3.1随机变量的联合分布
概率论与数理统计3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
2.表格形式下二维离散型随机变量的分布律的表示:
3.联合分布律的性质
二、典型例题
例1袋中有2只白球，3只黑球，现摸球两次，定义
，
求(1)有放回取球下(X,Y)的分布律。
(2)不放回取球下(X,Y)的分布律。
(3)不放回下
解：(1)
(2)
(3)
注：
补充说明
二维一定要在一维的基础上展开，讲解二维离散型随机变量分布律的定义与求法时，一定要与一维对比讲解。这样就有很好的过渡过程，不仅可以加深学生对概念的理解，还有助于复习前面的知识。
例1应细致讲解，通过例题可让学生回忆概率求解的方法，更能让学生掌握求二维随机变量联合分布律的方法。
授课对象
机械设计制造及自动化、材料科学与工程专业等
教学目标
掌握二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，并能熟练运用到实际问题中。
教学方式
启发式
教学内容
二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法。
教学重点
二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法
教学难点
实际问题中求解联合分布律
教学方法和策略
采用多媒体课件辅助，对比一ห้องสมุดไป่ตู้离散型随机变量分布律的求法深入讲解二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法，举例说明其用法；注意师生互动，以学生为教学主体，共同完成教学目标。
教学重点二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法教学难点实际问题中求解联合分布律教学方法和策略采用多媒体课件辅助对比一维离散型随机变量分布律的求法深入讲解二维离散型随机变量定义及其联合分布律的求法举例说明其用法
讲稿
课程名称
《概率论与数理统计》
3-1 离散型随机变量联合分布列和边际分布列
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
4
2
25
5
2
5
例6 设盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一球，连续 求两次，记X、Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数， 分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出(X,Y)的分布律 与边缘分布律。 解：(X,Y)的取值有如下四种情况：(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
（2）不放回摸球情况
1
8 4 4 4 2 4 1 4 4
27 9 9 9 9 9 27 9 9
2
8 2 4 2 2 2 1 2 2 27 9 9 9 9 9 27 9 9
3
8 1 27 27
4 1 27 27
1 27
pi•
8 27
4
2
1
9 9 27
1
(1) 与(2) 有相同的边缘分布, 但它们 的联合分布却不同.
L
y2
Px1, y2 Px2, y2
L
Pxm, y2
L
L
yn
L
L Px1,yn L
L Px2,yn L
LL
L
L Pxm,yn L
LL
L
2.3.联合分布的性质
1pij Pxi,yj 0;
2 P ij P xi,yj1
概率论与数理统计3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
pk
xi
pi1 pi2 ... pij ...
分布律的性质 (1)非负性：pk 0 , k 1, 2, ;
(2)规范性： pk 1. k 1
3.联合分布律的性质
(1) 非负性: pij 0，i, j 1, 2, ;
(2) 规范性: pij 1 i1 j1
二维离散型随机变量(X,Y)
如果二维随机变量（X,Y） 全部可能取值是有限对或 可列个无限对，则称（X,Y） 为二维离散型随机变量。
随机变量(X,Y)的联合分布率
设二维离散型随机变量( X ,Y ) 所有可能取值为( xi , y j ),则称 P{ X xi ,Y y j } pij (i, j 1, 2, ...,) 为( X ,Y )的联合分布律.
解：(2) (X ,Y ) {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}
P{X 0,Y 0} 3 2 0.3
54
Y X
0
1
P{X 0} P{Y 0 | X 0} 3 2 0.3 0
P{X 0,Y 1} 3 2 0.3 5 4
Y
1 0
第二次摸到白球 第二次摸到黑球
(3)不放回下P{X Y}. P{X Y}、 P{X Y}.
解：(3) (X ,Y ) {(0,0),(1,0),(1,1)}
P{X Y} p{(X 0,Y 0) (X 1,Y 0) (X 1,Y 1)}
§3.1.2 二维离散型随机变量及其联合分布律
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律 二、典型例题
一、二维离散型随机变量的定义及联合分布律
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
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例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
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二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
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一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
第3章 第三章随机向量
3 x, 0 x 1, x y x, p ( x, y ) 2 0, 其他 .
问X, Y是否独立？ 解
x 3 2 x x d y 3 x , 0 x 1, p X ( x ) p ( x, y ) d y 2 0, 其他 .
例3 设 (X, Y) 的联合分布列如下, 问X, Y是否独立？
X Y
0 1 2
1 2 20 2 20 4 20
0 1 20 1 20 2 20
2 2 20 2 20 4 20
解
X p
易得X和Y的边缘分布律分别为：
0 1 4 1 1 4 2 2 4 Y p 1 2 5 0 1 5 2 2 5
3.4 条件分布与随机变量的独立性
e
dt
1 e 2
( x ).
pY ( y )
1 e 2
y2 2
( y ).
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3.3 连续型随机向量及分布
本章
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3.4 条件分布与随机变量的独立性
1.离散型条件分布
2.连续型条件分布
3.随机变量的独立性
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3.4 条件分布与随机变量的独立性
( xi , yi )(i, j 1,2,), 且 P( X xi ,Y y j ) pij ,
则我们把它称为(X,Y)的联合分布列.
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3.2 离散型随机向量及分布
联合分布列:
X
Y
x1 xi
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法
随机变量的独立性及联合分布的定义及计算方法随机变量是统计学中一个重要的概念，指的是随机试验中可能取到的数值。
对于多个随机变量之间的关系，独立性和联合分布是常用的概念和方法。
本文将依次介绍随机变量独立性的定义和判定方法、随机变量的联合分布的定义和常见计算方法。
一、随机变量的独立性随机变量的独立性是指在给定条件下，多个随机变量之间不存在相关性，即一个随机变量的取值不会对其他随机变量的取值产生影响。
常用的判定方法包括：1. 互不影响如果两个随机变量之间互不影响，则这两个变量是独立的。
例如，投掷两个骰子，其中一个骰子的点数不会影响另一个骰子的点数，因此两个骰子的点数是独立的随机变量。
2. 相互独立如果多个随机变量之间的任意两个变量都是独立的，则这些随机变量是相互独立的。
例如，投掷三个骰子，每个骰子的点数都是独立的随机变量，因此三个骰子的点数是相互独立的随机变量。
3. 独立性定义下的概率乘法公式对于两个独立的随机变量X和Y，它们同时取到某个值的概率等于它们各自取到这个值的概率的乘积。
即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)。
该公式也适用于多个独立的随机变量。
二、随机变量的联合分布多个随机变量的联合分布是指这些随机变量取值组合所对应的概率分布函数。
常用的计算方法包括：1. 联合分布函数对于两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数定义为F(x,y)=P(X<=x,Y<=y)。
该函数可以用来计算任意两个随机变量的联合分布。
对于多个随机变量，联合分布函数的定义相应地拓展。
2. 联合概率密度函数对于连续型随机变量，它们的联合概率密度函数可以通过对应的联合分布函数求导得到。
即f(x,y)=∂^2 F(x,y)/∂x∂y。
该函数可以用来计算任意两个连续型随机变量的联合分布。
对于多个连续型随机变量，联合概率密度函数的定义相应地拓展。
3. 边缘分布和条件分布对于联合分布中的任意一个随机变量，我们都可以将它的概率分布函数单独计算出来，称为边缘分布。
[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布
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d c (c , d )的长度 P {c X d } b a (a , b )的长度
借助于几何度量指标(长度, 面积, 体积等)
计算概率, 可建立 “几何概型” .
例3.1.6 例3.1.7
电子科技大学
联合分布
五.二维正态分布 定义 二维随机变量( X ,Y )的联合概率密 度为
1 e 2 x x 0 FX (x ) 其他 0
1 e FY ( y ) 0
3 y
y0 其他
电子科技大学
联合分布
联合分布函数的性质
1.单调不减性 F(x, y)分别对x , y单调不减.
当x1 x2 , F ( x1 , y ) F ( x2 , y ), y R；
(X , Y )的联合概率密度.
电子科技大学
联合分布
密度性质 1) f ( x , y ) 0;
这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准
2) f ( x , y )dxdy 1.
3) 若f ( x , y )在( x , y )处连续, 则 F ( x, y) f ( x, y) xy 4) 若G R 2 , 有
电子科技大学
联合分布
三.联合概率密度
定义 二维随机变量( X , Y )的联合分布函
数为F(x , y)，如果存在非负的函数f (x , y)使
得对任意实数对(x , y)，有
F ( x, y )
y
x
f (u, v )dudv
称(X ,Y )是连续型随机变量，称f (x , y ) 为
联合分布函数为
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
§3.1 二维随机变量的联合分布
D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数 常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ， ， ，
课堂练习: 课堂练习 盒子里装有3只黑球 只黑球， 只红球 只红球， 只白球 在其中任取4 只白球， 盒子里装有 只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 只球， 表示取到黑球的只数， 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只 表示取到黑球的只数 表示取到红球的只 数，求X,Y的联合分布列 的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量 是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量 而p(x,y)称为 称为 (X,Y)的(概率 密度函数 概率)密度函数 , 的 概率 p(x,y)的性质： 的性质： 的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义： 几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面 分布区面 介于分布区面和 在几何上表示一个曲面(分布区面 在几何上表示一个曲面 分布区面), xoy平面之间空间的体积为 平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为
随机变量的联合概率分布
如果对于随机变量$X$和$Y$，$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$，则称$X$和$Y$是独立的。
解释
如果两个随机变量相互独立，那么一个随机变量的取值 不会影响到另一个随机变量的取值。
独立性的判定
判定方法一
根据定义，如果$P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$，则$X$和$Y$独 立。
判定方法二
如果$X$和$Y$的联合概率分布与各自的概率分布相同，则$X$和 $Y$独立。
判定方法三
如果对于任意实数$x$和$y$，都有$P(X leq x, Y leq y) = P(X leq x)P(Y leq y)$，则$X$和$Y$独立。
独立性的性质
性质一
如果$X$和$Y$独立，那么对于任意常数$a$和$b$，有 $P(aX+bY=c) = P(aX=c-bY)P(bY=c)$。
概率的乘法规则是联合概率分布的核心之一，它表明两个事 件同时发生的概率等于它们各自概率的乘积。全概率公式则 是将一个复杂事件的概率表示为若干个互斥事件的概率之和， 其公式为$P(X) = sum_{i} P(E_i)P(X|E_i)$，其中$E_i$是互 斥事件。
05
随机变量的独立性
独立性的定义
简单的表格或图形表示，而需要使用概率密度函数进行描述。
03
联合概率分布的应用
在统计推断中的应用
参数估计
利用联合概率分布，我们可以估计未 知参数的值。例如，在回归分析中， 我们可以通过最大似然估计法来估计 回归参数。
假设检验
联合概率分布可以用于构建和检验统 计假设。例如，在方差分析中，我们 可以通过比较不同组别的方差来检验 假设。
对于连续型随机变量，边缘概率分布可以通过对联合概率分布进行积分得 到。
联合分布概率公式
联合分布概率公式联合分布概率公式是概率论中重要的概念之一，用于描述多个随机变量的联合分布。
在概率论和统计学中，联合分布是指多个随机变量同时取某些特定取值的概率分布。
通过联合分布概率公式，我们可以计算出多个随机变量同时取各个取值的概率。
在联合分布概率公式中，我们一般使用大写字母表示随机变量，例如X和Y。
假设X和Y是两个随机变量，它们的联合分布可以用联合概率分布函数F(x, y)来描述。
联合概率分布函数F(x, y)表示X小于等于x且Y小于等于y的概率。
联合分布概率公式的形式可以分为离散型和连续型两种情况。
在离散型情况下，联合分布概率公式可以表示为：P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y|X=x)其中P(X=x, Y=y)表示X=x且Y=y的概率，P(X=x)表示X=x的概率，P(Y=y|X=x)表示在X=x的条件下Y=y的概率。
在连续型情况下，联合分布概率公式可以表示为：f(x, y) = dF(x, y)/dxdy其中f(x, y)表示X=x且Y=y的概率密度函数，dF(x, y)表示X小于等于x且Y小于等于y的累积概率密度函数关于x和y的偏导数，dxdy表示对x和y的微元积分。
通过联合分布概率公式，我们可以计算出多个随机变量的联合概率分布。
这对于理解随机变量之间的关系和进行概率推断具有重要意义。
例如，在金融领域中，我们可以使用联合分布概率公式来计算不同证券之间的相关性，从而进行投资组合的优化。
在医学领域中，我们可以使用联合分布概率公式来分析疾病的风险因素和预测患病概率。
除了计算联合概率分布，联合分布概率公式还可以用于计算随机变量的边缘概率分布和条件概率分布。
边缘概率分布是指在多个随机变量的联合分布已知的情况下，计算某个随机变量的概率分布。
条件概率分布是指在某个随机变量的取值已知的情况下，计算其他随机变量的概率分布。
联合分布概率公式是概率论中重要的工具之一，用于描述多个随机变量的联合分布。
随机变量的联合分布
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P48-定义1)
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 :
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数 .
y
x1, y2
x2, y2
x1, y1
x
x2, y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
常见的二维连续型随机变量的分布
（1）均匀分布 若某一质点等可能地落在平面区域 D 上，（X，Y）表示
质点落入点的坐标，则（X，Y）的分布密度为：fx,y NhomakorabeaA
1
D
,
x, y D
0,
x, y D
其中 A D 表示 D 的面积。
这时称（X，Y）在 D 上服从二维均匀分布。 均匀分布对应的是几何概型。
Y 表示射中点的纵坐标。
则样本空间可用随机变量 X 与 Y 联合表示为：
X ,Y X ,Y D
称（X，Y）为 二维随机变量。
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是 {},
设 X X () 和 Y Y () 是定义在 上的随机变量,
由它们构成的一个向量 ( X ,Y ) , 叫作二维随机向量