2.3.2第1课时抛物线的简单几何性质
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案答案
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。
2.3.2《抛物线的简单几何性质》课件 公开课一等奖课件
所以，线段 AB的长是8。
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p 2, 1, 准线l : x 1. 2
y
A’
A O F B
还有没有其他方法?
例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y
A’
A O F B
x
代入方程y 2 4 x, 得( x 1)2 4 x, 2 化简得x 6 x 1 0. x1 x2 6 B’ x1 x2 1
y
证明：如图．
C H D E F A
B O
x
练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴， 焦点在直线3x-4y-12=0 上，那么抛物线通径 16 长是______________. 2.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为45
0
16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
X
(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
始终为常数1 |PF|=x0+p/2
y
P
(5)焦半径
(6)通径
O
F
x
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相 交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径的长度：2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
2.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为0,0>≥y x问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程0,22>=p px y 中，y 并无限制，因此R y ∈。
而因为022≥=y px ，且0>p ，所以0≥x 。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
高中数学全程复习方略2.3.2.1 抛物线的简单几何性质(共50张PPT)
(2)抛物线的焦半径公式
抛物线y2=2px(p＞0), PF x p p x ; 0 0
2 2
抛物线y2=-2px(p＞0)，PF x p p x ; 0 0
2 2
抛物线x2=2py(p＞0), PF y0 p p y0 ;
2 2
抛物线x2=-2py(p＞0)，PF y0 p p y 0 .
【解析】1.如图 由OA⊥OB，可知AB过定点N（4p，0）.于 是设M（x，y），当AB与x轴不垂直时，
由KOM²KAB=-1可知
y y 1 即 ， x x 4p
（x-2p）2+y2=4p2，当AB⊥x轴时，点M与点N重合，也满足方程
∴点M的轨迹方程是（x-2p）2+y2=4p2（x≠0)，它表示以点
2
y 2 2px p2 2 0，又 AB (1 12 ) p ， x 3px 4 y x 2
8 p 2.
p2 3p 4 4
2
答案： 2
2.过A、B作准线的垂线，垂足分别为A′、B′， 设A(x1,y1), B(x2,y2)，则根据抛物线定义知 AA AF=2px(p>0)，焦点坐标是 ( p ,0)
把 x p 代入抛物线标准方程得y=〒p，则|AB|=2p.
2
2
答案：2p
抛物线与椭圆及双曲线的几何性质的区别
（1）抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别较
大．它的离心率为1，是一个定值，有一个焦点，一个顶点，
一条准线，一条对称轴，没有中心，学习中要注意区分、比较 记忆．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练 应用，能作出图形，会利用图形分析性质.
抛物线的简单几何性质
课堂达标训练
【方法总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置:根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的 位置或开口方向. (2)设方程:根据确定的焦点位置设出相应的方程,若未 能确定则要分情况讨论.
课堂达标训练
(3)列方程:利用准线、焦点等条件列出关于p的方程, 确定p的值. (4)写出方程:根据求出的p值,代入设出的方程,确定抛 物线方程.
课堂达标训练
【跟踪训练】
(2019·葫芦岛高二检测)已知点A(0,2),抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,
与其准线相交于点N,若 FM 5 ,则p的值等于( )
MN 5
8
4
课堂达标训练
【解析】选C.设F
p 2
,
0
,|MK|是点M到准线的距离,
p 2
,0
,直线AB的
方程为y=2
x
p 2
,联立
y
2
x
p 2
y2 2px
,
得4x2-6px+p2=0,所以x1+x2= 3p ,x1·x2= p2 ,
2
4
课堂达标训练
则|x1-x2|=
x1 x2 2 4x1 x2 =
5 2
p,
所以|y1-y2|= 5 p,
所以S梯形ABCD=
1 (AD+BC)·CD=
2, 3
x
可得A点坐标为
2
(-2,4 3 ),因为PA⊥l,A为垂足,所以P点纵坐标为4 3 ,
代入抛物线方程,得P点坐标为(6,4 3 ),所以
|PF|=|PA|=6-(-2)=8.
课堂达标训练
高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
教
●教学建议
析Leabharlann 学当方本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨 堂
案
双
设 计
论法、有指导的发现法及练习法等教学方法．先通过多媒体动
基 达
标
课 前
画演示，创设问题情境，在抛物线简单几何性质的教学过程中，
自
课
主 导
通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、
时 作
学
业
总结、运用，最后通过练习加以巩固提高．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
教
学
易
教
错
法 分
学法上，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可
易 误
析
辨
教 能地增加学生参与教学活动的时间和空间，结合教法和学生的 析
学
当
方 实际，在多媒体辅助教学的基础上，主要采用“复习——类比 堂
菜单
教
学
●教学流程
教
法
分
析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 选修1-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
2.3.2抛物线的简单几何性质
x≤0
y∈ R y≥0 (0,0) 1
x∈ R y ≤0
x∈R
y
O F
y轴
l 2 x = -2py F (0, p ) x
（p>0）
2
p y 2
例3 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点,并且过点 M(2, 2 2 ),求它的标准方程. 例4 斜率为1的直线l经过抛物线 y2 = 4x的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点,求线段AB的长. 方法1：求出A,B两点坐标，用两点间距离公式求|AB|. 方法2：利用|AF|=dA到准线， |BF|=dB到准线，表示|AB|. 例5 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k, 当k为何值时，直线l与抛物线:只有一个公共点；有两个公共 点；没有公共点.
o
p 2
p 2.o xy源自p 0, 2 . o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.
y x
.
o
y x
y2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
（3）抛物线的准线的方程是一次项系数的— （4）焦点到准线的距离为p
2.3.2 抛物线的简单几何性质
y2=2px 1.范围： x≥0,y∈R 抛物线关于x轴对称。 2.对称性： 对称轴叫做抛物线的轴。 3.顶点: （0，0) 叫做抛物线的顶点。 4.离心率:
K
d
o
﹒ F x
M
抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距 离之比，叫做抛物线的离心率。e=1
2.3.2抛物线的简单性质
2.3.2抛物线的简单几何性质1．范围[师]因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性[师]以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点[师]抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y的顶点就是坐标原点．4．离心率[师]抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ B ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ C ）（A ）a 2（B ）a21（C ）a 4（D ）a44．动点P 到直线x ＋4=0的距离比到定点M(2, 0)的距离大2，则点P 的轨迹是 （ ） （A ）直线 （B ）圆 （C ）抛物线 （D ）双曲线5．过抛物线y 2=4x 的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 、N 的横坐标x 1与x 2之积为（ ）（A ）4 （B ）16 （C ）32 （D ）646．在抛物线y 2＝4x 上有点Ｍ，它到直线y ＝x，如果点Ｍ的坐标为（a ，b ）， a 、b ∈R ＋，则ba 的值为（ ）（A ）2（B ）21 （C ）１ （D ）7．平移抛物线y 2=x ，并使顶点在以(－1,0)，(0,2)为端点的线段上运动，则抛物线截直线y=x 所得的线段长的最大值是 （ ）（A ）34 （B ）23（C ）10 （D ）38．抛物线22y px =与直线y ＝k(x －1)的一个交点A 的坐标是（4，4），点A 到焦点的距离是 （ ）（A ）4 （B ）92（C ）5 （D ）69．若抛物线y ＝2x 2上两点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－21，则实数m 的值为 （ ）（A ）21 （B ）32（C ）52（D ）210．对于抛物线C ：24y x =，若点M （x 0,y 0）在抛物线的内部（即2004y x <），则直线l ：y 0y ＝2（x ＋x 0）与抛物线C （ ）（A ）恰有一个公共点 （B ）恰有两个公共点（C ）可能一个也可能两个公共点 （D ）没有公共点 7．过抛物线y 2=8x 上一点P(2, -4)与抛物线仅有一个公共点的直线有（）A1条B2条 C3条D1条或3条8．直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为 （ ）（A ）1-或2（B ）1-（C ）2（D ）31±9．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．y 2＝±32x （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．x 2＝8y（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．x 2＝－8y10．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于 90°例1 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点， 求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切． [师]运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ， 则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜ ∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜ 所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．练习1．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是()122-=x y 2.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45）3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．x 2＝±16 y4．以椭圆1522=+y x的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．545．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为15，求抛物线的方程（答案：x y 122=或x y 42-=）6．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？520米（2）通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= （3）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(2222=--⇒py kp y 和4)2(22222=++-p k x p p k x k 221py y -=⇒和21x x =例2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线)0(22>=p px y 上，求这个正三角形的边长．分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x 轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则 1212px y =，2222px y =又|OA|＝|OB|，所以 22222121y x y x +=+即22212122px x px x +=+0)(2)(212221=-+-x x p x x 0)](2)[(2121=-++x x p x x∵ 02,0,021>>>p x x ，∴ 21x x =．由此可得||||21y y =，即线段AB 关于x 轴对称． 因为x 轴垂直于AB ，且∠AOx ＝30°，所以3330tan 011==x y所以py px y 3212111=⋅=，py AB 342||1==练习：1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求这个正三角（答案：边长为p34）2．已知抛物线()022>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，（答案：x y =2）3．已知直线b x y +=与抛物线px y 22=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程（答案：x y 22=）如图2-8，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，过点A 、B 、M 作抛物线准线l 的垂线AC 、BD 、MN ．垂足分别是C 、D 、N ．连结AN 、BN ．求证：（1）|MN |＝12|AB |；（2）FN ⊥AB ；（3）设MN 与抛物线交于Q ，则Q 是MN 的中点； 证明：（1）由抛物线的定义，得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |． 图2-8 又|MN |＝12（|AC |＋|BD |），所以，|MN |＝12（|AF |＋|BF |）＝12|AB |；（2）在Rt △ANC 与Rt △ANF 中，|AN |＝|AN |，|AC |＝|AF |， 由（1）知，△ANB 是直角三角形，MN 是斜边上得中线， 所以，∠MAN ＝∠MNA ，而∠MNA ＝∠CAN ，所以，∠MAN ＝∠CAN ．所以，Rt △ANC ≌△ANF ，∠AFN ＝∠ACN ＝90°． 所以，FN ⊥AB ．（3）在Rt △MNF 中，由抛物线的定义，得|QN |＝|QF |， 所以，∠QNF ＝∠QFN ．于是，∠QFM ＝∠QMF ，|QF |＝|QM |． 所以，|NQ |＝|QM |，Q 是MN 的中点．。
2.3.2抛物线的简单几何性质(一)
（三）、例题讲解：
课本例4P61：斜率为1的直线l 经过抛物线 y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点， 求线段AB的长。
课本例题推广： 直线l 经过抛物线y2=2px的焦点, 且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB的长|AB|=x1+x2+P.
（三）、例题讲解：
练习2：若直线l 经过抛物线y2=4x的 焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线 段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的 长.
图 形
y
l
O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈ R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0 ) x 2 x（p>0） 2
p x2 = 2py p F (0, ) y 2 2 x （p>0）
1、范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。
x0
2、对称性
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
4
y2=x 1 2 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; y = x
3 2 1
2
-2
2
4
6
8
10
-1
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
抛物线的简单几何性质
（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点旳 线段叫做抛物线旳焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
课堂练习：
1、已知抛物线旳顶点在原点，对称 轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是 16 .
2、一种正三角形旳三个顶点，都在抛
（三）、例题讲解：
课本例4P61：斜率为1旳直线l 经过抛 物线y2=4x旳焦点,且与抛物线相交于A， B两点，求线段AB旳长。
课本例题推广： 直线l 经过抛物线y2=2px旳焦点,
且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB旳长|AB|=x1+x2+P.
（三）、例题讲解：
练习3：已知过抛物线y2=9x旳焦点旳
p) 2
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线有关x轴对称，它旳顶点 在坐标原点，而且经过点M（２，2 2 ），求 它旳原则方程，并用描点法画出图形。
解： 因为抛物线有关x轴对称，它旳顶点在坐
抛物线y2 =2px（p>0）旳开
口方向向右。
y 2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y 2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
y
P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
特点：
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它能够无
《2.3.2 抛物线的简单几何性质》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线和简单几何性质》教案一､教学目标(一)知识教学点使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析､归纳､推理等能力.(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解,这样才能解决抛物线中的弦､最值等问题.二､教材分析1.重点:抛物线的几何性质及初步运用.(解决办法:引导学生类比椭圆､双曲线的几何性质得出.)2.难点:抛物线的几何性质的应用.(解决办法:通过几个典型例题的讲解,使学生掌握几何性质的应用.)3.疑点:抛物线的焦半径和焦点弦长公式.(解决办法:引导学生证明并加以记忆.)三､活动设计提问､填表､讲解､演板､口答.教学过程【情境设置】由一名学生回答,教师板书.问题抛物线的标准方程是怎样的?答为:抛物线的标准方程是 .与椭圆､双曲线一样,通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质.下面我们根据抛物线的标准方程:来研究它的几何性质.【探索研究】1.抛物线的几何性质(1)范围因为,由方程可知,所以抛物线在轴的右侧,当的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(2)对称性以代,方程不变,所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当时,因此抛物线的顶点就是坐标原点.(4)离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,由抛物线的定义可知其他三种标准方程抛物线的几何性质可类似地求得,教师用小黑板给出来表让学生填写.再向学生提出问题:与椭圆､双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有什么特点?学生和教师共同小结:(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点､一个焦点､一条准线;(4)抛物线的离心率是确定的,为1.【例题分析】例1已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它的标准方程,并用描点法画出图形.求标准方程,请一名学生演板,教师予以纠正.画图可由教师讲解,步骤如下:由求出的标准方程 ,变形为 ,根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标,得0 1 2 3 4 ……0 1 2.8 3.5 4 ……描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分(如图 ).然后说明利用抛物线的通性,能够方便地画出反映抛物线基本特征的草图.例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为 ,灯深 ,求抛物线的标准方程和焦点位置.解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,轴垂直于灯口直径.抛物线的标准方程为 ,由已知条件可得点的坐标是(40,30)且在抛物线上,代入方程得:,所以所求抛物线的标准方程为 ,焦点坐标是 .(三)随堂练习1.求适合下列条件的抛物线方程①顶点在原点,关于轴对称,并且经过点②顶点在原点,焦点是 [来源:学｡科｡网]③顶点在原点,准线是④焦点是 ,准线是2.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 m,跨度是m,求拱形的抛物线方程答案:1.①②③④2. (要选建立坐标系)(四)总结提炼抛物线的性质和椭圆､双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点､一个顶点､一条对称轴､一条准线;它没有中心,也没有渐近线.(五)布置作业1.顶点在原点､焦点在轴上,且过点的抛物线方程是( )A. B. C. D.2.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8,则焦点到准线的距离为( )A.1B.2C.4D.63.若垂直于轴的直线交抛物线于点 ,且 ,则直线的方程为__________.4.抛物线形拱桥,当水面宽时,水面离拱顶为 ,若水下降 ,则此时水面宽为___________.5.抛物线的顶点是双曲线的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线方程.6.若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6,求的横坐标及抛物线方程.答案:1.B 2.C 3. 4. 5. 6.9,(六)板书设计教案点评:本节课首先设置情境,让学生利用类比的思想,探索､归纳､总结出与椭圆､双曲线类似的性质,并与椭圆､双曲线的性质比较,便于学生掌握这三种曲线的性质｡通过两道例题和练习进一步让学生掌握性质的运用｡。
2.3.2抛物线的简单几何性质课件人教新课标1
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
原创3：2.3.2 抛物线的简单几何性质
∴－1＜k＜13，因此－1＜k＜31且 k≠0.
综上可知，斜率 k 的取值范围为k－1＜k＜பைடு நூலகம்3且k≠0
.
题目类型三、抛物线的焦点弦问题
例 3、 已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过 焦点且倾斜角为π4的直线 l 被抛物线所截得的弦长为 6，求抛 物线方程．
【思路探究】 (1)焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设？ (2)过焦点且倾斜角为π4的直线方程怎么求？它被抛物线 截得的弦长问题能联系抛物线的定义吗？
3．过抛物线焦点的弦长 设过抛物线焦点的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p＞0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p＞0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p＞0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p＞0) |AB|＝p－(y1＋y2)
【变式训练】 本例中，若把直线的倾斜角改为 135°，被抛物线截得的 弦长改为 8，其他条件不变，试求抛物线的方程． 【解】 如图，依题意当抛物线方程设为 y2＝2px(p＞0) 时，
抛物线的准线为 l，则直线方程为 y＝－x＋12p.
设直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋p2
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
图形
范围 x≥0，y∈R 性 对称轴 x轴 质 顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 y轴
知识点二、直线与抛物线的位置关系
【问题导思】 1．直线与抛物线有哪几种位置关系？ 【提示】 三种：相离、相切、相交． 2．若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相 切吗？ 【提示】 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的 直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
2.3.2抛物线的简单几何性质
x
3、
顶点
y
定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线
的顶点。
2 = 2px (p>0)中， y
o
F(
p ,0 ) 2
x
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线 的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点2，求点P到点(0,2) 的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值。
已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F， 点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3,1)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值 时 P 点的坐标．
4.练习册P42基础9
例5.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截 直线y 2 x 4所得的弦长 AB 3 5，求此抛物 线的方程。
（练习册P41变式2）
例6.已知抛物线y 4 x, 过其焦点F的弦长为36 ,
2
求其弦所在的直线方程 .
（练习册P38变式2）
思考:若是小题呢?
类型五：中点弦问题
例7.已知抛物线y 2 px( p 0), 过其焦点且斜率为 1
当
a 0 ，一个公共点（相交：与对称轴平行的直线）
0 ，则
当a
0 ，无公共点 （相离）
例 4.过 P（0，1）且与抛物线 y ＝2x 只有一个公共点 的直线有几条?
2
变式：P改为（1，1），（2，2）呢？
归纳:
点在抛物线外,则过该点与抛物线只有一个交点的 直线有3条; 点在抛物线上,则过该点与抛物线只有一个交点的 直线有2条; 点在抛物线内,则过该点与抛物线只有一个交点的 直线有1条;
2.3.2抛物线的简单几何性质1
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
y 定义：抛物线与它
的轴的交点叫做抛物线
的顶点。
o
x
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、 离心率
y
抛物线上的点与焦
点的距离和它到准线的
距离之比，叫做抛物线
x
的离心率。
由定义知， 抛物线y2 = 2px
(p>0)的离心率为e=1.
5、 通径
过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径，
通径的长度|AB|= 2p
利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.
2p越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
越大. 6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就
变成了平行光束.
作 业： 课本 P64：A组 3
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。
抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 计算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
l
具体步骤由同学们给出.
A
AB 8
B
【变迁式移训体练验】2 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线
于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋x2＝6，那么|AB| 等于( A )
2.3.2抛物线的简单几何性质综合
y
x F
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
例 4：已知直线 l：y＝kx＋1 和抛物线 C：y2 ＝4x，试判断当 k 为何值时，l 与 C 有： 1 一个公共点；②两个不同公共点； ③没有公共点.
p x 2
p x 2
y
F
l
O
x
p ( ,0) 2
p (0， ) 2
y
F
O
l
x
p y 2
p y 2
ylO Fxp x2=-2py (0， ) (p>0) 2
二、探索新知 如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
y
1、
范围
由抛物线y2 =2px（p>0） 有 2 px y 0
x
3、
顶点
y
定义：抛物线与 它的轴的交点叫做抛 物线的顶点。
o
y2
= 2px (p>0)中，
p F ( , 0) 2
x
令y=0,则x=0. 即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。
4、
离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与 焦点的距离和它到准 线的距离之比，叫做 抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率为e=1.
2
A`
O
A
解这题,你有什么方法呢?
高中数学1-1 2.3.2 抛物线的简单几何性质 素材
抛物线的简单几何性质—----————学习要点一、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 二、抛物线的图像与性质图形标准方程y 2=2px （p ＞0）y 2=－2px （p ＞0）x 2=2py(p ＞0）x 2=－2py （p ＞0）顶点 O （0,0）范围 x≥0，y R ∈x≤0，y R ∈y≥0，x R ∈y≤0，x R ∈对称轴x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离e=1三、直线与抛物线的位置关系将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0)联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ。
2220ky py pm -+=若0k =,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠ ①Δ＞0⇔直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0⇔直线和抛物线相切,有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． 四、直线与抛物线的相交弦 设直线y kx m=+交抛物线22221x y a b -=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP 12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠这里12||,x x-12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x-12||y y -要点1：抛物线的简单性质．1．点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2,则a 的值为（ ）A ．14B ．112- C ．14或112- D ．14-或112【答案】C 【解析】试题分析：抛物线2y ax =化为：21xy a=，它的准线方程为：14y a=-，点(1,1)M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，可得1|1|24a +=，解得11412a =-或．故选：C ． 总结:1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 要点2：直线与抛物线的位置关系． 2．已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B两点，F 为C 的焦点．若FB FA 2=，则 k= （ ）A ．31 B ．32C ．32D ．322【答案】D总结:已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。
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第二章 圆锥曲线与方程
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第1课时 抛物线的简单几何性质
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1.太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳 能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋 转一周形成的曲面．
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第二章 圆锥曲线与方程
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1．从几何性质上看，抛物线与双曲线有何区别和联系？ (1)抛物线的几何性质和双曲线几何性质比较起来，差别较 大，它的离心率为1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、 一条准线．它没有对称中心．
(2)抛物线与双曲线的一支，尽管它们都是不封闭的有开口 的光滑曲线，但是它们的图象性质是完全不同的．事实上，从 开口的变化规律来看，双曲线的开口是越来越阔，而抛物线开 口越来越趋于扁平．
答案： x＝±5
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第二章 圆锥曲线与方程
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已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜 角为π4的直线，被抛物线所截得的弦长为 6，求抛物线方程．
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第二章 圆锥曲线与方程
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[规范作答] 当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，可设抛物线标准 方程是 y2＝2px(p>0)，
则焦点 Fp2，0，直线 l 为 y＝x－p2.2 分 设直线 l 与抛物线的交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，过 A、B 分别向抛 物线的准线作垂线 AA1、BB1，垂足分别为 A1、B1. 则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1| ＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p＝6； ∴x1＋x2＝6－p.①4 分
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第二章 圆锥曲线与方程
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(4)若直线 AB 的倾斜角为 α，则|AB|＝si2np2α；如当 α＝90°时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；
(5)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1·x2＝p42，y1·y2 ＝－p2.
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练考题、验能力、轻巧夺冠
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由y＝x－p2 y2＝2px
消去 y，得x－p22＝2px，
即 x2－3px＋p42＝0.8 分
∴x1＋x2＝3p，代入①式得：3p＝6－p，∴p＝32.10 分
∴所求抛物线标准方程是 y2＝3x.当抛物线焦点在 x 轴负半轴上
时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：y2＝－3x.12 分
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第二章 圆锥曲线与方程
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1．若双曲线x32－1p62y2＝1 的左焦点在抛物线 y2＝2px(p>0)的准线
上，则 p 的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．4 2
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3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是 ________．
解析： 设抛物线的方程为 y2＝2ax，则 Fa2，0. ∴|y|＝ 2a×a2＝ a2＝|a|. 由于通径长为 6，即 2|a|＝6，∴a＝±3. ∴适合题意的抛物线方程为 y2＝±6x.
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标准方程 焦半径|PF|
y2＝ 2px(p>0)
|PF|＝ x0＋p2
y2＝－ 2px(p>0)
|PF|＝ p2－x0
x2＝ 2py(p>0)
|PF|＝ y0＋p2
x2＝－ 2py(p>0)
|PF|＝ p2－y0
|AB|＝
|AB|＝
|AB|＝
|AB|＝
焦点弦|AB| x1＋x2＋p p－x1－x2 y1＋y2＋p p－y1－y2
答案： y2＝±6x
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第二章 圆锥曲线与方程
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4．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线 方程．
解析： 抛物线 y2＝mx 的准线方程为 x＝－m4 ， 则－m4 －1＝3，∴m＝8 或 m＝－16. 故所求抛物线方程为 y2＝－16x 或 y2＝8x.
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第二章 圆锥曲线与方程
性 范围
y≤0，x∈R
∈R
∈R
∈R
质
对称轴
x轴
y轴
顶点
原点(0,0)
离心率
e＝1
开口方向 向右 向左 向上
向下
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2.焦半径与焦点弦
抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的 直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，设抛物线上任意一点P(x0， y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点 弦，焦半径公式为
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析： 抛物线方程化为标准式为 x2＝－14y， ∴p＝18，焦点在 y 轴负半轴上， ∴焦点 F0，－116，故选 C.
答案： C
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2.抛物线的焦点与双曲线1x62 －y92＝1 的焦点重合，则抛物线的准线 方程是________．
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3. 过 抛 物 线 y2 ＝ 4x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 点 A(x1 ， y1) ， B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离．
解析： 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1. 由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p， 即 x1＋x2＋2＝7，得 x1＋x2＝5，于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 52，因此点 M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.
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已知抛物线的方程：y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和 准线方程．
[策略点睛]
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第二章 圆锥曲线与方程坐标是( )
A．(0，－1)
B．(0,1)
C.0，－116
D.0，116
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
图象
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第二章 圆锥曲线与方程
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类型
y2＝
y2＝－
x2＝
x2＝－
2px(p>0) 2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
焦点
p2，0 －p2，0 0，p2
0，－p2
准线
x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2
x≥0，y x≤0，y y≥0，x
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2．如何认识抛物线的焦点弦？ 如图，AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l
(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切； (2)|AB|＝2x0＋p2(焦点弦长与中点关系)； (3)|AB|＝x1＋x2＋p；
它的原理是什么呢？
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第二章 圆锥曲线与方程
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2．从形状上看，抛物线有点像双曲线的一支，抛物线的性 质与双曲线有关吗？画出抛物线，从抛物线的范围、顶点、对 称性、离心率等方面与双曲线进行比较，你认为抛物线有哪些 几何性质？
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1．抛物线的几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 类型
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解析： 在双曲线1x62 －y92＝1 中，a2＝16，b2＝9， ∴c＝ a2＋b2＝ 16＋9＝5， ∴焦点坐标是 F1(－5,0)，F2(5,0)．
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当抛物线焦点是 F1(－5,0)时，p2＝5，准线方程是 x＝5； 当抛物线焦点是 F2(5,0)时，p2＝5，准线方程是 x＝－5， 所以应填 x＝－5 或 x＝5.