高中二面角的平面角的详细讲解
(完整版)找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点.对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法.我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60 :的二面角:-a的两个面内，分别有A和B两点•已知A和B到棱的距离分别为2和4,且线段AB =10，试求：(1)直线AB与棱a所构成的角的正弦值；(2)直线AB与平面〉所构成的角的正弦值.分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60 :角在哪儿•如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半.根据题意，在平面1内作AD — a ；在平面:-内作BE —〉，CD//EB，连结BC、AC •可以证明CD_a，则由二面角的平面角的定义，可知• ADC为二面角:-a —的平面角•以下求解略.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面一：内有一条直线AC与平面-成30 ?, AC与棱BD成45:，求平面〉与平面：的二面角的大小.分析：找二面角的平面角，可过A作AF - BD ; AE -平面-■,连结FE .由三垂线定理可证BD _ EF，则/ AFE为二面角的平面角.总结：(1)如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足.应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.(2 )在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作AF丄BD ”、“连结EF ”、“证明EF丄BD ”.三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为〉- CD -:内的一点，PA—：•于A点，PB —:于B点，如果/APB二n ［试求二面角:--CD -：的平面角.图1第1页共3页图2UiJ C cPA丄an PA 丄CD分析： c n CD丄平面PAB.PB 丄B = PB 丄CD因此只要把平面PAB与平面〉、1的交线画出来即可•证明• AEB为〉-CD - 一：的平面角，.AEB =180 ：-n :（如图2）.注意：这种类型的题，如果过A作AE _ CD，垂足为E，连结EB，我们还必须证明EB _ CD，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦.例4已知斜三棱柱ABC - A1B1C1中，平面AB!与平面AG构成的二面角的平面角为830 ［平面AB i与平面BC i构成的二面角为70匚试求平面AC i与平面BG构成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得△ DEF , 其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角.总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角.四、平移平面法例5如图，正方体ABCD-A i BQ i D i中，E为AA的中点，H为CC i上的点，且CH : C I H =i：2 .设正方体的棱长为a，求平面D I EH与底面A I B I C I D I构成的锐角的正切.分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点D i，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难.根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角.有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了.如图，过点E作EM //AD i与D i D相交于M点，过M点作MN —CP，与D i H相交于N点.可证平面EMN //平面ABiGD i .这样，求平面D i EH与平面ABQ i D i的二面角的平面角就转化为求平面D i EH与平面EMN的二面角的平面角.显然EN 为这两个平面的交线，过点M作MF - EN , F为垂足，连结D i F , 可证— EN .则.D i FM为本题要寻找的二面角.五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体ABCD - A I B i C i D i中，M为棱AD的中点，求平面B i C i CB和平面BC i M所构成的锐二面角的正切.分析：平面AC与二面角M -BG-C的一个面B i C垂直，与另一个平面MBC i相交，过M点作MP — BC，垂足为P，过P作PN — BC，交BC i于N点，连结MN，由三垂线定理可证MN — BC i ,则• MNP为二面角M - BC i -C的平面角.总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平第2页共3页面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线•根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角.再如图，要找:-a--所构成的二面角的平面角，可找平面-一：，且咐「二=b , =丨，过b上任何一点A作AB _ I ,垂足为B，过B作BC _ ：,垂足为C ,连结AC , 可证ACB 为:-a--的平面角.六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1•三线合一例7 如图，空间四边形ABCD中，AB = AD=3 , BC=CD=4, BD = 2, AC =5 .试求A- BD - C二面角的余弦值.分析：如图1 , AB二AD , BC二CD，则△ ABD和A BDC为等腰三角形.过A作AE - BD ,垂足为E ,连结CE .根据三线合一，且E为BD 中点，可证CE _ BD，则• AEC为二面角A- BD - C的平面角.2.全等三角形——"■ I 一 1 ■「• r in i. ■ i ■ i例8 如图，已知空间四边形ABCD , AB二BC二6 , AD二DC二4 , BD二8 ,AC =6 .试求A-BD-C的余弦值.分析：过A作AE - BD，垂足为E，连结CE .根据已知条件，△ AED和△ CED全等，可证CE — BD ,则•AEC为二面角A-BD-C的平面角.3.二面角的棱蜕化成一点**!、**■、匸r・rir 、•匸—r例9 如图，四棱锥A- BCED中，DB和EC与面ABC垂直，△ ABC为正三角形.（1 ）若BC = EC = BD时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BC =EC =2BD时，求面ADE与面ABC的夹角.分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交.如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2 ）一条交线；（3 ）三条交线互相平行.在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线.可过A作AM // DE，平面ADE与平面ABC的交线即为AM .过A作AN _ DE 于N，过A作AF _ BC 于F .可证AN _ AM , AF _ AM , 则• NAF 为面ADE与面ABC的夹角.如图，DE与BC不平行且相交.根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点.延长ED、CB相交于G点，连结AG . AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角.通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了.只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解.第3页共3页。
高中数学求二面角公式
高中数学求二面角公式
二面角的公式在高中数学中是非常重要的一部分，下面我们介绍一些常用的二面角公式。
二面角的平面角公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个方向角，$angle B$为$angle ACB$的另一个方向角，$angle C$为$angle ACB$的第三个方向角，则二面角的平面角公式为:
$$angle ACB = angle A + angle B + angle C$$
这个公式可以帮助我们计算任意一个方向角的平面角。
二面角的垂直角公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个垂直角，$angle B$为$angle ACB$的另一个垂直角，$angle C$为$angle ACB$的第三个垂直角，则二面角的垂直角公式为:
$$angle ACB = 2angle A + angle B + angle C$$
这个公式可以帮助我们计算任意一个垂直角的平面角。
二面角的平面角和垂直角的关系公式:
设二面角为$angle ACB$,其中$angle A$为$angle ACB$的一个垂直角，$angle B$为$angle ACB$的另一个垂直角，$angle C$为$angle ACB$的第三个垂直角，则二面角的平面角和垂直角的关系公式为:
$$angle ACB = 2angle A + angle B - angle C$$
这个公式可以帮助我们在计算二面角的平面角和垂直角时，把它们的关系理清楚。
以上是一些比较常用的二面角公式，它们可以帮助我们更好地理解和计算二面角的大小。
高中数学二面角
高中数学二面角
摘要：
1.二面角的定义
2.二面角的性质
3.二面角的应用
4.结论
正文：
一、二面角的定义
二面角是由两个共享一个公共顶点的平面角所组成的角，它的度量通常使用两个平面角的补角。
二面角通常用希腊字母B-A-C 表示，其中A、B、C 是平面角A-bc、B-ac、C-ab 的补角。
二、二面角的性质
1.二面角的度量是锐角或钝角，它的度量范围是0°到180°。
2.二面角的度量等于它的两个组成平面角的补角之和。
3.二面角的度量与它的组成平面角的度量一一对应。
4.如果两个二面角共享一个公共顶点，并且它们的度量之和为180°，则这两个二面角是互补二面角。
三、二面角的应用
二面角在三维几何中有广泛的应用，特别是在解决立体几何问题时。
例如，在求解立体几何中的表面角、交角、投影角等问题时，常常需要使用二面角的概念和性质。
四、结论
二面角是三维几何中的一个重要概念，它具有丰富的性质和应用。
人教新课标高二下第九章 二面角
二面角
一、二面角的定义
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角
l
的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示方法
二面角－AB－
A
C
B
二面角－ l－
D
l
B
A
二面角C－AB－ D
F
E
A
B
D
C
二面角C－AB－ E
二面角
二、二面角的平面角
1、定义
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点， C
则二面角P-BC-A的平面角为:
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角 l 内一 点，且P到两个半平面的距离都
β
B
P
等于P到棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？ 60º
O
l
A
二面角
作业1：已知Rt△ABC在平面内，斜边AB在30º的二面 角-AB- 的棱上,若AC=5，BC=12,求点C 到平面 的距 离CO。
∴所求二面角的度数为120º
二面角
一、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二 面角。这条直线叫做二面 角的棱。这两个半平面叫
做二面角的面。
小 结
二、二面角的表示方法：
二 面 角 －AB－ 二 面 角 C－AB－ D
二 面 角 － l－
三、二面角的平面角： 1、二面角的平面角必须满足
又∵∠MPN=60º
∴CD=PC 2a
∴∠COD=90º
一“作” 二“证”
二面角的平面角的概念
二面角的平面角的概念
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线相交所成的角称为二面角的平面角。
二面角的大小可用平面角表示。
二面角也可以看作是从一条直线出发的一个半平面绕着这条直线旋转，它的最初位置和最终位置组成的图形。
二面角的平面角的大小，与其顶点在棱上的位置无关。
如果两个二面角能够完全重合，则说它们是相等的．如果两个二面角的平面角相等，那么这两个二面角相等。
反之，相等二面角的平面角相等。
直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
互相垂直的平面：相交成直角的两个平面叫做互相垂直的平面。
高中数学二面角
高中数学二面角
（原创版）
目录
1.高中数学二面角的定义
2.二面角的性质与计算方法
3.二面角的应用
4.总结
正文
一、高中数学二面角的定义
二面角，又称二面角，是指两个平面之间的夹角。
在高中数学中，我们主要研究两个平面之间的夹角。
二面角的度量单位通常为度或弧度。
二、二面角的性质与计算方法
1.二面角的性质
(1) 二面角是非负角，即其度数或弧度值非负。
(2) 二面角的度数或弧度值是平面内任意一条直线与另一平面所成的角度的极限。
(3) 二面角具有可积性，即二面角可以表示为两个平面内直线所成的角度的极限。
2.二面角的计算方法
计算二面角的方法有多种，其中最常见的是使用向量法和投影法。
(1) 向量法：利用两个平面的法向量计算二面角的余弦值，然后通过反余弦函数求得二面角的度数或弧度值。
(2) 投影法：在两个平面上分别选取一条直线，将其投影到同一个平
面上，计算两条投影线段之间的夹角，再利用三角函数求得二面角的度数或弧度值。
三、二面角的应用
在实际问题中，二面角常常出现在建筑、机械、物理等领域。
例如，在建筑中，二面角常用于计算建筑物的立体形状和角度；在机械中，二面角常用于计算机械零件的相对位置和角度；在物理中，二面角常用于计算光线的传播方向和角度等。
四、总结
高中数学二面角是研究两个平面之间夹角的重要概念，其性质和计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
高二数学 空间角——二面角
01 知识梳理
3.二面角的求法：
（1）找到或作出二面角的平面角
A
B
A`
D
M
C
01 知识梳理
3.二面角的求法： （3）向量法
B
CA l
D
01 知识梳理
3.二面角的求法： ① 垂直于棱的两个向量的夹角； （3）向量法 ② 求两个平面法向量的夹角.
22 2
小试牛刀
分析：（折叠问题）找二面角的平面角
22 2
小试牛刀
练习2
，
22 2
感受高考
课堂小结
二面角的求法： (1)构造二面角的平面角； (2)阴影面积法； (3)向量法：转化为与棱垂直两向量的夹角问题； 转化为两平面法向量的夹角的问题.
ห้องสมุดไป่ตู้
P
D
D E
F
g
E
F
B
C
C
22 2
小试牛刀
分析：找二面角的平面角
A
B
D
A
D
CB
C
22 2
小试牛刀
例2 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3， 求这个三棱锥的侧面与底面所成二面角的度数？
分析：阴影面积法
22 2
小试牛刀
22 2
小试牛刀
例4：如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在平 面垂直，M 是弧CD 上异于 C、D 的点．当三棱锥 M-ABC体积最大时， 求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．
高中数学 高二年级
空间角——二面角
01 知识梳理
1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二 面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作
二面角的平面角的一种定位方法
二面角的平面角的一种定位方法平面角是指在一个平面内，由两条射线形成的角度，对于特定的角度，可以使用不同的定位方法进行确定。
二面角可以理解为由两个平面的夹角组成的角度，因此需要一种特殊的定位方法来确定二面角。
在讨论二面角的定位方法之前，先对一些相关概念进行简要介绍。
二面角由两个平面内的两条射线形成。
一条射线可以用其指向来定位，即通过确定射线上的两个点来唯一确定射线。
而对于平面，可以通过确定平面内的三个非共线点来唯一定义一个平面。
根据以上的概念，我们可以考虑使用指向射线和确定平面内的三个点来确定二面角。
方法一：使用指向射线和在两个平面内确定三个点的方法。
1.首先，通过指向射线确定两条射线。
可以假设一条射线为A，另一条射线为B。
2.在第一个平面内，确定三个非共线点C1、D1和E1、可以通过交点、垂足等方法确定这三个点。
3.同样的，在第二个平面内，确定三个非共线点C2、D2和E24. 接下来，我们可以通过向量来计算平面C1D1E1和平面C2D2E2的夹角。
可以使用向量的夹角公式来计算二面角。
夹角公式为：cosθ = (a·b) / (，a，·，b，)，其中a和b分别为两个向量。
方法二：使用平面法线和确定平面内的三个点的方法。
1.首先，通过平面法线确定两个平面。
可以假设第一个平面的法线为n1，第二个平面的法线为n22.在第一个平面内，确定三个非共线点C1、D1和E1，可以使用交点、垂足等方法确定。
3.同样的，在第二个平面内，确定三个非共线点C2、D2和E24. 接下来，我们可以通过向量法线公式来计算平面C1D1E1和平面C2D2E2的夹角。
向量法线公式为：cosθ = ，n1·n2， / (，n1，·，n2，)，其中n1和n2分别为两个平面的法线向量。
以上是两种常见的二面角的定位方法，可以根据具体情况选择合适的方法。
需要注意的是，在实际操作中，可能需要使用3D计算软件或者数学公式来进行详细计算。
二面角的平面角的四种求解策略
二面角的平面角的四种基本求法及训练（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S例求二面角A-BC-D 的余弦值．（三垂线定理法）A 图3αβO BlO图5βαlCBAD例2 在60°二面角M －a －N 内有一点P ，P 到平面M 、平面N 的距离分别为1和2，求点P 到直线a 的距离。
（垂面法）例3 如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
（定义法）例4如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。
（补棱法和射影面积法）AC例5.在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
（补棱法和射影面积法）练习题1．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB ⊂α．B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°．则AB 与平面β所成的角的正弦值是2.山坡与水平面成30︒角，坡面上有一条与坡角水平线成30︒角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路程为 3．在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，则二面角的度数为 。
立体几何中二面角的平面角的定位
立体几何中二面角的平面角的定位【摘要】在立体几何中，二面角是一个重要的概念，它由两个相邻平面角组成。
通过对二面角的平面角定位，可以确定几何体中的相对位置和方向，为解决立体几何问题提供了重要参考。
本文首先介绍了二面角的定义和性质，然后详细阐述了二面角的平面角定位方法以及在立体几何中的应用。
还探讨了二面角和平面角的关系，以及二面角平面角定位的实际意义。
通过总结二面角的平面角定位在立体几何中的重要性，展望了未来二面角定位的发展，并提出了未来研究方向。
这篇文章系统地介绍了二面角的平面角定位，展示了其在立体几何中的重要作用和潜在价值。
【关键词】二面角、立体几何、平面角定位、定义、性质、方法、应用、关系、实际意义、重要性、发展、未来研究方向1. 引言1.1 介绍立体几何中二面角的概念立体几何中的二面角是指由两个不同平面所界定的角。
在立体几何中，我们经常会遇到各种各样的角度，而二面角是其中一种特殊的角度形式。
二面角的概念是立体几何中的重要概念之一，它与平面角有着密切的关系。
二面角可以理解为两个平面的交线形成的角度，也可以理解为一个棱边在两个不同平面上的投影的夹角。
在几何学中，二面角是一种特殊的角度形式，它具有独特的几何性质和特点。
二面角在立体几何中有着广泛的应用，通过对二面角的计算和研究，我们可以更好地理解立体图形的结构和性质，为解决实际问题提供重要的数学工具。
在接下来的内容中，我们将介绍二面角的定义和性质，以及二面角的平面角定位方法，通过深入研究二面角在立体几何中的应用和与平面角的关系，探讨二面角平面角定位的实际意义，帮助读者更好地理解和掌握二面角在立体几何中的重要性。
1.2 说明二面角的平面角定位的重要性在立体几何中，二面角是一个非常重要的概念。
它代表了两个不同平面之间的夹角，是立体几何研究中的关键元素之一。
二面角的平面角定位更是至关重要，因为它可以帮助我们确定在空间中不同平面的位置关系，从而构建立体图形和进行立体测量。
二面角全解析
∵BC = 1，CD = 2，
∴
GF 1 BC CD 1 2 1 2 BD 2 5 5
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
∴所求二面角的正切值为 5
例13．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面
角A1－MC－A余弦值．
于是BD⊥OE， ∴∵由满∴正∠平足∠AAA方面111体几OEO2EEA=何为=AB9知1二C0O°识D2面+-．，AE角1O得BA21，E1C-OB1D=D1-的E3的a棱，平长A面为1O角2=a．，6aE，为A棱1EC=C31a的，中点，
（Ⅲ）由平面A1BD垂直于平面BDE，且A1O⊥BD， ∴A1O⊥平面BDE．
D
E
O
AC F
B
例6.如下图，四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相 垂直，且BC=CD=1. (1)求证：平面ACD⊥平面ABC； (2)求二面角C-AB-D的大小； (3)若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的 长度．
17
(1)证明：因为AB、BC、CD两两垂直， 所以CD⊥BC，CD⊥AB. 又因为AB、BC为平面ABC内的两条相交直线，所以 CD⊥平面ABC， 而CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC. (2)因为AB⊥CD，AB⊥BC，而BC、CD是平面BCD内 的两条相交直线， 所以AB⊥平面BCD. 而BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD， 所以∠CBD为二面角C-AB-D的平面角． 又因为BC=CD=1，BC⊥CD，所以∠CBD=45°，即二 面角C-AB-D的平面角为45°.
β A
α
O
l
B
问题2：如图，平面γ 垂直于二面角的棱l，分别与面α 、 β 相交于OA、OB，则∠AOB是二面角的平面角吗？为什么？
求二面角平面角的方法
OABO A B l寻找二面角得平面角得方法二面角就是高中立体几何中得一个重要内容,也就是一个难点。
对于二面角方面得问题,学生往往无从下手,她们并不就是不会构造三角形或解三角形,而就是没有掌握寻找二面角得平面角得方法。
我们试将寻找二面角得平面角得方法归纳为以下六种类型、１。
1 二面角得相关概念新教材在二面角中给出得定义如下:从一条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角、定义只给出二面角得定性描述,关于二面角得定量刻画还必须放到二面角得平面角中去研究.教材如下给出了二面角得平面角得概念: 二面角得平面角就是指在二面角得棱上任取一点Ｏ,分别在两个半平面内作射线,则为二面角得平面角.2. 二面角得求解方法对二面角得求解通常就是先定位二面角得平面角,从而将三维空间中得求角问题转化为二维空间并可以通过三角形得边角问题加以解决。
定位出二面角为解题得关键环节,下面就二面角求解得步骤做初步介绍:一、“找”:找出图形中二面角,若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角得平面角 二、“证":证明所找出得二面角就就是该二面角得平面角 三、“算”:计算出该平面角由于定位二面角得难度较大,对于求解二面角还有一种思路就就是绕开定位二面角这一环节,通过一些等价得结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角得大小、本文将根据这两种解题思路对二面角得解题方法做一一介绍.2、１ 定位二面角得平面角,求解二面角二面角常见题型中根据所求两面就是否有公共棱可分为两类:有棱二面角、无棱二面角.对于前者得二面角得定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角得平面角;而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱"而“现棱"再进一步定位二面角得平面角。
一、根据平面角得定义找出二面角得平面角例1 在得二面角得两个面内,分别有与两点、已知与到棱得距离分别为２与4,且线段,试求:(1)直线与棱所构成得角得正弦值; (2)直线与平面所构成得角得正弦值.分析:求解这道题,首先得找出二面角得平面角,也就就是找出角在哪儿。
二面角的平面角的技巧
三垂线法作二面角的平面角的技巧求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：如图1，在二面角α—l 一β中，过平面α内一点A 作AO ⊥平面β，垂足为O ，过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B )，连结AB (或OB )，由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l )，则∠ABO 为二面角。
α—l —β的平面角．作图过程中，作出了两条垂线AO 与OB (或AB )，后连结AB 两点(或OB 两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO 为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：1．善于利用图中已有的“第一垂线”例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BCA =90°，AC =BC ，A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ，又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°．(1)求证：BC ⊥平面AA 1CC 1； (2)求二面角B 一AA 1—C 的大小．剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”．略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°，所以∠A 1AC ＝60°，又M 是AC 中点，所以△AA 1C 是正三角形，作CN ⊥AA 1于N ，点N 为A 1A 的中点，连结BN ，由BC ⊥平面AA 1CC 1，BN ⊥AA 1，则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角．设AC ＝BC ＝a ，正△AA 1C 的边长为a ，所以a CN 23=，在Rt △BNC 中，tan ∠BNC =33223==a a NC BC ，即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA =AB =BC ＝1，AD ＝21(1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．剖析：由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°，不难发现，BC 即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．略解2 延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱，因为AD ∥BC ，BC =2AD ，所以EA =AB =SA ，所以SE ⊥SB ，因为SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，所以BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，所以CS ⊥SE ，所以∠BSC 是所求二面角的平面角，因为222=+=AB SA SB ，BC =1，BC ⊥SB ，因为tan ∠BSC =22==SB BC ，即所求二面角的正切值为22．2．借助第三个平面，作“第一垂线”例3 如图4，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为a 22，若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D ．(1)确定点D 的位置，并证明你的结论； (2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小．剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D 是A 1C 1中点．二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D 作DF ⊥A 1B 1，由面面垂直的性质知，DF ⊥面A 1AB 1，即DF 为我们要作的“第一垂线”．略解2 在平面A 1B 1C 1内，作CF ⊥A 1B 1于F ，连DC ，由三垂线定理可证AB 1⊥DG ，∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角，在正△A 1B 1C 1中，因为D 是A 1C 1中点，A 1B 1＝a ，所以a F B 431=，a DF 43=，在Rt △DFG ，可求得∠DCF =45°．3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”例4 已知：Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，AB 、AC 分别与平面。
二面角的平面角的求法
二面角的平面角的求法知识点拨1、二面角的定义以一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l —β。
二面角出现的状态形式有：竖立式、横卧式、倒向式2、二面角的平面角的定义以二面角的顶点任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于边的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的定义要注意三个重要的词组:“棱上”、“面上”、“垂直”, 事实上, 二面角的平面角具有三个要素:(1)过棱上任意一点;(2)分别在两个面内引射线;(3)射线垂直于棱。
其中(1)(2)决定了平面角的两边是在同一平面内。
所以才有“平面角”之称, (3)是决定了平面角的数值的唯一性。
由二面角的平面角的定义可知: 二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面。
平面角是直角的二面角叫做直二面角．3、二面角大小求法的要领二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.（ 也可转化为求三角形内角问题）4、求二面角大小的基本方法我们总结一下作二面角平面角的几种基本方法. （1）定义法；（2）垂面法；（3）三垂线法；（4）面积法cos θ=S 射影多边形/S 多边形(射影面积公式)。
(1)如何利用定义作二面角的平面角呢?在二面角的棱a 上任意取一点O 为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为该二面角的平面角.(2)如何利用三垂线定理（或其逆定理）作二面角的平面角呢?在二面角α-a-β的面α上任取一点A ，过A 分别作棱a 和另一面β的垂线AO 和AB(O ，B 分别是垂足)，连BO ；或者过A 作面β的垂线AB ，又过垂足B 引棱a 的垂线BO ，连AO ；则∠AOB 为该二面角的平面角.(3)如何用作垂面的办法作二面角的平面角呢?过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.（4）射影面积公式用此方法可避免寻找二面角的平面角的繁琐步骤。
二面角的平面角的题型归纳与方法
二面角的平面角题型归纳与方法求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。
一、法向量求二面角步骤1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系。
2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =，),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅0b n a n ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则由21,cos n n >=<求得><21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的大小，应注意1n ，2n 的方向。
所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角。
二、考题剖析例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1(0)AB PA BC a a==>. (Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥； (Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥， 求此时二面角Q PD A --的余弦值.解：(Ⅰ)当1a =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥ 又因为BD PA ⊥,BD ∴⊥面PAC 又PC ⊂面PAC ,BD PC ∴⊥(Ⅱ) 因为AP AD AB ,,两两垂直，分别以它们所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，如图所示，令1AB =，可得BC a = 则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(P a C a D BABQ DCP设m BQ =，则)0)(0,,1(a m m Q ≤≤要使QD PQ ⊥，只要0)(1=-+-=⋅m a m QD PQ 即210m am -+= ,由0∆=2a ⇒=，此时1m =。
平面角和二面角的关系
平面角和二面角的关系
平面角和二面角都是几何学中的重要概念，两者之间有一定的关系。
平面角是平面中
的一个角，而二面角则是由两个不重合的平面所夹角度的大小。
首先，让我们来了解一下平面角的概念。
平面角是两条射线之间的夹角，通常用度数（°）或弧度（rad）来度量。
如果两条射线之间的夹角为180度，则称此角为平角。
如
果夹角小于180度，则称此角为锐角；夹角大于180度，则称此角为钝角。
如图所示：
[Image]
接着，我们来看一下二面角的概念。
二面角，顾名思义，就是由两个不重合的平面所
夹角度的大小。
它是一个三维空间里的概念，通常用立体角（sr）来度量。
如图所示：
我们还可以通过一个例子来更好地理解平面角和二面角之间的关系。
假设有一个矩形，我们将其围绕长边所在的直线旋转一周，就会得到一个圆柱体。
这时，圆柱体中心的角度
就是矩形中心的平面角。
另外，在圆柱体中，由两个平行的圆面所夹角度的大小就是二面角。
如图所示：
总之，平面角和二面角是几何学中的基本概念，它们之间的关系在三维几何学中有着
广泛的应用。
同时，理解这两个概念之间的关系也有助于我们更好地掌握几何学知识，提
高数学素养。
(完整版)找二面角的平面角的方法汇总
找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型． 一、根据平面角的定义找出二面角的平面角 例1 在60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值． 分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BD AF ⊥”、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”． 三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角．图1 图2分析：⊥⇒⊥⇒⊥⊥⇒⊥CD CDPB PB CDPA PA βα平面PAB ． 因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明CD EB ⊥，及AEBP 为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4 已知斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面1AB 与平面1AC 构成的二面角的平面角为 30，平面1AB 与平面1BC 构成的二面角为 70．试求平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．四、平移平面法例5 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为1AA 的中点，H 为1CC 上的点，且211：：=H C CH ．设正方体的棱长为a ，求平面EH D 1与底面1111D C B A 构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点E 作11//D A EM 与D D 1相交于M 点，过M 点作11D C MN ⊥，与H D 1相交于N 点．可证平面//EMN 平面1111D C B A ．这样，求平面EH D 1与平面1111D C B A 的二面角的平面角就转化为求平面EH D 1与平面EMN 的二面角的平面角．显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作EN MF ⊥，F 为垂足，连结F D 1，可证EN F D ⊥1．则FM D 1∠为本题要寻找的二面角．五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 为棱AD 的中点，求平面CB C B 11和平面M BC 1所构成的锐二面角的正切．分析：平面AC 与二面角C BC M --1的一个面C B 1垂直，与另一个平面1C MB 相交，过M 点作BC MP ⊥，垂足为P ，过P 作BC PN ⊥，交1C B于N 点，连结MN ，由三垂线定理可证1BC MN ⊥，则MNP ∠为二面角C BC M --1的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找βα--a 所构成的二面角的平面角，可找平面βγ⊥，且b =αγ ，l =βγ ，过b 上任何一点A 作l AB ⊥，垂足为B ，过B 作α⊥BC ，垂足为C ，连结AC ，可证ACB ∠为βα--a 的平面角． 六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角 1．三线合一 例7 如图，空间四边形ABCD 中，3==AD AB ，4==CD BC ，2=BD ，5=AC ．试求C BD A --二面角的余弦值．分析：如图1，AD AB =，CD BC =，则△ABD 和△BDC 为等腰三角形．过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据三线合一，且E 为BD中点，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．2．全等三角形例8 如图，已知空间四边形ABCD ，6==BC AB ，4==DC AD ，8=BD ，6=AC ．试求C BD A --的余弦值．分析：过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据已知条件，△AED 和△CED 全等，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9 如图，四棱锥BCED A -中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ABC 为正三角形．（1）若BD EC BC ==时，求面ADE 与面ABC 的夹角；（2）若BD EC BC 2==时，求面ADE 与面ABC 的夹角．分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，但面ADE 与面ABC 与面DC 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC 与DE 互相平行，所以肯定有过A 且平行于DE 的一条交线．可过A 作DE AM //，平面ADE 与平面ABC 的交线即为AM ．过A 作DE AN ⊥于N ，过A 作BC AF ⊥于F ．可证AM AN ⊥，AM AF ⊥，则NAF ∠为面ADE 与面ABC 的夹角．如图，DE 与C B 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长ED 、CB 相交于G 点，连结AG ．AG 即为平面ADE 与平面ABC 的交线，通过一些关系可证CAE ∠为平面ADE 与平面ABC 的夹角．通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．。
二面角的公式
平面角做法作二面角的平面角的常用方法有以下几种：1、定义法：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。
有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。
2、垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。
即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。
运用这一方法的关键是从中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。
4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接两个垂足即得二面角的平面角。
5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
二面角就是该夹角或其补角。
6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。
7、异面直线的距离法：设二面角为C-AB-D，其中AC和BD互为异面直线且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是异面直线AC和BD的公垂线）。
设AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根据来求异面直线所成角θ。
利用该方法求θ必须先由图像判断二面角是锐角还是钝角。
如果是锐角，那么取正号；钝角，那么取负号。
待求出θ以后，如果二面角是锐角，那么二面角的大小就是θ；钝角，那么二面角的大小就是π-θ。
其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角。
二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。
过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。
有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。
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高中立体几何中二面角的平面角的作法
一、二面角的平面角的定义
如图（1），α、β是由l出发的两个平面, O是l上任意一点OC ∈α，且OC ⊥l；CD∈β，且OD⊥l。
这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—l—β的平面角，从中不难得到下列特征：
Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B,那么由特征Ⅱ可知AB ⊥β . 突出l、OC、OD、AB，这便是另一特征；
Ⅲ、体现出完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背景。
二、对以上特征进行剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1
矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面BCD 上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—D的大小。
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。
但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。
由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。
另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上,所以E点就是A′，这样的定位给定量计算提供了优质服务。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“展平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。
“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征Ⅲ显示，如果二面角α—l—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交l于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥l，此时，∠AOB 就是二面角α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
例2已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。
正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征Ⅱ指出，如果二面角α—l—β的棱l垂直某一平面γ;那么γ与α、β的交线所成的角就是α—l—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。
求面B1D1E 与面积BB1C1C所成的二面角的大小。
例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，
由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如果思维由特征Ⅲ监控,背景中的线段C1D1会使眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1),即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如图。
三、三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。
事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。
掌握这
种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
在许多问题中可借助由特征Ⅲ，找到(作出) “垂线段”便可定位。
例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。
作法∵A—CP—B为直角二面角，
∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。
∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
再说，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。
由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角的平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。
二面角·典型例题分析
例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC
∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。