二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解
二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题,也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中.下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法:在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点.斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角.4、投影法：利用s 投影面=s 被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形,任意多边形都成立,是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P —BC-A 的大小.分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P —BC —A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P —BC-A 的平面角为900.例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a ，求二面角A —PC-B 的大小. ［思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理(逆)来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：(三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC —B 的平面角设PA=1，E 为AC 的中点，BE=23，EF=42 ∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法)取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC∴ AE ⊥BC ，PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC ， 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A —PC —B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法)过B 作BE ⊥AC 于E ，连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ，47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4:（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22，PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42，DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ，θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
第1章 1.2.4 二面角-人教B版(2021)高中数学选择性必修第一册讲义
1.2.4二面角学习目标核心素养1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2．掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) 1．通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养．2．借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养．我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)约为23°26′，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来，今天我们研究的问题便是二面角的平面角问题．1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α-l -β的平面角．提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角．[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用空间向量求二面角的大小如果n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，sin θ＝sin 〈n 1，n 2〉．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．( )(2)若二面角α-l -β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( ) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．(教材P 52练习B ②改编)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BC -A 的余弦值为( )A ．12B ．23C ．22D ．33 C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 -BC -A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]3．已知二面角α-l -β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角α-l -β的大小可能为________．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12， ∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角α-l -β的大小为60°或120°．]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BD -C 1的余弦值是________． 13[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13， 所以二面角A 1-BD -C 1的余弦值为13．]用定义法求二面角【例1】C 在底面圆周上，若△P AB 是边长为2的正三角形，且CO ⊥AB ，求二面角P -AC -B 的正弦值．[解] 如图，取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，∵PO ⊥底面，∴PO ⊥AC ， ∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点， ∴OD ⊥AC ， 又PO ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面POD ，则AC ⊥PD ， ∴∠PDO 为二面角P -AC -B 的平面角． ∵△P AB 是边长为2的正三角形，CO ⊥AB ，∴PO＝3，OA ＝OC ＝1，OD＝22， 则PD ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝142．∴sin ∠PDO ＝PO PD ＝3142＝427，∴二面角P -AC -B 的正弦值为427．用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角．[跟进训练]1．已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A -BD -P 的正切值为________．13 [过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO⊥BD ，∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角，∵12×BD×AO＝12×AB×AD，∴AO＝AB×ADBD＝125，∴tan∠POA＝P AAO＝45125＝13．∴二面角A-BD-P的正切值为13．]用向量法求二面角[[提示](1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．[提示]条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ1111＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[思路探究] (1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证． (2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值． [解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD ．(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719．由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719．1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角B -A 1C -D 的余弦值． [解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3， 故n 1＝(3，3,3)．设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57．由图形可知二面角B -A 1C -D 的大小为钝角，所以二面角B -A 1C -D 的余弦值为－57．2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA ＝60°改为∠CBA ＝90°，设E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，求平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A (0，0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)．设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0，令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1， 所以n 1＝(－1,2,1)．设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎨⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12．利用坐标法求二面角的步骤设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2． (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|．(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ． 提醒：确定平面的法向量是关键．空间中的翻折与探索性问题【例CD ＝2AB ＝2BC ＝4，过A 点作AE ⊥CD ，垂足为E ，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC ．取AD 的中点F ，连接BF ，CF ，EF ，如图乙．甲 乙(1)求证：BC ⊥平面DEC ； (2)求二面角C -BF -E 的余弦值．[思路探究] (1)根据线面垂直的判定定理即可证明BC ⊥平面DEC ； (2)建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C -BF -E 的余弦值． [解] (1)证明：如图，∵DE ⊥EC ，DE ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ， ∴DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ，∴DE ⊥BC ，又∵BC ⊥EC ，DE ∩EC ＝E ，∴BC ⊥平面DEC ．(2)如图，以点E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系E -xyz ，∴E (0,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)， D (0,0,2)，A (2,0,0)，F (1,0,1)，设平面EFB 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由EF →＝(1,0,1)，EB →＝(2,2,0)， 所以⎩⎨⎧x 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，∴取x 1＝1，得平面EFB 的一个法向量n 1＝(1，－1，－1)， 设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由CF →＝(1，－2,1)，CB →＝(2,0,0)， 所以⎩⎨⎧x 2＝0，x 2－2y 2＋z 2＝0，∴取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝(0,1,2)，设二面角C-BF-E的大小为α，则cos α＝|n1·n2||n1|·|n2|＝|－1－2|5·3＝155．1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．[跟进训练]2．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点，现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2．(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．图1图2[解](1)点G的轨迹是直线MN．理由如下：如图，分别取BC和CE的中点N和M，连接DM，MN，ND，则MN ∥BE ，又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ， ∴MN ∥平面BEA ，依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形， ∴MD ⊥CE ，又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ∥平面BEA ， ∴平面NMD ∥平面BEA ，∴点G 的轨迹是直线MN ．(2)如图，以点M 为坐标原点，MB 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，D (0,0，3)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，3，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，3，ED →＝(0,1，3)，设平面AED 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝y ＋3z ＝0，n ·EA →＝32x ＋12y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)，取平面BCE 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－55，∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55．1．学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法．2．利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系．A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3 C [当二面角A -BD -C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A -BD -C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．] 2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A -BC -D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A -BC -D 的大小为60°．]3．如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．π12 B ．π4 C ．π6D ．π3D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3．] 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．23 [建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12．令x ＝1，得y ＝－12，z ＝－1．∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－1，又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．则cos〈n ，DD 1→〉＝|n ·DD 1→||n ||DD 1→|＝23．]5．三棱锥P -ABC ，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，求二面角P -AC -B 的大小．[解] 如图在三棱锥P -ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心， 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影， 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，连接PE ， 则∠PED 是所求的二面角的平面角，由题意得DE ＝4，PE ＝8，cos ∠PED ＝DE PE ＝12， ∴∠PED ＝60°，∴二面角P -AC -B 的大小为60°．。
二面角的平面角及求法-高中数学知识点讲解(含答案)
二面角的平面角及求法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2018秋•海淀区校级期中）正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A ．2B ．22C ．3D ．332．（2016•顺义区一模）如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF ∆沿FD 翻折，翻折后的点E （记为点)P 恰好落在BC 上，设1AB =，(1)FA x x =>，AD y =，则以下结论正确的是( )A ．当2x =时，y 有最小值433B ．当2x =时，有最大值433C ．当2x =时，y 有最小值2D ．当2x =时，y 有最大值23．（2012•昌平区二模）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是( )A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．二面角P EF Q --的大小4．（2010秋•西城区期末）已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且3AB AC ==，2BC =，则二面角A BC D --的大小是( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒5．（2011秋•丰台区校级月考）圆O 所在平面为α，AB 为直径，C 是圆周上一点，且PA AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，3PA =，2AB =，30ABC ∠=︒，设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ、二面角P BC A --的大小为ϕ，则θ、ϕ分别为( )A ．60︒，30︒B ．30︒，30︒C ．60︒，60︒D ．30︒，60︒6．（2008秋•崇文区期末）如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且长度均为1，E 为BC 中点，则下列结论正确的是( )A ．3AE =B ．EAD ∠为AE 与平面ABD 所成的角C ．DE 为点D 到平面ABC 的距离D ．AED ∠为二面角A BC D --的平面角7．（2006•海淀区模拟）已知正方形ABCD 的边长是4，对角线AC 与BD 交于O ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60︒的二面角，并给出下面结论：①AC BD ⊥；②AD CO ⊥；③AOC ∆为正三角形；④3cos 4ADC ∠=，则其中的真命题是( ) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④二．填空题（共7小题）8．（2019秋•房山区期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为 ． 9．（2018秋•海淀区校级期末）正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A BD B --的大小是 ．10．（2018秋•西城区校级期中）如图，在正四面体V ABC -中，直线VA 与BC 所成角的大小为 ；二面角V BC A --的余弦值为 ．11．（2017•丰台区一模）如图1，平面五边形ABCDE 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD =，ADE ∆是边长为2的正三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，得到四棱锥E ABCD -（如图2)，且DE AB ⊥． （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面BCE 和平面ADE 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE 上是否存在点F ，使得//DF 平面BCE ？若存在，求EFEA的值；若不存在，请说明理由．12．（2017秋•顺义区校级期中）把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC BD ⊥； ②ADC ∆为正三角形； ③AD 与平面BCD 成60︒角．则其中正确的结论是 ．（只填序号）13．（2016秋•海淀区校级期中）过正方形ABCD 的顶点A 做线段AP ⊥平面ABCD ，且3AP AB ，设平面ABP 与平面CDP 的交线为MN ，则二面角A MN C --的度数是 ．14．（2013•宣武区校级模拟）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为线段1A B 上的动点． （Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；（Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小．三．解答题（共1小题）15．（2020•北京模拟）已知四棱锥P ABCD=，E是PB的-中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD AB中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PCD；（2）求二面角E AD B--的大小；二面角的平面角及求法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2018秋•海淀区校级期中）正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成角的正切值为( ) A ．2B ．22C ．3D ．33【分析】由题意画出图形，找出平面1A BD 与平面ABCD 所成平面角，求解三角形得答案． 【解答】解：如图，连接AC ，交BD 于O ，连接1A O ， 由1AA ⊥底面ABCD ，得1AA BD ⊥， 又BD AC ⊥，且1AA AC A =，BD ∴⊥平面1A AO ，则1AO BD ⊥， 即1AOA ∠为平面1A BD 与平面ABCD 所成角． 设正方体棱长为a ，则2AO =， ∴平面1A BD 与平面ABCD 所成角的正切值为122AA AOa ==故选：A ．【点评】本题考查空间角的求法，关键是找出二面角的平面角，是中档题．2．（2016•顺义区一模）如图，矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，将DEF ∆沿FD 翻折，翻折后的点E （记为点)P 恰好落在BC 上，设1AB =，(1)FA x x =>，AD y =，则以下结论正确的是( )A ．当2x =时，y 有最小值433B ．当2x =时，有最大值433C ．当2x =时，y 有最小值2D ．当2x =时，y 有最大值2【分析】由已知得FE FP AD BC y ====，1AB DC ==，FA DE DP x ===，从而21PC x =-，22AP y x =-，221BP y x =--，进而得到422241111x y x x x ==--，由此利用换元法及二次函数性质能求出结果． 【解答】解：矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，1AB =，(1)FA x x =>，AD y =，FE FP AD BC y ∴====，1AB DC ==，FA DE DP x ===在Rt DCP ∆中，21PC x =-， 在Rt FAP ∆中，22AP y x =-， 在Rt ABP ∆中，221BP y x =--，22211BC BP PC y x x y =+=--+-=整理得422241111x y x x x==--，令21t x= 则221y t t=-+， 则当12t =，即2x =时，y 取最小值． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间位置关系、换元法、二次函数性质的合理运用．3．（2012•昌平区二模）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是( )A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P QEF -的体积D ．二面角P EF Q --的大小【分析】根据线面平行的性质可以判断A 答案的对错；根据线面角的定义，可判断B 的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A 的结论结合棱锥的体积公式，可以判断C 的对错；根据二面角的定义可以判断D 的对错，进而得到答案．【解答】解：A 中，QEF 平面也就是平面11A B CD ，既然P 和平面QEF 都是固定的， 所以P 到平面QEF 的距离是定值．∴点P 到平面QEF 的距离为定值；B 中，Q 是动点，EF 也是动点，推不出定值的结论，所以就不是定值．∴直线PQ 与平面PEF 所成的角不是定值；C 中，QEF ∆的面积是定值．（因为EF 定长，Q 到EF 的距离就是Q 到CD 的距离也为定长，即底和高都是定值）， 再根据1的结论P 到QEF 平面的距离也是定值， 所以三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P QEF -的体积是定值；D 中，11//A B CD ，Q 为11A B 上任意一点，E 、F 为CD 上任意两点，∴二面角P EF Q --的大小为定值．故选：B ．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．4．（2010秋•西城区期末）已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且3AB AC ==，2BC =，则二面角A BC D --的大小是( )A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【分析】由已知中三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且3AB AC ==，2BC =，取BC 中点为E ，连接AE 、DE ，易得到BED ∠即为BCD 和ABC 所成二面角的平面角，解三角形DEA 即可得到二面角A BC D --的大小．【解答】解：取BC 中点为E ，连接AE 、DE ，则BCD 和ABC 所成二面角即为求BED ∠， 3AB AC ==，ABC ∴∆为等腰三角形；E 为BC 中点；AE BC ∴⊥，112BE BC ==； 在直角ABE ∆中，由勾股定理得222AE AB BE =-； 2AE ∴=；三个侧面和底面ABC 全等；2DE AE ∴==； DBC ABC ∆≅∆；3DB AB ∴==；又ABC BAD ∆≅∆；2AD BC ∴==；所以ABE ∆的三边2AE DE ==、2AD =；222AE DE AD +=；所以AE DE ⊥；90DEA ∴∠=︒所以面BCD 与面ABC 所成二面角为90︒； 故选：C ．【点评】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中构造出BED ∠即为BCD 和ABC 所成二面角的平面角，将二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．5．（2011秋•丰台区校级月考）圆O 所在平面为α，AB 为直径，C 是圆周上一点，且PA AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，3PA =，2AB =，30ABC ∠=︒，设直线PC 与平面ABC 所成的角为θ、二面角P BC A --的大小为ϕ，则θ、ϕ分别为( )A ．60︒，30︒B ．30︒，30︒C ．60︒，60︒D ．30︒，60︒【分析】由ACB ∠是O 的直径所对的圆周角，可得BC AC ⊥．利用线面垂直的性质定理及PA AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，可得PA ⊥平面ABC ．因此PCA ∠既是直线PC 与平面ABC 所成的角，又是二面角P BC A --的平面角．利用直角三角形的边角关系求出即可．【解答】解：ACB ∠是O 的直径所对的圆周角，90ACB ∴∠=︒．BC AC ∴⊥．PA AB ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ， PA ∴⊥平面ABC ．BC AC ∴⊥，PCA ∠是直线PC 与平面ABC 所成的角，即PCA θ∠=． PCA ∴∠是二面角P BC A --的平面角，即PCA ϕ∠=，因此θϕ=．在Rt ABC ∆中，30ABC ∠=︒，2AB =． 1AC ∴=．在Rt ABC ∆中，3PA =，∴tan 3PAPCA AC∠==， 60PCA ∴∠=︒．60θϕ∴==︒．故选：C ．【点评】本题考查了面面、线面垂直的判定与性质、线面角、二面角的平面角、圆的性质、三垂线定理、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，属于难题．6．（2008秋•崇文区期末）如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且长度均为1，E 为BC 中点，则下列结论正确的是( )A ．3AE =B ．EAD ∠为AE 与平面ABD 所成的角C ．DE 为点D 到平面ABC 的距离D ．AED ∠为二面角A BC D --的平面角【分析】依据已知条件，结合立体几何中相关的定理及结论对四个选项逐一验证，即可得到正确结论． 【解答】解：由于DA ，DB ，DC 两两垂直，且长度均为1，则ABC ∆2的等边三角形．又由E 为BC 中点，则2222233(2)()22AE AB BE =-=-，故A 错； 由于DE 与平面ABD 不垂直，故EAD ∠不是AE 与平面ABD 所成的角，故B 错；若DE 为点D 到平面ABC 的距离，则DE ⊥平面ABC ，故AED ∠为直角，而在三角形ADE 中，ADE ∠为直角，矛盾，故C 错；由于E 为BC 中点，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，故AED ∠为二面角A BC D --的平面角，故D 正确 故选：D ．【点评】本题给出三棱锥有三条棱两两垂直，着重考查了线面垂直，线面角，面面角等知识点，属于基础题． 7．（2006•海淀区模拟）已知正方形ABCD 的边长是4，对角线AC 与BD 交于O ．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60︒的二面角，并给出下面结论：①AC BD ⊥；②AD CO ⊥；③AOC ∆为正三角形；④3cos 4ADC ∠=，则其中的真命题是( ) A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④【分析】由题意，作出如图的图象，由正方形的性质知，CO BD ⊥，AO BD ⊥，可得BD ⊥面AOC ，且AC AO CO ===，4AD CD ==，可由线面垂直判断AC BD ⊥，AD CO ⊥可反证确定它不成立，③可由正三角形的性质判断，④可由余弦定理直接求出3cos 4ADC ∠=，由此可选出正确答案． 【解答】解：由题意，可作出如图的图象，在下图中，由正方形的性质知，CO BD ⊥，AO BD ⊥，故可得BD ⊥面AOC 由此可得出BD AC ⊥，60AOC ∠=︒，故①正确，又由题设条件O 是正方形对角线的交点，可得出AO CO =，于是有③AOC ∆为正三角形，可得③正确； 由上证知，CO 与面ABD 不垂直且CO BD ⊥，故AD 与CO 不垂直，由此知②不正确；由上证知，AOC ∆是等边三角形，故AC AO CO ===4AD CD ==，所以161683cos 2444ADC +-∠==⨯⨯故④正确由上判断知：①③④正确． 故选：D ．【点评】本题考查与二面角有关的综合问题，考查了线面垂直，面面角的平面的确定等问题，这是一个翻折问题，此类问题理解翻折过程中的变与不变是解题的关键． 二．填空题（共7小题）8．（2019秋•房山区期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，13AB A A ==，则二面角1A BC A --的大小为 45︒ ． 【分析】法一：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角1A BC A --的大小．法二：由BC ⊥平面11ABB A ，得1ABA ∠是二面角1A BC A --的平面角，由此能求出二面角1A BC A --的平面角． 【解答】解法一：设AD a =，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则平面ABC 的法向量(0m =，0，1)， 1(A a ，0，3)，(B a ，3，0)，(0C ，3，0)，(BC a =-，0，0)，1(0BA =，3-，3)，设平面1A BC 的法向量(n x =，y ，)z ，则10330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得(0n =，1，1)， 设二面角1A BC A --的大小为θ，则||2cos ||||2m n m n θ==，45θ∴=︒．∴二面角1A BC A --的大小为45︒．解法二：在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11ABB A ，1ABA ∴∠是二面角1A BC A --的平面角， 1AB AA =，1AB AA ⊥，∴二面角1A BC A --的平面角145ABA ∠=︒．故答案为：45︒．【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（2018秋•海淀区校级期末）正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A BD B --的大小是 060 ．【分析】建立空间直角坐标系，1A D 为面1ABD 的一个法向量，AC 为面11BD B 的一个法向量，用向量法求二面角即可；【解答】解：以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则1(0,1,1)A D =-为面1ABD 的一个法向量；(1,1,0)AC =为面11BD B 的一个法向量；∴1111cos 2||||22A D AC A D AC θ===； 所以二面角11A BD B --的大小是：060 故答案为：060【点评】本题考查求二面角的大小，求二面角的大小可以用定义法作出二面角的平面角，再解三角形，常用向量法解决，属于基础题．10．（2018秋•西城区校级期中）如图，在正四面体V ABC -中，直线VA 与BC 所成角的大小为 2π；二面角V BC A --的余弦值为 ．【分析】分别取VC 、AB 、BC 、AC 的中点D ，E ，F ，G ，连结VE 、VF 、CE 、DE 、AF 、DE 、EG 、DG ，设正四面体V ABC -的棱长为2，则//DG VA ，且1DG =，//EG BC ，且1EG =，3VE CE ==，2DE EG DG ⊥，由此能求出直线VA 与BC 所成角的大；推导出VF BC ⊥，AF BC ⊥，VFA ∠是二面角V BC A --的平面角，由此能求出二面角V BC A --的余弦值．【解答】解：分别取VC 、AB 、BC 、AC 的中点D ，E ，F ，G ， 连结VE 、VF 、CE 、DE 、AF 、DE 、EG 、DG ， 设正四面体V ABC -的棱长为2，则//DG VA ，且1DG =，//EG BC ，且1EG =，22213VE CE ==-=，312DE =-=， 222EG DG DE ∴+=，EG DG ∴⊥，∴直线VA 与BC 所成角的大小为2π． 2VB VC AB AC ====，F 为BC 的中点， VF BC ∴⊥，AF BC ⊥，VFA ∠是二面角V BC A --的平面角，22213AF VF ==-=，2VA =，2223341cos 23233VF AF AV VFA VF AF +-+-∴∠===⨯⨯⨯⨯．∴二面角V BC A --的余弦值为13．故答案为：2π，13．【点评】本题考查线面角、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11．（2017•丰台区一模）如图1，平面五边形ABCDE 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD =，ADE ∆是边长为2的正三角形．现将ADE ∆沿AD 折起，得到四棱锥E ABCD -（如图2)，且DE AB ⊥． （Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面BCE 和平面ADE 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在棱AE 上是否存在点F ，使得//DF 平面BCE ？若存在，求EFEA的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AB AD ⊥，AB DE ⊥，从而AB ⊥平面ADE ，由此能平面ADE ⊥平面ABCD ．（Ⅱ）设AD 的中点为O ，连接EO ，推导出EO AD ⊥，从而EO ⊥平面ABCD ．以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于AD 的直线为y 轴，OE 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出平面BCE 和平面ADE 所成的锐二面角大小．（Ⅲ）设BE 的中点为G ，连接CG ，FG ，推导出四边形CDFG 是平行四边形，从而//DF CG ．由此能求出在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =． 【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得AB AD ⊥，AB DE ⊥． 因为ADDE D =，所以AB ⊥平面ADE ．又AB ⊂平面ABCD ，所以平面ADE ⊥平面..ABCD ⋯（4分） 解：（Ⅱ）设AD 的中点为O ，连接EO ．因为ADE ∆是正三角形，所以EA ED =，所以EO AD ⊥． 因为 平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，EO ⊂平面ADE ， 所以EO ⊥平面ABCD ．以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于AD 的直线为y 轴，OE 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．由已知，得(0E ，03)，(1B ，2，0)，(1C -，1，0)． 所以(1CE =，1-3)，(2CB =，1，0)． 设平面BCE 的法向量(m x =，y ，)z ． 则3020m CE x y z m CB x y ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩， 令1x =，则(1m =，2-，3)-．又平面ADE 的一个法向量(0n =，1，0)，所以2cos ,||||2m n m n m n <>==-．所以平面BCE 和平面ADE 所成的锐二面角大小为4π．⋯（10分） （Ⅲ）在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =．理由如下：设BE 的中点为G ，连接CG ，FG ， 则//FG AB ，12FG AB =． 因为//AB CD ，且12CD AB =，所以//FG CD ，且FG CD =， 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以//DF CG ． 因为CG ⊂平面BCE ，且DF ⊂/平面BCE ， 所以//DF 平面..BCE ⋯（14分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是中档题． 12．（2017秋•顺义区校级期中）把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，对于下列结论： ①AC BD ⊥； ②ADC ∆为正三角形； ③AD 与平面BCD 成60︒角．则其中正确的结论是 ①② ．（只填序号）【分析】在①中，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，则AO BD ⊥，CO BD ⊥，由此得到AC BD ⊥；在②中，AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，即90AOC ∠=︒，推导出AD CD AC ==，从而ADC ∆为正三角形；在③中，AD 与平面BCD 成45︒角．【解答】解：由正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，知： 在①中，取BD 中点O ，连结AO ，CO ，则AO BD ⊥，CO BD ⊥，且AO CO O =，BD ∴⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，AC BD ∴⊥，故①正确；在②中，由①得AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，从而90AOC ∠=︒， AD CD AC ∴==，ADC ∴∆为正三角形，故②正确；在③中，由AO BD ⊥，AO OC ⊥，得AO ⊥平面BCD ， ADO ∴∠是AD 与平面BCD 所成角， 45ADO ∠=︒，AD ∴与平面BCD 成45︒角．故答案为：①②．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．13．（2016秋•海淀区校级期中）过正方形ABCD 的顶点A 做线段AP ⊥平面ABCD ，且3AP AB ，设平面ABP 与平面CDP 的交线为MN ，则二面角A MN C --的度数是 90︒ ．【分析】构造长方体ABCD PNEF -，M 与P 重合，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AM 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A MN C --的度数．【解答】解：过正方形ABCD 的顶点A 做线段AP ⊥平面ABCD ，且3AP AB ，设平面ABP 与平面CDP 的交线为MN ，∴构造长方体ABCD PNEF -，M 与P 重合，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AM 为z 轴，建立空间直角坐标系， 平面AMN 的法向量(1n =，0，0)，设33AP AB (0M ，03)，(1N ，03)，(1C ，1，0)，(1MN =，0，0)，(1MC =，1，3)-，设平面MNC 的法向量(m x =，y ，)z ，则030m MN x m MC x y z ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩，取1z =，得(0m =，3，1)， 设二面角A MN C --的度数为θ， 则||cos 0||||m n m n θ==，90θ∴=︒，∴二面角A MN C --的度数为90︒．故答案为：90︒．【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．（2013•宣武区校级模拟）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -各棱长都为a ，P 为线段1A B 上的动点． （Ⅰ）试确定1:A P PB 的值，使得PC AB ⊥；（Ⅱ）若1:2:3A P PB =，求二面角P AC B --的大小．【分析】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 射影D ，连结CD ．AB ⊥面PCD ，AB CD ⊥．D 是AB 中点．1//PD AA ，P 也是1A B 中点．所以1:1A P PB =．（Ⅱ）作P 在AB 上的射影D ．则PD 底面ABC ．作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE AC ⊥．DEP ∠为二面角P AC B --的平面角．【解答】（Ⅰ）当PC AB ⊥时，作P 在AB 射影D ，连结CD ．AB ⊥面PCD ， AB CD ∴⊥．D 是AB 中点．1//PD AA ，所以P 也是1A B 中点．所以1:1A P PB =．（Ⅱ）若1:2:3A P PB =时，作P 在AB 上的射影D ．则PD 底面ABC ． 作D 在AC 上的射影E ，连结PE ，则PE AC ⊥．DEP ∴∠为二面角P AC B --的平面角．又1//PD AA ，∴132BD BP DA PA ==，25AD a ∴=．3sin 605a DE AD ∴=︒=又135PD AA =，35PD a ∴=． tan 3PDDEP DE∴∠==， ∴二面角P AC B --的大小为60︒【点评】本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力 三．解答题（共1小题）15．（2020•北京模拟）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小；【分析】（1）推导出BC CD ⊥，BC PD ⊥，从而BC ⊥平面PCD ，由此能证明平面PBC ⊥平面PCD ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E AD B--的大小．【解答】解：（1）证明：四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，BC CD∴⊥，BC PD⊥，PD CD D=，BC∴⊥平面PCD，BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设2PD AB==，则(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0D，0，0)，(0P，0，2)，(1E，1，1)，(2DA=，0，0)，(1DE=，1，1)，设平面ADE的法向量(n x=，y，)z，则20n DA xn DE x y z⎧==⎪⎨=++=⎪⎩，取1y=，得(0n=，1，1)-，平面ABD的法向量(0m=，0，1)，设二面角E AD B--的大小为θ，则||12 cos||||22m nm nθ===，45θ∴=︒．∴二面角E AD B--的大小为45︒．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．第21页（共21页）。
高中数学专项复习——二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a PB αC AE FD二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22aa =，则∠PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
【高中数学】高中数学知识点：二面角
【高中数学】高中数学知识点：二面角半平面的定义：一条直线把一个平面分成两部分，每一部分都被称为半平面二面角的定义：从一条直线开始由两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的边，这两个半平面称为二面角的面。
二面角的平面角：以二面角边上的任意点为顶点，使两条光线垂直于两个面的边。
这两条光线形成的角称为二面角的平面角。
平面角度的大小可以通过平面的大小来测量。
多少度是二面角的平面角，也就是说，多少度是二面角。
二面角的取值范围为[0180°]。
直二面角：平面角是直角的二面角，称为直二面角。
如果两个相交平面形成的二面角是直二面角，则两个平面垂直；相反，如果两个平面垂直，则产生的二面角为直二面角。
二面角的平面角具有下列性质：a、二面角的边缘垂直于其平面角所在的平面，即L⊥ 飞机AOBb．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c、二面角所在的平面垂直于二面角的两面，即平面AOB⊥ α、飞机AOB⊥ α.求二面角的方法：（1）定义方法：通过二面角的平面角计算；找出或制作二面角的平面角；符合其定义的证明；通过求解三角形，计算出二面角的平面角。
上述过程可概括为“一项工作（发现）、两项证明和三项计算”(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．（3）垂直面法：当已知二面角中从一点到两个平面的垂直线时，该平面与穿过两条垂直线的两个半平面相交形成的角度即为平面角。
因此，可以看出，二面角的平面角所在的平面垂直于边缘(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中s是平面图形在一个二面角平面上的面积，s'是平面图形在另一个平面上投影图形的面积，α是二面角的大小(5)向量法：设二面角的平面角是θ。
①如果那个②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是否相等或互补取决于具体数字。
对二面角定义的理解：根据这个定义，两个平面相交成四个二面角，其中两个相对的二面角大小相等。
二面角的求法(高二或高三)
求二面角的方法总结求二面角的大小是高考命题的热点内容，是立体几何中的重点、难点之一，且与其它知识点密切相连，题目大多具有较强的综合性。
总结求二面角的方法，对于学生巩固二面角知识、加强知识间的联系和综合，提高学生的整体素质有很大帮助。
一、定义法：做棱的垂面。
例1：在二面角α—n —β内有一点P ，它到面α、β、棱n 的距离分别为1、2、 2，求二面角的大小。
分析：要想做二面角的平面角，可以作棱的垂面，过P 点作平面γ⊥棱n,设α∩γ=a 、β∩γ=b ，n ∩γ=Q ，则从Q 点出发的两条射线a 、b 所成的角即为所求， 过P 点作PE ⊥a ，交a 于E 点，过P 点作PF ⊥b ， 交b 于F 点，由 n ⊥γ 得：α⊥γ、β⊥γ， ∴PE ⊥α、PF ⊥β，n ⊥PQ ，∴ PE ＝1 ,PF ＝2,PQ ＝2, 易得 ∠PQE ＝30︒, ∠PQF ＝45︒, ∴∠EQF ＝∠PQE +∠PQF ＝75︒.二、做二面角棱的垂线在二面角棱上取一点，分别在两个半平面内做垂直于棱的射线，两条射线所成的角便是二面角的平面角。
例2：射线PA 、PB 、PC 每两条的夹角都为60︒，求二面角A —PB —C的余弦。
分析：在PB 上取一点E ，过E 点分别在平面APB 和 平面BPC 内做棱PB 的垂线，交PA 、PC 于D 、F 点，所以∠DEF 便是二面角的平面角，不妨设PE ＝1， 在Rt ΔDPE 中，∵ ∠DPE ＝60︒, ∴ PD ＝2, DE ＝3, 同理，PF ＝2, EF ＝ 3 ,∴ΔDPF 是等边三角形，∴DF ＝2∴cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE.EF ＝13。
在有些题目中，所给的二面角的半平面是一些特殊图形，尤其是等腰三角形，全等三角形等等，充分利用图形的特殊性，做二面角棱的垂线更为有效。
例3：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD60，CD ＝2，C 1C ＝32，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；分析：由条件易得：ΔC 1CD ≌ΔC 1CB,∴C 1B ＝C 1D, ∴ΔC 1BD 、ΔCBD 是等腰三角形，连接AC 交BD 于O 点,连接OC 1,∠COC 1便为所求。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
高中数学二面角
高中数学二面角在数学的世界里，二面角是一个重要的概念，尤其在高中数学中占据着举足轻重的地位。
二面角，顾名思义，指的是两个平面之间的夹角。
这个概念在解决许多实际问题，如建筑设计、工程测量和物理学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来深入理解一下二面角的定义。
简单来说，二面角就是两个平面在三维空间中相交时所形成的夹角。
这个夹角的大小可以用角度来衡量，也可以用弧度来衡量。
角度和弧度是两种不同的度量单位，用于描述角的大小，它们之间可以相互转换。
那么，如何计算二面角的大小呢？一种常见的方法是利用向量的知识。
具体来说，我们可以先找到两个平面的法向量，然后计算这两个法向量之间的夹角。
这个夹角的大小就是二面角的大小。
这种方法不仅简单易懂，而且在实际应用中也十分有效。
当然，二面角的应用远不止于此。
在解决一些几何问题时，我们常常需要用到二面角的知识。
例如，在计算立体几何中的表面积和体积时，我们往往需要先找到相关的二面角，然后利用这些二面角来推导出所需的公式。
此外，在解析几何中，二面角也是描述空间关系的一个重要工具。
为了更好地理解二面角的概念，我们可以结合一些具体的例子来进行说明。
比如，在建筑设计领域，设计师需要根据建筑物的功能和美学要求来确定各个房间的布局和角度。
在这个过程中，他们就需要利用二面角的知识来计算出最佳的角度和布局。
综上所述，二面角是高中数学中一个非常重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在其他领域也有着不可忽视的作用。
通过深入学习和理解二面角的概念、计算方法以及应用场景，我们可以更好地掌握这个工具，为解决实际问题提供有力的支持。
高中数学空间几何中二面角
二面角一、定义法从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
二、三垂法在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例1：在正四面体ABCD 中，每条棱长为4.．(1)求证：BC ⊥AD ；(2)求二面角A －BC －D 的正弦值；（1）证明：取BC 的中点O,连接AO、DOQ 在正四面体ABCD 中,AB AC BD DC ==,AO BC DO BC∴⊥⊥又AO DO O=Q I BC AOD ∴⊥平面AD AOD ⊂Q 平面BC AD∴⊥(2)由(1)可得AOD ∠是二面角A －BC －D 的平面角Q 每条棱长为4，23AO DO ∴==2221cos 23AO DO AD AOD AO DO +-∴∠==⋅sin 3AOD ∴∠=,二面角A －BC －D 的正弦值3例2：如图，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=，4PA PD PB ===，,,E F G 分别是,,BC PC AD 的中点．（1）证明:平面//PGB 平面DEF ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．(1)证明：由于,E F 分别是,BC PC 的中点在CPB ∆中，//EF PB,EF DEF PB DEF ⊂⊄Q 平面平面//PB DEF∴平面在菱形ABCD ，,E G 分别是,BC AD 的中点//,DG EB DG EB∴=∴四边形DGBE 是平行四边形//GB DE∴,DE DEF GB DEF ⊂⊄Q 平面平面//GB DEF∴平面,,PB GB B PB GB PGB =⊂Q I 平面∴平面//PGB 平面DEF(2),PA PD G AD =Q 为中点∴PG AD ⊥,连接BD ,060DAB ∠=Q ∴ABD ∆为等边三角形，BG AD∴⊥∴PGB ∠是二面角P AD B --的平面角2,1,322,1,7AB AG BG PA AG PG ==∴===∴=Q Q 2237421cos 7237PGB +-∴∠==-⋅∴二面角P AD B --的余弦值217-例3：三棱柱中111ABC A B C -，四边形11A ABB 为菱形，145A AB ∠=︒，四边形11BCC B 为矩形，若5AC =，4AB =，3BC =.（1）求证：11AB A BC ⊥面（2）二面角1C AA B --的余弦值；(1)证明：5AC =Q ，4AB =，3BC =090ABC ∴∠=由勾股定理得,即AB BC ⊥Q 四边形11BCC B 为矩形,1BC BB ∴⊥,Q 1AB BB B =I ,⊥∴BC 平面11AA B B Q 1AB ⊂平面11AA B B ,1AB BC ⊥∴Q 四边形11A ABB 为菱形,11AB B A ⊥∴,Q B BC B A =⋂1,∴11AB A BC⊥面(2)过B 作1AA BD ⊥，连接CD ，Q ⊥BC 平面11AA B B ,∴1AA BC ⊥Q BD BC B =I ,∴⊥1AA 平面BCD Q CD ⊂平面BCD ,CD AA ⊥∴1∴CDB ∠是二面角1C AA B --的平面角00=4,45,90Rt AD B AB D AB AD B ∴∆∠=∠=中，22D B ∴=BCA1A 1B 1C22,3Rt C D B D B C B ∴∆==中，17C D ∴=22234cos 1717C D B ∴∠==∴二面角1C AA B --余弦值为23417例4：已知三棱柱111ABC A B C -中，平面1A AC ⊥平面ABC，BC⊥AC，D 为AC 的中点，AC＝BC ＝AA 1＝A 1C＝2。
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法(定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法)一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600，∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a PB αC AE FD二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
解：如图，PA ⊥平面BD ，过A 作AH ⊥BC 于H ，连结PH ，则PH ⊥BC 又AH ⊥BC ，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角。
在Rt △ABH 中，AH=ABsin ∠ABC=aSin30°=2a ；在Rt △PHA 中，tan ∠PHA=PA/AH=22aa =，则∠PHA=arctan2.三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
二面角全解析
∵BC = 1，CD = 2，
∴
GF 1 BC CD 1 2 1 2 BD 2 5 5
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
∴所求二面角的正切值为 5
例13．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面
角A1－MC－A余弦值．
于是BD⊥OE， ∴∵由满∴正∠平足∠AAA方面111体几OEO2EEA=何为=AB9知1二C0O°识D2面+-．，AE角1O得BA21，E1C-OB1D=D1-的E3的a棱，平长A面为1O角2=a．，6aE，为A棱1EC=C31a的，中点，
（Ⅲ）由平面A1BD垂直于平面BDE，且A1O⊥BD， ∴A1O⊥平面BDE．
D
E
O
AC F
B
例6.如下图，四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相 垂直，且BC=CD=1. (1)求证：平面ACD⊥平面ABC； (2)求二面角C-AB-D的大小； (3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的 长度．
17
(1)证明：因为AB、BC、CD两两垂直， 所以CD⊥BC，CD⊥AB. 又因为AB、BC为平面ABC内的两条相交直线，所以 CD⊥平面ABC， 而CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)因为AB⊥CD，AB⊥BC，而BC、CD是平面BCD内 的两条相交直线， 所以AB⊥平面BCD. 而BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD， 所以∠CBD为二面角C-AB-D的平面角． 又因为BC=CD=1，BC⊥CD，所以∠CBD=45°，即二 面角C-AB-D的平面角为45°.
β A
α
O
l
B
问题2：如图，平面γ 垂直于二面角的棱l，分别与面α 、 β 相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？
数学-二面角的平面角的常见解法
二面角的平面角的常见解法高中数学 1.掌握二面角的定义及其平面角的作法.2.会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小．导语 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β.有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将二面角记作二面角P－AB－Q.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α－l－β或二面角P－l－Q.如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．一、定义法求二面角定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．3例1 (1)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小．解 取AB的中点D，连接VD，CD，∵在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，3∴VD⊥AB且VD＝，同理CD ⊥AB ，CD ＝，3∴∠VDC 为二面角V －AB －C 的平面角，而△VDC 是等边三角形，∠VDC ＝60°，∴二面角V －AB －C 的大小为60°.(2)二面角α－l －β的大小为60°，A ，B 分别在两个面内且A 和B 到棱的距离为2和4，且AB ＝10，求AB 与棱l 所成角的正弦值．解 如图，作AC ⊥l ，BD ⊥l ，C ，D 为垂足，则AC ＝2，BD ＝4，AB ＝10.在β内过C 作CE ∥DB ，且CE ＝DB ，连接BE ，AE ，∴四边形CEBD 为平行四边形，∴BE ∥l ，∴∠ABE 为AB 与棱l 所成的角，∵BD ∥CE ，∴l ⊥AC ，l ⊥CE ，∴∠ACE 为α－l －β的平面角，∴∠ACE ＝60°，AC ＝2，BD ＝4，∴AE ＝＝2.22＋42－2×2×4×123又BE ∥l ，l ⊥平面ACE ，∴BE ⊥AE ，∴sin ∠ABE ＝＝＝.AE AB 231035反思感悟 利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角．二、垂面法求二面角垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角即二面角的平面角．如图，∠AOB 为二面角α－l －β的平面角．例2 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解 ∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2.23∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.反思感悟 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角．三、垂线法求二面角垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．例3 如图，平面β内一条直线AC ，AC 与平面α所成的角为30°，AC 与棱BD 所成的角为45°，求二面角α－BD －β的大小．解 如图，过A 作AF ⊥BD ，F 为垂足，作AE ⊥平面α，E 为垂足，连接EF ，CE ，∴由三垂线定理知BD ⊥EF ，∴∠AFE 为二面角α－BD －β的平面角．依题意∠ACF ＝45°，∠ACE ＝30°，设AC ＝2，∴AF ＝CF ＝，AE ＝1，2∴sin ∠AFE ＝＝＝，AE AF 1222∴∠AFE ＝45°.∴二面角α－BD －β的大小为45°.反思感悟 如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．四、射影面积法例4 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小．解 如图，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又AD ⊥AB ，且PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB ，同理BC ⊥平面PAB .∴△PCD 在平面PBA 上的射影为△PAB ，设平面PBA 与平面PCD 所成的二面角为θ，∴cos θ＝＝＝，S △PAB S △PCD 12a 212×a ×2a 22∴θ＝45°.故平面PBA 与平面PCD 所成的二面角的大小为45°.反思感悟 若多边形的面积为S ，它在一个平面内的射影图形的面积为S ′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝.S ′S 1．知识清单：二面角的定义及其平面角的作法，求二面角．2．方法归纳：用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角．3．常见误区：寻找二面角的平面角，求二面角的三角函数值时出错．1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ＝1，则侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B 解析 ∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥PA ，又底面ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ，可知∠PDA 为侧面PCD 与底面ABCD 所成的二面角的平面角．在Rt △PAD 中，由PA ＝AD ＝1，可得∠PDA ＝45°.即侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小是45°.2.如图，在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，CD ＝2 cm ，则这个二面角的17度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析 如图，过点A 作AE ∥BD 且AE ＝BD ，连接CE ，DE ，则AE ⊥AB ，即∠CAE 为二面角的平面角，由题意，得AE ＝BD ＝8cm ，AC ＝6cm ，∵DE ∥AB ，∴DE ⊥CE ，∴CE 2＝CD 2－ED 2＝52，由余弦定理，得cos ∠CAE ＝＝＝，AE 2＋AC 2－CE 22AE ·AC 64＋36－522×8×612则∠CAE ＝60°，即这个二面角的度数为60°.3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小6为________．答案 60°解析 正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，6则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，3所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°.34.已知在如图所示的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ＝1，AD ＝，则二面角B －CD －A 的正切值为________．3答案 1解析 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BC ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD ⊥AC ，∴∠ACB 为二面角B －CD －A 的平面角．∵BC ⊥CD ，∴BD ＝＝BC 2＋CD 2.∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，∴AB ＝＝1，在Rt △ABC 中，2AD 2－BD 2tan ∠ACB ＝＝1.ABBC课时对点练1．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A ，B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°答案 C 解析 由条件得，PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △PAC 中，由PA ＝AC 得∠PCA ＝45°.2．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，使得∠B ′AC ＝60°.则这个二面角的大小是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 C 解析 因为AD 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的高，所以BD ＝DC ＝AC ，∠ADC ＝∠ADB ＝90°，因此∠B ′DC 是二面角的平面角，∠B ′AC ＝60°.所22以△B ′AC 是等边三角形，因此B ′C ＝AB ＝AC ，所以在△B ′DC 中，∠B ′DC ＝90°.3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，CC 1＝，则二面角C 1－BD －C 32的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 A 解析 因为AB ＝AD ＝2，CC 1＝，所以取BD 的中点O ，连接C 1O ，CO (图略)，则32∠C 1OC 即为二面角C 1－BD －C 的一个平面角，由CO ＝，tan ∠C 1OC ＝知，633∠C 1OC ＝30°.4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则平面C 1D 1EF 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值为( )A. B. C. D.2255255355答案 B解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ⊥平面B 1BCC 1，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，所以EF ∥AB ，所以EF ⊥平面B 1BCC 1，所以EF ⊥FC 1，EF ⊥FC ，所以∠CFC 1就是平面C 1D 1EF 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，cos ∠CFC 1＝＝＝.CF FC 1FC FC 2＋(2FC )2555．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是( )A ．异面直线AC 与BC 1所成的角为60°B ．直线AB 1与平面ABC 1D 1所成的角为45°C ．二面角A －B 1C －B 的正切值为2D ．四面体D 1－AB 1C 的外接球的体积为π32答案 ACD解析 如图所示，连接AD 1，AO ，CD 1，对于A ，平移直线BC 1到直线AD 1，则∠D 1AC 为异面直线AC 与BC 1所成的角，显然△AD 1C 为正三角形，∴∠D 1AC ＝60°，故A 正确；对于B ，∵B 1O ⊥BC 1，B 1O ⊥AB ，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1O ⊥平面ABC 1D 1，∴∠B 1AO 为直线AB 1与平面ABC 1D 1所成的角，∵AO ＝，B 1O ＝，6222∴tan ∠B 1AO ＝，故B 错误；33对于C ，在△AB 1C 中，AO ⊥B 1C ，∴∠AOB 为二面角的平面角，tan ∠AOB ＝＝，故C 1222正确；对于D ，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，∴R ＝，∴V ＝R 3＝π，故324π332D 正确．6.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都相等，则二面角A 1－BC －A 的平面角的正切值为( )A.B.623C ．1D.233答案 D解析 设棱长为a ，BC 的中点为E ，连接A 1E ，AE (图略)，由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都相等，可得A 1E ⊥BC ，AE ⊥BC ，所以二面角A 1－BC －A 的平面角为∠A 1EA ，在Rt △ABC 中，AE ＝a ，所以tan ∠A 1EA ＝＝＝，即二面角A 1－BC －A 的平面角32AA 1AE a32a 233的正切值为.2337.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：①二面角D ′－AB －D 的大小为________．②二面角A ′－AB －D 的大小为________．答案 ①45° ②90°解析 ①在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ⊥平面AD ′，所以AB ⊥AD ′，AB ⊥AD ，因此∠D ′AD 为二面角D ′－AB －D 的平面角．在Rt △D ′DA 中，∠D ′AD ＝45°，所以二面角D ′－AB －D 的大小为45°.②因为AB ⊥平面AD ′，所以AB ⊥AD ，AB ⊥AA ′，因此∠A ′AD 为二面角A ′－AB －D 的平面角，又∠A ′AD ＝90°，所以二面角A ′－AB －D 的大小为90°.8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则二面角C －BB 1－D 的正切值是________．答案 34解析 由长方体特点可知，BB 1⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥BB 1，BD ⊥BB 1，∴∠CBD 即为二面角C －BB 1－D 的平面角．又CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝4，BC ⊥CD ，∴tan ∠CBD ＝＝.CD BC 349．在四面体A －BCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为1，求二面角A －CD －B 2的余弦值．解 由已知可得AD ⊥DC ，又由其余各棱长都为1，得△BCD 为正三角形，取CD 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥CD ，在平面ADC 中，过E 作AD 的平行线交AC 于点F ，则∠BEF 为二面角A －CD －B 的平面角．∵EF ＝，BE ＝，BF ＝，123222∴cos ∠BEF ＝＝＝.EF 2＋BE 2－BF 22BE ·EF 14＋34－122×32×123310．在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ，∠ABC ＝30°，求二面角P －BC －A 的余弦值．解 设PA ＝AB ＝2，过点A 在平面ABCD 内作AE ⊥BC ，连接PE ，如图所示，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，∵AE ⊥BC ，PA ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面PAE ，∵PE ⊂平面PAE ，∴PE ⊥BC ，∴二面角P －BC －A 的平面角为∠PEA ，在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABE ＝30°，AB ＝2，则AE ＝AB ＝1，12∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，由勾股定理得PE ＝＝，PA 2＋AE 25∴cos ∠PEA ＝＝.AE PE 55∴二面角P－BC －A 的余弦值为.5511.如图，将正方形A 1BCD 折成直二面角A －BD －C ，则二面角A －CD －B 的余弦值为( )A. B.1333C.D.1222答案 B 解析 ∵以正方形A 1BCD 的对角线BD 为棱折成直二面角，∴平面ABD ⊥平面BCD ，连接BD ，A 1C 相交于点O ，连接AO ，则AO ⊥BD ，∵平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ，∴AO ⊥平面BCD ，取CD 的中点M ，连接OM ，AM ，则OM ∥BC ，∴OM ⊥CD ，∴∠AMO 即为所求．不妨设正方形A 1BCD 的边长为2，则AO ＝，OM ＝1，2∴AM ＝＝.2＋13∴cos ∠AMO ＝＝.OM AM 3312．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C 解析 由已知得BD ＝2CD .翻折后，易知BC ⊥CD .在Rt △BCD 中，∠BDC ＝60°.而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B －AD －C 的平面角，其大小为60°.13.如图，已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝，则二面角45A －BD －P 的正切值为( )A. B. C ．－ D ．－12131213答案 B解析 如图，过点A 作AO ⊥BD ，交BD 于点O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝，45∴BD ＝＝5，PO ⊥BD ，32＋42∴∠POA 是二面角A －BD －P 的平面角．∵·BD ·AO ＝·AB ·AD ，1212∴AO ＝＝，AB ·AD BD 125∴tan ∠POA ＝＝＝.PA AO 4512513∴二面角A －BD －P 的正切值为.1314．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使得点B 和D 的距离为1，则二面角B －AC －D 的大小为________．答案 π2解析 设翻折前AC 与BD 相交于点O ，则OB ⊥AC ，OD ⊥AC ，而翻折之后的图形如图所示，∴∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，∵OB ＝OD ＝，BD ＝1，22∴△BOD 为等腰直角三角形，且∠BOD ＝，π2∴二面角B －AC －D 的大小为.π215.如图，已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为2，侧棱长为4，则二面角A －PB －C 的余弦值为________．答案 715解析 过点A 作AD ⊥PB 于点D ，连接CD .∵△PAB ≌△PCB ，∴CD ⊥PB ，即∠ADC 是二面角A －PB －C 的平面角，在△PAB 中，S △PAB ＝PB ·AD ＝AB ·⇒AD ＝，1212PA 2－(12AB )2152即CD ＝AD ＝，152∴cos ∠ADC ＝＝.AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD 71516.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小；(2)证明：AE ⊥平面PCD ；(3)求二面角A －PD －C 的正弦值．(1)解 在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角，在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°，所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明 在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD ⊥PA ，CD ⊥CA ，所以CD ⊥平面PAC ，所以CD ⊥AE ，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以AC ＝AB ，所以PA ＝AC ，又E 为PC 的中点，所以AE ⊥PC ，CD ∩PC ＝C ，CD ，PC ⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD .(3)解 过E 作EM ⊥PD ，连接AM ，则AM ⊥PD ，所以∠AME 即二面角A －PD －C 的平面角，设PA ＝a ，AE ＝a ，22在四边形ABCD 中，∠CAD ＝30°，所以AD ＝a ，233在Rt △PAD 中，AM ＝＝a ，PA ·AD PD 27sin ∠AME ＝＝.AE AM 144。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角《解析版》
基本不等式一、知识讲解知识点1：二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。
αβ知识点2：二面角求法1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角二、典型例题题型一：利用定义作出二面角的平面角例题1： 如图,已知二面角α -а - β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面PAB ∩α=OA,平面PAB ∩β=OB 。
∵PA ⊥α, а⊂α ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB又∵OA ⊂平面PAB ∴а⊥OA同理а⊥OB.∴∠AOB 是二面角α -а -β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°OABO ABlPOBA同步训练：在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B -PC -D 的大小32;21cos 2,3636,32,,:π所以角度为又因为，所以因为即为二面角所以，因为，连接，交点为垂直于作在平面解-=∠===⋅=====∠∆≅∆BHD a BD a DH a PC BC PB BE a PC PB a PB PA BED PCD PCB DH H PC BH BPC 题型二：三垂线定理（逆定理）法例题2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE=5同步训练：例在四棱锥P- ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P- BC -A 的大小。
二面角题型归纳及解题方法
αβa O A B 二面角题型归纳及解题方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。
从而给出二面角的通性通法。
第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60°（I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的余弦值。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠FG∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角的大小为)36arccos(-举一反三：空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B -PC -A 的大小。
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二面角的平面角及求法
1．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角
的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P
﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l 上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB 的大小与点O
的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角
的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
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（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→→
设平面α和β的法向量分别为푢和푣，若两个平面的夹角为θ，则
→→（1）当 0 ≤＜푢，푣＞≤휋
→→→→
2，θ=＜
푢，푣＞，此时 cosθ＝cos＜푢，푣＞
=
→→
푢⋅푣
．
→→
|푢||푣|
휋
→→→→→→
（2）当푢，푣＞≤π时，θ＝cos（π―＜푢，푣＞）＝﹣cos＜푢，푣＞=―=
2＜＜
→→푢⋅푣
．→→|푢||푣|
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