2019年数学一轮复习 第8章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积分层演练 文
近年高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积演练文(2021年整理)
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第2讲空间几何体的表面积与体积一、选择题1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是（)A．4πS B．2πSC．πS D．错误!πS解析：选A．由πr2＝S得圆柱的底面半径是错误!，故侧面展开图的边长为2π·错误!＝2错误!，所以圆柱的侧面积是4πS,故选A．2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（）A．πB．错误!C．错误!π D．错误!解析：选D．由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1,高为22－12＝3,因此体积＝2×错误!×错误!π×12×错误!＝错误!π．3．如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ）A．20 B．22C．24 D．26解析：选D．该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长,宽，高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1,高为1，所以表面积为S＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋错误!×2π×1＝26．故选D．4．（2018·兰州诊断考试）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ）A．（9＋错误!)π B．（9＋2错误!）πC．（10＋错误!)π D．（10＋2错误!）π解析：选A．由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋错误!×2π×错误!＝(9＋错误!)π．5．（2018·云南第一次统考）如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选C．由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥,其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形,所以该几何体的体积为错误!×3×4×5－错误!×错误!×3×4×3＝24，故选C．6．正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长都等于2错误!，则它的外接球的表面积是( )A．16πB．12πC．8πD．4π解析：选A．设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝错误!AC＝错误!错误!＝错误!错误!＝2，所以PO＝错误!＝错误!＝2．又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S＝4πR2＝16π．球二、填空题7．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2,两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时,底面圆的半径为4,两个底面圆的面积为32π．无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2．故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π．答案：32π2＋8π或32π2＋32π8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－错误!－错误!＝错误!．答案:错误!9．在长方体ABCD.A1B1C1D1中，AB＝BC＝2,过A1，C1,B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD。
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第2讲空间几何体的表面积和体积
是以 AB，BC，CD，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，
分别以 AB，BC，CD，DA 为折痕折起△ABE，
214.则球
O
的表面积为
4πr2＝4π
2142＝14π.
答案：14π
2.(2018 年全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成 角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45°，若△SAB 的面积 为 5 15，则该圆锥的侧面积为__________.
解析：母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，正弦值为 815.设
所以细沙的底面半径
r＝
2 3
×4 ＝
8 3
cm ， 所 以 体 积
V＝
13·πr2·23h＝13·649π·136＝108214π cm3，A 正确；
沙漏的体积 V＝2×13×π×h22×h＝2×13×π×42×8＝
256 3π
cm3，B
错误；
设细沙流入下部后的高度为 h1，根据细沙体积不变可知：
108214π＝13×π×h22×h1，
底面半径为 r，母线 l＝SA＝
2r，△SAB 的面积为12×SA2×
15 8
＝12×( 2r)2× 815＝5 15，∴r2＝40.则该圆锥的侧面积为 πrl＝
2πr2＝40 2π.
答案：40 2π
3.(2018 年全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方 形，则该圆柱的表面积为( )
考点 3 立体几何中的折叠与展开 多维探究
[例 2](2017 年全国Ⅰ)如图 8-2-7，圆形纸片的圆心为 O，
半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D，E，
高考数学一轮复习第8章立体几何2第2讲空间几何体的表面积与体积教案理
第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式(1)正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2r＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r；①外接球：球心是正四面体的中心；半径R＝64a；②内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)×某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323cm 3 D.403cm 3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．(2018·云南省11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C.依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×3＝3. 一直角三角形的三边长分别为 6 cm ，8 cm ，10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．解析：旋转一周所得几何体为以245cm 为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S ＝π×245×6＋π×245×8＝3365π(cm 2)． 答案：3365π cm 2(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π. 答案：14π空间几何体的表面积[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(2)(2018·合肥市第一次教学质量检测)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【解析】 (1)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r ，故78×43πr 3＝283π，所以r ＝2，表面积S ＝78×4πr 2＋34πr 2＝17π，选A.(2)由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故选A. 【答案】 (1)A (2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．[通关练习]1．(2018·兰州市诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．(9＋5)πB ．(9＋25)πC ．(10＋5)πD ．(10＋25)π解析：选 A.由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S ＝π×12＋4×2π＋12×2π×5＝(9＋5)π.2．(2018·河南许昌月考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．9＋4(2＋5)B ．10＋2(2＋3)C ．11＋2(2＋5)D ．11＋2(2＋3)解析：选C.如图所示，该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱柱得到的四棱柱．其表面积为2×2＋2×1＋2×2＋2×5＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12－1＝11＋2(2＋5)．空间几何体的体积(高频考点)空间几何体的体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．高考对空间几何体的体积的考查常有以下两个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积．[典例引领]角度一 求简单几何体的体积(1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(等积法)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．【解析】 (1)法一：(补形法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二：(估值法)由题意，知12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合．(2)(等积法)三棱锥D 1EDF 的体积即为三棱锥F DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VD 1EDF ＝VF DD 1E ＝13×12×1＝16.【答案】 (1)B (2)16角度二 求组合体的体积(1)(分割法)(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 (2)(分割法)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．【解析】 (1)由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A.(2)由题意知该几何体是由一个长方体和两个14圆柱体构成，其中长方体的体积V 1＝2×1×1＝2，两个14圆柱体的体积之和V 2＝14×π×12×1×2＝π2，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝2＋π2. 【答案】 (1)A (2)2＋π2[通关练习]1．(2018·昆明市教学质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π解析：选A.由三视图知，该几何体是半径为3的半球与底面半径为3、高为4的半圆锥的组合体，所以该几何体的体积V ＝12×43π×33＋12×13π×32×4＝24π，故选A.2．如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________． 解析：法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC 和一个斜三棱柱BEF CHG .由题意，知V 三棱柱DEH ABC ＝S △DEH ×AD ＝(12×2×1)×2＝2，V 三棱柱BEF CHG ＝S △BEF ×DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半． 又正方体的体积V 正方体ABHI DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.答案：4球与空间几何体的接、切问题[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B. 3π4C. π2D. π4(2)(2018·河南省六市第一次联考)三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.253πB.252πC.833π D.832π 【解析】 (1)设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，所以，圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4，故选B. (2)由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6， 球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ， 设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2， 解得x ＝546，所以R 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D.【答案】 (1)B (2)D若本例(2)中的△ABC 变为边长为3的等边三角形．求三棱锥外接球的表面积． 解：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC 为底面、以PC 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝32×3×23＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． (2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[通关练习]1．(2018·贵阳市检测)三棱锥P ABC 的四个顶点都在体积为500 π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选C.依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P ABC 的高的最大值为5＋3＝8.2．设球O 内切于正三棱柱ABC A 1B 1C 1，则球O 的体积与正三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的比值为________．解析：设球O 半径为R ，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为a ，则R ＝33×a 2＝36a ，即a ＝23R ，又正三棱柱ABC A 1B 1C 1的高为2R ，所以球O 的体积与正三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积的比值为43πR 334a 2×2R ＝43πR 334×12R 2×2R ＝23π27.答案：23π27数学文化与立体几何[典例引领](2018·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )A ．5 000立方尺B ．5 500立方尺C ．6 000立方尺D ．6 500立方尺【解析】 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F GBCH 与三棱柱ADE GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32平方丈的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5立方丈＝5 000立方尺． 【答案】 A求解与数学文化有关的立体几何问题应过的三关(2018·郑州市第二次质量预测)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何 体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C.由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知题图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.处理空间几何体体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出，并容易求解长度的高；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，还台为锥，这些都是拼补的方法．易错防范(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．1.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B，故选B.2．(2018·湖北省七市(州)联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为( )A．6πB．8πC．10πD．12π解析：选C.根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r为2，母线长l 为3，故该圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝π×2×(2＋3)＝10π，故选C.3．(2018·武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4解析：选B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，所以组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x ＝1.6.故选B.4．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π解析：选A.该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.5．(2018·河南郑州一中押题卷二)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 上的动点，记四面体EFMC 的体积为V 1，多面体ADF BCE 的体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.14 B.13 C.12D ．随点M 位置的变化而变化解析：选B.由三视图可知多面体ADF BCE 是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a )，且四边形DFEC 与四边形ABCD 都是正方形，它们的边长均为a .因为M 是AB 上的动点，且易知AB ∥平面DFEC ，所以点M 到平面DFEC 的距离等于点B 到平面DFEC 的距离，为a ，所以V 1＝V E FMC ＝V M EFC ＝13×12a ·a ·a ＝a 36，又V 2＝12a ·a ·a ＝a 32，故V 1V 2＝a 36a 32＝13，故选B. 6．(2017·高考江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2 的体积为V 1 ，球O 的体积为V 2 ，则V 1V 2的值是________．解析：设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr3＝32.答案：327．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4，3，1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. 答案：388．(2018·山东日照模拟)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为________．解析：设球的半径为R ，正方体的棱长为a .由题意得当正方体体积最大时，a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝R 2，所以R ＝62a ，所以所得工件体积与原料体积之比的最大值为a 312×43πR 3＝a 323π×⎝ ⎛⎭⎪⎫62a 3＝63π.答案：63π9.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积． 解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.10．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2， S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2， S 圆柱底＝πa 2，所以S 表＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.1．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D ．1解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD ⊥BD ，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A.2．(2018·福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸．若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于( )A ．8πB ．18πC ．24πD ．86π解析：选C.设球的半径为R .多面体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)．两顶点之间的距离为2R ，底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2R 22＝32⇒R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π.选C.3.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403，则经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为________． 解析：设AA 1＝x ，则VABCD A 1C 1D 1＝VABCD A 1B 1C 1D 1－VB A 1B 1C 1＝2×2×x －13×12×2×2×x ＝403，则x ＝4.因为A 1，C 1，B ，D 是长方体的四个顶点，所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R ＝22＋22＋422＝6，所以球的表面积为24π. 答案：24π4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：设球O 的半径为R ，因为SC 为球O 的直径，所以点O 为SC 的中点，连接AO ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，因为平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，所以AO ⊥平面SCB ，所以V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π5.如图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)． (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)；(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解：(1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为9.6－8×2r 8＝1.2－2r ，所以塑料片面积S ＝πr 2＋2πr (1.2－2r ) ＝πr 2＋2.4πr －4πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ＝－3π(r 2－0.8r )． 所以当r ＝0.4米时，S 有最大值，约为1.51平方米．(2)若灯笼底面半径为0.3米， 则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)． 制作灯笼的三视图如图．6.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求： (1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于平面A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2. 由直三棱柱性质及∠A1B 1C 1＝90°得V ＝VA 1B 1C 1A 2B 2C ＋VC ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋（4－3）2＝5，BC ＝22＋（3－2）2＝5， AC ＝（22）2＋（4－2）2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×（5）2－（3）2＝ 6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考数学一轮复习第八章立体几何8-2空间几何体的表面积体积学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何8-2空间几何体的表面积体积学案理考纲展示► 1.掌握与三视图相结合求解柱、锥、台、球的表面积和体积，了解计算公式．2．会处理棱柱、棱锥与球组合体的“接”“切”问题．考点1 几何体的表面积1.柱、锥、台和球的侧面积和体积答案：2πrh π2．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、________；它们的表面积等于________与底面面积之和．答案：(1)各面面积之和(2)矩形扇形扇环侧面积侧面展开图：关注展开图的形状．(1)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积等于________．答案：2π解析：圆锥的母线长为＝2，故所求侧面积S＝×2×π×2＝2π.(2)圆台的上下底面圆的半径分别为1,2，高为1，则圆台的侧面积等于________．答案：3π解析：圆台的母线长为＝，所以所求侧面积S＝π(1＋2)×＝3π.[典题1] (1)[2017·湖北七校联考]如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( )A．1 B．2C. D.14[答案] B[解析] 由题意知，三棱锥P－ABC的正视图是一个底为1，高为2的三角形，其面积为1，而当P在底面ABCD内的投影在△ABC的内部或边界上时，其俯视图的面积最小，最小值为，此时，三棱锥P－ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2.故选B.(2) [2015·新课标全国卷Ⅰ]圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A．1 B．2C．4 D．8[答案] B[解析]如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴ (5π＋4)r2＝16＋20π，∴ r2＝4，r＝2，故选B.[点石成金] 求解几何体面积的常见策略(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形来计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.[2017·安徽江南十校联考]某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为( )A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 3C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 3答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D.2．一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为________．答案：＋3 3解析：这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据可知，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S ＝π×12＋π×22＋π×(1＋2)×2＋×(2＋4)×＝＋3.考点2 几何体的体积空间几何体表面积和体积的求解：公式法．(1)圆柱的底面半径为1，高为2，若该圆柱内接于球O ，则球O 的表面积是________．答案：12π解析：过圆柱的上、下底面圆的圆心作截面，在该截面图中，易求得球O 的半径R ＝＝，所以球O 的表面积S ＝4πR2＝12π.(2)侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，已知直四棱柱的底面是正方形，其所有棱长之和为12，表面积为6，则其体积为________．答案：1解析：设该直四棱柱的底面边长为a ，高为b ，则有即解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1. 角度一以三视图为背景的几何体的体积[典题2] (1)[2017·河北石家庄一模]某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是( )A ．4B. C.D ．12[答案] B[解析] 由三视图可得，该几何体是一个五面体ABHGEF(如图)，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝2，D1E＝FC1＝DG＝HC＝1，连接AF，AH，则该几何体的体积是VA－EFHG＋VF－ABH＝×22×2＋××4×2×2＝.(2)一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A. B.C．20 D．40[答案] B[解析] 由几何体的三视图可知，该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为×(1＋4)×4×4＝.角度二求几何体的体积[典题3] 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为( )A. B.C. D.32[答案] A[解析]如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝.故选A.[点石成金] 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．考点3 与球有关的切、接问题几个与球有关的切、接常用结论a．正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. b．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.c．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.[典题4] (1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )B.A.D.2C.2[答案] A[解析] 设△ABC外接圆的圆心为O1，则|OO1|＝＝＝.三棱锥S－ABC的高为2|OO1|＝.所以三棱锥S－ABC的体积V＝××＝.故选A. (2)[2017·辽宁抚顺模拟]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )B．210A.D．310C.[答案] C [解析] 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝. [题点发散1] 本例(2)若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解：由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，故其体对角线长为4，从而V外接球＝πR3＝π×(2)3＝32π，V内切球＝πr3＝π×23＝. [题点发散2] 本例(2)若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝. [题点发散3] 本例(2)中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解：依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3. [点石成金] 1.正方体的内切球的直径为棱长，外接球的直径为正方体的体对角线的长．此问题也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．2．直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.求球的半径关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可求球的半径．3．若正四面体的高为h，其内切球的半径为r，外接球的半径为R，则r＝h，R＝h.4．球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题．5．球与多面体的组合，通常过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. [2017·江西师大附中模拟]已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．答案：28π解析：如图①，取BD的中点E，连接AE，CE.由已知条件可知，平面ACE⊥平面BCD.易知外接球球心在平面ACE内，如图②，在CE上取点G.使CG＝2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OA＝OC，易知O即为球心．分别解△OCG，△EGO，可得R＝OC＝，∴外接球的表面积为28π.①②真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V 的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )B.A．4πD.32πC．6π3答案：B解析：由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝. 2．[2015·安徽卷]一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )B．2＋3A．1＋D．22C．1＋2答案：B解析：根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B. 3．[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )B.A.C.D.13答案：C解析：原毛坯的体积V＝(π×32)×6＝54π，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积V′＝V1＋V2＝(π×22)×4＋(π×32)×2＝34π，故所求比值为1－＝. 4．[2014·湖南卷]一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )B．2A．1D．4C．3答案：B解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝2，故选B.课外拓展阅读空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题．[典例] 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，CC1＝5，则沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为________．[审题视角] 将此长方体沿某一条侧棱剪开，得到展开图，求展开图中AC1的平面距离即可，注意对不同情况的讨论．[解析] 在长方体的表面上从A到C1有三种不同的展开图．(1)将平面ADD1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图①所示．则AB1＝5＋3＝8，B1C1＝4，连接AC1，在Rt△AB1C1中，AC1＝＝＝4.①(2)将平面ABB1A1绕着A1B1折起，得到的平面图形如图②所示．则BC1＝5＋4＝9，AB＝3，连接AC1，在Rt△ABC1中，AC1＝＝＝3.②③(3)将平面ADD1A1绕着DD1折起，得到的平面图形如图③所示．则AC＝4＋3＝7，CC1＝5，连接AC1，在Rt△ACC1中，AC1＝＝＝.显然<4<3，故沿着长方体表面从A到C1的最短路线长为.[答案] 74反思提升将空间几何体表面进行展开是化解最值问题的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按精品试卷照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即可．精品试卷。
高考数学 一轮 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积和体积 理
答案：12
解析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形， 高为 2 的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为 1,2，直角腰 长为 1，斜腰为 2.底面积为 2×12×3＝3，侧面积为 2＋2＋4＋ 2 2＝8＋2 2.所以该几何体的表面积为 11＋2 2.故选 B.
B.2π
C.4π
D.43π
4.(2012 年新课标)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，
球心 O 到平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( B )
A. 6π
B.4 3π
C.4 6π
D.6 3π
解析：设球的半径为 R，R＝ 12＋ 22＝ 3， 则此球的 体积为43πR3＝43π( 3)3＝4 3π.
以米
堆的体
积为
14×
1 3
×3×
16
3
2×5
＝3290.故
堆放的
米约为
320 9
÷1.62≈22.故选 B.
答案：B
【规律方法】求几何体的体积时，若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球，可直接利用公式求解；若是给出几 何体的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直 观图，再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计 算.另外不要忘了锥体体积公式中的13.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展 开图的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是
扇形，当底面半径为 r，母线长为 l 时，扇形的圆心角 θ＝rl×360°； 圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r′，r， 母线长为 l 时，扇环的圆心角 θ＝r－lr′×360°.
2019届一轮复习人教B版 空间几何体的表面积和体积 课件
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
考点 3 柱、锥、台和球的表面积和体积
6
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
7
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
[必会结论] 1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝a；
1 6.[2017· 山东高考]由一个长方体和两个4圆柱体构成的 π 2＋2 几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．
18
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解析 该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方 体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成， 1 π 2 ∴V＝2×1×1＋2×4×π×1 ×1＝2＋2.
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
解析 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形， 等腰直角三角形的斜边长为 2，腰长为 2，棱柱的高为 2， 所以其侧面积 S＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2.故选 C.
16
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
5.[2017· 全国卷Ⅱ]长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其 14π 顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为________ ．
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积课件 文
1
=1+2× ×1×1+2× ×1×
2
2
2=2+ 2,故选 C.
第十三页，共六十四页。
-13-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)2
diǎn)3
思考求几何体的表面积的关键是什么?
解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三
视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间的位
)
关键能力·学案突破
考点(kǎo
考点(kǎo
diǎn)1
diǎn)2
-21-
(kǎo
diǎn)3
考点
解析:由三视图知,剩余部分的几何体是四棱锥 P-ABCD 被平面
QBD 截去三棱锥 Q-BCD(Q 为 PC 中点)后的部分,连接 AC 交 BD 于
1
O,连接 OQ,则 OQ∥PA,且 OQ=2PA,
1
为2,底面积为 ×(1+2)×2=3,可得几何体的体积为V=3×2=6,故选C.
2
第十八页，共六十四页。
-18-
关键能力·学案突破
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点
-19-
考点(kǎo
diǎn)3
思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么?
解题心得1.若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台
圆台)
球
体积
S 表面积=S 侧+2S 底
V=
1
Sh
3
S 表面积=S 侧+S 底
高考数学一轮复习第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件文
【对点通关】
1．(必修 2 P27 例 4 改编)已知正四面体 A-BCD 的棱长为 12， 则其内切球的表面积为( )
A．12π
B．16π
C．20π
D．24π
解析：选 D．如图，作 BF⊥CD 于 F，AE⊥BF 于 E，
由 ABCD 为正四面体可知 AE⊥平面 BCD，设 O 为正四面体 ABCD 的内切球的球心，连接 OB．正四面体的棱长为 12， 则 OE 为内切球的半径，BF＝AF＝6 3，BE＝4 3， 所以 AE＝ 122－（4 3）2＝4 6．
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台 体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用 转换法、分割法、补形法等方法进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几 何体的直观图，然后根据条件求解．
令 f(a)＝3a4－a6(0<a< 3)，则 f′(a)＝12a3－6a5＝－6a3(a2－2)，
令 f′(a)＝0，解得 a＝ 2．
因为当 a∈(0， 2)时，f′(a)>0；当 a∈( 2， 3)时，f′(a)<0， 所以函数 f(a)在(0， 2)上单调递增，在( 2， 3)上单调递减． 所以 f(a)在 a＝ 2处取得极大值 f( 2)＝4． 因为函数 f(a)在区间(0， 3)上有唯一的极值，所以 f( 2)＝4 也是最大值．故三棱柱体积的最大值为 24＝1．
第八章 立体几何
第 2 讲 空间几何体的表面积与体积
1．圆柱、圆锥、圆台的面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展 开图
侧面积 公式
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8-2空间几何体的表面积和体积文
[解析] 由题图 2 可知该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为 2 3的等腰三角形，即该三角形为等边三角形．在如图所 示的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 3，6，由三视图还原几何 体，该几何体即为图中的三棱锥 P－ABC，且△ABC 为等边三角 形，S△PAB＝S△PBC＝12×4×6＝12，S△ABC＝12×4×2 3＝4 3，△PAC 是腰长为 52，底边长为 4 的等腰三角形，S△PAC＝8 3，故该几 何体的表面积为 2×12＋4 3＋8 3＝24＋12 3.故选 C.
A－B1BC1
的高为
23，底面积为12，故其体积为13×12×
3 2
＝
3 12 .
[答案] A
3．棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图 所示，那么被截去的几何体的体积是__________．
[解析] 如图，平面 AEC1F 为截面，易知这个截面将正方体 分为完全相同的两个几何体，则所求几何体的体积是原正方体体 积的一半，故被截去的几何体的体积 V＝12×2×2×2＝4.
2．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑 堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩 形的面积，则该“埑堵”的侧面积为( )
A．2 C．4＋4 2
B．4＋2 2 D．6＋4 2
[解析] 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等 腰直角三角形的斜边长为 2，腰长为 2，棱柱的高为 2.所以其侧 面积 S＝2×2＋2 2×2＝4＋4 2，故选 C.
[跟踪演练] 1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半 径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如 图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( )
2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积课件文新人教A
台体(棱台和圆台) S 表面积=S 侧+S 上+S 下 V=13(S 上+S 下+ S上S下)h
球
S= 4πR2
V= 43πR3
-5-
知识梳理 双基自测 自测点评
1234
4.常用结论
(1)与体积有关的几个结论
①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
则 AC=1,AB=1,底面圆的半径 r=BC= 3,所以圆柱的体积是
2
2
VB=πr2h=π×
3 2
2×1=34π,故选 B.
关闭
解析 答答案案
-9-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
4.(2017天津,文11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若
这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为
2.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分 割或补形将其转化为规则的几何体求解.
-12-
考点1
考点2
考点3
考点 1 空间几何体的表面积
例1下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何 体的表面积为( )
关闭
由题意可知,该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成, 圆柱的侧面积为 S1=2π×2×4=16π,圆锥的侧面积为
12345
2.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,它的表面
积为
.
关闭
3a2
答答案案
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
3.(2017全国Ⅲ,文9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直
径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 空间几何体的表面积与体积
分析 要求正棱台的高，首先要画出正棱台的高，使其包含在某一 个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求 解所需的几何元素.
解 如图所示,正三棱台ABC- A1B中1C1,O、 分O1别为两底面中心,D、 分D别1 为 BC和 中B点1C1,则 为棱D台D的1 斜高.
设A1B=1 20,AB=30,则OD=53
第二节 空间几何体的表面积与体积
基础梳理
1. 柱体、锥体、台体的侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面 的面积之和,即侧面积与底面积之和.
2. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的 表面积就是展开图的面积.
3. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积
S圆柱侧 =2 rl, S柱 =2 r r l ; S圆锥侧 = rl, S锥 = r r l ;
400 c，m2试
即9 x2 72 x2 202,解得x=15 cm,
∴R=25 cm.故 S球 4 R2 2 500 cm2 .
（2）当球心在两个截面之间时，如图2所示， 设OD=x cm，则OC=(9-x)cm. 由题意得 CA2 49 ,CA 7 cm， ∴CA=7 cm， 同理可得BD=20 cm. 设球半径为R,
举一反三
4. 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放
一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取
出,求这时容器中水的深度.
解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球 在容器内时,水的深度为3r,水面半径为 3r,则
容器内水的体积为V
V圆锥
V球
=
r 2 h,V圆锥
=
1
3
r 2 h,V圆台
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第2讲 空间几何体的表面积与体积
一、选择题
1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS
D ．23
3
πS
解析：选A ．由πr 2
＝S 得圆柱的底面半径是S
π
，故侧面展开图的边长为2π·
S
π
＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A ．
2．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A ．π
B ．π3
C ．3π
D ．
3π3
解析：选D ．由三视图可知，该几何体是两个同底的半圆锥，其中底的半径为1，高为22
－12
＝3，
因此体积＝2×12×13π×12
×3＝33
π．
3．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20
B ．22
C ．24
D ．26
解析：选D ．该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S
半圆柱底
－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12
－2×1＋12
×2π×1＝26．故
选D ．
4．(2018·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．(9＋5)π
B ．(9＋25)π
C ．(10＋5)π
D ．(10＋25)π
解析：选A ．由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半．故该几何体的表面积S ＝π×12
＋4×2π＋12
×2π×5＝(9＋5)π．
5．(2018·云南第一次统考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
A ．12
B ．18
C ．24
D ．30
解析：选C ．由三视图知，该几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，其中三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面均为两直角边分别为3和4的直角三角形，所以该几何体的体积为12×3×4×5－13×1
2
×3×4×3＝24，故选C ．
6．正四棱锥P ABCD 的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．12π C ．8π
D ．4π
解析：选A ．设正四棱锥的外接球半径为R ，顶点P 在底面上的射影为O ，因为OA ＝1
2AC
＝12AB 2＋BC 2＝12
（22）2＋（22）2＝2，所以PO ＝PA 2－OA 2＝（22）2－22
＝2．又OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，由此可知R ＝2，于是S 球＝4πR 2＝16π．
二、填空题
7．将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________． 解析：当以长度为4π的边为底面圆时，底面圆的半径为2，两个底面的面积是8π；当以长度为8π的边为底面圆时，底面圆的半径为4，两个底面圆的面积为32π．无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2
．故所求的表面积是32π2
＋8π或32π2
＋32π．
答案：32π2
＋8π或32π2
＋32π
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，所以其体积为8－43－16＝132．
答案：132
9．
在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD A 1C 1D 1，这个几何体的体积为40
3，则经过A 1，C 1，B ，D 四点的
球的表面积为________．
解析：设AA 1＝x ，则VABCD A 1C 1D 1＝VABCD A 1B 1C 1D 1－VB A 1B 1C 1＝2×2×x －13×1
2×2×2×x
＝40
3
，则x ＝4． 因为A 1，C 1，B ，D 是长方体的四个顶点，
所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线的中点，且长方体的体对角线为球的直径，所以球的半径R ＝22
＋22
＋4
2
2
＝6，所以球的表面积为24π．
答案：24π
10．一个几何体的三视图如图所示，且其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为________．
解析：由题意得，该几何体为如图所示的五棱锥P ABCDE ，所以体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12×2×1＋22×3＝5
3
3．
答案：53 3
三、解答题
11．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．
解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面
＝S
圆台侧
＋S
圆台下底
＋S
圆锥侧
＝π(2＋5)×5＋
π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台
－V
圆锥
＝13
(π·22＋π·52＋22·52π2
)×4－13π×22
×2＝1483
π． 12．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ．
(1)若圆锥内有一个高为x 的内接圆柱，则x 为何值时，圆柱的侧面积最大？最大侧面积是多少？
(2)作一平面将圆锥分成一个小圆锥与一个圆台，当两几何体的体积相等时，求小圆锥的高与圆台的高的比值．
解：(1)设圆柱的侧面积为S ，底面半径为r ． 由r R ＝
H －x H ，得r ＝R －R
H
·x ．
则圆柱的侧面积S ＝2πrx ＝2πx ⎝
⎛⎭
⎪⎫R －R
H
·x
＝－2πR H
·x 2
＋2πRx ，
显然，当x ＝－2πR 2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－2πR H ＝H 2时，圆柱的侧面积最大，
最大侧面积为－2πR H ·⎝ ⎛⎭⎪⎫H 22＋2πR ·H 2＝1
2πRH ．
(2)设小圆锥的底面半径为a ，高为b ．
由题意得小圆锥的体积V 1＝12×13πR 2H ＝16πR 2
H ，
由a R ＝b H ，且13πa 2b ＝16πR 2H ，得b ＝312H ＝3
4
2
H ． 设圆台高为c ，则b
c
＝
34
2H H －3
42
H
＝
34
2－34
，
故小圆锥的高与圆台的高的比值为
3
4
2－34
．。