人教A版文科数学课时试题及解析(62)合情推理与演绎推理

高考数学课时作业(六十二) [第62讲 合情推理与演绎推理][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为：________________________________________________________________________.4． 观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________________．能力提升5．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，a >0且为常数，动点P 满足||P A |－|PB ||＝2a <|AB |，则P 点的轨迹为双曲线B ．由a 1＝1，a n ＝3n ＋1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．三角形ABC 一条边的长度为4，该边上的高为1，那么这个三角形的面积为26．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K62－1)，则第七个三角形数是( )A ．21B ．28C ．32D ．36 7．设函数f (x )＝12x ＋2，类比课本推导等差数列前n 项和公式的推导方法计算f (－4)＋f (－3)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (4)＋f (5)的值为( )A.322B.522C.922D.228．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( ) 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．1089． 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：②________，②式可以用语言叙述为：________________________________________________________________________.11．如图K62－2，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)(3)……试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．13．设f (x )________.14.(10分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．15．(13分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K62－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f(1)＋1f(2)＋1f(3)＋…＋1f(n)<43.图K62－3难点突破16．(12分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K62－4(1)、图(2)、图(3)、图(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)＋1f(2)－1＋1f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．图 4课时作业(六十二)【基础热身】1．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )，f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )，f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )是以4为周期的函数，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x .故f 2009(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.2．A [解析] A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.3．x ＋2y －z －2＝0 [解析] 设B (x ，y ，z )为平面内的任一点，由AB →·n ＝0得(－1)×(x－1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.4．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 [解析] 因为1＝1第一个式子左边1个数，右边1；2＋3＋4＝9第二个式子左边3个数，从2开始加，加3个连续整数，右边3的平方；3＋4＋5＋6＋7＝25第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个连续整数，右边5的平方；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49第四个式子左边7个数，从4开始加，加7个连续整数，右边7的平方，故第五个式子为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.【能力提升】5．B [解析] 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．B [解析] 观察这一组数的特点：a 1＝1，a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n (n ＋1)2，∴a 7＝28. 7．B [解析] ∵f (x )＝12x ＋2， ∴f (－x )＝12－x ＋2＝2x1＋2·2x， f (x ＋1)＝12x ＋1＋2＝12(1＋2·2x )， 则f (－x )＋f (x ＋1)＝2x 1＋2·2x ＋12(1＋2·2x )＝1＋2·2x 2(1＋2·2x )＝22， ∴f (－4)＋f (5)＝f (－3)＋f (4)＝f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝22， ∴原式的值为22×5＝522.故选B. 8．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j＝107.9．C [解析] 因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类，则Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”[k ]，可设a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k (n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]；反之，若a －b ∈[0]，可设a ＝5n 1＋k 1，b ＝5n 2＋k 2(n 1，n 2∈Z )，则a －b ＝5(n 1－n 2)＋(k 1－k 2)∈[0]；∴k 1＝k 2，则整数a ，b 属于同一“类”，结论④正确，故选C.10.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 11．3×4n －1 [解析] a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，可知a n ＝3×4n －1.12.T 8T 4 T 12T 8 [解析] 通过类比，若等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力．13．5 [解析] 由条件知x 1＝5，x 2＝f (x 1)＝f (5)＝6，x 3＝f (x 2)＝f (6)＝3，x 4＝f (x 3)＝f (3)＝1，x 5＝f (x 4)＝f (1)＝4，x 6＝f (x 5)＝f (4)＝2，x 7＝f (x 6)＝f (2)＝5＝x 1，可知{x n }是周期为6的周期数列，所以x 2011＝x 1＝5.14．[解答] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°] ＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋ 12⎣⎡⎦⎤sin (30°＋2α)－12 ＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 15．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1)]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f (k )＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f (1)＋1f (2)＋1f (3)＋…＋1f (n )<1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 【难点突破】16．[解答] (1)f (5)＝41.(2)由题图可知f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律，可得f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)， ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝11＋12×22－2×2＋1－1＋12×32－2×3＋1－1＋…＋12n 2－2n ＋1－1＝11＋12×2×(2－1)＋12×3×(3－1)＋…＋12n (n －1)＝11＋12⎣⎡⎦⎤12×1＋13×2＋…＋1n (n －1) ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n.。