16.1 二次根式(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
八年级数学下册 16.1.1 二次根式(第1课时)教案 新人教版(2021年整理)
广东省肇庆市高要区金利镇八年级数学下册16.1.1 二次根式（第1课时）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省肇庆市高要区金利镇八年级数学下册16.1.1 二次根式（第1课时）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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二次根式教学内容人教版八年级下册(课题）二次根式的概念教学目标（一）知识与技能：掌握二次根式的概念；能确定被开方式中字母的取值范围；理解二次根式的双重非负性.（二）数学思考：借助实例，应用归纳法，抽象得出二次根式的概念，体会抽象概括的思想；（三）问题解决：应用联系的观念,从算术平方根的数学意义得出二次根式的双重非负性.（四）情感态度:情感、态度与价值观：从实际生活中抽象出二次根式，感受数学模型思想和应用价值，培养应用意识；从算术平方根到二次根式,体会知识之间的联系，感受普遍联系的辩证观念；通过问题解决,树立学好数学、应用数学的信心和意识。
教学重点：从算术平方根抽象概括二次根式的概念及其双重非负性;教学难点：由二次根式的非负性求字母的取值范围.教具准备：教学时数:共2课时教学过程： 第 1 课时一、基本训练 激趣导入：电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h （单位：km ）与电视节目信号的传播半径r(单位：km ）之间存在近似关系Rh r 2=，其中R 是地球半径,km R 6400≈.如果两个电视塔的高分别是1h km 、2h km ，那么它们的传播半径之比是.2221Rh Rh 这个代数式涉及二次根式的有关计算，请回忆前面学习的有理式（整式和分式）是怎么研究相关的化简计算问题的？二、提出目标 指导自学:。
16.1 二次根式(第一课时)教案 2022-2023学年人教版八年级数学下册
16.1 二次根式（第一课时）教案一、教学目标1.了解二次根式的定义和性质；2.掌握二次根式的化简和运算方法；3.能够解决与二次根式相关的实际问题。
二、教学内容1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的化简和运算方法；3.二次根式的实际应用。
三、教学重点1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的化简和运算方法。
四、教学难点1.二次根式在实际问题中的应用；2.二次根式的运算方法。
五、教学准备1.教材：人教版八年级数学下册；2.教具：黑板、彩色粉笔。
六、教学过程1. 导入新知识•老师在黑板上写出一个数学问题：√144 = ? 请同学们先算一算。
•引导学生回忆上一学期学习的知识，解释“根号”和“平方根”的概念。
2. 引出新知识•老师用彩色粉笔在黑板上写下一个式子：√16 = √(4×4) = _______。
请同学们观察并思考一下这个式子的运算规律。
•鼓励学生积极思考，并引导他们结合之前学习的知识，发现√(a×a) = a。
3. 说明二次根式的概念与性质•结合之前的讨论，引出二次根式的概念：如果a为正数且n为正整数，那么a的n次方根叫做二次根式，记作√a。
•介绍二次根式的性质：（1）√a的值是一个非负数；（2）√a×√a = a。
•通过一些具体的例子，进一步说明二次根式的概念和性质。
4. 二次根式的化简和运算•例1：化简√36。
提示同学们先想一想36有哪些因数，并引导他们发现36 = 6×6。
•通过解答例1，引导学生总结化简二次根式的方法：将被开方数分解因式，并找出因式中的平方数。
•例2：化简√75。
提示同学们将75分解因式，并找出因式中的平方数。
•通过解答例2，引导学生总结化简二次根式的一般步骤。
5. 二次根式的运算•例3：计算√5 + √20。
提示同学们将√5和√20分别化简，并进行合并运算。
•引导学生总结二次根式的加法运算规则。
6. 实际应用•结合生活中的实际问题，引导学生发现并解决与二次根式相关的问题。
16.1二次根式第一课时教案
使学生进一步掌握二次根式取值范围的习题.
对第四小题试着讨论.
1、2两小题检查中等及以下学生对基础知识的掌握情况。
3题检查中等以上学生是否对二次根式的取值范围有更深刻的理解。
活动三。总结收获
1。二次根式的定义及被开方数的取值范围；
2。被开方数的取值范围在计算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.
学生总结有何收获和经验教训，教师补充。
有助于培养学生的总结能力,并让学生总结经验教训有助于学生大胆的说出自己的错误避免今后再出现同样的失误.
布置作业：
A类：教材P5-—-习题16.1第一题
B类：
1、当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1) ；(2） ;(3） .
分层作业
课堂检测
1、下列式子中,是二次根式的是（ ）A．—B．C．D．x
活动二接触新知
1.二次根式的定义：一般
的,我们把形如(≥0）的式子叫做二次根式，“ ” 称为二次根号。
2。例题与练习
例1.下列各式是否为二次根式？
（1） ;（2） ;
(3） ;（4） ；
（5） .
解：（1)∵m2≥0， ∴m2+1>0
∴ 是二次根式.
（2）∵2≥0，
∴ 是二次根式；
(3）∵n2≥0，∴—n2≤0,
活动一回顾与思考
1、思考：用带根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为S的正方形的边长为；
（2）要修建一个面积为6.28cm2的圆形喷水池，他的半径为m（∏取3.14）
(3）物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位：s）与开始落时
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题 2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
16.1 二次根式(第一课时)
(5) a
(3) m (m≥0)
2
+1
5
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a +1
2
1 2 1 2a
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
说对二次根式 的认识！ a
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式,但是必须非 负。
3.形式上含有二次根号
4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.下列各式中，是二次根式的有几个?
(1)
32
(2)
(4) (6)
12 xy (x、y异号）
象限.
a
)在
5、当x分别取下列值时，求二次根式
4 2 x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=8
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
S
圆形的下球体在平面图上的面积.
如图所示的值表示正方形的面积， 则正方形的周长是
b. 3
b-3
思考：以上几个式子有哪些共同特点？
s
b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
请你凭着自己已有的知识,说
人教版八年级上册
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这 个数就叫做a的平方根。 a的平方根是 a(a≥0) 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
人教版八年级数学下册16.1二次根式第一课时优质课件.ppt
当 x≥ 2 时， x 2 在
实数范围内有意义.
练一练 当a是怎样的实数时，下列的各 式在实数范围内有意义？
三、研学教材
⑴ a 1 ;
解：由 a-1 ≥0，得a ≥ 1 .
当a ≥ 意义.
1 时， a 1 在实数范围内有
(2) 2a 3
解：由 2a+3 ≥0，得a ≥ -1.5 .
2、二次根式的意义
当x ≥0 时， x 在实数范围内有意义.
我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
二次根式(1)
一、学习目标
1、理解二次根式的概念； 2、理解二次根式中被开方数在实数范
围内有意义的条件.
二、新课引入
1、填空：
一个正数有 2个 平方根，它们 互为相反数 ； 0的平方根是 0 ；负数 没有平方根.
2、下列各式是否有意义，为什么？
⑴ 3
⑶ (3)2
；⑵ ;⑷
3 ；
1 102 .
（1）. 3
二次根式 ③因为-5小于0，所以 5 不是二
次根式
三、研学教材
2、下列式子中，是二次根式的是
（A ）
A．— 7 B.3 7 C． x D．x
3、下列式子中，不是二次根式的是
（D ）
A． 4
B．16 C． 8
D．1
x
三、研学教材4、已知一个正方形的面源自是5，那么它的边长是（ B
A.5 B． 5
）C．15
当a ≥ -1.5 时， 2a 3 在实数范
围内有意义.
⑶
；
a
解：
由 -a ≥0，得a ≤ 0
16-1-1 二次根式的概念(第一课时)(教学课件)-2023-2024八年级
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
《二次根式(第1课时)》教案 人教数学八年级下册
16.1 二次根式第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.2.掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.3.了解最简二次根式的概念,会判断一个二次根式是不是最简二次根式.【过程与方法】经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.【情感态度与价值观】经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会求二次根式中字母的取值范围,理解和掌握二次根式的性质,熟练化简二次根式.【教学难点】运用二次根式的双重非负性解决问题,二次根式性质的综合运用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、平方根、立方根知识等.学生：三角尺、铅笔、立方根、平方根知识.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r=√2Rh，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播.半径之比是√2Rh1√2Rh2教师问：式子√2Rh1表示什么?公式r=√2Rh中的√2Rh表示什么意√2Rh2义？（二）探索新知1.师生共同探究二次根式的定义和有意义的条件（出示课件4-6）用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点:(教师依次出示问题)（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_____．教师问：上边问题的答案是什么呢？学生1答：（1），.学生2答：（2） .学生3答：（3）．教师问：这些式子分别表示什么意义？学生讨论后并回答.的算术平方根．学生1答：分别表示3，S，65，h5教师问：这些式子有什么共同特征？师生总结：①根指数都为2; ②被开方数为非负数.教师问：你能用语言描述一下它们的特征吗？师生共同讨论后解答如下：都表示一个非负数(包括字母或式子表示的非负数)的算术平方根.教师问：根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？师生共同讨论如下：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根. 在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.（出示课件7）定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式. “”称为二次根号.教师强调：（1）a可以是数，也可以是式.（2）两个必备特征：①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0考点1：利用二次根式的定义识别二次根式例：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（出示课件8）（1）；（2）81；（3）；（4）（5） ;（6）；（7） .师生共同分析过程见课件：解答如下：解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.出示课件9，学生自主练习，教师订正。
人教版《16.1二次根式》课件第一课时
已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
《二次根式(第1课时)》优质教案
二次根式（1）【教学目标】1.了解二次根式的意义，掌握二次根式的定义；能根据定义确定被开方数中字母的取值范围.2.理解并掌握二次根式的性质：()20a a =≥()0a a =≥.⒊经历二次根式的定义的形成过程及二次根式性质的探究过程，提高数学探究能力及归纳能力.【教学重点】二次根式的概念和相关性质.【教学难点】运用二次根式的性质：()20a a =≥()0a a =≥进行计算.【教学过程】一、新课引入我们学习了平方根和算术平方根的意义，请同学们思考并回答下面3个问题：的平方根是 ，0的平方根是 ，正实数a 的平方根是 .2. a 需要满足什么条件为什么)0a ≥二、自主探究1.二次根式的概念：⑴我们把.⑵由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.即：被开方数0a ≥.⑶ ))00a a <<是不是二次根式.⑷根据已有的知识，说说你对二次根式的认识.①表示a 的算术平方根.②a 可以是数，也可以是式.③从形式上看，含有二次根号.④0a ≥≥2.二次根式的性质：⑴对于非负实数a a 的一个平方根，因此：()20a a =≥= ，= ，= …结论：当0a ≥=三、应用迁移（一）典例精析例1 当x 在实数范围内有意义例2 计算：⑴2; ⑵(2; ⑷ （二）变式运用.0,=.(三)综合运用已知实数0,0,a b <> 四、归纳小结⑴二次根式的定义：①形如 ②被开方数a= (0)a ≥②2= (0)a ≥五、巩固提升★⒈当x 时，.★★⒉已知2y =，求,x y 的值.★★★⒊在实数范围内，把下列多项式分解因式：⑴213;x-⑵2x-312.六、课后练习A层：教材P159 A组1、2、3B层：学法大视野P75—76课后提升七、教学反思。
16.1 二次根式 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册
(2)－ 272× －722×(－ π)－2.
解：原式＝－27×72×π1＝－π1.
6．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半 径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时， 底面半径r的值． 解：圆柱体的体积V＝πr2h，
∴r＝ πVh.
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小 讨论绝对值内式子的符号.
例题与练习
1.计算
( 3)2 = 3 (3 2 )2 = 32 ( 2 )2=18
( 25 )2 = ( 2 )2 =
2
2.说出下列各式的值
0.32 0.3
( 1)2 1 77
()2
102 =
( 1 )2 1
解：由题意，得
x＋5≥0， x≠0，
解得x≥－5且
x
≠0.
∴当x≥－5且 x ≠0时，
x＋5 x
有意义．
归纳
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
3．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求c的取值范围． 解：依题意，得(b－2)2＋ a－5 ＝0，
∴b＝2，a＝5. 又∵a，b，c为三角形的三边长， ∴3条件下求 字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式求出其解集.
a3 2
a≤5
例2 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) 11；
(2) －5；
新人教版八年级数学下册《16.1二次根式(第1课时)》教案
新人教版八年级数学下册《16.1二次根式（第1课时）》教案一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．问题2：由勾股定理得AB=问题3：由方差的概念得S=. 二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x0）、、、-、、（x≥0，y ≥0）．要练说，得练看。
看与说是统一的，看不准就难以说得好。
练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。
在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、（x0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、．例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于?。
学年八年级数学下册 16.1 二次根式(第1课时)教案 (新版)新人教版
16.1 二次根式（第1课时）教学目标1. 了解二次根式概念，利用a (a ≥0)的意义解答题目．2. 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量的关系．3. 经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力. 教学重点难点 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式的概念. 利用“a (a ≥0)”解决具体问题．一、问题导入1. 面积为3的正方形的边长是多少？面积为S 的正方形的边长是多少？2. 一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽是多少m ？3. 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时离地面的高度h （单位：m ）满足关系h ＝5t 2．如果用含有h 的式子表示t ，那么t 为 ．二、新课教学教师引导学生思考上面的问题，用算术平方根表示结果，可以进行适当的评价，帮助学生实现从数的算术平方根过渡到用含有字母的式子表示算术平方根. 教师：上面的问题的结果分别是3、S 、65、5h （当h 的值分别是10、15、25时，得到的结果分别是2、3、5），很明显，这些都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三、实例探究例1 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、x1、x (x >0）、0、42、2-、yx +1、y x +（x ≥0，y ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有2、x (x >0）、2-、y x +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有33、x 1、42、yx +1． 例2 当x 是怎样的实数时，2-x 在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x -2≥0，2-x 才有意义． 解：由x -2≥0，得x ≥2. 当x ≥2时，2-x 在实数范围内有意义．四、巩固练习： 教材第3页练习1、2．五、应用拓展当x 是多少时，1132+++x x 在实数范围内有意义？ 分析：使1132+++x x 在实数范围有意义，必须同时满足32+x 中的2x ＋3≥0和11+x 中的x +1≠0． 解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩. 可得，当x ≥－23且x ≠－1时，1132+++x x 在实数范围内才有意义．六、归纳小结1．形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七、布置作业： 1. 习题16.1复习巩固1、综合应用5． 2. 同步训练.教学反思：。
人教版八年级数学下册优秀教学案例16.1二次根式(第一课时)
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固二次根式的知识，提高他们的实际应用能力。
2.要求学生在作业中运用所学知识解决实际问题，培养他们的数学素养。
3.教师对学生的作业情况进行评价，及时了解学生的学习情况，为下一步教学提供参考。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例，如：“已知一个正方形的边长为a，求其面积的平方根？”引导学生思考并引入二次根式。
2.提问：“你们听说过平方根吗？它有什么特点？”引发学生对二次根式的初步认识。
3.展示二次根式的几何图形，如圆的半径、立方体的体积等，让学生在直观的情境中理解二次根式的意义。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握二次根式的定义，理解二次根式与有理数、无理数之间的关系。
2.引导学生掌握二次根式的性质，包括：二次根式的非负性、同类二次根式的性质等。
3.教授二次根式的运算方法，包括：加减乘除、乘方等。
4.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力，提高他们的数学应用意识。
（二）过程与方法
2.组织学生进行自我评价，评估自己在小组合作、问题解决等方面的表现。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、思维能力、团队协作等方面的发展。
教学策略的设计旨在通过情境创设、问题导向、小组合作和反思与评价等方式，激发学生的学习兴趣，培养他们的数学素养和综合能力。通过本节课的教学，让学生在掌握二次根式知识的同时，提高他们的思维品质和合作意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的热爱和兴趣，让他们体验到数学学习的乐趣。
2.注重培养学生的自信心和自主学习能力，让他们相信自己有能力掌握二次根式知识。
人教版数学八 年级下册16.1二次根式(第一课时) 教案
[二次根式]教案（第一课时）教学目的：1．使学生了解二次根式的概念2．使学生掌握二次根式的简单性质：a≥0)总是一个非负实数。
②2=a(a≥0)3．培养学生观察能力，抽象概括能力，渗透分类的思想方法。
教学重点：二次根式概念以及二次根式的性质：2=a(a≥0)教学难点：公式2=a(a≥0)教学用具：投影仪和投影胶片教学过程：一、复习提问：观察以下各式分别表示什么？他们在形式上有什么共同特征？在被开方数方面有什么共同特征？二、引入新课：①如果用字母a②引导学生讨论：a可以取哪些实数？③引入课题三、讲解新课1．二次根式概念：⑴板书二次根式定义。
⑵学生讨论：这里为什么规定a≥0？⑶强调二次根式的两个特征（其中a≥0用红粉笔强调）。
⑷结合复习题举例说明。
2．练习（投影出示）选择题（1x≤0)(x>2)中属于二次根式的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④（2）当x=-2时，在实数范围内没有意义的式子是（）是二次根式的关键是a ≥03．例1：x（1）学生讨论解题思路；（2）师生共同完成解题过程并强调书写各式的规范。
4．巩固练习（投影出示）x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴39x - ⑵43x - ⑶124x - 请三位学生上黑板板演，然后学生评讲刚才我们研究了二次根式的概念，下面我们来共同研究二次根式的性质5a ≥0)的非负性（1）判断题：1°当a >0>0（ ），2°当a =0=0（ ）3°对于任何实数a 0（ ）（2a ≥0)≥0（3）学生讨论：前面还学过那些具有非负性的数？6．公式：2a =(a ≥0) （1）实例：因为(±2)2=4，所以±2是4的平方根，其中2是4的算术平方根。
由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=43的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2=5的算术平方根，同样有( )2=你能举出一个类似的例子吗？（2）学生观察归纳：2a =（3）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么a ≥0？（4）公式2a =(a ≥0)7．例2，计算①2 ②2 ③2师生共同完成解题过程，并说明表示3135不同，遇到52的正确写法。
学教评一致性八年级数学教学设计16.1二次根式(1)
情景二是第二个“思考”，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件.
学
情
分
析
为把握学生学习新知的起点，执教这节课之前，对本班学生进行了相关知识点的复习.复习内容：平方根、算术平方根
学生已经会求平方根、算术平方根，但对于相关概念的理解并不透彻，因此在授课前需要进行相关的复习，八年级的学生已经具备了一定的合作交流与探究能力，所以新知识的接受相对容易，教学中注意把学生的已有经验作为认知基础，在学习过程中，把“理解被开方数是非负数的要求”作为重点，采用让学生观察、思考、探究的方法实现学习目标.
学生怎样学
借助教材中的“思考”，掌握二次根式的定义
教
材
分
析
“二次根式的定义与性质”是人教版八年级数学下册第十六章“二次根式”的内容，二次根式是初中数学知识体系与结构中不可或缺的部分.
学生理解、掌握数学概念，一般需要经历“感知、抽象、符号表征、应用”等一系列认知过程，为了达成课标要求，遵循学生学习的认知规律，教材设置了两个问题情境.
学习
目标
借助教材中的情景，能理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题
评估
任务
能判断一个式子是否为二次根式，掌握二次根式的定义
课题
16.1二次根式
日期
3.1
节次
第节
来源
人教版八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式（1）
课型
新授课
授课对象
八年班学生
教师
单位
目
标
确
立
依
(word完整版)16.1 二次根式教案(公开课)
第16章 二次根式 16.1 二次根式（1）【教学目标】1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．【教学重点】从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．【教学过程】一.创设情境 提出问题1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h （单位：km ）与电视节目信号的传播半径 r （单位：km ）之间存在近似关系 ，其中地球半径R ≈6 400 km ．如果两个电视塔的高分别是h 1 km 、h 2 km你能化简这个式子吗？式子表示什么？公式中 中的表示什么意义？2.问题：（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m 2，则它的宽为______m ． （2）中得到的式子有什么意义？（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，则．（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？r =r =表示的数怎样变化？二.合作探究形成知识（1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？分别表示3，S ，65， 的算术平方根这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式．a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．三.初步应用 巩固知识练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．5h例2 当x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？答案：（1） a 为任何实数； （2） a =1．总结：被开方数不小于零． 四.比较辨别 探索性质五.综合应用 深化提高六.课堂小结七.回顾总结反思提升我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？八.作业：教科书第5页第1，3，5，6，7，10题．九.教学反思本节课是二次根式第一节课，内容较简单，学生刚开始接收新知识的状态很好，但是在授课后期，由于时间关系，学生用来思考和板书的时间较少，导致学生落实不好。
(精品)最新八年级下册16.1二次根式第1课时二次根式的概念教案新人教版
16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？ (1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x ；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x＜43时，14－3x有意义； (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义； (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件： (1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 (1)＝0，解关于x 的方程(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x＋4，求y x的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．。
《二次根式(第1课时)》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
16.1 二次根式（第1课时）教学内容本节课主要学习二次根式的概念及其运用教学目标一、知识技能理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围。
二、数学思考理解二次根式被开方数的取值范围的重要性。
三、解决问题培养根据条件处理问题的能力及分类讨论问题。
四、情感态度经历观察比较总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
重难点、关键重点：会求二次根式中，被开方数所含字母的取值范围。
难点：理解二次根式的概念。
关键：利用“a（a ≥0）”解决具体问题教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：复习有关知识，预习本节课内容教学过程情境引入【问题情境】1、面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形的边长为；2、要修建一个面积为6.28 m2的圆形喷水池，它的半径为 m（π取3.14）；3、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为；4、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，则t = 。
【活动方略】学生根据所学知识回答问题。
【设计意图】由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫。
一、探索新知【提出问题】1、所填的结果有什么特点？2、平方根的性质是什么？3、如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？教师提出问题。
学生总结出二次根式的概念。
【设计意图】使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的。
二、范例点击例1当x 是怎样的实数时，2x -在实数范围内有意义？ 例2当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，掌握解答二次根式取值范围的习题，避免一些常见错误。
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16.1 二次根式(第1课时)
一、内容和内容解析
1．内容
二次根式的概念．
2．内容解析
在“有理数”中，学生感受了研究数系扩充(数集的扩大，运算的拓展，运算律的保持)的基本思想．在“实数”中，学生已经了解了平方根、立方根的概念和求法；借助2， 的几何表示，以及用有理数逼近2等方法，学生对实数的概念有了初步体会．这些都为本章的学习打下了基础．二次根式作为一类特殊实数的一般形式，为学生进一步理解实数及其运算提供了载体．同时，二次根式作为一类代数式，研究其性质和运算，既是学习代数式的延续，又为理解代数符号体系及其运算提供了素材．因此，如何使学生在本章的学习中进一步体会代数学的基本思想和基本方法，是本章要考虑的一个核心问题．
本章是在平方根知识的基础上，学习二次根式的概念、性质和运算．
二次根式是表示非负数(包括具体的数和字母表示的数)的算术平方根的一类式子，从平方根的意义出发，得到二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，而且二次根式的值是非负数，这就是二次根式的双重非负性．所以，本节课的教学重点是从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．
二、目标及其解析
1．目标
(1)根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由．
(2)能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．
2．目标解析
目标(1)要求学生能从具体数的算术平方根出发，通过字母表示数，把算术平方根的概念推广到被开方数含有字母的情况，并根据算术平方根的概念得到二次根式的概念．能根据算术平方根的意义得出二次根式的被开方数、值为非负数这两个结论．要通过适当方法提示学生避免混淆这两个非负性．如果从函数的观点看，前者与定义域有关，后者与值域有关．目标(2)要求学生会根据问题情境，利用开平方运算的意义，列出实际问题中的二次根式．
三、教学问题诊断
由于学生有学习整式、分式的概念和性质的经验，其研究的步骤和方法可以迁移到二次根式的学习中，这不仅有利于本节课的学习，同样适用于本章其它内容的学习．算术平方根主要涉及具体数的开平方，而二次根式包含了对含字母的式子进行开平方运算，比具体数的开平方运算更抽象．由于被开方数含有字母，在研究这类式子时，就往往需要考虑二次根式有意义的条件及取值范围，这是本节课的难点．
四、教学过程设计
(一)创设情境，提出问题
引言： 我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算，这种运算离不开运算律．前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算．例如，两个多项式相乘，就是利用分配律把它化归为单项式乘积之和式来运算，而单项式的乘积则是用乘法的交换律、结合律和指数运算法则来计算．本章主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子的加、减、乘、除运算．下面一起思考一个问题．
电视塔越高，从塔顶发身的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广．电视塔高h (单位：km )与电视节目信号的传播半径r (单位：km )之间存在近似关系r ＝Rh 2，其中地球半径R ≈6 400 km ，如果两个电视塔的高分别是h 1 km ，h 2 km ，那么它们的传播半径比是21
22Rh Rh ，你能将这个式子化简吗？
问题1 式子21
22Rh Rh 表示什么？公式r ＝Rh 2中的Rh 2表示什么意义？
师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让他们发现与己学过的整式运算、分式运算一样，式子21
22Rh Rh 也是一种运算，这就需要先认识Rh 2的意义，在此基础上再进一步研
究这类式子的性质及运算．
设计意图：回顾已学过的数和式的运算，从数与式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生了解本章将要学习的主要内容，起到先行组织者的作用．
问题2 请思考下列问题：
(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．
(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130 m 2．则它的宽为________m ．
(3)一个物体从高处自由落下， 落到地面所用的时间t (单位：s )与开始落下的高度h (单位：m )满足关系式：h ＝5t 2，如果用含h 的式子表示t ， 则t ＝________．
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示相关数量，教师进行适当引导和评价．关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象．
追问1：(1)、(2)中得到3，S ，65的依据是什么？它们有什么区别和联系？ 师生活动：由学生回答．依据是算术平方根的定义；区别：3，65分别是数3，65的算术平方根，S 是字母表示的数的算术平方根；联系：都表示非负数的算术平方根．
追问2：(3)中，当h 的值分别为10，15，25时，得到的结果分别是什么？
5h 表示的数怎样变化？
师生活动：学生回答．教师指出：含有字母的算术平方根具有一般性，这是需要研究的新一类式子．
设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例证，同时发展符号意识．通过追问，让学生回顾算术平方根的概念，再次体会字母表示的数可以进行开平方运算，体会字母表示数的一般性和简约性．
(二)抽象概括，形成概念
问题3 上面得到的式子3，S ，65，5
h 有什么共同特征？ 师生活动：教师引导学生得出共同特征，并给出二次根式的定义．
追问1：4， 0，的算术平方根分别是什么？－4有没有算术平方根？
追问2：在二次根式的定义中，为什么要有条件“a ≥0”？
师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”．
设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳得出二次根式的概念．
(三) 辨析概念，应用巩固
1．初步应用
例1 当x 是怎样的实数时，2 － x 在实数范围内有意义？
师生活动：教师可以通过问题“2 － x 表示的意义是什么？被开方数是什么？你能根据二次根式的概念得到答案吗？”引导学生从概念出发思考问题．
例2 当x 是怎样的实数时，2x 在实数范围内有意义？3x 呢？
师生活动：先让学生独立思考，再追问．
设计意图：通过例1、例2，加深对概念的理解．
2．比较辨别，探索性质
问题5 比较a 与0的大小．
师生活动：先让学生独立思考．学生的第一反应可能是a ＞0，部分学生能得出a ≥0这一正确结论．
教师可以引导学生根据概念，或分a ＞0和a ＝0进行讨论而得到结论．
设计意图：强化对二次根式双重非负性的认识．
(四)综合应用，深化提高
1．学生完成教材第3页的练习．
2．当x 是什么实数时，下列各式有意义
(1)x 4 － 3；(2)1
－ x x ；(3)2 x －． 设计意图：辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件．
(五)回顾总结，反思提升
(1)什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？
(2)二次根式与算术平方根有什么联系和区别？
(3)我们以前学过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
设计意图：共同回顾本课学习的概念，再次联系算术平方根理解二次根式的概念，提出二次根式应该研究的问题．
布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，6，7，10题．
六、目标检测设计
1．要使x 2 ＋ 5有意义x 必须满足( )．
A ．x ≥－25
B ．x ≤－25
C ．x 为任何实数
D ．x 为非负数
2．一个用电器的电阻为R ，消耗的电功率为P ，它两端的电压为U ，其关系式为：P ＝R U 2
，则U 可表示成( )．
A ．U ＝P R
B ．U ＝R P
C ．U ＝RP
D ．U ＝±RP 设计意图：用二次根式表示实际问题中的量．
3．使n － 2有意义的正整数n 为________．
设计意图：考查二次根式有意义的条件．
4．求当二次根式24x 的值等于4时x 的值．
设计意图：考查二次根式的概念及其与开平方的关系．
参考答案：
1．A
2．C
3．1，2．
4．解：4x 2＝16，x 2＝4，x ＝±2．。