专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)讲解

〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a -为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a． 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论． [典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间．II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞a a 和；)(x f 的减区间为)31,1(aa -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞a a 和；)(x f 的减区间为)1,31(aa -．小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。

含参二次不等式解时要先看能否因式分解，若能则是计算简单的问题，需看开口及两根大小，注意结合图象确定相应区间正负． [变式练习3] 求12131)(23+++=x ax x x f 的单调区间． 解：)(x f 的定义域为R ，1)('2++=ax x x f)('x f 是开口向上的二次函数，42-=∆a I) 当220≤≤-⇔≤∆a 时，0)('≥x f 恒成立所以此时)(x f 在R 上单调递增，)(x f 增区间为R ，无减区间．II) 当220>-<⇔>∆a a 或时令212221,24,240)('x x a a x a a x x f <-+-=---==得因此可知（结合)('x f 的图象）)(x f 与)('x f 随x 变化情况如下表2(2)(x f 的减区间为)24,24(22-+----a a a a小结：三次函数的导函数是常见二次函数，当二次函数开口定时对其正负进行讨论的，要根据判别式讨论：无根的或两根相等的导函数只有一种符号，相应原函数是单调的较简单应先讨论；然后再讨论有两不等根的，结合导函数图象列变化表，注意用根的符号21,x x 代替复杂的式，最后结论才写回．个别点处导数为0不影响单调性．只有在某区间内导数恒为0时，相应区间内原函数为常数，一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此种情况．总结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）．确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）．判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单．导数的应用—含参函数的单调性讨论班级 姓名1.已知函数()ln af x x x=-，求()f x 的单调区间. 解：()221+,a x af x x x x+'∞=+=函数的定义域为（0，）， ()'0f x x a ==-令得：()()()()()()000,(0,)000,0(,)a a f fxa a f f fx a '-≤≥>∴+∞''-><><∴-+∞若即，则x 在上单调递增；若即，则由x 得x>-a 由x 得x<-a在上单调递增,在0,-a 上单调递减.()()() 0(0,)0(,)a f x a f x a ≥+∞<-+∞总之，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增,在0,-a 上单调递减.2.已知函数f(x)=21x 2－a x+(a －1)ln x ，讨论函数()f x 的单调性,求出其单调区间. 解： ()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x --+--+-=-+==()()11=x x a x---⎡⎤⎣⎦()'1201,1f x x x a ===-令得:(1)100)(';10)('101<<⇔<>⇔>≤≤-x x f x x f a a 时，即若单调递减在单调递增在此时)1,0(,),1()(+∞∴x f (2)时，即若101>>-a a①若11a -=即2a =时，2'(1)()x f x x-=>0, 故()f x 在(0,)+∞单调递增.②若0<11a -<,即12a <<时，由'()0f x <得，11a x -<<；由'()0f x >得，011x a x <<->或故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ③若11a ->,即2a >时，由'()0f x <得，11x a <<-；由'()0f x >得，011x x a <<>-或故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. 综上所述，当1a ≤，()f x 单调增区为 ),1(+∞,减区间是)1,0(;当12a <<时，()f x 的减区间是(1,1)a -，增区间是(0,1),(1,)a -+∞； 当2a =时，()f x 在定义域上递增，单调增区为(0,)+∞ （不存在减区间）; 当2a >时，()f x 的减区间是(1,1)a -，在增区间是(0,1),(1,)a -+∞.3.已知函数32()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 解： 因为32()331,f x ax x x a R =+++∈， 所以/2()3(21)f x ax x =++(1) 当0a =时，/()3(21)f x x =+，当1,2x ≤-时，/()0f x ≤；当1,2x ≥-时，/()0f x ≥； 所以函数()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2-+∞上单调递减； (2) 当0a >时，/2()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ∆=-I) 当136(1)0,a a ≥∆=-≤时，时，/()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增；II) 当0136(1)0,a a <<∆=->时，时，方程/()0f x =的两个根分别为12x x ==且12,x x <所以函数()f x 在1(,a --∞，1()a-+∞上单调递增，在11(a a--上单调递减； (3) 当0a <时，/2()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ∆=->方程/()0f x =的两个根分别为12x x ==且12,x x >所以函数()f x 在1(,)a -+-∞，1()a-+∞上单调递减，在上单调递增。