线性代数总复习及典型例题.ppt
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线性代数 线代复习ppt课件
解
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
14
解：
R(A)=2
15
例5 1,2,3,4, 1, 1 , 1 , 1 , A T ,
2 3 4
B T ,求A, B, An, R(An ), n N
1
1
1
1
解
1
A
T
432
1
B T 1 1
2
1 2
1 3
1 3
1 4 1
2 3 4
1 4
2 3 4
26
定理2 设有非齐次线性方程组（1） Amn X , 0
设rA r,如果rA rA r n,则 1方程组AX 必有无穷多解； 2设是AX 的一个特解, 设1,2, ,nr是AX 0的基础
则AX 的通解为：
X k11 k22 knrnr ,k1,k2, ,knr R
）．
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ 0 ） ．
３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ 0, 1 ） ．
31
4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ 1, -1, 3 ）．
５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２，
则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ -72 ）。
6、单位矩阵E 的特征值，特征向量（
4
2 1 3 2 2
3 2 3
1
4 3
4 1
2
3
4 1
An (T )n1( T ) 4n1 A.
R( An ) 1 16
向量组的线性相关性
一. 向量组的线性相关性
1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示
(1) 判断向量 可由向量组 1,2 ,L ,m 线性表示的常用方法
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
m
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
线性代数(含全部课后题详细答 案)4-3ppt课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数期末总复习(PPT)
反对称矩阵: AT = －A
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
A+B = ( aij + bij) A与B同型 kA= ( kaij ) 运 算 AB = C 其中 cij aik bkj , Am s , Bsn ,C mn
k 1 n
AT: AT 的第 i 行是 A 的第 i 列.
|A|= detA , A必须是方阵.
三、重要公式、法则。
1、矩阵的加法与数乘
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A+B=B+A; (A + B ) + C = A + ( B + C ); A + O = O + A = A; A + (－A) = O; k(lA) = (kl)A ; (k+l)A = kA+ lA ; k( A + B )= kA + kB ; 1A = A, OA = O 。 (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (4) AO =OA = O.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式D ≠0 ， 原方程组有惟一解 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn = . D D D 其中Dj ( j = 1,2,…,n )是把系数行列式D 中的第j 列的元素用 方程组的常数项替换后得到的n阶行列式。
n
i j i j i j i j
●定义法
●递推法
计 算
●加边法
线性代数总复习和典型例题公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
第10页
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式计算化为低阶行列式计算主要工具
.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当 i
j, j;
第11页
第二章 矩阵及其运算
第12页
一、矩阵概念
1.矩阵基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
第42页
行最简形, 并写出最简形相应线性方程组进行求解。 假如方程组有无穷多个解, 需写出通解形式。
第36页
推论1 当m = n 时, (1)齐次线性方程组(3.2)只有零解 A 0 ; (2)齐次线性方程组(3.2)有非零解 A 0 .
推论2 当m <n 时,即方程个数小于未知量个数时, 齐次线性方程组(3.2)必有非零解.
第40页
二、线性相关与线性无关 定义4.7 对于n维向量组 α1,α2,,αs ,假如存在一组 不全为零数 k1, k2,, ks ,使得
k1α1 k2α2 ksαs 0 则称向量组 α1,α2,,αs 线性相关.假如上式只有当 k1 k2 ks 0 时才成立,则称向量组 α1,α2,,αs 线性无关.
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和:
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MM
M
MM
M
D bi1 M
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式计算化为低阶行列式计算主要工具
.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当 i
j, j;
第11页
第二章 矩阵及其运算
第12页
一、矩阵概念
1.矩阵基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
第42页
行最简形, 并写出最简形相应线性方程组进行求解。 假如方程组有无穷多个解, 需写出通解形式。
第36页
推论1 当m = n 时, (1)齐次线性方程组(3.2)只有零解 A 0 ; (2)齐次线性方程组(3.2)有非零解 A 0 .
推论2 当m <n 时,即方程个数小于未知量个数时, 齐次线性方程组(3.2)必有非零解.
第40页
二、线性相关与线性无关 定义4.7 对于n维向量组 α1,α2,,αs ,假如存在一组 不全为零数 k1, k2,, ks ,使得
k1α1 k2α2 ksαs 0 则称向量组 α1,α2,,αs 线性相关.假如上式只有当 k1 k2 ks 0 时才成立,则称向量组 α1,α2,,αs 线性无关.
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和:
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MM
M
MM
M
D bi1 M
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
《线性代数总复习》PPT课件_OK
aA 0或B 0 bBA 0 c A 0或 B 0 d A可逆时, B 0
e如果 A 0,则B 0 f 秩A 秩B n g如果秩A n,则B 0
消去律一般不成立
AB不一定等于BA A B AB O 0
B A1 AB A10
此时A可逆
有秩的结论
此时A可逆
2021/8/31
-7-
例5 2）设A、B都是n阶方阵，则 e
a( A B)2 A2 2AB B2 b A B B A c If A 1,then : A 1
当AB BA时,成立
A B 1n B A
A 1A 1n A
d A2 B2 ( A B)( A B) 当AB BA时,成立
(1) 对齐次线性方程组AX=0来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 0仅有零解;
2当m n时, AX 0必有非零解;
2)
3当m n时, AX 0必有惟一解;
41,2,3都不对. (2) 对非齐次线性方程组AX=来说,以下哪个结论正确?
1当m n时, AX 必无解; 2当m n时, AX 必有无穷多解; 3当m n时, AX 必有惟一解;
的根为 2,3,4
1 2 22 23 解： 1 3 32 33 2( x 2)( x 3)( x 4)
1 4 42 43 1 x x2 x3
2021/8/31
-5-
例3. 设 A,B为三阶矩阵，且 A 3, B 2, A1 B 2, 求： A B1 解： A( A1 B ) E AB
a22 x2
a2n xn
0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
的非零 解向量, 试判断 1,2 ,,r , 的线性相关性?
线性代数复习第1-6章 典型例题 PPT课件
xn
0
an
a2a3
an (a1
n xk yk ) k2 ak
-6-
例9 范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1 1
an
a1 a2 an1 an
Dn
a12
a22 an21 an2
an
a1n2 a2n2 ann12 ann2
a1n1 a2n1 ann11 ann1
an
A1 B1 A1( A B)B1 ( A1 B1 )1 B( A B)1 A
-12-
例7 设A为3阶方阵 , A 1 , 求 (2A)1 5A 2
解
A A A1 1 A1
2
(2A)1 5A 1 A1 5 A1 2A1
2
2
(2)3 1 16 A
-13-
求逆矩阵的初等变换法
0 0
r
1 0
0 1
0 0
2 2
0 2
0
0
1 0 1 3 2 2 0 0 1 5 2 2
-16-
2
( X A)T 2 2
F
5 2 2
1 1 1 2 2 5 3 1 6
X
A FT
1
1
2
2
3
3
1
2
3
-17-
例8 设 n 阶方阵 A 满足 A2 E,
-20-
x1 x2 x3 x4 0
例5
x2x2
2x3 (a
2x4 1 3)x3 2x4
b
3x1 2x2 x3 ax4 1
问 a, b 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有
无穷多解时，求通解。
解：系数矩阵是方阵首选行列式法
线性代数期末复习课件(超全)
形式 0是Ax b的一个特解，则方程组的全部解为：
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
x 0 k11 k22 knr nr , k1, k2， , knr R.
线性方程组解的结构
例
求
x1 2x2 4x3 3x4 1, 3x1 5x2 6x3 4x4 0,
的所有解.
4x1 5x2 2x3 3x4 －5.
,
b22
,
,
b2nr
,
xr br1 br2 brnr
线性方程组解的结构
b11
b12
1
r r 1
n
r 1
b21
br1
1 0
0
r2
b22
br
2
0 1
0
b1nr
b2nr
r 2
（II）向
量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示.
(即再添加任何一个向量都线性相关)
则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.
定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量 个数称为向量组的秩.
推论 两个等价的向量组有相同的秩.
向量组的秩
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系：
向量组与矩
a11
Amn
线性相关性.
1 7 0 3 2
1
所以
A
4
0 0 0
3
0
0
2 3
1
0 1 0
1
1
0
1
3
2
1
0
0
3
0
0 0
0
1 0 0
0
2 3
1 3
01 3
1 3
11
0
0 0 0
线性组合系
线性代数总复习2013
xm am = 0
, am 线性无关的充分必要条件是 R(a1 , , am ) = m
一、内 容 提 要
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A). 向量组的最大无关组 设向量组 A 的秩为 r, 如果 a1, …, ar 为 A 中一个线 性无关向量组, 那么称 a1,…,ar 为 A 的一个最大无关组. 最大无关组的性质 设 A 为一向量组, 则部分组 a1,…,ar 为 A 的一个最 大无关组的充分必要条件是 (1) a1,…,ar 线性无关; (2) A 中任一向量可由 a1,…,ar 线性表示.
且有
a3 = 2a1 4a2 ,
a5 = 3a1 5a2 7a4
一、内 容 提 要
向量组的线性表示 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
• 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是 R( A) = R( A, B )
一、内 容 提 要
Laplace [按行列展开]定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 | A | = ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain , ( i = 1,2, , n)
| A | = a1 j A1 j a2 j A2 j
x = k1x1 kn rx n r h , (k1,…, knr 为任意数)
x = k1x1
一、内 容 提 要
线性组合 设有向量组 a1 ,
, am 及向量 b, 如果存在一组数
k1 ,
b = k1a1 km am 那么, 称向量 b 为向量组 a1 , , am 的一个线性组合, 并
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对称及反对陈矩阵 方阵的行列式
2. 矩阵的运算规律：
加法：
1交换律：A B B A; 2 结合律：A B C A B C .
数乘：
1 结合律 : A A;
2分配律 : A A A; A B A B.
乘法：
1 ABC ABC ;
2 AB AB AB
（其中 为数）;
行列式按行（列）展开法则是把高阶行 列式的计算化为低阶行列式计算的重要 工具.
n
D ,当i j,
aki Akj
k 1
0
,当
i
j;
n aik Ajk
k 1
D ,当i
0
,当i
j, j;
第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的概念
1. 矩阵的基本概念
定义2.1 由 m 个n数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
a 1m
b11 L
b1k
MM
M.
am1 L
amm
b k1
L
b kk
第二节 行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等.
性质1.2 行列式的某一行（列）中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面． 推论1 行列式的某一行（列）中的所有元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论2 如果行列式中有一行(列)为零，那么行列 式为零。
性质1.3 对换行列式的两行（列）,行列式变号. 推论 如果行列式有两行（列）完全相同， 则此行列式为零. 性质1.4 如果行列式中有两行（列）对应成 比例，那么行列式为零．
性质1.5 如果行列式的某一行（列）的元素都是
两数之和，例如第i 行的元素都是两数之和
a11
a12
a1n
D bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin
an1 an2 ann an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
3. 方阵的行列式及其性质
定义2.1 由n阶方阵A的元素按原相对位置所构成 的行列式，称为方阵A的行列式，记作 A 或 det A. 方阵的行列式满足下列规律：
（设A、B为n阶方阵，为数） （1） AT A （2） A n A;
（3） AB A B
1. 基本概念
三、逆矩阵.列标
定义2.8 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22 L ann
0 0 ann
1
2.
2
1
3.
2
n( n1)
(1) 2 12 n
n
12 n n
a11 L M
4. D am1 L
*L M
*L
a 11
L
M
a1m
M
0
a mm
* b11 L b1k
MM
M
* bk 1 L bkk
计算行列式常用方法： (1)利用定义; (2)利用性质把行列式化为上三角形行列式， 从而算得行列式的值．
第三节 行列式按行(列)展开
引理 一个n阶行列式，如果第i 行所有元素除
aij 外都为零，那么这个行列式等于 aij 与它的代
数余子式的乘积，即 D aij Aij .
定理1.3 行列式的某行(列)的所有元素与其对应 的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。行列 式某行(列)元素与另一行(列)对应元素的代数余子 式乘积之和等于零。
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
a11 a12 a13 a11 a12 D a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
排成的m行n列的数表
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
称为m行n列矩阵,简称 m 矩n阵. 其中 m 个n 数称为矩阵A的元素，数
A的第i 行第j 列的元素.
aij 称为矩阵
二、矩阵的运算
1. 矩阵的基本运算：
加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘 方阵的幂
转置矩阵
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且AB 1 B1 A 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 AT 1 A1 T.
推广
A1 A2
Am 1
Am1
A A21
1
1.
5 若A可逆,则有 A1 A 1.
4. 逆矩阵的计算方法
(1)利用定义（一般适用于证明题）
2利用公式A1 A ;
A (3)待定系数法 (4) 初等变换法:步骤如下
使得
AB BA E
则称B是A的逆矩阵，并称矩阵A是可逆矩阵或满秩
矩阵，或非奇异矩阵,记为 A1.
说明 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 注意 不能将 A1写成 1 .
A
定义2.9 设有n阶方阵 A (aij )nn , 由行列式 A 中
各元素aij 的代数余子式Aij 构成如下n阶方阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵A的伴随矩阵.
注意:伴随阵 A* 与原矩阵A元素位置的对应关系.
2. 基本定理
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为其伴随矩阵，则 AA A A A E.
定理2.2 设A为n阶方阵，则
A可逆 A 0 , 且 A1 1 A ,