在教学中培养高中学生的数学逆向思维能力
例谈数学教学中如何培养学生的逆向思维能力
例谈数学教学中如何培养学生的逆向思维能力思维就是人们对客观事物的判断与推理，它是人的理性认识的过程，根据思维过程的指向性，可将思维分为正向思维（常规思维）和逆向思维。
逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和多向性，它是摆脱思维定式，突破旧的思维框架，产生新思维，发现新思维的一种重要方式。
因此，在教学中，教师应该重视学生逆向思维能力的培养。
数学教学的主要任务是讲授数学知识和经验，但更重要的是培养学生的解题方法和思路，以提高他们的数学思维能力。
现行的数学课本中提供了大量的可逆素材，如定理与逆定理、函数与反函数、可逆运算、反证法、可逆变换等等。
许多数学问题都可以通过提出逆问题或从相反方向去考虑，这为我们培养学生的逆向思维创造了条件。
在教学中，我们要求学生不但能进行正向思维，而且还能灵活地运用知识进行逆向思维解决相应问题，从而培养学生思维的灵活性与创造性。
一、通过利用“逆定义”，培养学生的逆向思维能力数学中的很多问题是可以借助定义解决的，但定义的逆用很容易被学生忽视，如果能重视定义的逆用，适当训练学生的逆向思维，就可以使有些问题解答得更加简洁明了。
例1.设f（x）=2x-4x2+2，求f-1（0）。
分析：（一）常规思维：先求出反函数f-1（x），再求f-1（0）的值。
（二）逆向思维：令f（x）=0，解出。
显然，求反函数比较困难。
对比之下，方法（二）使得解题过程更加简洁。
二、通过逆用公式，培养学生的逆向思维能力在学习数学的过程中，书本上有许多公式，学生往往习惯于正向运用公式，对逆向运用公式不太习惯，可有很多问题需要逆用公式才能解决。
例2.在斜三角形abc中，求证：（a2-b2-c2）tana+（a2-b2+c2）tanb=0分析：利用余弦定理得：a2-b2-c2=-（b2+c2-a2）=-2bccosaa2-b2+c2=a2+c2-b2=2accosb代入左边得：左=-2bccosatana+2accosbtanb=-2bcsina+2acsinb=-4s△abc+4s△abc=0，即证。
论数学教学中逆向思维能力的培养
孔令 会
（曲 阜市 小 雪 镇 中 心 中学 ，山 东 曲 阜 ２７３１５０）
摘 要 ：数 学 能 力 的培 养 是 多 方 面 的 ．而 逆 向 思 维 能 力 的 培 养是 数 学 思 维 中的 创 新 能 力 培 养 的 重要 途 径 和 方 式 。 首 先要 认 识 到 逆 向 思 维是 正 向 思 维 的补 充 ．在 教 学 中要 引 导 学 生 时教 学 定 义 、定理 、概 念 的 逆 向 思 考 和 运 用 ：其 次 要 认 识 到 逆 向思 维 是发 散 的 。在 对 学 生进 行 思 维 能 力训 练 时 ，要 注 意 学 生 的发 散 思 维 能 力的 培 养 ．调 动 学 生 的 积 极 思 维 ，增 大 思 维 的 发 散 度 ．扩 大 思 维 空 间 。
我 们 要 善 于 从 错误 的思 路 中摆 脱 出来 ．误 入 歧 途 以后 。要 及 时 发 现 错 误 ，及 时 转 向 。 所 以 ，我 们 要 在 运 用 中 充 实 、深 化 概 念 ， 加 强 练 习 ，开 拓 思 路 。题 做 多 了 ，我 们 便 能 熟 练 地 找 到 问题 的 基 本 特 征 。
１．善 于观 察 。 观察 ，对 于 学 习是 很 重 要 的 。巴 甫 洛夫 说 过 一句 很 有 名 的 话 ：“观察 、观 察 、再 观 察 。”为 了解 决 问 题 ．学 生 必 须 通 过 观 察 识别 问题 的 基本 特 征 ，并 能 够 回忆 起 已学 过 的有 关 信 息 。数 学 思维 灵 活 的人 ，都观 察 得 非 常 细致 、认 真 。虽 然 时 间 很短 ，但 他 们能 够 发 现 与 问题 有 关 的各 种 明显 的或 隐 蔽 的 条 件 ，并迅 速 判断 出其 中 的关 键 条 件 ．使 问 题 很 快 解决 ．即 抓 住 了 此题 的 基 本特 征 ，找 到 了解 题 的关 键 。为 了提 高 观 察能 力 ．我 们 应 注 意 以 下 一些 问题 ：要 观 察 得 仔 细 、精 确 ；要 注 意 观 察 的 系 统 性 与 条理 性 ；要 以 一定 的知 识 作 基 础 ，知 识 越 丰 富 ，观 察 也 越 深 刻 ； 观 察 时 ，要 具 有 敏 锐 性 ；要 养 成 勤 于 观 察 的 习 惯 ：要 善 于 从 被 观 察 的对 象 和 观 察 者 本 身两 个 方 面 进 行 分 析 ．制定 出 观察 的 最 佳 方 案 。 ２．善 于将 问题转 化 ，接 触 各 类 题 型 。并逐 步 熟练 。 为 了 解决 问 题 ，我 们 常 常需 要 把 一 些 简 单 的 规 则组 合 成 复杂 的 、高 级 的规 则 。而 且 ，许 多 问题 可 以 有 一 系列 可 能 的解 决 方 法 。 因此 ，学 生 在 获 得 行 之有 效 的解 决 方 法 的 过 程 中 ．也 形 成 了一 种 新 的 能力 ，即 逆 向思 维 能 力 。学 习 是 累 积性 的 、较 复 杂 、较 高级 的学 习 ，是 建 立 在 基 础 性 学 习 基 础 上 的 ．每 一 类 学 习 都是 以前 一类 学 习 为前 提 的 。 基 础 知识 和基 本 技 能 掌 握 得 越熟 练 ，解 决 问 题就 越 容 易 。 问题 转 化 的方 向是 化 难 为 易 ，化 繁 为 简 ，化 未 知 为 已知 。
高中数学对学生逆向思维的培养
高学生数学解题的能力 。在 高中数学 教学 在高中数学 的教学 中 ，制订一套完整 中， 于逆向思维的方法还有很多 ， 就需 关 这
的教学方法是教师成功 的关键 。逆 向思 维 要教育工作者去发现 、 去探究 ， 相信在 不久 中的反证法和逆推分析法则是培养 学生 逆 的将来 ，高中数学的课堂教学形式会越来
这个 问题 ，把教材 的章节 和内容之间 的思 可 以培养 学生 的思 维能力 ， 激发他们 的学 路理顺 ， 找出矛盾之处 ， 并加 以分析。特别 习兴趣 ， 使学 生 的主观能动性 得到有 效 的
是一些章节 存在学科之 间联 系 的时 候 ， 发 挥 。 教
四、 总结
综上所述 ， 在高中数学教学 中， 教师引 导学生有意地去做与思维方 法完 全相 反的
维方式 ， 起到激发创新能力的作用。在高中 习 中掌 握逆 向应 用 的方 法 ， 给学 生 留下深 题 中 ，教 师引导学生对题 目进行求证和转
数学 教学 中 ，教师对学 生进 行逆 向思维 的 刻 的印象 。下 次 学生 再 遇到 类 似 的问题 换 ， 并把题 目变成与原题相似 的新题 型 ， 让
知识理解不透 ， 往往会 出现生搬硬 套现象。 “ 用一动 滑轮把重 为 １０ ０ Ｎ的物 体提到 ９ 国语 学 校 ｍ
离 审 数
摘
对
生 遂 滴 迢 维 曲 培 暮
王 国福
要： 在高 中数学教 学中， 培养学生逆向思维能够提 高学生学 习数学的能力， 使他们 的智力得到开发 ， 富有创造力。本文就高 中 逆 向思维 培养
性， 扩大他们 的思维空间。通过对学生逆向 和法 则转换来 进行解 题 ， 然而许 多学 生在 是集 中了这种思维方式 ，教 师可 以引导学
高中数学“数列”教学中核心素养培养思考
高中数学“数列”教学中核心素养培养思考高中数学中的“数列”是一个非常重要的概念，它是数学中一种特殊的数的排列方式。
教学中，我们应该注重培养学生的核心素养，使他们能够理解数列的定义和性质，并能够熟练运用数列的概念解决实际问题。
以下是针对高中数学“数列”教学中核心素养培养的一些思考。
首先，我们要培养学生的数学思维能力。
数列是数学中的一个重要概念，它涉及到数的排列和规律性。
在教学中，我们应该引导学生通过观察和思考，找出数列中的规律，并能够用一种简洁的方式表示出来。
通过训练，学生能够培养出发现问题、分析问题和解决问题的数学思维能力。
其次，我们要培养学生的逆向思维能力。
逆向思维是指从结果出发，逆推出问题的解决过程。
在数列的教学中，我们可以通过给出数列的前几项或者后几项，让学生推测数列的通项公式或者递推关系式，从而培养学生的逆向思维能力。
逆向思维能够帮助学生更好地理解数列的生成和演化过程，并能够运用数列的性质解决实际问题。
此外，我们要培养学生的抽象思维能力。
数列中的通项公式是一个抽象的表示方式，它能够描述数列中任意一项与其位置之间的关系。
在教学中，我们应该引导学生理解通项公式的含义，并能够应用通项公式计算数列的各项数值。
通过训练，学生能够培养出抽象思维的能力，从而能够应用数列的概念解决更加复杂和抽象的问题。
最后，我们要培养学生的数学建模能力。
数列在实际问题中有广泛的应用，例如金融、物流等领域。
在教学中，我们应该引导学生将实际问题转化为数列的形式，并能够利用数列的性质解决实际问题。
通过训练，学生能够培养出将数学知识应用于实践的能力，并能够灵活运用数列的概念和方法解决实际问题。
综上所述，高中数学“数列”教学中核心素养的培养应该包括数学思维能力、逆向思维能力、抽象思维能力和数学建模能力的培养。
通过培养这些核心素养，学生能够更好地理解数列的概念和性质，并能够应用数列的概念解决实际问题。
在数学教学中培养学生逆向思维能力的几点思考
个 小 数 的 小 数 点 向右 移 动 一 位 、 位 、 位 … … 一 个 小 数 除 以 两 三 ｌ 、８ 、０ ８ … 只 要 把 这 个 小数 的 小 数 点 向 左 移 动 一 位 、 ０ １０ １８ … 两
（ 数量 关系 的逆 向剖 析训 练 。 二） 现在 学生 解 决 实 际 问题 的 能 力 比较 弱 ，在 练 习 中经 常 会 出
ＬＫ ＴＡＮＤ ｌＥ Ｉ Ｉ
＠ 吉林 教育
在数学教学中培养学生逆向思维能力的几点思考
江苏省 南通 市永 兴小学 曹 境
千 百 年 前 ， 马 光 把 一般 的 思 维“ 离开 水 ” 换 为 逆 向思 司 人 变 维 的“ 离 开人 ”砸 缸 救 出了 落 水 的 同 伴 。可 能 由于 教 学 的 失 水 ， 误 或 是 受 生 活 习惯 的影 响 ， 们 习 惯 于 顺 向思 维 而 形 成 一 种 思 人 维 定 势 ， 生 不 习惯 于逆 向思 维 ， 乏 学 习兴 趣 ， 重 影 响 学 习 学 缺 严 效 果 。因 此加 强逆 向思 维对 学 好 数 学 ， 养 创造 思 维 ， 发 兴 趣 培 激 都 有 重 要 作 用 。在 教 学 中 ， 们 应 该 认 真 挖 掘 ， 针 对 性 的 施 我 有 教 ， 养 学 生 的逆 向思维 。 培 重 视 数 学概 念教 学 中数 学 命题 的逆 向叙述
一
一
积 乘 ２ 。
三 、 持应 用 题 教 学 中的 逆 向思 维பைடு நூலகம்训 练 坚 （ 应 用 题 结 构 训练 ， 养 可 逆 思 维 。 一） 培
加 强“ 叙 型 结 构 ” 逆 叙 型 结 构 ” 组 训 练 ， 助 于 逆 向 顺 和“ 题 有 思 维 发 展 。顺 叙 型 结 构 指 情 节 的 呈 现 上 与 学 生 思 维 习惯 相 统
浅议数学教学中如何培养学生的逆向思维
开方 、 指数和对数等 ， 以我们 在教学 中 所
要 从 基 础 着 手 去 培 养 学 生 的逆 向思 维 ．
更能够培养学生的双向思维．
例 ２ 解不等式 （ ： 一３ （ ） —ｋ ／ 一 ）（
１ ＜０ （ ） ｋ∈ Ｒ）
２ ／ １ 故而所求 概率 Ｐ（ ）＝１—２ ／ １ ４９ ， Ａ ４９
所以原不 等式 的解集为 ｛ Ｉ一１２ ／
＜ ＜ 一 １ ３｝ ／ ．
题的本质理解更 透彻 ， 培养学 生 的创 能
造性思维 ， 是 突破解题 “ 颈 ” 也 瓶 的好 方 法 ． 人 就 数 学 教 学 中 如 何 培 养 学 生 的 本
四 、 “ 难 则 反 ”的解 题 用 正 原理 和反 证 法 证 明来 培养 学 生 的逆 向思 维 能 力
［ ］李福兴 ， 荣华． 学中的逆向思维 １ 盘 数 方法［ ］ ２０ （ ） Ｊ ．０９ ７ ． ［ ］高 中二年级 第一学期数 学配套 练习 ２ ［ ． 京 ： 京 师 范 大 学 出版 Ｍ］ 北 北
社 ．０ ９ ２０．
（ ）当 ｋ＞３ １ 时解集为 ｛ Ｉ ＜ ３＜
例 ３１ ：５名新生中有 ３名优秀生 ， 随 机将 １ ５名新 生平 均分配 到 ３个班 级中 去 ， 甲班至 少分 到一 名优秀 新生 的概 求
率是多少． 分 析 ： 正 面 考 虑 ， 班 可 以分 到 １ 从 甲
逆向思维能力浅谈几点认识．
利 用数 学 中 的数 学 运 算 、 式 、 理 的逆 向应 用 来 公 定
：
６ ／ １ ７９ ．
二、 逆用 定 义来 培养 学 生 的逆 向思 维 能力
在数学定义 的教学 中， 应利 用互 逆
高中数学新课程教学中逆向思维能力的培养
一
思 维习惯 ，激 发学生 的创瓶开拓 精神 ，培 养 趣 ，及提高思 维能力 和整体素 质。 当然 ，在
例 如 ，下 面各 题 如 不 逆 用 相关 公 式 法 良好 的思 维 品性 ，提 高学 习效 果 、学 习兴
培 养思维 的灵活性 。下 面就如何 在高 中数 学 则 ，解答 时势必感到束手无策 。
一
教育课改 的重点就是要 改革妨碍 学生创新精 会解题无 方 ，一筹莫 展 。因此在概念 的教学 著名数学 教育家波 利亚指 出 ：掌握 数学 中，除了让学生 理解 概念本 身及其 常规应用 就意味着善于解题。因此注意指导 、训练学生 神和实践 能力的教育 观 、教学模 式 ，就是 要
在如何培养 学生 的创新 思维能力 ，促进学 生 外 ，还要 善于引导 、启发 学生反过来 思考 ， 新思维 能力 的培养过程 中，既要 重视正 向思 刻 了，解题将会得心应手 。 维能力 的培养 ，又要有 意识地加 强逆 向思 维 ２ 法则 、性质 、公式等运用 的逆向训练 对
解题的思考方法是培养学生思维能力不可替代
析法 、反证法 、逆证法 、反例法 、倒数法 、变
学 习方式 的转变上进行 改革 。实践证 明在 创 从而加 深对概念 的理解 与拓展 。概 念理解深 的一个重要方面 。这种方法ｔ的逆 向训练有分
维法等 。通过这些数学基本方法的训练 ，使学
生认识到 ，当一个 问题用一 种方法解 决不 了
解僵化 ，思 维序列方 向的转化 出现困难 。实 的教学 中 ，通常 只秉 承 了从左 到右 的运 用 ， 只手 和足 那样行动很 不 自如 。新 一轮 国家 很不 习惯 。如果学 生对概念理 解不透彻 ，便
际上数 学知识只学 了一半 ，犹如 一个人 只有 于是形成 了定性思 维 ，对 于逆用公式 法则等 悉所学知识 ，形成技能，培养求异思维。
例说高中数学教学中逆向思维能力的培养
略解： 当ａ 满足｛ （ ａ 一 １ ） ｚ － ４ ａ Ｚ ＜ Ｏ ， 即一 睾＜ ａ ＜ 一 １ 时， 三个
ｌ ４ ａ ２ — ４ （ 一 ２ ａ ） ＜ Ｏ ，
‘
‘பைடு நூலகம்
方程都 无实数解， 故当ａ ≤一 睾或ａ ≥ 一 Ｉ 时， 至少 有一 方程有
实数解。 从 以上数例我们不难发现 ， 逆 向思维 的范畴 比较广 ， 凡
（ ３ ） ｔ ａ ｎ 署＋ ｔ ａ ｎ 署ｔ ａ ｎ 署 ｔ ａ ｎ 署 逆 用 Ｔ ａ ＋ Ｂ
（ ４ ） 竺 匠 ＂ Ｉ Ｔ逆 用Ｔ Ｂ “ ｔ ａ ｎ 吾 。
一
这一组 题富有 灵活性和启发性 ，引导 学生灵活地逆 向 运用所学公式 ， 就会取得令人满意的结果 。例如 ： （ ３ ） ：
最小值为 ５ 、 ／ ２ １。 例 ５ ：若 三 个方 程 ： Ｘ ｚ ＿ ４ ａ ｘ 一 ４ ａ ＋ ３ ＝ ０ ， Ｘ ＋ （ ａ — Ｉ ） ｘ ＋ ａ ＝ ０ ， ｘ ２ ＋ ２ ａ ｘ 一 ２ ａ ＝ Ｏ中 ， 至少有 一个方程有实数解 ， 试求实数 ａ 的取值 范 围， 分析 ： 此题 正面 思考情况 复杂 ， 不 易得 到结果 ． 注意到 “ 三 个方 程 中至少有 一 个方 程有实 数解” 的对立 面是“ 三 个 方程都无实数解” ． 于是从 全体实数 中排除三 个方程都 无实 数 解 时 ａ的范 围 ， 即 为本 题 所 求 。 ｆ 【 ４ ａ ） － ４ （ － ４ ａ ＋ ３ ） ＜ ０ ，
文 理 导 航２ ０ １ ４ ３ ＠
公式 、 定理 的逆用 ， 间接证 明 、 执果索 因 、 正 难则 反 、 先 退后 进等是逆 向思维 的具体运用 。我们在教学 中要 有意识 地对 学生进行多方位 、 多角度的逆 向思维训 练。毫无疑 问 ， 这对 培养学生的思维 能力是 大有帮助 的。 （ 作者单位 ： 贵 州省遵义县第一 中学）
摭谈数学教学中逆向思维能力的培养
摭谈数学教学中逆向思维能力的培养数学教学具有“思维的体操”的特点，在培养创造性思维方面承担着重要任务。
而一个人的思维，按照思维过程的指向性来划分，可以分为正向思想（常规思维）和逆向思维两种形式，它们处于矛盾的两个方面，相辅相成，具有同等重要的地位。
然而在初中新课程数学教材中，利用逆向思维来处理的内容不多，学生习惯于正向思维。
这种定势思维的倾向强化的结果，容易使学生的思维产生惰性，严重阻碍学生创造性思维和创新能力的培养。
因此在数学教学过程中，在注重培养学生的常规思维的同时，也应对学生加强逆向思维的训练。
数学教学中如何培养学生的逆向思维能力呢？可从以下几方面入手。
一、在概念教学中训练学生的逆向思维1.逆用定义作为定义的命题，其题设和结论可以说都是可逆的，在教学中应引导学生去思考。
例1：如果不等式组的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a、b的有序数对（a，b）共有（）。
（2006年全国初中数学竞赛试题）a、17个b、64c、72个d、81个分析：此题是由已知的不等式组的整数解，反过来求整数a、b 的值。
若能引导学生逆用不等式组解的定义，问题就不难解决。
解：由题意可得≤x2，3…，9（共9个）由3分析：此题若机械地套用乘方的意义进行计算，虽非死胡同，但路途十分艰难与遥远。
若引导学生逆用幂的乘方的法则，就能化难为易。
解：因为355=35×11=（35）11=24311，444=44×11=（44）11=25611，533=53×11=（53）11=12511。
故应选c。
3.逆变定理对于定理而言，不一定有逆定理，但在定理教学中，引导学生探讨是否有逆定理及如何逆用定理，是培养学生逆向思维的好素材，应予重视。
例3：已知（如右图），d是△abc的ab边上一点。
且acd=∠b。
求证：ac是△bcd外接圆的切线。
分析：此题的证明并不难，要指出的是尽管教材中没有提及弦切角定理的逆定理，教师还是应设法让学生明白这一点。
数学教学中学生逆向思维能力的培养
１ 式 的 互 逆记 忆 。数 学 公 式 是数 学 问题 的精 华 之一 ， ． 公 学 习数 学 公 式 是 锻 炼 学 生 思 维 能 力 的一 个 好 好 的形 式 之 一 。许 多 的数 学 公 式 之 间 联 系 都 很 紧密 ，很 多 数 学 问 题 是 逆 用 公式 的 问题 ， 要更 好 地 解 决 这类 问题 ， 先 应 该 让 学 生 知 道公 式 的 首 互逆形式 ， 学会 公 式 的互 逆 记忆 。 只 有先 记住 这 些 公 式 ， 有 才 可能 来 解 决 相 关 的 实 际 问题 。 ２逆 用 公式 。这 样 做 往 往 可 以使 问题 简 化 ， 常 性 地 注 意 ． 经 这 方 面 的 训 练 可 以 培 养 学 生 思 维 的 灵 活 性 ． 通 性 ． 学 生养 变 使 成 善 于 逆 向思 维 的 习惯 ， 高 灵 活应 用 知 识 的能 力 。 式 逆用 提 公 是 学 生 常 感 到 困 惑 的 一 个 问 题 ， 是 教 学 中 的一 个 难 点 ． 师 也 教 必 须 强 化 这 方 面 的 训练 。 （ ） 定 理 ， 质 ， 则 的互 逆 悟 规 律 。 三 从 性 法 理 工 科 中有 许 多可 逆 的 定理 、 质 和 法 则 ． 当地 应 用 这 性 恰 些 可 逆 的定 理 、 质 和 法 则 ， 以 达 到 使学 生将 所 学 知识 融会 性 可
一
、
（ ） 正 确 立 学 生在 教 学 中 的主 体 地 位 ， 学 生成 为 主 一 真 使 宰 学 习 的主 人 ． 习活 动 的 主 动参 与者 ． 索 者和 研 究 者 学 探 在 教 师 的 教 学 和 学生 的 学 习 活 动过 程 中 ，教师 只 能是 引 路 人 和 启 蒙 者 ， 有 学 生 真 正 理 解 和 掌 握 了知 识 ， 堂教 学 才 只 课 能 算 真 正 成 功 。 以说 在 整 个 教 学 过 程 中 ， 切 活 动都 应 该 以 所 一 学 生 的 思维 活 动来 展 开 ， 也就 是 说 学生 才 是 课 堂 活动 真 正 的 主人 。 课 堂 教 学 活动 中 ， 师 和学 生 只有 真 正 摆 正 了各 自的 在 教 位 置 ， 学 活 动 才 真 正 有 效 。 在 数 学 教 学 过 程 中 ， 容 易 出现 教 很 教 师 在 讲 ， 生 只 是 跟着 教 师 的 思 维 在 走 的 局 面 ， 样 学 生 的 学 这 思 维 很 难得 到充 分 的 锻 炼 。 师 应该 创设 问题 的情 景 ， 教 引导 学 生 自己 思维 ． 学 生 真正 自己解 决 问 题 。 让
数学教学中培养学生逆向思维能力
浅议数学教学中培养学生逆向思维能力司马光砸缸救人的故事家喻户晓。
在一般人看来,要使掉进缸里的小朋友不被水淹死,就要把他拉出来,使“人离开水”,但缸高、人矮、力气小,怎么办?司马光急中生智砸缸,来了个“水离开人”。
这就是把问题倒过来想,不按照习惯思维的方向进行,而是从问题的反方向进行思维,用和正面思考完全相反的方法解决问题,即逆向思维。
逆向思维是思维的灵活性的一种表现,是一种重要的创造性思维。
在数学教学中,加强对学生逆向思维的培养,不仅可以让学生探测某些问题的解题方向,找到解题捷径,还有助于学生加深概念的理解,掌握知识、培养能力、发展智力,而且将使思维的敏捷性、灵活性和创造性得到有益的发展。
一、逆向思维能力的训练,有利于培养学生良好的思维品质数学教学中进行逆向思维训练,可以帮助学生从正向思维过渡到正、逆双向思维,克服单向思维定势导致解题方法刻板,有利于提高学生思维的敏捷性、灵活性。
1.提高思维的敏捷性思维的敏捷性即思维的速度问题,应用逆向思维解题,能使学生正确迅速地解题,提高解题速度。
例1.求证:x2-(2m-1)x+2m+1=0无整数根。
分析:本题若用求根公式来讨论,运算量大,运用逆向思维,考虑用反证法,则易如反掌。
证明:假设原方程有两个整数根α、β,由韦达定理得:α+β=2m-1(1)αβ=2m+1(2)由于α、β均为整数,由(2)可知α、β必定都是奇数,而两个奇数之和是偶数,这就与(1)矛盾,故α、β不可能为整数,于是命题得证。
2.提高思维的灵活性思维的灵活性是指思维活动的灵活程度,逆向思维的训练能使学生从不同方向理解问题,产生多种联想,从而提供不同的思考方法。
例2.(2007年福建卷)行列式a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33中,三行三列的方阵中有9个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是()分析:本题富有灵活性,若从正面来考虑,困难较大,不如逆向从反面考虑三个数既不同行又不同列的概率为多少。
如何让大脑在逆向中冲浪——浅谈在中学数学教学中培养学生的逆向思维能力
数学是思维的体操 ， 思维是智力的核心。 向思维是数 学的 逆
一
系 ， 深对 定理 的理解和应用 ， 加 重视逆定理的教学应用对开 阔学 生思维视野 ， 活跃思维大有益处。立场 、 不同的角度 、
不同的侧面去进行探索 ， 当某一思路 出现阻碍时 ， 能够迅速地转
素质。在数学教 学中培养学生逆向思维值得说 明的是 ： 首先 ，必须有扎实而丰富的基 础知识 和基本思想方法为前 提， 只有具备 大量 的知识信息 ， 才能从 事物 的不 同方 向、 同联 不 系上去考虑问题。 其次 ， 在教学 中要充分注意类 比、 申、 广、 引 拓 举反 例等多种
二、 重视 公式 逆用 的教 学
公式从左到右及从右到左 ，这样 的转换正是 由正向思维转 到逆向思维 的能力的体 现。因此 ，当讲授完一个公式及其应用 后， 紧接着举一些公式 的逆应用 的例子 ， 可以给学生一个完整 、
丰满的印象 ，开 阔思维空间。在代数 中公式 的逆 向应用 比比皆 是 。如（＋ ） － １ａ ａ ｂ ｆ ｂ：２ ａ ：、吐ｂ ａ ２ｂ ｂ等等 。它们的逆 向应 （ ） ２ ａ＋２ ＋
的逆 向思考 问题 ， 强调其可逆性与相 互性 ， 对培养学生推理证 明
的能力大有裨益 。例如 ：互 为余角” “ 的定义教 学中 ， 可采用 以下
形式 ・ ＋ ＝ ０ ． Ａ、 Ｂ互为余角 （ Ａ ＬＢ ９ ￣ 正向思维 ） ． Ａ 。‘ 、 ‘ ／Ｂ互为余角 ． ＋ ＝ ０（ ＿ ／ ４Ｂ ９ 。逆向思维 ） 当然 ， ＿Ａ 。 在平常的教学
、
在概念 教学 中注意 培 养反方 向 的思考 与训练
数学概念 、 定义总是双 向的， 我们在平 时的教学 中， 只秉承
了从左到右的运用 ， 于是形成 了定性思维 ， 于逆用公式法则等 对
高中数学逆向思维教学教案
高中数学逆向思维教学教案
教学内容：逆向思维在数学中的应用
教学目标：通过本节课的学习，学生能够了解和掌握逆向思维在数学中的应用方法，提高
数学问题的解决能力和创新思维。
教学重点和难点：逆向思维的概念和具体应用方法。
教学准备：
1. 教师准备相关的教学资料和教学案例。
2. 学生准备笔记工具和课堂参与积极性。
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师通过举例说明逆向思维在日常生活中的应用，引导学生思考逆向思维的重要性和作用。
二、概念讲解（10分钟）
教师介绍逆向思维的概念和定义，通过案例演示和解释逆向思维的具体操作步骤。
三、应用实践（20分钟）
1. 学生进行小组讨论，分析给定数学问题，并尝试运用逆向思维进行解答。
2. 学生展示讨论结果，教师进行点评和指导，引导学生进一步思考和分析。
四、总结反思（10分钟）
教师总结本节课的主要内容和重点，引导学生对逆向思维的应用进行反思和总结，鼓励学
生自主学习和思考。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的课后作业，要求学生进行练习和复习，以巩固所学知识和技能。
教学反思和展望：
本节课主要以逆向思维在数学中的应用为主题，通过理论讲解和实践操作，帮助学生提高
数学解题能力和创新思维。
未来可以进一步探讨逆向思维在其他学科的应用和发展。
数学教学中要重视逆向思维能力的培养
解 决 问 题 的 能 力 ． 习 数 学 困 难 的学 生 ， 别 是 中职 学 生 经 学 特 常 遇 到 一 些 题 型 打 不 开 思 路 ， 从 下 手 ， 们 往 往 习 惯 于 从 无 他 正 面 直 接 解 决 问 题 ， 维 定 性 ， 时 若 能 引 导 学 生 改 变 思 维 思 这 角 度 ， 问题 的反 面去 进 行 逆 向 思 考 ， 往 会 收 到 意 想 不 到 从 往 的 效 果 ． 教学 过 程 中 可 以 随 时 选 用 或 组 编 逆 用 思 维 的 问 在
④ 若 Ａ＋ Ｂ＋Ｃ＝ ， ÷ 求证 ： ｎ ・ａＢ＋ ａＢ・ａＣ＋ ｔＡ ｔ ａ ｎ ｔ ｎ ｔ ｎ
ｔ ｎＣ ・ｔ ｎ ＝ １ ａ ａＡ ．
人 逆 向思 维 有 利 于 开 拓 学 生 解 题 思 路 ， 高 分 析 问题 和 提
堍 ０
扎 实 ， 会 贯通 ． 融
这 种 方 法用 得 多 了 ， 会 增 强 学 生 逆 向思 维 的 意 识 ， 就 提
、
逆 向思 维 在 数 学 教 学 中 的作 用
逆 向 思 维 有 利 于 加 深 对 基 础 的 理 解 和 掌 握 ． 教 学 实 在 践 中 ， 职 学 生 基 础 知 识 薄 弱 ， 别 是 对 数 学 基 本 概 念 和 基 中 特 本 知 识 缺 乏 深 刻 而全 面 的 理解 ， 有 掌 握 其 本 质 特 征 ， 作 没 在 业 中常 常 出现 错 误 和思 维 障 碍 ． 其 原 因 ， 他 们 不 能 很 好 究 是
地 逆 向思 考 问题 ， 会 逆 用 定 义 公 式 、 则 或 定 理 所 致 ． 不 法 因
①求值 ：
，
．
②求证 ： ｎ０ ＋ｔ ４ 。 √ ｔｎ０ ｔ ４ 。 √ ． ｔ ２ 。 ａ ０ ＋ ３ａ２ 。・ ａ ０ ＝ ３ ａ ｎ ｎ
核心素养视域下高中数学教学中学生逆向思维的培养策略
核心素养视域下高中数学教学中学生逆向思维的培养策略赵秀芹(江苏省沭阳高级中学㊀２２３６００)摘㊀要:逆向思维是重要的数学思维方式之一ꎬ其直接关系到学生数学素养的形成与发展ꎬ且对改善学生数学解题能力㊁知识内化质量均具有积极作用.但是ꎬ一些高中数学教师忽视了对学生数学思维能力㊁逆向思维意识与能力的培养与训练ꎬ进而导致学生在解题时采用正向思维方式而增加了解题难度ꎬ且对学生数学思维㊁数学素养的形成造成了不利影响.因此ꎬ本文就基于核心素养视域下培养高中学生数学逆向思维意识与能力的方法进行系统详述.关键词:逆向思维ꎻ核心素养ꎻ高中数学ꎻ培养策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)３６－０００２－０２收稿日期:２０２１－０９－２５作者简介:赵秀芹(１９８２.１－)ꎬ女ꎬ江苏省沭阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中阶段是学生思维发展的关键时期.数学知识之间往往存在着一定的逻辑性ꎬ且具有高度的抽象性ꎬ这对学生对数学知识体系的理解带来了较多的阻碍.高中学生必须要具备较高水平的逻辑思维能力以及逆向思维应用意识与能力ꎬ进而才能帮助学生在数学学习活动中不断完善自身的数学思维能力ꎬ并借助逆向思维的应用来提高解决问题的能力.因此ꎬ高中数学教师必须重视学生逆向思维能力的培养ꎬ为改善其数学思维㊁促进数学素养的形成提供保障.㊀㊀一㊁基于数学概念教学ꎬ培养学生逆向思维意识㊀㊀高中数学教师在概念教学时多以讲授方式为主ꎬ此类传统式的教学既会降低学生对数学概念㊁数学理念知识理解效率ꎬ还会影响到学生数学思维㊁数学素养的形成.同时ꎬ学生数学学习时ꎬ其会在长期的数学知识学习㊁理解以及解决数学问题过程中逐步形成自己的定势思维方式ꎬ一旦某些条件㊁概念发生变化时ꎬ学生仍会采用原有的定势思维方式来解决数学问题ꎬ这既会影响学生概念理解质量㊁解题能力与效率ꎬ还会阻碍学生数学素养的形成.若学生具备了良好的逆向思维能力则会有效改善㊁提升学生解决问题能力.因此ꎬ数学教师应在教学中有意识㊁有针对性地培养学生的逆向思维能力ꎬ使学生具备良好的逆向思维意识与能力ꎬ进而达到提高其数学 学 ㊁ 践 能力ꎬ并对促进学生数学素养的形成与发展奠定基础.在高中数学概念中存在着大量的 相反性 的数学概念ꎬ而在此类概念教学中ꎬ教师则可以引导学生基于 正向性 的数学概念采用逆向思维方式进行思考与学习ꎬ使学生能够进行逆向思考与分析ꎬ以培养学生能够从不同角度㊁逆向进行深度学习ꎬ以提高学生对 相反性 数学概念的理解.如在«反函数»概念教学时ꎬ教师可以引导学生基于 函数 概念的基础上进行逆向思维ꎬ在逆向思维的过程中将 正㊁反函数 的图像㊁概念进行对比ꎬ找出两者不同点ꎬ这对加速㊁加深学生对 反函数 概念的理解具有积极的作用ꎬ同时ꎬ也达到了培养学生逆向思维的目的.再如ꎬ教师在«映射»概念教学时ꎬ教师也可以开展逆向思维训练.教师可以将 ＡңＢ 概念作为 集合Ａң集合Ｂ 的映射ꎬ并鼓励学生甄别㊁找出集合Ａ㊁集合Ｂ中各个元素间存在着哪些对应关系.当学生完成自主思考后ꎬ教师可利用逆向思维训练法引导学生进行逆向思考:假设集合Ａ中不存在其他剩余元素ꎬ且各个元素均与集合Ｂ中的元素对应ꎬ且有唯一的象ꎬ此时ꎬ集合Ｂ中剩余元素没有在集合Ａ中发现相对应的原像ꎬ进而得出:一对一㊁多对一的结论.此类逆向思维的教学与训练ꎬ既可以强化学生对 映射 概念的理解ꎬ还可以培养学生逆向思维的应用意识与能力ꎬ同时ꎬ也能够提升学生解决数学问题的灵活性ꎬ为改善学生思维方式㊁解决问题能力奠定基础.㊀㊀二㊁基于公式活用教学ꎬ培养逆向思维应用能力㊀㊀数学公式是解决数学问题的重要基础.因此ꎬ学生２Copyright©博看网 . All Rights Reserved.必须要熟悉㊁理解相应的数学公式ꎬ并能够灵活运用数学公式ꎬ进而才能提高学生解题能力与效率.由于数学公式具有极高的抽象性ꎬ学生在数学公式的应用时必须要具备正向理解与应用公式的能力ꎬ还要掌握逆向应用公式的能力ꎬ进而才能促使学生在解题过程中能够通过逆向思维来灵活运用公式ꎬ促使学生在活用公式的过程中潜移默化地提高了自己的逆向思维应用能力ꎬ为促进其数学思维㊁数学素养的形成提供保障.如在 升幂公式 ㊁ 余弦变正弦公式 等基础公式的应用中ꎬ教师可以鼓励㊁引导学生对上述公式逆向推导ꎬ并得出 降幂公式 ㊁ 正弦变余弦公式 ꎬ此类公式的逆向推导ꎬ既可以强化学生对上述公式的理解与应用能力ꎬ还可以达到对学生逆向思维应用意识与能力的锻炼目的.另外ꎬ教师也要结合相应的数学公式开展逆向思维的应用训练ꎬ以培养㊁改善学生逆向思维应用意识.再如ꎬ教师可以借助习题来培养㊁训练学生公式逆用的能力与技巧ꎬ如题:ｃｏｓθ＝３/４ꎬ那么ｓｉｎ４θ＋ｃｏｓ４θ的值是多少? 该习题ꎬ可以采用正向思维方式进行解答ꎬ即将所求条件进行公式变化得出:(ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ)２－２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ＝１－２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ＝１－１/２ｓｉｎ２２θꎬ并算出结果.同时ꎬ教师可以鼓励学生利用逆向思维进行思考ꎬ即利用二倍角公式进行转换ꎬ并利用ｓｉｎ４θ＋ｃｏｓ４θ＝(ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ)２－２ｓｉｎ２θｃｏｓ２θ公式计算出最终结果.该方法的应用ꎬ则是通过关注已知条件的转换及相关公式后ꎬ再代入数值即可.学生在上述逆向思维的学习与锻炼过程中不断改善㊁提升自身逆向思维在解题应用中的能力与灵活性ꎬ最终为提高解题能力提供了保障.㊀㊀三㊁基于解题训练教学ꎬ提升逆向思维应用技巧㊀㊀通常情况下ꎬ学生在解题时多会采用定势思维方式ꎬ并运用正向解题方法进行解题.因此ꎬ数学教师在课堂教学(或是习题解析)中培养学生逆向思维时ꎬ不要停留在课堂的讲授活动中ꎬ而是要通过各类数学解题实践来改善㊁培养㊁提升学生逆向思维运用意识与技巧ꎬ使之能够逐步形成 正难则反 意识ꎬ在具体的解题时进行正㊁逆思维的灵活应用ꎬ这对发展学生数学思维与核心素养㊁培养其逆向思维能力等均具促进作用.如方程(ｂ＋２)ｘ２－８ｘ＋ｂ＝０中ꎬｂ为何值时ꎬ该方程的根至少有一个是正实数.学生在解题时ꎬ若运用正向思维则解题过程复杂ꎬ也易导致学生出现一些不必要的错误ꎻ若学生运用逆向思维解题时ꎬ教师只需引导学生考虑: 在何种情况下ꎬａ会存在两个负根的可能性 ꎬ以此来降低该习题的难度ꎬ使学生能够顺利得出正确的结果.另外ꎬ教师还可以借助反证法来培养学生逆向思维能力㊁提升其利用逆向思维解决问题的技巧.反证法就是要引导学生假设想要证明的结论是错误的㊁不成立的ꎬ并运用数学逻辑思维㊁既有数学知识推导出相反的结论.教师在指导学生利用反证法进行解题时ꎬ要针将原命题提出的问题改为逆否命题ꎬ将其作为自己的解题思路ꎬ利用相应的公式㊁定理进行推理ꎬ得出该命题是否具有正确的逻辑性ꎬ并判断出该命题是否成立.反证法的应用ꎬ既可以有效改善㊁提升学生逆向思维能力ꎬ还会在学生解题实践中逐步养成逆向思维的良好习惯ꎬ并在各种解题㊁习题纠错或是习题解析活动中不断进行自我反思ꎬ为提升自身逆向思维应用技巧奠定基础.如题: 已知一个整数的平方是偶数ꎬ求证该整数也是一个偶数. 在解题时ꎬ教师可让学生尝试利用正向思维解题ꎬ当学生遇到困难或是无法解决该题时ꎬ则可引导其利用反证法进行解决.首先ꎬ可假设整数为奇数 ꎬ即设定该整数为 ２ｋ＋１ꎬ且ｋɪＺ ꎬ学生则会得出解题思路:(２ｋ＋１)２＝４ｋ２＋４ｋ＝１.此时ꎬ学生可以准确判断该结果是非偶数ꎬ得出该假设不成立的正确结果.再如习题:ａ＋ｂ＋ｃ>０ꎬａｂ＋ｂｃ＋ａｃ>０ꎬａｂｃ>０ꎬ求证ａ>０㊁ｂ>０㊁ｃ>０.解题时ꎬ教师仍可以先让学生尝试运用正向思维法进行解题ꎬ学生在正向解题时往往无法找到解题的切入口ꎬ且出现思维混乱㊁无序等问题.因此ꎬ教师可以鼓励学生利用反证法进行解题ꎬ即假设该结论的反向是对的ꎬ并基于现有的已知条件㊁相关定理完成相应的推理工作.此时ꎬ学生会得到一个与事实相违的结论.这就说明: 原结论的假设不成立 反而言之ꎬ原结论是正确的㊁成立的ꎬ进而提高了学生解题效率.此类利用解题教学培养逆向思维的策略ꎬ既可以达到培养学生逆向思维的目的ꎬ还可以有效改善㊁提高学生解决问题能力.高中数学教师在教学实践中必须要重视学生逆向思维的重要性及其在数学学习与实践的应用价值ꎬ同时还要帮助学生认识到逆向思维与正向思维整合应用的重要性.因此ꎬ教师在概念教学㊁公式教学㊁解题练习或是错题纠错等教学活动中均应合理地融入相应的逆向思维训练内容ꎬ帮助学生能够在数学学习㊁解题或是其他实践应用活动中不断进行逆向思维的锻炼ꎬ使学生能够在数学 学 ㊁ 践 过程中不断提高自身逆向思维的应用意识与能力ꎬ为改善㊁提升其数学素养提供保障.㊀㊀参考文献:[１]严高明.高中数学教学中逆向思维的培养策略[Ｊ].中学数学ꎬ２０２０(７):８０－８１.[２]郭亚美.高中数学教学中逆向思维的培养策略[Ｊ].新课程ꎬ２０２０(３３):１３９.[３]梁霄.高中数学教学中逆向思维的培养策略[Ｊ].魅力中国ꎬ２０２０(３４):７９.[４]杨红梅.逆向思维在高中数学课堂中的应用分析[Ｊ].速读ꎬ２０２０(２):１９.[责任编辑:李㊀璟]３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
如何在数学教学中注意培养学生逆向思维
性 、变通 性 ，使 学 生养 成 善 于逆 向思 维 的 习惯 ，提 高 灵 活运 用 知 识 的 能 力。 公 式逆 用 是 学 生常 常 感 到 困惑 的 一个 问题 ，也 是 教 学 中 的～ 个 难点 ，教 学 中必 须 强 化这 方 面 的训 练 。
激 发 学 生 思 维 的 兴 趣 ３． 定 理 、性 质 、法 则 的 互逆 悟规 律 从 外 因 是 变 化 的 条 件 ，内 因 是 变 化 的根 据 。 兴趣 是 最 好 的 数 学 中有许 多可逆 定 理 、性 质 和 法 则 ，恰 当地 运 用这 些 可 老 师 ，因此 在 数 学教 学 中教 师应 该想 方 设 法激 发 学 生 思维 的兴 逆 定理 、性 质和 法 则 ，可达 到 使 学 生将 所 学 知识 融 会贯 通 的 目 趣 ，增 强学 生逆 向思 维 的积 极 性 。 的。 （ ）真 正确 立学 生 在 教 学 中的 主体 地 位 。使 学 生 成 为 主 １ （ １）让学 生学 会 构 作 已 知 命 题 的 逆命 题 与 否 命 题 ，掌 握 宰 学 习 的主 人 、学 习活 动 的主 动参 与 者 、探 索 者 和研 究 者 。 可 逆 定 理 、性 质 和 法 则 的 互 逆 表 述 。 交 换 原 命 题 的条 件 和 结 （ ）实例 引路 。教 师要 有 意 识 地 剖 析 、 演 示 一 些运 用逆 论 ，所 得 的命 题 是 逆命 题 同 时 否定 命 题 的条 件 和结 论 ，所 得 ２ 向思维 的经 典例 题 ，用 它们 说 明逆 向思 维在 数 学 中 的 巨大作 用 的命 题 是 否命 题 。 教学 中要 用 一定 的时 间 、适 当 的训 练 量 加强 以及 它们 所体 现 出来 的数 学 美 ，另一 方 面可 列 举 实际 生 活 中 的 学生 这 方 面 的练 习 ，打 好 基础 。 些典 型 事 例 ，说 明逆 向思 维 的重 要 性 ，从 而 逐 渐激 发 学 生思 （ 掌 握 四种 命 题 间 的 关 系 。 互 逆 命 题 和 互 否命 题 都 不 ２） 维 的兴 趣 ，增强 学 生逆 向思 维 的主 动性 和 积 极性 。 是 等 价命 题 ，而 互 为逆 否 关 系 的命 题 是等 价 命 题 。学 生 搞清 四 （ ）不 断提 高 教 师 自身 的 素 质 。 教 师 渊博 的知 识 和 超 凡 ３ 种 命 题 间 的关 系 ，不 仅 能 掌握 可 逆 的 互逆 定 理 、性 质 、 法则 ， 的 人格 魅 力也 能 在 一定 程 度 上激 发 学 生学 习兴趣 和 思 维 的积 极 而且 能增 强 思 维 的 严 谨 性 和 灵 活 性 ，培 养 创 造性 思 维 能 力。 也 性和 主 动性 。 是 科 学发 现 的 途径 之 一 。 二 、帮 助 学生 理 顺 教 材 的逻 辑 顺 序 （ ）掌 握 反 证 法及 其 思想 。反 证 法 是 一 种 间接 证 法 ，它 ３ 由于 种 种 原 因 ，教 材 的 逻 辑 顺 序 与 学 生 的心 理 顺序 可 能 是 通过 证 明一 个命 题 的 逆 否命 来 证 明原 命 正确 的一 种 方法 ，是 或 多或 少地 存 在 着 矛盾 ，而这 些 矛盾 势必 妨 碍学 生 思 维活 动 的 运 用逆 向思 维 的一 个 范例 。一 些 问 题运 用 反证 法 后 就 显得 非 常 正 常进 行 ， 因此 ，教 师 在钻 研 教 材 时必 须 找 出这 些 矛盾 并 帮 助 简 单 ，还 有 一 些 问题 只 能 用反 证 法来 解 决 ，因此 反 证法 是 高 中 学 生 加 以理 顺 ，只有 这 样 ，才 能 保证 学 生 思 维活 动 的展 开 。例 生 必须 掌 握 的一 种 数 学方 法。 反证 法 的思 想在 其 他 学科 和 其他 ５ Ｂ 中 ，Ａ ＜ Ｃ ＡＡ Ｃ Ｂ Ａ ，一 刀 剪 切 后可 以拼 成 等 腰梯 形 ，请 确 定剪 领域 也 有 着 广泛 的 应 用 ，应 该 重视 。 切 线 。 分 析 ：我 们 曾经 把 梯 形 剪 切 后 拼 成 三 角 形 ，就是 使梯 （ ４）正 确 应 用 充 要条 件 。 “ 要 条 件 ”是 高 中数 学 中一 充 形 的 一 部分 绕一 条 腰 的 中点 旋 转 １ ０ ，本 题 正 好 相 反 。 由此 ｏ ８ 个重 要 的 数学 概 念 ，是解 决 数 学 问题 时 进行 等 价 转 换 的逻 辑基 得 到 启发 ，再应 用等腰 梯 形 的性 质 ，得 到如 下做 法 ： 础 。一 个 定理 如 果 有 逆定 理 ，那 么定 理 、逆 定 理 合 在一 起 ，就 作Ａ Ｂ ，垂 足 为Ｄ ，在 Ｂ 上 截 取Ｄ ＝ Ｄ Ｄ －Ｃ Ｊ 点 Ｃ Ｅ Ｂ ，连 结Ａ ，则 Ｅ 可构 作 一 个充 要 条 件 。重 视 充 要条 件 的 教学 ， 学 生能 正确 应 使 Ａ Ｂ 过Ａ 中 点 Ｍ Ｅ＝ ． Ｂ Ｃ 作 Ｐ 已 交Ｂ 于 Ｐ Ｄ 是 所 求 的 剪 切 ∥Ａ Ｃ ，Ｍ 就 用充 要 条件 可 培 养 学 生的 逆 向思 维 能 力 。 线 。剪 下 △Ｍ Ｃ Ｐ ，可 以拼 成 等 腰 梯形 Ａ Ｐ 。 可见 教 师 在 备课 时 Ｂ０ 三 、 采 用 直 观 教 学 ， 为 学 生 提 供 逆 向思 维 的 能及 早 发 现教 材 的逻 辑 顺 序 ，发 挥 教材 中互 逆 因素 的作 用 基 础 １从 定 义 的 互 逆 明 内 涵 ． 感 性 认 识 是 理 性 认 识 的 基 础 ，理 性 认 识 依 赖 于 感 性 认 （１）重 视 定 义 的 再 认 与逆 用 ，加 深 对 定 义 内 涵 的认 识 。 许 多数 学 问题 实 质 上是 要 求学 生 能 对定 义 进 行再 认 或 逆 用 。在 识 。 在数 学 教 学 中利 用必 要 的教 具 、模 型 、 幻 灯 、 多媒体 等 进
怎样在高中数学中培养学生逆向思维论文
如何在高中数学中培养学生的逆向思维摘要：高中数学意在培养学生的逻辑思维能力，帮助学生开发智力。
其中在众多数学思维方法中最容易被人忽视的一种思维就是逆向思维方式。
逆向思维方式的培养和锻炼一向是高中数学教学中的重要组成部分。
但是由于教师对逆向思维方式培养的重视程度不够，导致学生也只是把逆向思维方式当做学习的其中一向内容，并没有真正的形成一种思维习惯。
在高中教学中注重对学生逆向思维的培养和训练，可以激发学生的发散思维潜力，可以帮助学生快速找到问题的解决方法。
本文就高中教学中培养学生逆向思维的原因以及如何培养学生的逆向思维问题进行了浅层次的分析和探究。
关键词：高中数学；培养；逆向思维在学习的过程中，学生一般都习惯用顺向思维来解决问题，包括在生活中的问题。
一、高中教学中培养学生的逆向思维的原因1、逆向思维可以帮助学生开发他们的智力，锻炼他们的发散性思维。
学生都习惯于运用顺向思维去解决数学中的难题，乃至生活中的一些问题也经常会从顺向的方向进行思考。
这样的惯性的思维方法和思维方向，会使学生的思路受限，思维方式变得单一。
而逆向思维方式的培养，就能够弥补思维单一的不足。
逆向思维方式能够帮助学生找到很多解题捷径，一旦他们脑子里面形成了这种逆向思维的意识，就能够使他们的思考能力比别人要强很多。
思维能力的发展是学生智力发展的核心，也是智力发展的重要标志。
所以，要加强对高中学生逆向思维模式的训练和引导。
2、逆向思维方式的培养，可以培养学生的创造性思维能力和创新能力。
逆向思维本身就属于一种创造性的思维方式。
它的思考方向与常规思考方向是正好相反的，从不同多角度去思考就能够发现新的事物、新的规律。
逆向思维方式的培养需要学生对事物、对数学公式和概念有个本质的了解。
所以，这种非常规思维模式的培养就能够帮助学生看到一个全新的世界，对问题有个本质上的理解。
在数学教学中充分发挥逆向思维的作用，就能够开阔学生的思路，激发学生的创新精神。
3、逆向思维可以培养学生的观察能力和独立思考能力，同时激发学生的学习兴趣。
数学教学中培养学生逆向思维的途径
判 定 定 理 ，等 腰 三 角 形 的 性 质 及 判 定 定 理 等 等 。在
教 学 中 ，对 某 些 重 要 定 理 的 可 逆 性 进 行 探 讨 ，有 利 于加 深 对 知 识 的 理 解 ．也 有 助 于 逆 向思 维 能 力 的提
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数 学教 学 中培 养 学 生逆 向思维 的途径
◇ 四 川 眉 山市 眉 山中 学 彭 勤 勇
逆 向思 维 是 一 种 突 破 习 惯 性 正 向思 维 束 缚 ，有 意 去做 与 正 向 思 维 方 向完 全 不 同 的 探 索 的 一 种 反 向
探求 问题 的可能 性有 困难就 考虑探 求其 不可能性 ； 用一 种 命 题 无 法 解 决 就 考 虑 转 换 成 另 一 种 等 价 的 命
题 …… 总 之 ，正 确 而 又 巧 妙 地 运 用 逆 向转 换 的 思 维
高。
４ 重 视 一 些 性 质 的 逆 向运 用 也 能 提 高 学 生 的 逆 ． 向思 维 能 力 中学 数 学 教 材 中有 很 多 的 性 质 是 可 逆 的 。 比如
的两 面 。如 定 义 “ 圆 是 两 定 点 的距 离 之 和 等 于 定 椭 长 （ 长 大 于 两 定 点 间 的 距 离 ，下 同 ） 的 点 的 集 定 合” ，其 反 面 “ 圆 的 外 部 是到 两 定 点 的 距 离 大 于 定 椭
中 学 音乐 课 、欣 赏 课 ，在 传 统 观 念 属 于 “ 三 小 科” 。中 、高 考 不 考 ，学 生 可 学 可 不 学 ，音 乐欣 赏课 如看 “ 电影 ” 。笔 者 认 为 摆脱 这 种 困境 必 须 丰 富 教 学
数学教学中如何培养学生的逆向思维能力
算 法则解题时 ， 常常只ＡＪ着用 ， 『 顶 不会倒 着用 。 中专阶段的数 在
赛信 息按事先编 制的逻辑 程序输入学 生 的信息处 理 中心—— 大脑 ， 学生就会 迅速调 动已有 的相关信息元 ， 即按照竞 赛程 立 式编码 、 、 排列 组合 ， 活动兴趣和毅力迅速增强 。适 当创 设竞赛 进行教学 ， 以使 学生积极 进取 、 可 克服 困难 、 勤学苦 练 ， 分发 充 挥主观能动性 ， 如在学 习《 未成年 人保护法 》 ， 时 事先布置任 务
Ｖｏ．６ ０ ８ Ｎｏ２ １ ２ ０ ２ ．２
数学教 学 中如何培养学 生的逆向思维能力
杨 星 光
（ 德宏州卫 生学 校 ， 云南 德宏 ６４０ ） ７８０ 摘 要： 培养学生的思维能力是 中专数 学教 学 目的的核心 ， 也是培养 学生创新意识 的必要条件。 向思维是一种重要 的思维 逆
案例的点评 和总结。因此 ， 兴趣教学对教师素质的要求很高 ， 正
所 谓“ 育者必须先 接受教育 ”要 当好 教师 首先要 当好学生 。 教 ，
教 师必须适应新 时期社会发展 的需要 ， 变压力为动力 ， 真、 认 虚
心 地学习有关 案例教学 的理论 知识 ， 积极探 索其 特点 、 内容和 规律 ， 断提高教师的理论水平和执教能力 。 不 另外要注意的是，
考虑到开展兴趣 教学带来的一系列 问题 ， 比如案例的编写和选
高案 例讨论 的质量 。在集思 广益的基础上 ， 要求学生写 出案例 分析书面报告 ， 由教师逐份批 阅、 评定作业成绩 ， 以此来培养学
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出学生智慧的火花 ，闪现出灵感。
（ 作者 单位 ：江 苏 省张 家港 市港 口学 校 小学部 ）
学生 （ ：还有他唯一的亲人—一币 乙） Ｊ父也离 他而去。
２ １
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子 集 。 因此 ，在 教学 中应注 生 逆 向应 用概 念 的基 本 功 。
磨 着他 。 师：你 的依 据是 什 么 ？
师 ：是 啊 ，可 怜 的 阿炳 ，被 穷 困个 独 特 的切 入 口，提 出一 个 适 于 追 问 的 问题 ，可 以帮助 学 生 加深 对 文 本 的解 读 ，起 到事
学生 （ ）：我从资料上得知 ，阿炳 由于受别人 的 甲
外， 恐怕还 跟教师在各 个阶段 的教学中只注重 知识 的传授 ， 忽视 思维能力 的培 养不无关 系。 思 维 方 式 的 特 点表 现 在 ： 善 于 从 不 同 的立 场 ， 不 同 的 统 的教 育 理 念 ，笔 者 从 以 下几 个 方 面谈 谈 学生 逆 向思 维
的培 养 。
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思维能力
陈 岳 数 学 的逆 向思 维 是数 学 思维 中创 新 能 力 的重 要表 现 之 一 。逆 向思 维 是正 向思维 的 充，在教学中要引导学生对 教 学 定义 、定 理 、概 念 的逆 向思考 和 运 用 ；逆 向思维 是 发散 的 ，在对 学 生进 行 思维 能 散 思维 能力 的培 养 ，调动 学 生的 积极 思维 ，增 大 思维 的发 散量 ，扩 大 思维 空间 。 在 数 学 教学 中， 笔者 发现 学生在 思维 方面 的 问题 和缺 传 统 数 学 教 学 中 往 往 缺 乏对 学 生 进 行 逆 向思 维 的
画瓢， 而不能独立地解决一般问题； 更有的学生只记数学公 力 。只有 善 于 逆 向思 维 的 学 生才 能 对 已学 过 的 知识 举 一 式 ， 对于 公式的 内涵和 适用条 件及范围不 甚理解 。 但 凡此 种 反三 、融 会 贯通 ，也 才 能灵 活运 用所 学知 识 。 为全 面 推 种， 除了教材的难度、 学生的基础、 个体的智力差别等原因 进 素质 教 育 ， 加 强对 学 生各 个 方 面 能力 的培养 ，打 破 传
师 本 身首 先应 明确 哪 些 定理
时训练 学生 。
方 面 的训 练 ， 以培养 学 考虑 从 问题 的反面 入 手 ；探求 问题 的可 能性 有 困难 就考 在 平常 的教学 中，教 虑探 求 其不 可 能性 ；用 一 种命 题 无 法解 决就 考 虑转 换 成
音 ，像 是 哭泣 。 怎 样 卖艺 的？
师：你能想象一下阿炳卖艺的情境吗？
生 活 ， 了解 阿 炳 创 作 的动 机 。所 以 ，合 理有 效 的追 问可 综 上 ，在 学 生愤 悱 之 处 的提 问，可 以启迪 学 生 的思
师：你说得真好 ，那 么谁来说说在炎热的夏季阿炳 以让 学 生进 入情 境 ，从而 使 教学 更加有 效 而实 在 。 学生 （ 乙）：在 炎热的夏季 ，原先坐在树 荫下的 阿 维，营造积极、热烈 的课堂气氛 ；注意问题的层次性 ， 炳被一群无赖赶 出了树 荫，在烈 日下拉着二胡，汗水浸 可 以很 好 地 为 学 生理 解 问题 提 供 一 个 有效 的 平 台 ；合 理 透 了破衣 可是也没有换来几个钱 ，换来的只是一些不 的追 问则 可 以让学 生 的思 维不 断 发 展 ，从 而 更 好地 激 发 屑 的驱赶 声和 白眼。
陷害，而失去 了当家道士的资格 ，并且被 自己的 堂弟赶
出了道观 ，由此 阿炳 就开 始 以卖 艺为 生 。
半功倍的效果 。一连串的追 问让学生带着邻家少年的身 学生 （ ）：在严 寒的冬季，阿炳在风 雪中，虽然 份 加 入 到课 文 的学 习 中 ，拉 近 了他 们 与 阿炳 的距 离 ；还 甲 手指冻僵 了，但是他 仍旧操着二胡。二胡发 出凄惨 的声 可 以让 学 生 的思 维 不致 断 裂 ；也 便 于 更 好地 走 入 阿炳 的
陷很 多， 有 的学生 能将概 念 的定 义、 理、 律 的内容背 训 练 ， 因此 学 生 思考 解 决 问题 的 习惯 思 维方 式 是 正 向思 如 定 规 得滚 瓜 烂 熟 ， 却不 会 运 用 ； 的学生 只 能对 着 例题 依 葫芦 维 ，但 目前 有 相 当 多 的 问题 考查 的是 学 生 的逆 向思维 能 有
所 谓 逆 向 思 维 ， 是 从 对 立 的 角 度 去 考 虑 问 题 。该 逆 向思维 在数学概 念教 学中的思考与训练 高中数学中的概念 、定义总是双向的，不少教师在
角度 ，不 同 的层 次或 不 同的侧 面 去 进 行 思考 ；当 某 一 思 平 时 的 教 学 中 ，只注 意从 左 到右 的运 用 ，于 是 学 生 形成 路受 阻时 能 迅速 转 移 到 另 一思 路 上 去 ，从而 使 问题得 到 思 维 定 势 ，对 于 逆用 公式 法 则 就很 不 习 惯 。 因此 在概 念 顺 利 解 决 。 与正 向思 维 ， 即 由条 件 到 结论 的思 维 方式 相 的教学中，除 了让学生理解概念本身及其常规应用外 ， 比 ，它 可 培养 学 生 思 维 的变 通 性 和 深刻 性 ，克服 由单 向 还 要 善 于 引导 启 发 学生 反 过来 思 考 ，从 而加 深对 概 念 的 思维 定 势造 成 的思 维刻 板 和 僵 化 及 不善 于 在 新 条件 下 独 理 解 与拓 展 。 例如 ，集 合Ａ 是集 合Ｂ 的子 集 时 ，Ａ 就 等 交Ｂ 立 发展 新 思路 的不足 。 于Ａ ；如 果 反 过来 ， 已知Ａ 等 于Ａ 交Ｂ ，就 可 以知道 Ａ 的 是Ｂ