2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用章末复习讲义新人教A版选修2_2

第一章导数及其应用知识系统整合规律方法收藏1.导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，这时导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2.利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键.3.对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax ＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高.4.利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.(3)命题“如果f′(x)>0，则函数为增函数”的逆命题不成立，当f(x)在(a，b)内为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，f(x)也就恒为常数，所以由f ′(x )≥0不能得到f (x )是单调增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件.5.利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f (x )在点x 0取得极值的充分必要条件是f ′(x )＝0，且在x 0左侧与右侧，f ′(x )的符号不同，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的必要非充分条件.(2)极值点也可以是不可导的，如函数f (x )＝|x |在极小值点x 0＝0处不可导. (3)求一个可导函数的极值时，常常把使f ′(x 0)＝0的点x 0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.6.极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值.7.导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y ＝f (x )，然后利用导数求出函数f (x )的最值，求函数f (x )的最值时，若f (x )在区间(a ，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判定是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较.8.求定积分求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是要找到被积函数的原函数．为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.9.定积分的应用中的两个主要问题一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题．其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.学科思想培优一、导数几何意义的应用例1 设曲线C ：y ＝x 3－3x 和直线x ＝a (a >0)的交点为P ，过P 点的曲线C 的切线与x 轴交于点Q(－a ,0)，求a 的值.[解] 依题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3－3x ，x ＝a ，解得P(a ，a 3－3a ).y′＝3x 2－3，所以过P 点斜率为3a 2－3的曲线C 的切线方程为y －(a 3－3a )＝(3a 2－3)(x －a ).令y ＝0得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 33a 2－3，0，则有2a 33a 2－3＝－a ，解得a ＝±155.由已知a >0，所以a 的值为155. 拓展提升要求a 的值，需利用导数的几何意义写出过P 点的曲线C 的切线方程，求出该切线与x 轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a >0.二、求函数的单调区间例2 设a ∈R ，讨论定义在(－∞，0)的函数f (x )＝13ax 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12x 2＋(a ＋1)x 的单调性.[解] f ′(x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋a ＋1＝(x ＋1)(ax ＋a ＋1)，x <0.(1)若a ＝0，则f ′(x )＝x ＋1，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.(2)若a ≠0时，则f ′(x )＝a (x ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a .①若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，－1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.②若－1≤a <0，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.③若a <－1，则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a，0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.拓展提升导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等.三、求函数的极值与最值例3 设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. [解] (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1，若f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝a ＋527，极小值是f (1)＝a －1. (2)因为函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )趋于＋∞，取足够小的负数时，有f (x )趋于－∞，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点，从(1)中可知f (x )的单调性，可画出草图.当f (x )的极大值a ＋527<0，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527时，它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上.当f (x )的极小值a －1>0，即a ∈(1，＋∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13上.故当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与 x 轴仅有一个交点.拓展提升一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f (x )的极大值小于零或函数f (x )的极小值大于零时，图象与x 轴仅有一个交点.四、恒成立问题例4 已知f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1，2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值范围.[解] ∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－23.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数. 所以当x ＝－23时，f (x )取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝5＋2227；当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝72.又f (－1)＝112，f (2)＝7.因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7. 要使f (x )<m 恒成立，须f (x )m ax <m ，即m >7. 所以所求实数m 的取值范围是(7，＋∞). 拓展提升本题中要使m >f (x )恒成立，只要m 大于f (x )的最大值即可，从而求出f (x )的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f (x )<m 恒成立”改为“f (x )>m 恒成立”，则只需求出f (x )的最小值即可.五、利用导数证明不等式例5 已知a ，b 为实数，且b >a >e ，求证：a b>b a.[证明] 因为b >a >e ，所以要证a b>b a，只需证b ln a >a ln b . 设f (x )＝x ln a －a ln x (x >a )，则f ′(x )＝ln a －a x. 因为x >a >e ，所以ln a >1，且a x<1. 所以f ′(x )>0，且f ′(a )>0.所以函数f (x )＝x ·ln a －a ln x 在[a ，＋∞)上是单调递增函数. 所以f (b )>f (a )＝a ln a －a ln a ＝0，即b ln a －a ln b >0， 所以b ln a >a ln b ，故a b>b a. 拓展提升“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.六、利用导数解决实际问题例6 烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染．已知A ，B 两座烟囱相距20 km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．(比例系数为k )．若C 是AB 连线上的点，设AC ＝x km ，C 点的烟尘浓度记为y .(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.[解] (1)不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC ＝x (0<x <20)，可得BC ＝20－x .依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：y ＝k x 2＋k ·8－x2(0<x <20).(2)对(1)中的函数表达式求导得 y ′＝－2kx3＋16k －x3＝2k x 3－60x 2＋1200x －x 3－x3.令y ′＝0，得(3x －20)·(3x 2＋400)＝0； 又0<x <20，∴x ＝203.∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，y ′<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，20时，y ′>0，∴当x ＝203时，y 取最小值.故存在点C ，当AC ＝203 km 时，该点的烟尘浓度最低.拓展提升在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是：(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值.七、定积分的应用例7 已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切于A 点，直线l 2：x ＝a (a ≠－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)若△BAD 的面积为S 1，求|BD |及S 1的值；(3)设由抛物线C ，与直线l 1，l 2所围成图形的面积为S 2，求证S 1∶S 2的值为与a 无关的常数.[解] 如下图所示.(1)由y ＝2x 2，得y ′＝4x . 当x ＝－1时，y ′＝－4， ∴直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，x ＝a ，得B 点坐标为(a,2a 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，4x ＋y ＋2＝0得D 点坐标为(a ，－4a －2)，∴点A 到直线BD 的距离为|a ＋1|， |BD |＝2a 2＋4a ＋2＝2(a ＋1)2， ∴S 1＝12|BD |·|a ＋1|＝|a ＋1|3.拓展提升(1)由导数的几何意义求出切线l1的斜率，再由点斜式写出直线l1的方程．(2)求出点A 到直线l2的距离以及B，D两点的坐标，从而由三角形的面积公式可求出S1.(3)由定积分的定义求出S2，注意讨论a的取值，再证明S1∶S2是常数.。