最大分半次数，当 f (x) < ε1 或 h < ε2 时分半终止， fmax为一大数。
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析第五章%282012%29
( a , b )， 时 ：
b a
f ( x)dx
a
i0
i
f ( xi )
h
n2
f
( n 1)
( )
( n 1) !
n 0
t ( t 1)...( t n ) d t
结论是什么？
b
结论：应用高阶型插值求积公式计算 f ( x )d x 会出现 数值不稳定，而低阶公式（如梯形、辛普生公式） 又因积分区间步长过大使得离散误差大
二次插值求积公式（即Simpson公式）
先 将[a, b] 区 间 二 等 分 ： a , 再 作 二 次 la g ra n g e插 值 P2 ( x ) (x (a
抛物型求积公式： ab
, b 2
2
f ( x k )l k ( x ) )( x b ) f (a ) )( a b ) ( ( x a )( x ) ( b a )( b ab 2 ab 2 ) f (b ) )
第五章 数值积分
问题的提出：
f(x)的原函数没有具体的解析表达式或表达式 很复杂不适宜计算，只有f(x)的离散数据点。 如何求
a f ( x )d x ？
I
b
寻找近似计算方法
a f ( x )d x
f (x)
b
思路： 利用插值多项式Pn ( x )
，则积分易算。
5.1 插值型积分公式
b a
b-a ab P2 ( x ) d x f (b ) f (a ) 4 f 6 2
当 f ( x ) 1时
b a
f ( x ) ( b - a )，
数值分析 第5章haha
, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计 算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯 消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初 始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收 敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍 直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作 行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
第五章 导热问题的数值方法
5 热传导问题的数值方法5.1一维稳态导热一维稳态导热在直角坐标系下的控制方程可表示为：0)(=+s dxdT k dx d (5-1) 式中k 为导热系数，T 是温度，s 是单位容积的热产生率。
首先选定控制体和网格，如图5.1所示，并对方程（5-1）在所选定的控制体进行积分，即得：0)()(=+-⎰dx s dxdTk dx dT ke w w e (5-2)图5.1 控制体和网格然后进行离散化。
如果用分线段性分布来计算方程（5-2）中的微商dxdT，那么最终的方程为:0)()()()(=∆+---x s x T T k x T T k wW P w e P E e δδ (5-3)假设源项s 在任一控制体中之值可以表示为温度的线性函数，即P P c T s s s +=，则导出的离散化方程为：b T a T a T a W W E E P P ++= (5-4)式中x s b xs a a a x k a x k a c P W E P w wW ee E ∆=∆-+=δ=δ=)()( (5-5) 式(5-4)就是一维稳态导热方程的离散形式，系数a E 和a W 分别代表了节点P 与E 间及W 与P 间导热阻力的倒数，它们的大小反映了节点W 和E 处的温度对P 点的影响程度。
式中的k e 和k w 是控制容积中的e 和w 界面上的当量导热系数。
进行计算时，物理参数值存储在节点的位置上。
为了确定k e 和k w ，还需规定由节点上的物理量来计算相应界面上的量的方法。
常用的方法由两种，即算术平均法与调和平均法。
1、算术平均法假定k 与x 呈线性关系，由P 与E 点的导数系数确定e k 的公式为：eeEe e P e x x k x x k k )()()()(δδ+δδ=-+ （5-6） 2、调和平均法利用传热学的基本公式可以导出确定界面上当量导热系数的调和平均公式。
控制容积中P 和E 的导热系数不相等，但界面上热流密度应该连续，则由Fourier 定律可得：()()()()EePePE EeeE PePe e k x k x T T k x T T k x T T q +-+-δ+δ-=δ-=δ-=（5-7）而()Pe PE e k x T T q δ-=则()()()Ee Pe eek x k x k x +-+=δδδ （5-8）这就是确定界面上当量导热系数的调和平均公式，它反映了串联过程热阻的迭加原则。
数值分析第5章
主讲 张学莹
zhangxy@
1
第五章 线性方程组的直接解法
n 阶线性方程组： a 11 x1 a 12 x 2 a 1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n b n
(1 (1 ( a11) x1 a12) x2 a11) xn n (1) (1) (1) a21 x1 a22 x2 a2 n xn a (1) x a (1) x a (1) x 11 1 n 2 2 nn n
b1 b2 bn
lnn
计算量（乘除法的主要部分）为 n2/2.
14
5.2 高斯消去法
一、 Gauss顺序消
元法—按自然 顺序进行的消 元法。
记 Ax=b 为 A(1)x=b (1) ，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn a x a x a x n1 1 n 2 2 nn n
0.0003x1 3.0000x2 2.0001 9999.0 x2 6666.0
29
因而再回代，得 6666.0 x2 .06667 9999.0 2.0001 3.0000 .06667 x1 0 0.0003 1 2 而精确值为 x1 3 , x2 3 显然该解与精确值相差太 远，为了控制误差，采用另一种消元过程。
a (1) a (1) n1 n 2
l 2 r ri i2 i 3,, n
(1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 li1r1 ri i 2, , n ( 2) ( 2) ( 2) (1 ( an 2 ann bn ann) bn1) (1 (1 ( ( a11) a12) a11) b11) n ( 2) ( 2) ( 2) a22 a2 n b2 ln( n1)rn1 rn ( n) ( n) ann bn
最新(完美版)第五章习题解答_数值分析
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为()()()0222203-x 150x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈=-≈- ()()()3222203-154x x -=1175135-1.0938-04.()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈-2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()nii l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nki i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
第五章多自由自由度系统的数值解法
1 1 1 1 即： =
n1 11 22
nn
(8)
例：质量为 m1 ，长为 的均质悬臂梁，其端部有集 中质量 m ，试确定 n1 。假设梁的弯曲刚度为EI。 EI 1 解：对于端部带有质量m，而 m 略去梁本身质量的悬臂梁，其固频 为： 2 3EI 11 3 m 均质悬臂梁的第一阶固频为：
1 9 1.00 设 V 1 1 进行迭代： V 2 G V 1 15 9 1.67 9 1.00 1
[M ]{u} [K ]{u}
2 n
将上式两端前乘柔度矩阵[D]得：
[D][M]{u}={u}
或写成： ([D][M]1
(1) (2)
2 n
[I]){u}={0}
以两个自由度系统为例来说明二个自由度系统，其特 征值问题方程为：
d11 d12 m11 d 21 d 22 0
n 1 的求法 四、
而 n1 j 的解不可能由 n n1求得 。 由(11)知，要求得 n 1 ，关键是求得 n1 j ( j 1.2n)
除{u}1 外振型矩阵[u]中的其它列向量仍是未知 的。
为了得到n1 j (j=1,2,,n),利用特征向量的正交关系 ：
u M u M 1 T M u M u I
q1 n11 q2 0 q 0 3 n12 1 0 n3 0 1
1
0 0 0 q1 0 1 0 q 2 q 0 0 1 3
或{q} [n]1{q}
n11 [n]1 0 0
2 1 s 1
由方程(7)知：当S足够大时，级数(6)的第一项是决定 性的，级数将收敛于 c1u1 ，即vs 和vs 1 都可认为是 u1 1 满足方程(2)。vs 和vs 1 相互成比例，比例常数为 ，由 1 u1 和1 此得：
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
数值分析第五章解线性方程组的直接法
数值分析第五章解线性方程组的直接法解线性方程组是数值分析中的一个重要问题，对于大规模的线性方程组来说，直接法是一种常用的求解方法。
本文将介绍解线性方程组的直接法，包括高斯消元法和LU分解法，并对其稳定性和计算复杂度进行讨论。
高斯消元法是一种常用的直接法，用于求解非奇异线性方程组。
其基本思想是通过初等行变换将线性方程组转化为上三角方程组，然后通过回代求解得到方程的解。
高斯消元法的步骤如下：1.将线性方程组表示为增广矩阵[A，b]，其中A是系数矩阵，b是常数向量。
2.从第一行开始，选择一个非零元素作为主元，通过行变换将主元下方的元素全部消为零。
3.重复第2步，直到矩阵变为上三角矩阵。
4.通过回代求解上三角矩阵，得到方程组的解。
高斯消元法的主要优点是简单直接，容易实现，但存在一些问题。
首先，如果系数矩阵A是奇异矩阵，即行列式为零，那么高斯消元法无法得到方程组的解。
其次，如果系数矩阵A的其中一行或几行接近于线性相关，那么在消元过程中会引入大量的舍入误差，导致计算结果不准确。
这也说明了高斯消元法的稳定性较差。
为了提高稳定性，可以使用LU分解法来解线性方程组。
LU分解法将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这样，原始的线性方程组可以表示为LUx=b，进而可以通过两个步骤来求解方程组：1.进行LU分解，将系数矩阵A分解为L和U。
2.分别用前代和回代的方法求解方程组Ly=b和Ux=y。
LU分解法相对于高斯消元法的优点是，可以在求解多个右端向量时，避免重复计算LU分解，从而提高计算效率。
同时，LU分解法的稳定性也较高，对于多个右端向量求解时，舍入误差的累积相对较小。
然而，LU分解法也存在一些问题。
首先，LU分解法的计算复杂度较高，需要进行两次矩阵乘法和一次矩阵向量乘法，而且LU分解过程中需要对系数矩阵A进行大量的行变换，增加了计算量。
其次，当系数矩阵A的一些元素非常小或非常大时，LU分解法容易出现数值不稳定的情况，即舍入误差的累积较大，导致计算结果不准确。
数值分析课件第5章
cn1xn1
fn1
an bn xn fn
其中|i-j|>1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件:
(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0
(2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1.
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b1 c1
为单位下三角矩阵
这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。
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定理 7矩 ( 阵L的 U 分解 )设A为n阶矩阵， A的如 顺果 序主 Di 0(i1,2,,n1)，则 A可分解为一个 角单 矩L和 位 阵下 一个上三U的 角乘 矩积 阵，且这 唯种 一分 的解 。是
a(2) m2
a1(1n) a2(2n)
b1(1) b2(2)
mi2aa22((2221))
(a2(22) 0)
(i3,,m)
am(2n)
bn(2)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b1(1) b2(2)
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
a(k) kk
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()
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高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯将 消去法 Axb约化为等价的三组 角(方 )，程且计算公 (式 )。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
数值分析第五章线性方程组-数值分析课件
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
数值分析(颜庆津)第5章 学习小结
第5章 插值与逼近--------学习小结一、 本章学习体会插值法是一种很常见的方法，在一些工具书中，经常使用插值法来读取一些表的数据，但是经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
而如何寻找这样的一个插值函数，以及怎样尽可能的寻找截段误差小的函数就是本章解决的问题。
本章内容繁多，但插值函数其实就是由N 个线性无关的多项式组组成。
在理解时，可以按向量来理解。
在梳理本章内容时，也可以按照这样的思路来理解：从插值方法，到插值条件，到插值多项式，到截断误差，再到如何控制截断误差，再思考有没有更好的方法？以样条函数为例，样条函数已经在AutoCAD 、UG 、origin 等软件中广泛应用，也有一些学者，编写程序改进现有的样条函数，以减小误差。
本章的内容很多，插值与逼近的方法更是不胜枚举。
最重要的是，我们要理解每种方法的思路，以期将其用的得心应手。
二、 本章知识梳理本章主要介绍插值与逼近，是指用某个简单的函数在满足一定的条件下，在某个范围内近似代替某个复杂或者解析表达式未知的函数，以便简化对后者的各种计算或者揭示后者某些性质。
函数插值是对函数的离散数据建立简单的数学模型。
5.1代数插值代数插值就是插值函数为多项式的插值问题。
本章介绍代数插值有二个方法：Lagrange （拉格朗日）插值多项式、Newton （牛顿）插值多项式。
1、插值的相关定义（1）、在次数不高于n 的多项式集合},...,{D 10n n Span ϕϕϕ=中寻找多项式k nk k n c x p ϕ∑==0)(使其满足条件),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==，此问题为一元函数的代数插值问题。
n x x x ,...,,10成为插值节点；)(x f 为被插值函数；),...,1,0)((n k x k =ϕ称为插值基函数；),...,1,0)(()(n i x f x p i i n ==为插值条件；k nk k n c x p ϕ∑==0)(为n 次插值多项式。
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1 、完全主元素消去法
设
A x b 的增广矩阵为
a12 a22 ai 2 an 2 a1n a2 n ain ann b1 b2 A(1) bi bn
a11 a 21 B ai1 an1
(2) 11 (2) 1n
即
1 a
a11 a12 a21 a22
a11
(1) 11
2
a12 a22 a32
a a
(1) 11
(1) 12 (1) 22
a
a a
(1) (2) 11 22
a13 a23 a a a33
(1) 11 (2) 22
3 a21 a31
a
(3) 33
a x a x b
(3) n3 3 (3) nn n (3) n
其中
a
(3) ij
a
(2) ij
(2) i
l a
l b
(2) i2 2 j
(i,j=2,3,…n) (i,j=2,3,…n)
b
(3) i
b
(2) i2 2
一般地，设第k-1步后化为如下同解方程组：
a x a x a x b
(n) n
(2) 2n
xn b
(2) 2
(3) 33
(3) 3n
xn b
(3) 3
(n) nn
( n) 记为 A( n) x b
( n) nn
最后：设
a
0
逐步回代得原方程组的解：
xn b
xi (b
(i ) i
( n) n
n
/a
(i ) ij
( n) n
j i 1
a x1 a x2 a xn b
(1) 11 (1) 12 (1) 1n
(1) 1
a a
(2) 22
x2 a
(2) 2n
xn b
(2) 2
(k ) kk
xk a
(k ) kn
xn b
(k ) k
( ( ( ak k 1)1 xk 1 ak k 1) xn bk k 1 1) 1, k 1, n
a
( k 1) n , k 1
xk 1 a
记为
( k 1) ( k 1) A xb
( k 1) nn
xn b
( k 1) n
其中
a
b
( k 1) ij
a
b
(k ) ij
l a
l b
(k ) ( i,j=k+1, …,n ) ik kj
( k 1) i
Dk x1 ( k 1, 2, n) D
计算一个n阶行列式需要做(n-1)n!个乘法，求 解上述方程共做N=(n+1)(n-1)n!+n次乘除法。 如：n=20, N 9.7*1020 若用每秒完成 106次浮点 乘法运算的计算机(工作24小时)，完成这些计算 约需 3.078 107 年。若用每秒完成上亿次浮点乘法 运算的计算机也大致需要30万年。 求解线性方程组的Gram法则理论上非常完美， 但其计算工作量大的惊人，失去实用价值。
a x a x a x b
(1) 11 1 (1) 12 2 (1) 1n n (2) 2
(1) 1
a x a x b
(2) 22 2 (2) 2n n
a x a x b
(3) 33 3 (3) 3n n
(3) 3
(3) (3) 记为 A x b
记为
(k ) A( k ) x b
第k步：若
令
a
(k ) kk
0
(k ) ik
lik a
/a
( k ) ( i=k+1,k+2,…,n ) kk
用 li 2 乘以第 k 1 步所得方程组中的第k个方 程，加到第i ( i=3,4…,n )个方程 ,并且保留前k个 方程， 则得
a11 k ak 1
显然 反之 故
a1k a a akk
(1) 11 (2) 22
a
(k ) kk
k 0 a
(k ) kk
0
（k=1,2,…,n） （k=1,2,…,n） （k=1,2,…,n）
a
(k ) kk
0 k 0
(k ) kk
k 0 a
(k ) i
(k ) ik k
(i,j=k+1,…,n )
按上述做法，做完n-1步，原方程可化为同 解的上三角方程组：
a x1 a x2 a xn b
(1) 11 (1) 12 (1) 1n
(1) 1
a a a
(2) 22
x2 a x3 a xn b
(1) b
第一步 在A中选取绝对值最大的元素作为主元 素，如
| ai1 , j1 | max | aij |
1 i n 1 j n
然后交换A的第一行与第 i1行，第一列与第 列。这时的 j1 就是原来的 ai1 , j1 。然后进行 消元法的第一步，即 a (1)
11
0
② 定理 Gauss顺序消去法能够求解方程组的解之充要 条件为A的各阶顺序主子式均不为零。 (k k 0 则 akk ) 0 （k=1,2,…,n） 若 Gauss顺序消去法能够进行下去，且可回代求解。 反之，能用Gauss顺序消去法求解，则必有
（否则Gauss顺序消去法将无法进行）。
a
xj ) / a
(i ) ii
( i=n-1,n-2,…,2,1 )
Remark1 如果A为n (n较大) 阶矩阵，高斯顺序消 去法的乘除法与加减法次数分别为
MD n / 3 n n / 3 n / 3
3 2 3
AS n(n 1)(2n 5) / 6 n / 3
3
而Gram法则需要(n+1)(n−1)n!+n次乘除法。
Remark2 Gauss法的求解过程分为消元过程与 回代过程。前面Gauss消去法的消元过程为顺 序（自然）消元过程。 前面Gauss消去法的消元过程为顺序（自然） 消元过程。在顺序（自然）消元过程中，消元 过程要求： (k ) a 0 k=1,2,…,n
kk
当A为非奇异矩阵，方程组存在唯一解，但 未必上述条件成立。
(1) 11 1 (1) 12 2 (1) 1n n (2) 2
(1) 1
a x a x b
(2) 22 2 (2) 2n n (k ) kk k (k ) kn n
a x a x b a x a x b
(k ) nk k (k ) nn n (k ) n (k ) k
第五章 解线性方程组的直接方法
§1 高斯消去法 §2 矩阵分解及其在解方程组中的应用 §3 矩阵的条件数和方程组的性质
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一、研究数值解法的必要性
求：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
得解
................... an1 x1 an 2 x2 ann xn bn x1 x2 xn 可表示为两个行列式之比:
a
(1) 11
a a
(1) 1n (2) 2n
a
(1) nn
b (2) b (2) A b (2) bn
(2) 1 (2) 2
第二步 在 A 的右下角矩阵中，选取绝对值最 大的元素作为主元素，再经行的对换和列的对换 把主元素移到的 a ( 2 )位置。
二、直接法与迭代法
1 直接法：
只包含有限次四则运算，若在计算过程中 不发生舍入误差的假定下，计算结果就是原方 程组的精确解。
2 迭代法：
把方程组的解看作是某种极限过程的极限， 且实现这一极限过程的每一步是利用前一步所 得结果施行相同的演算步骤而进行。
§1 高斯消去法
设线性方程组为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 .................... an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) 11 (k ) kk
二、Gauss主元素消去法
a
( n) nn
0 （k=1,2,…,n )称为第k步的主元素
如果在计算过程中舍入误差增大迅速，造 成计算解与真解相差甚远，则相应使用的计算 方法不稳定。反之，在计算过程中的舍入误差 增大能得到控制，该方法就是稳定的。 小主元是不稳定的根源，这就需要采用 “选主元素”技术，即选取绝对值最大的元素 作为主元素。
x1 x 2 x xn
或写为矩阵形式，Ax b其中A为非奇异矩阵,且
a11 a1n A a ann n1
b1 b2 b bn
一、Gauss顺序消去法
完全主元素消去法在选主元素时要花费较 多的计算时间，另一种常用的方法是列元素消 去法。仍设增广矩阵为
a11 a1n B a a nn n1
2、相关定理
① 命题 a 0 (k=1,2,….,n)的充要条件为： A的各阶顺序主子式 k 0(k 1, 2,, n 1) 由Gauss顺序消去法，对系数矩阵作行变换,有